Calcul d'intégrales

Exercice 1579. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $K_n=\integrale{0}{\pi/2}{x^n\sin x}{x}$. \\ Déterminer une relation de récurrence satisfaite par la suite $(K_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Exercice 1580. Calculer $I(p,q)=\integrale{0}{1}{x^p(1-x)^q}{x}$ pour tout $(p,q)$ dans $\mathbb{N}^2$.

Exercice 1581. Calculer, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $I_n=\integrale{0}{1}{x^n\sqrt{1-x}}{x}$.

Exercice 1582. Calculer $\displaystyle \int \Frac{\sqrt{1+\sqrt{1-t^{2}}}}{\sqrt{1-t^{2}}}\;dt.$

Exercice 1583. \\

1. En posant $u=\pi - t$, calculer $I=\integrale{0}{\pi}{\Frac{t\sin t}{1+\cos^{2}t}}{t}$. \\
2. En posant $u=\Frac{\pi}{2}-t$, calculer $J=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\parenthese{\integrale{0}{x}{\Frac{dt}{1+\tan^{2018}t}}{t}}$. \\
3. En posant $u=\sqrt{t^{2}+t+1}-t$, calculer $K=\integrale{0}{1}{\Frac{1}{\sqrt{t^{2}+t+1}}}{t}.$

Exercice 1584. On pose \\ \[ I=\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\Frac{\cos x}{\sqrt{1+\cos x \sin x}}}{x} \quad\text{et}\quad J=\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\Frac{\sin x}{\sqrt{1+\cos x \sin x}}}{x}. \] \\ Montrer que $I=J$ puis calculer $I$.