Calcul d'intégrales

Exercice 2576. Calculer \[ A=\integrale{0}{1}{\ln(1+x^2)}{x} \quad \mathrm{et} \quad B=\integrale{\frac{1}{2}}{2}{\left(1+\frac{1}{x^2}\right)\arctan(x)}{x} \]
Exercice 2577. Calculer \[ \integrale{0}{1}{\Frac{1}{1+ix}}{x} \] (on séparera partie réelle et imaginaire).
Exercice 2578. Soit \[ I_n(x)=\integrale{0}{x}{\frac{1}{(1+t^3)^n}}{t}, \quad n \in \mathbb{N}. \] Etablir à l'aide d'une intégration par parties une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n+1}$. Calculer $I_1(x)$.
Exercice 2579. Calculer les intégrales : \\
  1. $I = \integrale{0}{1}{\Frac{x}{x+1}}{x}$ \\
  2. $I_2 = \integrale{1}{e}{\Frac{\ln{x}}{x}}{x}$ \\
  3. $I_3 = \integrale{e}{e^2}{\Frac{1}{x\ln{x}}}{x}$ \\
  4. $I_4 = \integrale{1}{2}{\Frac{\ln(1+x)}{x^2}}{x}$ \\
  5. $I_5 = \integrale{0}{1}{x(\arctan{x})^2}{x}$ \\
  6. $I_6 = \integrale{1/2}{1}{\Frac{x\ln{x}}{(1+x^2)^2}}{x}$ \\
  7. $I_7 = \integrale{0}{\pi}{\cos(nx)\cos(px)}{x}$ avec $(n,p) \in \N^2$. \\
  8. $I_8 = \integrale{2}{3}{\Frac{1}{x^2-1}}{x}$ \\
  9. $I_9 = \integrale{0}{1}{\Frac{1}{1+e^t}}{t}$ \\
  10. $I_{10} = \integrale{0}{\pi/2}{\cos^3(t)}{t}$.
Exercice 2580. Déterminer une primitive de $f(x)=e^x(2x^3+3x^2-x+1)$.
Exercice 2581. Déterminer $\displaystyle \integrale{}{}{x\cos(x)e^x}{x}$.
Exercice 2582. Calculer \[ f(x)=\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{1+x\cos t}}{t} \quad \mathrm{lorsque} \quad x > -1. \]
Exercice 2583. Montrer que\\ \[ \integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{e^{ix}}{x}=1+i. \]
Exercice 2584. Calculer :\\
  1. $\integrale{1}{x}{\ln t}{t}$\\
  2. $\integrale{0}{x}{\arctan t}{t}$\\
  3. $I_n(x)=\integrale{1}{x}{t^n\ln t}{t}$ avec $n \in \N$\\
  4. $I=\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{e^x\cos x}{x}$\\
  5. $\integrale{}{ }{x^7\cos x}{x}$\\
  6. $\integrale{0}{1}{2x\ln(1+x^2)}{x}$
Exercice 2585. Soit $f:\R\to\C$ définie par\\ \[ f(x)=\Frac{5}{x^2+x+1+i}. \] On admet qu’il existe $\alpha,\beta \in \C$ tels que\\ \[ f(x)=\Frac{\alpha}{x+1-i}+\Frac{\beta}{x+i}. \]
  1. Déterminer $\alpha$ et $\beta$.\\
  2. En déduire que\\ \[ \integrale{}{ }{f(x)}{x}=(2-i)\arctan(x+1)+(2-i)\arctan x+\left(\Frac{1}{2}+i\right)\ln(x^2+1)-\left(\Frac{1}{2}+i\right)\ln(x^2+2x+2). \]
Exercice 2586. Soient $a > 1$ et $b > 1$. Calculer \[ \integrale{0}{\pi}{\ln\left(\frac{b-\cos x}{a-\cos x}\right)}{x} \]
Exercice 2587. Montrer que $\integrale{0}{4}{\sin\Big(\Frac{\pi}{4}\lfloor x \rfloor\Big)}{x}=\sqrt{2}+1$.
Exercice 2588. Montrer que $\integrale{0}{1}{x}{x}=\Frac{1}{2}$ et $\integrale{0}{1}{x^2}{x}=\Frac{1}{3}$.
Exercice 2589. Soit \[ I_n(x)=\integrale{0}{x}{\frac{1}{(1+t^2)^n}}{t}, \quad n \in \mathbb{N}. \] Etablir à l'aide d'une intégration par parties une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n+1}$. Calculer $I_1(x)$.
Exercice 2590. Pour $p,q \in \mathbb{N}$, on pose \[ I_{p,q}=\integrale{0}{1}{t^p(1-t)^q}{t}. \]
  1. Calculer $I_{p,0}$.\\
  2. Montrer que pour $p \in \mathbb{N}$ et $q \in \mathbb{N}^*$, \[ I_{p,q}=\frac{q}{p+1}I_{p+1,q-1}. \]
  3. En déduire l'expression de $I_{p,q}$ pour $(p,q) \in \mathbb{N}^2$. Vérifier que \[ I_{p,q}=\frac{1}{(n+1)\binom{n}{p}} \quad \mathrm{où} \quad n=p+q. \]
  4. Exprimer, pour $x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$, \[ \integrale{0}{1}{(xt+(1-t))^n}{t} \] en fonction des $I_{p,q}$ pour $p+q=n$. Retrouver alors la valeur de $I_{p,q}$.
Exercice 2591. Calculer, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $I_n=\integrale{0}{1}{x^n\sqrt{1-x}}{x}$.
Exercice 2592. Calculer $I(p,q)=\integrale{0}{1}{x^p(1-x)^q}{x}$ pour tout $(p,q)$ dans $\mathbb{N}^2$.
Exercice 2593. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $K_n=\integrale{0}{\pi/2}{x^n\sin x}{x}$. \\ Déterminer une relation de récurrence satisfaite par la suite $(K_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice 2594. Montrer que \[ \integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\ln(1+\tan x)}{x} = \Frac{\pi \ln 2}{8}. \]
Exercice 2595. Calculer $\displaystyle \int \Frac{\sqrt{1+\sqrt{1-t^{2}}}}{\sqrt{1-t^{2}}}\;dt.$
Exercice 2596. \\
  1. En posant $u=\pi - t$, calculer $I=\integrale{0}{\pi}{\Frac{t\sin t}{1+\cos^{2}t}}{t}$. \\
  2. En posant $u=\Frac{\pi}{2}-t$, calculer $J=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\parenthese{\integrale{0}{x}{\Frac{dt}{1+\tan^{2018}t}}{t}}$. \\
  3. En posant $u=\sqrt{t^{2}+t+1}-t$, calculer $K=\integrale{0}{1}{\Frac{1}{\sqrt{t^{2}+t+1}}}{t}.$
Exercice 2597. On pose \\ \[ I=\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\Frac{\cos x}{\sqrt{1+\cos x \sin x}}}{x} \quad\text{et}\quad J=\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\Frac{\sin x}{\sqrt{1+\cos x \sin x}}}{x}. \] \\ Montrer que $I=J$ puis calculer $I$.