Exercices divers

Exercice 1112. Oral HEC

\\ Etudier la convergence de l'intégrale $I_n = \integrale{0}{1}{(\ln{x})^n}{x}$ pour $n \in \N$. \\ Calculer $I_n$.
Exercice 1113. On pose pour tout $n \in \N$, $I_n = \Frac{1}{n!} \integrale{0}{1}{(1-t)^{n}e^{t}}{t}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $0 \leqslant I_n \leqslant \Frac{e}{n!}$ puis en déduire $\limn I_n$. \\
  2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $I_{n+1} = I_n - \Frac{1}{(n+1)!}$. \\
  3. Montrer que pour tout $n \in \N$, $I_n = e-\Sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{k!}$. En déduire $\limn \Sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k!}$.
Exercice 1114. our tout entier naturel $n$, on définit l’intégrale : \[ I_n=\integrale{1}{e}{x^2(\ln(x))^n}{x}. \] \\
  1. Calculer $I_1$.\\
    1. Étudier le sens de variation de la suite $(I_n)_{n \in \N}$.\\
    2. Montrer que la suite $(I_n)_{n \in \N}$ est convergente.\\
    3. Montrer que : $\forall x \in [1,e], \ln(x) \leqslant \Frac{x}{e}$.\\
    4. En déduire $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} I_n$.\\
    1. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $\forall n \in \N$, $I_{n+1}=\Frac{e^3}{3}-\Frac{n+1}{3}I_n$. \\
    2. En déduire $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n I_n$.\\
Exercice 1115. Soit $\varphi : \R \to \R$ la fonction définie par\\ \[ \varphi(t) = \begin{cases} \Frac{e^t - e^{-t}}{2t} & \text{si } t \neq 0,\\ 1 & \text{si } t = 0. \end{cases} \]\\ Soit $f : \R \to \R$ définie par\\ \[ f(x) = \integrale{x}{2x}{\varphi(t)}{t} \]\\
  1. Montrer que $f$ est bien définie et étudier la parité de $f$.\\
  2. Justifier que $f$ est dérivable et calculer $f'(x)$.\\
  3. Dresser le tableau de variation de $f$. \\ Pour les limites, on pourra montrer d'abord que $\forall t \in \R, \varphi(t) \geqslant 1$.
Exercice 1116. Pour $x \neq 0$, on pose\\ \[ f(x) = \integrale{x}{2x}{\Frac{1}{\ln(1+t^2)}}{t} \]\\
  1. Justifier que $f$ est définie sur $\R^*$.\\
  2. Étudier la parité de $f$.\\
  3. Montrer que $f$ est dérivable sur $\R^*$ et donner les variations de $f$.

Exercice 1117. ESCCP 2014

\\ Pour tout réel $x$, on pose $\varphi(x)=\integrale{1}{e}{\Frac{\ln t}{1+x^{2}t^{2}}}{t}$.\\
  1. Montrer que $\varphi$ est ainsi bien définie sur $\R$, à valeurs strictement positives et paire.\\
    1. Prouver que pour tout $(x_0,x)\in \R^{2}$, $\left|\varphi(x)-\varphi(x_0)\right|\leqslant \left|x^{2}-x_{0}^{2}\right|\integrale{1}{e}{t^{2}\ln t}{t}$.\\
    2. En déduire la continuité de $\varphi$ sur $\R$.\\
    1. Prouver que $\varphi$ est dérivable en $0$ et calculer $\varphi'(0)$.\\
    2. Démontrer que $\varphi$ est dérivable sur $\R^*$.\\
  4. Étudier la monotonie de $\varphi$ sur $\R^+$.\\
    1. Calculer $\integrale{1}{e}{\Frac{\ln t}{t^{2}}}{t}$.\\
    2. Déterminer $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^{2}\varphi(x)$.

Exercice 1118. ESCP 2014

\\ On s’intéresse aux fonctions $f$ appartenant à l’ensemble $\mathcal{A}$ suivant.\\ $\mathcal{A}$ est l’ensemble des fonctions continues de $\R$ dans $\R$ qui vérifient les conditions suivantes.\\
  • $\forall (x,y)\in \R^{2},\; f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\quad (1)$.\\
  • $f$ n’est pas la fonction nulle.\\
  • $f$ s’annule au moins une fois sur $\R$.\\
    1. Montrer que $\mathcal{A}$ n’est pas vide et que toute fonction $f$ de $\mathcal{A}$ vérifie $f(0)=1$ et est paire.\\
  2. On note $B=\{\,x\geqslant 0\;;\; f(x)=0\,\}$.\\
    1. Montrer que $B$ admet une borne inférieure notée $a$ vérifiant $f(a)=0$ et $a>0$.\\
    2. En déduire que $\forall x\in [0,a[$, $f(x)>0$.\\
  3. Dans cette question, on pose pour $r\in \R^+$, $\lambda(r)=\integrale{0}{r}{f(u)}{u}$.\\
    1. Montrer successivement que.\\
      1. Il existe un réel $r>0$ tel que $\lambda(r)>0$.\\
      2. $\forall x\in \R$, $f(x)=\Frac{1}{2\lambda(r)}\left[\integrale{x}{x+r}{f(u)}{u}+\integrale{x-r}{x}{f(v)}{v}\right]$.\\
    2. En déduire que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\R$.\\
    3. Prouver l’existence d’une constante réelle $c$ telle que $\forall x\in \R$, $f''(x)=c\,f(x)$.