Exercices divers

Exercice 1107. Wallis

\\ Pour tout $n \in \N$, on pose $W_n = \integrale{0}{\pi/2}{\cos^n(t)}{t}$. \\
  1. Calculer $W_0$ et $W_1$. \\
  2. Montrer que $(W_n)$ est décroissante à valeurs $\geqslant 0$. \\
  3. Pour $n \geqslant 1$, exprimer $W_{n+1}$ en fonction de $W_{n-1}$. \\ En déduire que $(nW_nW_{n-1})_{n \geqslant 1}$ est constante. \\
  4. Montrer que $\Frac{n}{n+1} \ps{2} \leqslant nW_n^2 \leqslant \ps{2}$ et en déduire un équivalent simple de $(W_n)$.
Exercice 1108. On note, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $I_n=\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\tan^n x}{x}$.\\
  1. Calculer $I_n+I_{n+2}$ et en déduire $\limn I_n$.\\
    1. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\cos 2x\,\tan^n x}{x}=\Frac{1}{2}-nI_n$.\\
    2. En déduire un équivalent simple de $I_n$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini.
Exercice 1109. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \sin(u_n)$. \\
  1. Montrer que $u_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$. \\
  2. Déterminer $\alpha \in \mathbb{Z}$ tel que $u_{n+1}^{\alpha} - u_n^{\alpha} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \ell \in \mathbb{R}_+^*$. \\
  3. Donner un équivalent de $u_n$.

Exercice 1110. Oral X

\\ Soit $x_0 \in ]0,1[$. Montrer que la suite $(x_n)_{n \geqslant 0}$ définie par \[ \forall n \in \N, \;\; x_{n+1} = \sqrt{\Frac{1+x_n}{2}} \] converge et déterminer un équivalent de $1-x_n$.

Exercice 1111. Oral Mines-Pont

\\ Soit $n \in \N^*$. On pose $x_n = \min\{x > 0, \;\; \cos(nx) = e^{-x} \}$. \\
  1. Montrer que $x_n$ existe. \\
  2. Déterminer la limite de $x_n$. \\
  3. Déterminer un équivalent de $x_n$.
Exercice 1112. \\ On pose $u_n = \Frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}$ et $W_n = \integrale{0}{\pi/2}{\cos^n(t)}{t}$. \\
    1. Déterminer un équivalent de la suite $\parenthese{\ln\parenthese{\Frac{u_n}{u_{n-1}}}}_{ n\geqslant 2}$. \\
    2. En admettant que $\parenthese{\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k^2}}$ converge, montrer que $(u_n)_{n \geqslant 1}$ converge vers une limite $\ell > 0$. \\ On pourra par exemple minorer la suite $(\ln(u_n))_{n \geqslant 2}$ par une suite convergente. \\
  2. Exprimer pour tout $n \in \N$, $W_{2n}$ en fonction de $\displaystyle \binom{2n}{n}$. \\
  3. Montrer la formule de Stirling : $n! \sim \sqrt{2\pi n} \parenthese{\Frac{n}{e}}^n$.