Calcul d'intégrales

Exercice 3249. Calculer \[ \integrale{0}{1}{\Frac{1}{1+ix}}{x} \] (on séparera partie réelle et imaginaire).
Exercice 3250. Calculer $\displaystyle \integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{e^{ix}}{x}$.
Exercice 3251. Montrer que $\integrale{0}{4}{\sin\Big(\Frac{\pi}{4}\lfloor x \rfloor\Big)}{x}=\sqrt{2}+1$.
Exercice 3252. Calculer les intégrales suivantes après avoir justifié leur existence :\\
  1. $\integrale{0}{1}{\sqrt{t}(t-2\sqrt{t})}{t}$.
  2. $\integrale{-1}{2}{|t|}{t}$.
  3. $\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\dfrac{\sin(t)}{\cos^3(t)}}{t}$.
  4. $\integrale{0}{1}{\dfrac{e^t}{e^t+2}}{t}$.
  5. $\integrale{e}{3}{\dfrac{1}{t\ln(t)}}{t}$.
  6. $\integrale{0}{2}{|t^2-1|}{t}$.
  7. $\integrale{1}{2}{\dfrac{\ln(t)}{t}}{t}$.
  8. $\integrale{0}{3}{\max(t,1)}{t}$
Exercice 3253. Déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes : \[ f(x)=\frac{x}{1+x^2}, \quad g(x)=\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}, \quad h(x)=\frac{\ln(x)}{x}, \quad k(x)=\cos(x)\sin^2(x), \quad l(x)=\frac{1}{x\ln(x)}, \quad m(x)=3x\sqrt{1+x^2}. \]
Exercice 3254. Calculer les intégrales suivantes : \[ \integrale{0}{\frac{\pi}{3}}{1-\cos(3x)}{x}, \quad \integrale{0}{\sqrt{\pi}}{x\sin(x^2)}{x}, \quad \integrale{1}{2}{\frac{\sqrt{\ln(x)}}{x}}{x}. \]
Exercice 3255. Calculer \[ A=\integrale{0}{1}{\ln(1+x^2)}{x} \quad \mathrm{et} \quad B=\integrale{\frac{1}{2}}{2}{\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\arctan(x)}{x} \]
Exercice 3256. Calculer les intégrales : \\
  1. $I = \integrale{0}{1}{\Frac{x}{x+1}}{x}$ \\
  2. $I_2 = \integrale{1}{e}{\Frac{\ln{x}}{x}}{x}$ \\
  3. $I_3 = \integrale{e}{e^2}{\Frac{1}{x\ln{x}}}{x}$ \\
  4. $I_4 = \integrale{1}{2}{\Frac{\ln(1+x)}{x^2}}{x}$ \\
  5. $I_5 = \integrale{0}{1}{x(\arctan{x})^2}{x}$ \\
  6. $I_6 = \integrale{1/2}{1}{\Frac{x\ln{x}}{(1+x^2)^2}}{x}$ \\
  7. $I_7 = \integrale{0}{\pi}{\cos(nx)\cos(px)}{x}$ avec $(n,p) \in \N^2$. \\
  8. $I_8 = \integrale{2}{3}{\Frac{1}{x^2-1}}{x}$ \\
  9. $I_9 = \integrale{0}{1}{\Frac{1}{1+e^t}}{t}$ \\
  10. $I_{10} = \integrale{0}{\pi/2}{\cos^3(t)}{t}$.
Exercice 3257. Déterminer une primitive de $f(x)=e^x(2x^3+3x^2-x+1)$.
Exercice 3258. Déterminer $\displaystyle \integrale{}{}{x\cos(x)e^x}{x}$.
Exercice 3259. Montrer, sans utiliser de primitive, que $\integrale{0}{1}{x}{x}=\Frac{1}{2}$ et $\integrale{0}{1}{x^2}{x}=\Frac{1}{3}$.
Exercice 3260. Calculer $I(p,q)=\integrale{0}{1}{x^p(1-x)^q}{x}$ pour tout $(p,q)$ dans $\mathbb{N}^2$.
