Exercices divers

Exercice 2334. Wallis

1. Calculer $W_0$ et $W_1$. \\
2. Montrer que $(W_n)$ est décroissante à valeurs $\geqslant 0$. \\
3. Pour $n \geqslant 1$, exprimer $W_{n+1}$ en fonction de $W_{n-1}$. \\ En déduire que $(nW_nW_{n-1})_{n \geqslant 1}$ est constante. \\
4. Montrer que $\Frac{n}{n+1} \ps{2} \leqslant nW_n^2 \leqslant \ps{2}$ et en déduire un équivalent simple de $(W_n)$.

1. $o(1)+o(1)$\\
2. $O(1)+O(1)$\\
3. $o(1)+O(1)$\\
4. $o(1)\times o(1)$\\
5. $O(1)\times O(1)$\\
6. $o(1)\times O(1)$\\
7. $-o(1)$\\
8. $o(1)-o(1)$\\
9. $5o(1)$\\
10. $-\lambda O(1)$\\
11. $-28+O(1)$\\
12. $\lambda o(1)-\lambda^2O(1)$\\
13. $\sqrt{\lambda+o(1)}$\\
14. $\ln(1+o(1))$\\
15. $\dfrac{1}{1+o(1)}$\\
16. e^{o(1)}\\
17. o(1)^5

1. $n^2O(n^3)$\\
2. $\dfrac{1}{n^2}o(n)$\\
3. $o(n^2)\times o\parenthese{\dfrac{1}{n^3}}$\\
4. $o(e^{-n})\times O(n)$\\
5. $O(\ln(n))\times O\parenthese{\dfrac{1}{n^3}}$\\
6. $2o(\sqrt{n})+o(\sqrt{n})$\\
7. $O\parenthese{\dfrac{1}{n}}-O\parenthese{\dfrac{1}{n}}$\\
8. $o(e^{-n})-2O(e^{-n})$\\
9. $\dfrac{1}{n}\parenthese{o(\ln(n))-o(\ln(n))}$\\
10. $o(n+\ln(n))$\\
11. $o(n+5+\sin(n))$\\
12. $o\parenthese{\dfrac{1}{n+5}+\dfrac{1}{n^2}}$\\
13. $\dfrac{1}{n^3}+o\parenthese{\dfrac{1}{n}}$

1. On définit $f:x\in \mathbb{R}_+\mapsto xe^{x^2}\in \mathbb{R}_+$. Justifier que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}_+$. \\
2. Donner le développement limité à l’ordre $1$ de $f^{-1}$ en $e$. \\
3. Donner un équivalent simple de $f^{-1}(y)$ lorsque $y\to +\infty$. \\
4. Même question lorsque $y\to 0$.

1. Calculer $I_n+I_{n+2}$ et en déduire $\limn I_n$.\\
2. 1. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\cos 2x\,\tan^n x}{x}=\Frac{1}{2}-nI_n$.\\
   2. En déduire un équivalent simple de $I_n$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini.

1. 1. On suppose que $f\sim_a g$ et $\lim_{x\to a}g(x)=+\infty$. \\Justifier que $\ln(f(x))\sim_a \ln(g(x))$. \\
   2. En déduire un équivalent en $+\infty$ de $\ln(8x^7+3x^3+2x-1)$. \\
2. 1. Vérifier que la conclusion de la question précédente reste valable si on suppose seulement $f\sim_a g$ et $\lim_{x\to a}g(x)=\ell$ avec $\ell\in \mathbb{R}_+\setminus\{1\}$. \\
   2. Que dire si $\ell=1$ ?

1. \[ \dfrac{1}{x^2}+o\left(\dfrac{1}{x^2}\right)+3+\dfrac{1}{x}+o\left(\dfrac{1}{x}\right) \quad \mathrm{quand } x \to 0 \]
2. \[ x+o(x)+x\ln(x)+o(x^2\ln(x))+x^2+o(x^2) \quad \mathrm{quand } x \to 0 \]
3. \[ \dfrac{1}{n}+\dfrac{\ln(n)}{n}+o\left(\dfrac{\ln(n)}{n}\right)+\dfrac{1}{n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)+\dfrac{1}{n\ln(n)}+o\left(\dfrac{1}{n\ln(n)}\right) \quad \mathrm{quand } n \to +\infty \]

Exercice 2344. Mines-Pont

1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ assez grand, $P_n$ admet trois zéros, notés $a_n,b_n,c_n$, tels que : $0 < a_n < 1 < b_n < 3 < \Frac{2n+1}{3} < c_n$.\\
2. Montrer successivement : $c_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty$, $a_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$, $c_n \sim n$, $b_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 2$,$a_n \sim \Frac{1}{2n}$.

1. Trouver $\limn I_n$.\\
2. On considère, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $J_n=\integrale{0}{1}{\Frac{x^{2n-1}}{1+x^n}}{x}$.\\
   1. Montrer : $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $|I_n-J_n| \leqslant \Frac{1}{2n(n+1)}$.\\
   2. Calculer $J_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.\\
   3. En déduire un équivalent simple de $I_n$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini.

