Intégration par parties, changement de variables
Exercice 1102. Intégrales de Wallis
\\ On pose pour tout $k \in \N$, $W_k = \integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{(\sin{u})^{k}}{u}$. \\- Calculer $W_0$ et $W_1$. \\
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- Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, $W_k - W_{k+2} = \Frac{1}{k+1} W_{k+2}$. \\
- En déduire $\forall k \in \N$, $W_{2k} = \Frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}\Frac{\pi}{2}$.
Exercice
1103. Calculer $I = \integrale{0}{1}{\sqrt{1-t^2}}{t}$ avec le changement de variable $t = \sin(u)$.
Exercice
1104. Donner l'ensemble des primitives de la fonction $x \mapsto x^2 \arctan(x)$.
Exercice
1105. Donner l'ensemble des primitives de $
x \mapsto \Frac{2e^{3x}}{1+e^{2x}}$.
Exercice
1106. Donner l'ensemble des primitives de $x \mapsto \Frac{1}{x+\sqrt{x}}$. \\
On pourra effectuer le changement de variable $u = \sqrt{x}$.