Exercice 3261. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $K_n=\integrale{0}{\pi/2}{x^n\sin x}{x}$. \\ Déterminer une relation de récurrence satisfaite par la suite $(K_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice 3262. Soit $\lambda$ un réel tel que $|\lambda| \neq 1$.\\ On définit, pour tout réel $x$, $f_\lambda(x)=\dfrac{\sin x}{\sqrt{1-2\lambda \cos x+\lambda^2}}$.\\
  1. Étudier la fonction $f_\lambda$.
  2. Calculer $\integrale{0}{\pi}{f_\lambda(x)}{x}$.
Exercice 3263. Calculer les intégrales suivantes.\\
  1. $\integrale{0}{1}{\arctan t}{t}$.\\
  2. $\integrale{0}{1/2}{\arcsin t}{t}$.\\
  3. $\integrale{0}{1}{t\arctan t}{t}$.
Exercice 3264. Calculer les intégrales suivantes via un changement de variable adéquat.\\
  1. $\integrale{1}{e}{\dfrac{1}{t+t(\ln t)^2}}{t}$.\\
  2. $\integrale{1}{e}{\dfrac{1}{t\sqrt{\ln t+1}}}{t}$.\\
  3. $\integrale{0}{1}{\dfrac{1}{e^t+1}}{t}$.
Exercice 3265. Calculer les intégrales suivantes via un changement de variable adéquat.\\
  1. \[ \integrale{0}{1}{\sqrt{1-t^2}}{t}. \]
  2. \[ \integrale{0}{1}{t^2\sqrt{1-t^2}}{t}. \]
  3. \[ \integrale{1}{2}{\dfrac{\ln t}{\sqrt t}}{t}. \]
Exercice 3266.
  1. Montrer que \[ \integrale{0}{\pi/2}{\dfrac{\cos t}{\cos t+\sin t}}{t} = \integrale{0}{\pi/2}{\dfrac{\sin t}{\cos t+\sin t}}{t} = \dfrac{\pi}{4}. \]
  2. En déduire \[ \integrale{0}{1}{\dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}+t}}{t}. \]
Exercice 3267. Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ continue telle que, pour tout $x \in [a,b]$, \[ f(a+b-x)=f(x). \] Montrer que \[ \integrale{a}{b}{xf(x)}{x} = \dfrac{a+b}{2}\integrale{a}{b}{f(x)}{x}. \]
Exercice 3268. Étudier l'existence et calculer la valeur de $\displaystyle\int_0^{+\infty} xe^{-\lfloor x\rfloor}\,dx$.
Exercice 3269. Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'un changement de variable :\\
  1. $\integrale{0}{1}{(t+1)^5(t-2)}{t}$.
  2. $\integrale{0}{2}{t^2\sqrt{t^3+8}}{t}$ avec $u=t^3+8$.
  3. $\integrale{0}{a}{\dfrac{1}{t^2+a^2}}{t}$ où $a$ est un réel positif.
  4. $\integrale{\sqrt{2}}{2}{\dfrac{1}{t\sqrt{t^2-1}}}{t}$ avec $u=\sqrt{t^2-1}$
Exercice 3270.
  1. Donner une primitive de $f$ dans le cas où $f$ est définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ :
    1. $f(x)=\dfrac{1}{x^4}-e^{-3x+4}$.
    2. $f(x)=\dfrac{1+e^x}{(x+e^x)^2}$.
    3. $f(x)=\cos(x)\sin^3(x)$.
  2. Calculer les intégrales suivantes :
    1. $\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{x\sin(x)}{x}$.
    2. $\integrale{0}{1}{\dfrac{e^x}{\sqrt{e^x+1}}}{x}$ à l'aide du changement de variable $\varphi:x\mapsto e^x+1$.
    3. Défi : $\integrale{\frac{1}{2}}{2}{\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\arctan(x)}{x}$.
  3. Donner la limite de \[ \integrale{0}{1}{x^n\cos^2(x^n)}{x} \] quand $n\to+\infty$
Exercice 3271.
  1. $\integrale{1}{2}{-\dfrac{3}{x^3}}{x}$.
  2. $\integrale{1}{3}{\dfrac{3x}{1+x^2}}{x}$.
  3. $\integrale{0}{1}{\dfrac{e^x}{1+e^x}}{x}$ avec le changement de variable $u=e^x$.
  4. $\integrale{1}{2}{x^2\ln(x)}{x}$.
  5. $\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\dfrac{\sin(t)}{1+\cos^2(t)}}{t}$.
  6. $\integrale{0}{2}{\dfrac{e^y}{(1+2e^y)^2}}{y}$.
  7. $\integrale{0}{1}{x\arctan(x)}{x}$
Exercice 3272. Calculer les primitives des fonctions suivantes : \[ \frac{1}{x^4-x^2-2}, \quad \frac{x+1}{(x^2+1)^2}, \quad \frac{x^2}{x^6-1}, \quad \frac{1}{x(x^2+1)^2}. \]
Exercice 3273. Calculer les primitives des fonctions suivantes : \[ \frac{\cos x}{\sin^2x+2\tan^2x}, \quad \frac{\sin x}{\cos^3x+\sin^3x}, \quad \frac{1}{\sin x+\cos x+2}, \quad \frac{1}{\ch x\sqrt{\ch 2x}}. \]
Exercice 3274. Donner une relation de récurrence permettant de calculer les intégrales suivantes : \[ I_n=\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\tan^n x}{x}, \quad I_n=\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{\cos^n x}}{x}, \quad I_n=\integrale{1}{e}{\ln^n x}{x}. \]
Exercice 3275.
  1. Trouver $a,b,c \in \mathbb{R}$ tels que \[ \frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{c}{x}=\frac{1}{(x^2+1)x} \] pour tout $x \neq 0$.\\
  2. Calculer $\integrale{}{}{ \frac{\arctan(t)}{t^2}}{t}$.
Exercice 3276. Calculer $\integrale{}{}{\frac{1}{\sin(\theta)}}{\theta}$ à l'aide du changement de variable $u=\cos(\theta)$.
Exercice 3277. Déterminer directement les primitives des fonctions suivantes :
  1. $x \longmapsto xe^{-3x^2}$.
  2. $x \longmapsto \frac{1}{x\ln^4(x)}$.
  3. $x \longmapsto \frac{1}{(x+2)^2}$.
  4. $x \longmapsto \frac{1}{x\ln(x)}$.
  5. $x \longmapsto \frac{1}{\th(x)}$.
  6. $x \longmapsto \frac{x^2}{1+x^3}$.
  7. $x \longmapsto \frac{\ln(x)}{x}$.
  8. $x \longmapsto \tan^2(x)$.
  9. $x \longmapsto \frac{\sin(2x)}{1+\cos^2(x)}$.
  10. $x \longmapsto \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}}$.
  11. $x \longmapsto \frac{1}{\cos^2(x)\sqrt{\tan(x)}}$.
  12. $x \longmapsto \frac{1}{x+\sqrt{x}}$.
  13. $x \longmapsto \frac{\ln(\ln(x))}{x}$.
  14. $x \longmapsto e^{e^x+x}$.
  15. $x \longmapsto \frac{1}{x+x\ln^2(x)}$.
  16. $x \longmapsto \sqrt{x^4+x^2}$.
  17. $x \longmapsto \frac{1}{x\sqrt{1+\ln(x)}}$.
Exercice 3278. Calculer une primitive de :
  1. $x \longmapsto \frac{1}{1+x+x^2}$.
  2. $x \longmapsto \frac{2-5x}{1+x^2}$.
  3. $x \longmapsto \frac{3x+2}{2x^2-4x+3}$.
Exercice 3279. Calculer $\integrale{}{}{e^t\sin(3t)}{t}$.
Exercice 3280. Donner une primitive des fonctions suivantes à l'aide d'une intégration par parties :
  1. $x \longmapsto \arctan(x)$.
  2. $x \longmapsto (x\ln(x))^2$.
  3. $x \longmapsto x^2e^x$.
  4. $x \longmapsto \frac{x}{\cos^2(x)}$.
  5. $x \longmapsto \ln(1+x^2)$.
  6. $x \longmapsto \arcsin(x)$.
  7. $x \longmapsto x\ch(x)$.
Exercice 3281. Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré :
  1. $f(x)=(3x-1)(3x^2-2x+3)^3$, $I=\mathbb{R}$.
  2. $f(x)=\frac{1-x^2}{(x^3-3x+1)^3}$, $I=]-\infty,-2[$.
  3. $f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x(x-2)}}$, $I=]-\infty,0[$.
  4. $f(x)=\frac{1}{x\ln(x^2)}$, $I=]1,+\infty[$.
Exercice 3282.
  1. Calculer \[ J=\integrale{1}{2}{\frac{1}{x(x+1)}}{x}. \]
  2. Calculer \[ I=\integrale{1}{2}{\frac{\ln(1+t)}{t^2}}{t}. \]
Exercice 3283.
  1. Donner une primitive de $f$ définie pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ par \[ f(x)=\frac{6}{x^5}+\frac{1}{x(\ln(x)+1)^3}+\sin^2(x). \]
  2. En encadrant l'intégrale, donner la limite lorsque $n\to+\infty$ de \[ I_n=\integrale{-1}{1}{x^2e^{-nx}}{x}. \]
  3. Justifier que $F$ est bien définie, dérivable et donner sa dérivée dans le cas où \[ F(x)=\integrale{2}{x^2}{\frac{t}{1+e^t}}{t}. \]
  4. Calculer \[ \integrale{0}{1}{\ln(t)t^3}{t}. \]
  5. Donner une primitive de $f$ définie pour tout $x \in ]0,1[$ par \[ f(x)=\frac{\ln^2(x)}{x}+\frac{1}{\cos^2(x)}. \]
Exercice 3284.
  1. Calculer \[ \integrale{0}{1}{\Frac{1}{(t+1)^2}}{t} \]
  2. Montrer que pour tout $x \in [0,\pi/2]$, \[ \sin(x)=\Frac{2t}{1+t^2} \] où $t=\tan\parenthese{\Frac{x}{2}}$. \\
  3. À l'aide du changement de variable $t=\tan\parenthese{\Frac{x}{2}}$, calculer \[ J=\integrale{0}{\pi/2}{\Frac{1}{1+\sin(x)}}{x} \]
Exercice 3285.
  1. Calculer les intégrales suivantes :
    1. $\integrale{}{x}{\Frac{\ln(t)}{t}}{t}$ avec $x > 0$. \\
    2. $\integrale{0}{\pi}{e^t\sin(3t)}{t}$. \\
    3. $\integrale{}{x}{\arcsin(t)}{t}$ avec $x \in ]-1,1[$. \\
    4. $\integrale{0}{x}{\Frac{1}{1+t+t^2}}{t}$. \\
    5. $\integrale{-1}{0}{\Frac{1}{t^2-3t+2}}{t}$.
  2. Donner l'expression de $(u_n)_n$ si pour tout $n \in \N$, $u_{n+2}=-u_{n+1}-u_n$ et $u_0=0$, $u_1=1$. \\
  3. Résoudre les équations différentielles suivantes :
    1. $(1+x^4)y'+2xy=2x^2$. \\
    2. $y''-2y'+y=(2+x)e^x$.
Exercice 3286. Calculer :\\
  1. $\integrale{1}{x}{\ln t}{t}$\\
  2. $\integrale{0}{x}{\arctan t}{t}$\\
  3. $I_n(x)=\integrale{1}{x}{t^n\ln t}{t}$ avec $n \in \N$\\
  4. $I=\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{e^x\cos x}{x}$\\
  5. $\integrale{}{ }{x^7\cos x}{x}$\\
  6. $\integrale{0}{1}{2x\ln(1+x^2)}{x}$
Exercice 3287. Soit \[ I_n(x)=\integrale{0}{x}{\frac{1}{(1+t^2)^n}}{t}, \quad n \in \mathbb{N}. \] Etablir à l'aide d'une intégration par parties une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n+1}$. Calculer $I_1(x)$.
Exercice 3288. Calculer, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $I_n=\integrale{0}{1}{x^n\sqrt{1-x}}{x}$.
Exercice 3289. Montrer que \[ \integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\ln(1+\tan x)}{x} = \Frac{\pi \ln 2}{8}. \]
Exercice 3290.
  1. Observer que \[ \integrale{0}{\pi/4}{\ln(\cos t)}{t} = \integrale{0}{\pi/4}{\ln\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-t\right)\right)}{t}. \]
  2. En déduire \[ \integrale{0}{\pi/4}{\ln(1+\tan t)}{t}. \]
Exercice 3291.
  1. Soit $f \in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$. Établir \[ \integrale{0}{\pi}{t f(\sin t)}{t} = \dfrac{\pi}{2}\integrale{0}{\pi}{f(\sin t)}{t}. \]
  2. En déduire la valeur de \[ I_n= \integrale{0}{\pi}{\dfrac{x\sin^{2n}(x)}{\sin^{2n}(x)+\cos^{2n}(x)}}{x}. \]
Exercice 3292. Pour $p$ et $q$ entiers naturels, on pose \[ I_{p,q}=\integrale{a}{b}{(t-a)^p(b-t)^q}{t}. \]
  1. Former une relation de récurrence liant $I_{p,q}$ et $I_{p+1,q-1}$.
  2. Donner une expression de $I_{p,q}$ à l'aide de factoriels.
Exercice 3293. Soit $a \in \mathbb{R}$ avec $|a| \neq 1$.
  1. Montrer que pour $n \geq 2$ : \[ a^{2n} - 1 = (a^2 - 1)\prod_{k=1}^{n-1}\left(a^2 - 2a\cos\frac{k\pi}{n} + 1\right). \]
  2. On pose $I(a) = \displaystyle\int_0^\pi \ln\!\left(a^2 - 2a\cos t + 1\right)\,dt$. Calculer $I(a)$ en distinguant les cas $|a| < 1$ et $|a| > 1$.
Exercice 3294. Déterminer la convergence et la valeur de $\displaystyle\int_1^{+\infty}\!\left(\frac{1}{t} - \arcsin\frac{1}{t}\right)dt$.
Exercice 3295. Soit $f \in \mathcal{C}^1([a,b],\mathbb{R})$ telle que $f(a) = 0$ et $0 \leq f'(t) \leq 1$ pour tout $t \in [a,b]$.
  1. Montrer que pour tout $x \in [a,b]$, $(f(x))^2 \leq 2\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$.
  2. Montrer que $\displaystyle\int_a^b (f(t))^3\,dt \leq \left(\int_a^b f(t)\,dt\right)^2$.
  3. Cas d'égalité dans l'inégalité de la question 2 ?
Exercice 3296. Calculer les intégrales suivantes :\\
  1. $\integrale{0}{1}{2e^{-4t+1}}{t}$.
  2. $\integrale{1}{2}{\dfrac{2}{x^3}+\sqrt{x}}{x}$.
  3. $\integrale{0}{1}{e^t(3+e^t)^5}{t}$.
  4. $\integrale{\frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{2}}{\dfrac{\cos(t)}{\sin(t)}}{t}$.
  5. $\integrale{2}{e}{\dfrac{1}{t(\ln(t))^2}}{t}$.
  6. $\integrale{0}{1}{2t(1+\tan^2(t^2))}{t}$.
  7. $\integrale{0}{1}{te^{-2t}}{t}$.
  8. $\integrale{0}{1}{t\arctan(t)}{t}$.
  9. $\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\dfrac{\cos(t)}{1+\cos^2(t)}}{t}$ en utilisant le changement de variable $y:t\mapsto \sin(t)$.
  10. $\integrale{\ln(3)}{3\ln(2)}{\dfrac{1}{\sqrt{1+e^x}}}{x}$ en utilisant le changement de variable $y:t\mapsto \sqrt{1+e^t}$
Exercice 3297. Chercher une primitive de $x \longmapsto \cos(2\ln(x))$ sur $\mathbb{R}_+^*$ à l'aide du changement de variable $x=e^t$.
Exercice 3298. Donner une primitive de $x \longmapsto \cos^4(x)\sin^2(x)$ et de $x \longmapsto \cos^3(x)\sin^4(2x)$.
Exercice 3299. Calculer une primitive des fonctions suivantes :
  1. $x \longmapsto \frac{1}{\sqrt{e^x-1}}$ en posant $u=\sqrt{e^x-1}$.
  2. $x \longmapsto \frac{x}{\sqrt{x+1}}$ en posant $u=\sqrt{x+1}$.
  3. $x \longmapsto \frac{1}{\ch(x)}$ en posant $u=e^x$ puis en posant $v=\sh(x)$.
  4. $x \longmapsto \sin(\ln(x))$ en posant $u=\ln(x)$.
  5. $x \longmapsto \frac{1}{1+\tan(x)}$ en posant $u=\tan(x)$.
Exercice 3300.
  1. Retrouver les expressions de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ en fonction de $\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ pour tout $x \in \mathbb{R}\setminus(\pi+2\pi\mathbb{Z})$.
  2. À l'aide du changement de variable $t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$, donner une primitive de \[ x \longmapsto \frac{1}{2+\sin(x)+\cos(x)}. \]
Exercice 3301. On pose \[ I=\integrale{0}{\frac{\pi}{6}}{\frac{\cos^2(t)}{\cos(2t)}}{t} \quad \mathrm{et} \quad J=\integrale{0}{\frac{\pi}{6}}{\frac{\sin^2(t)}{\cos(2t)}}{t}. \]
  1. Calculer $I-J$ puis $I+J$ en posant $u=\tan(t)$.
  2. En déduire $I$ et $J$.
Exercice 3302. Pour $n \geqslant 1$, donner une primitive de $\ln^n(x)$.
Exercice 3303. Déterminer une primitive des fonctions suivantes :
  1. $x \longmapsto \frac{1}{\ch(x)}$.
  2. $x \longmapsto \frac{1}{1+e^x}$.
  3. $x \longmapsto \frac{1}{\ch(x)(1+\sh(x))}$.
Exercice 3304. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ tel que $x^2 \neq 1$, \[ \cos(2\arctan(x))=\frac{1-x^2}{1+x^2} \quad \mathrm{et} \quad \sin(2\arctan(x))=\frac{2x}{1+x^2}. \] Trouver une primitive de \[ t \longmapsto \frac{t\arctan(t)}{(1+t^2)^2} \] par un changement de variable.\\ Bonus : refaire le calcul en commençant par une intégration par parties.
Exercice 3305. Déterminer $a$ et $b$ tels que pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ \sin(x)+\cos(x)=a\cos(b-x). \] En déduire \[ \integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\ln(\tan(x)+1)}{x}. \]
Exercice 3306. On pose $I=\integrale{0}{1}{\arctan(x^3)}{x}$. \\
  1. Montrer par une IPP puis un changement de variable que \[ I=\Frac{\pi}{4}-\Frac{3}{2}\integrale{0}{1}{\Frac{u}{1+u^3}}{u} \]
  2. Trouver $a,b,c \in \R$ tels que pour tout $u \in \R \setminus \{-1\}$, \[ \Frac{u}{1+u^3}=\Frac{a}{1+u}+\Frac{bu+c}{u^2-u+1} \]
  3. Calculer $\integrale{0}{1}{\Frac{1}{u^2-u+1}}{u}$. \\
  4. Calculer $\integrale{0}{1}{\Frac{u+1}{u^2-u+1}}{u}$. \\
  5. En déduire que \[ I=\Frac{\pi}{4}-\Frac{\pi}{2\sqrt{3}}+\Frac{\ln(2)}{2} \]
  6. Soient $a,b \in \R$ avec $a < b$ et $f \in C^1([a,b],\R)$ une fonction strictement croissante. \\
    1. Justifier que $f$ est bijective de $[a,b]$ vers un intervalle que l'on précisera. \\
    2. Montrer que \[ \integrale{f(a)}{f(b)}{f^{-1}(t)}{t}=\integrale{a}{b}{xf'(x)}{x} \]
    3. En déduire une relation entre $\integrale{f(a)}{f(b)}{f^{-1}(t)}{t}$ et $\integrale{a}{b}{f(x)}{x}$.
  7. Déduire proprement la valeur de $\integrale{0}{\pi/4}{\sqrt[3]{\tan(t)}}{t}$.
Exercice 3307.
  1. Donner une primitive de $x \mapsto \Frac{x}{1+x^4}$. \\
  2. Donner une primitive de $x \mapsto \Frac{1}{x^2-2x+5}$. \\
  3. Dans cette question, on cherche une primitive de $x \mapsto \exp(\arcsin(x))$. \\
    1. Soit $x \in [-1,1]$, justifier que \[ \integrale{0}{\arcsin(x)}{e^u\cos(u)}{u}=\integrale{0}{x}{e^{\arcsin(t)}}{t} \]
    2. Donner une primitive de $u \mapsto e^u\cos(u)$. \\
    3. Conclure en donnant une primitive de $x \mapsto \exp(\arcsin(x))$. \\
    1. Montrer que \[ \integrale{0}{1}{\Frac{e^x}{(1+x)^2}}{x}=K+\integrale{0}{1}{\Frac{e^x}{1+x}}{x} \] où $K$ est une constante à déterminer. \\
    2. En déduire que \[ \integrale{0}{1}{\Frac{xe^x}{(1+x)^2}}{x}=\Frac{e}{2}-1 \]
Exercice 3308. Soit \[ I_n(x)=\integrale{0}{x}{\frac{1}{(1+t^3)^n}}{t}, \quad n \in \mathbb{N}. \] Etablir à l'aide d'une intégration par parties une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n+1}$. Calculer $I_1(x)$.
Exercice 3309. Calculer \[ f(x)=\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{1+x\cos t}}{t} \quad \mathrm{lorsque} \quad x > -1. \]
Exercice 3310. Soit $f:\R\to\C$ définie par\\ \[ f(x)=\Frac{5}{x^2+x+1+i}. \] On admet qu’il existe $\alpha,\beta \in \C$ tels que\\ \[ f(x)=\Frac{\alpha}{x+1-i}+\Frac{\beta}{x+i}. \]
  1. Déterminer $\alpha$ et $\beta$.\\
  2. En déduire que\\ \[ \integrale{}{ }{f(x)}{x}=(2-i)\arctan(x+1)+(2-i)\arctan x+\left(\Frac{1}{2}+i\right)\ln(x^2+1)-\left(\Frac{1}{2}+i\right)\ln(x^2+2x+2). \]
Exercice 3311. Soient $a > 1$ et $b > 1$. Calculer \[ \integrale{0}{\pi}{\ln\left(\frac{b-\cos x}{a-\cos x}\right)}{x} \]
Exercice 3312. Pour $p,q \in \mathbb{N}$, on pose \[ I_{p,q}=\integrale{0}{1}{t^p(1-t)^q}{t}. \]
  1. Calculer $I_{p,0}$.\\
  2. Montrer que pour $p \in \mathbb{N}$ et $q \in \mathbb{N}^*$, \[ I_{p,q}=\frac{q}{p+1}I_{p+1,q-1}. \]
  3. En déduire l'expression de $I_{p,q}$ pour $(p,q) \in \mathbb{N}^2$. Vérifier que \[ I_{p,q}=\frac{1}{(n+1)\binom{n}{p}} \quad \mathrm{où} \quad n=p+q. \]
  4. Exprimer, pour $x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$, \[ \integrale{0}{1}{(xt+(1-t))^n}{t} \] en fonction des $I_{p,q}$ pour $p+q=n$. Retrouver alors la valeur de $I_{p,q}$.
Exercice 3313. Calculer $\displaystyle \int \Frac{\sqrt{1+\sqrt{1-t^{2}}}}{\sqrt{1-t^{2}}}\;dt.$
Exercice 3314. \\
  1. En posant $u=\pi - t$, calculer $I=\integrale{0}{\pi}{\Frac{t\sin t}{1+\cos^{2}t}}{t}$. \\
  2. En posant $u=\Frac{\pi}{2}-t$, calculer $J=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\parenthese{\integrale{0}{x}{\Frac{dt}{1+\tan^{2018}t}}{t}}$. \\
  3. En posant $u=\sqrt{t^{2}+t+1}-t$, calculer $K=\integrale{0}{1}{\Frac{1}{\sqrt{t^{2}+t+1}}}{t}.$
Exercice 3315. On pose \\ \[ I=\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\Frac{\cos x}{\sqrt{1+\cos x \sin x}}}{x} \quad\text{et}\quad J=\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\Frac{\sin x}{\sqrt{1+\cos x \sin x}}}{x}. \] \\ Montrer que $I=J$ puis calculer $I$.
Exercice 3316. Soit $k \in \N$. Montrer que \[ \integrale{-2}{2}{x^k\sqrt{4-x^2}}{x} \] est un multiple entier de $2\pi$.
Exercice 3317.
  1. Étudier les variations de la fonction \[ x \mapsto 3x^2-2x^3. \]
  2. Soit $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ continue. Montrer que \[ \integrale{-1/2}{3/2}{f(3x^2-2x^3)}{x} = 2\integrale{0}{1}{f(3x^2-2x^3)}{x}. \]
Exercice 3318. Pour $a$ et $b$ des réels tels que $ab > 0$, on considère \[ I(a,b)=\integrale{a}{b}{\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^4}}}{x}. \]
  1. Calculer $I(-b,-a)$, $I\left(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b}\right)$ et $I\left(\dfrac{1}{a},a\right)$ en fonction de $I(a,b)$.
  2. Pour $a,b > 1$, calculer $I(a,b)$ via les changements de variables $v=x+\dfrac{1}{x}$ puis $v=\dfrac{1}{t}$.
  3. Montrer que la relation ainsi obtenue est valable pour tout $a,b$ tels que $ab > 0$.
Exercice 3319. Soient $n \in \mathbb{N}$ et $x \in ]0,\pi[$.\\
  1. Justifier l'existence de \[ I_n=\integrale{0}{\pi}{\dfrac{\cos(nt)-\cos(nx)}{\cos t-\cos x}}{t}. \]
  2. Exprimer $I_n$. On pourra commencer par calculer $I_{n+1}+I_{n-1}$.
Exercice 3320. Soit $P$ un polynôme de degré $\geq 2$.
  1. Déterminer la nature de $I = \displaystyle\int_0^{+\infty}\cos(P(x))\,dx$.
  2. Déterminer la nature de $J = \displaystyle\int_0^{+\infty}|\cos(P(x))|\,dx$.
Exercice 3321. Calculer les primitives des fonctions suivantes : \[ x\sqrt{\frac{x-2}{x+1}}, \quad \frac{1}{(x+1)\sqrt{x^2+x+1}}, \quad \sqrt{-x^2+4x+10}, \quad \frac{1}{x+\sqrt{x^2+2x}}, \quad \frac{1}{\sqrt[3]{1+x^3}}. \]
Exercice 3322. Calculer les intégrales suivantes : \[ \integrale{0}{1}{e^x(2x^3+3x^2-x+1)}{x}, \quad \integrale{0}{2\pi}{e^{-x}\sin^2(x)}{x}, \quad \integrale{0}{\pi}{x^2e^x\cos(x)}{x}. \]
Exercice 3323. On pose pour tout $r \in ]0,1[$ et $\theta \in \R$, \[ P_r(\theta)=\mathrm{Re}\parenthese{\Frac{1+re^{i\theta}}{1-re^{i\theta}}} \]
  1. Justifier la bonne définition de $P_r(\theta)$, puis montrer que \[ P_r(\theta)=\Frac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta)+r^2} \]
  2. Soit $\theta \in ]-\pi,\pi[$. Soit $t=\tan\parenthese{\Frac{\theta}{2}}$. Montrer que \[ \cos^2\parenthese{\Frac{\theta}{2}}=\Frac{1}{1+t^2} \] puis \[ \cos(\theta)=\Frac{1-t^2}{1+t^2} \quad \mathrm{et} \quad \sin(\theta)=\Frac{2t}{1+t^2} \]
  3. Montrer que pour tout $(a,b) \in \R^2$ tel que $-\pi < a < b < \pi$, on a \[ \integrale{a}{b}{P_r(\theta)}{\theta} = 2\integrale{\tan(a/2)}{\tan(b/2)} {\Frac{1-r^2}{(1-r)^2+t^2(1+r)^2}}{t} \]
  4. Montrer que \[ \integrale{a}{b}{P_r(\theta)}{\theta} = 2\parenthese{ \arctan\parenthese{\Frac{1+r}{1-r}\tan\parenthese{\Frac{b}{2}}} - \arctan\parenthese{\Frac{1+r}{1-r}\tan\parenthese{\Frac{a}{2}}} } \]
  5. En déduire par deux passages à la limite que \[ \integrale{-\pi}{\pi}{P_r(\theta)}{\theta}=2\pi \]