1. Etudier la monotonie de $(H_n)$ puis montrer que pour tout $n \in \N^*$, $H_{2n}-H_n \geqslant \Frac{1}{2}$. En déduire que $H_n \to +\infty$.\\
2. Montrer que $(H_n-\ln{n})_{n \in \N^*}$ et $(H_n-\ln(n+1))_{n \in \N^*}$ sont adjacentes. \\
3. Montrer que $S_n \to S_{\infty}$ et déterminer la valeur de $S_{\infty}$. \\
4. Montrer que $H_n \sim \ln(n)$.

1. Prouver que \[ u_n\sim \dfrac{\ln^2 n}{2}. \]
2. Prouver que la suite \[ \left(u_n-\dfrac{\ln^2 n}{2}\right) \] converge.

1. Montrer que $H_n\sim\ln n$ puis que $H_n\to +\infty$.\\
2. Montrer que les suites $(A_{2n})$ et $(A_{2n+1})$ sont adjacentes.\\ En déduire que la suite $(A_n)$ converge. On pose $l=\lim A_n$, montrer que $\Frac{1}{2} < l < 1$.\\
3. 1. On pose $u_n=H_n-\ln n$ et $v_n=H_{n-1}-\ln n$. Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.\\ On pose $\gamma=\lim u_n$ (constante d’Euler).\\
   2. Montrer que $H_n=\ln n+\gamma+o(1)$ quand $n\to +\infty$.\\
   3. Montrer que $H_{2n}-A_{2n}=H_n$. En déduire que $l=\ln 2$.

1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $I_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}I_{n-1}$.\\
2. En déduire une expression explicite de $I_{2p}$ et de $I_{2p+1}$ à l’aide de factorielles.\\
3. Montrer que pour tout $n \in \N$, $1 \geqslant \dfrac{I_{n+1}}{I_n} \geqslant \dfrac{n}{n+1}$.\\
4. En déduire la formule de Wallis :\\ \[ \limn \sqrt{p}\dfrac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \]

1. Montrer qu’il existe un réel $\alpha \neq 0$ qu’on déterminera tel que $S_n-S_{n-1}\sim \dfrac{\alpha}{n^2}$.\\
2. Justifier pour tout $n \in \N^*$, par une comparaison avec une intégrale,\\ \[ \Sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}\leqslant 2-\dfrac{1}{n} \]
3. En déduire que la suite $\parenthese{\Sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}}$ est convergente.\\
4. Justifier que pour $n$ assez grand, $0 \leqslant S_{n-1}-S_n \leqslant \dfrac{\beta}{n^2}$ avec $\beta \in \R_+$ à déterminer.\\
5. Montrer que la suite $\parenthese{\Sum_{k=1}^{n}(S_{k-1}-S_k)}$ est convergente. En déduire que $(S_n)$ est convergente.\\
6. Soit $n \in \N^*$ et $\sigma_n=\dfrac{n!e^n}{n^n\sqrt{n}}$. En considérant $\dfrac{\sigma_n^2}{\sigma_{2n}}$, déterminer la valeur de $S$.\\
7. En déduire la formule de Stirling du cours.

1. Montrer que \[ e^{u_n} \sim e^{v_n} \iff u_n-v_n=o(1). \]
2. On suppose que $u_n > 0$ à partir d’un certain rang. Montrer que si $u_n \sim v_n$ et $u_n \to +\infty$ alors $\ln(u_n)\sim \ln(v_n)$.\\ Montrer que si $u_n\ln(u_n)\sim n$ alors \[ u_n \sim \dfrac{n}{\ln(n)}. \]
3. Montrer que si $u_n=o(\sqrt{n})$ alors \[ \left(1+\dfrac{u_n}{n}\right)^n \sim e^{u_n}. \]

1. Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.\\
2. Montrer que \[ u_n=1-\dfrac{\ln(2)}{n}+o\left(\dfrac{1}{n}\right). \]

1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, cette équation admet une seule solution dans $\R_+^*$, notée $x_n$.
2. Montrer que la suite $(x_n)$ est croissante.
3. En déduire qu’elle converge et déterminer sa limite.

1. Montrer que, pour tout entier $n$, $u_n > 0$.
2. Montrer que la suite $(u_n)$ converge et calculer sa limite.
3. Étudier la série $\Sum u_n$.

Exercice 2359. X PC

Exercice 2360. X PC

1. Montrer que $u_n \sim \Frac{\ln^2 n}{2} \quad (n \to +\infty)$. \\
2. Montrer que la suite $v_n = u_n - \Frac{\ln^2 n}{2}$ est convergente.

1. 1. Déterminer un équivalent de la suite $\parenthese{\ln\parenthese{\Frac{u_n}{u_{n-1}}}}_{ n\geqslant 2}$. \\
   2. En admettant que $\parenthese{\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k^2}}$ converge, montrer que $(u_n)_{n \geqslant 1}$ converge vers une limite $\ell > 0$. \\ On pourra par exemple minorer la suite $(\ln(u_n))_{n \geqslant 2}$ par une suite convergente. \\
2. Exprimer pour tout $n \in \N$, $W_{2n}$ en fonction de $\displaystyle \binom{2n}{n}$. \\
3. Montrer la formule de Stirling : $n! \sim \sqrt{2\pi n} \parenthese{\Frac{n}{e}}^n$.

Exercice 2363. Mines-Pont

1. Montrer que $x_n$ existe. \\ On posera $\varphi_n(x) = \cos(nx)-e^{-x}$. \\
2. Déterminer la limite de $x_n$. \\
3. Déterminer un équivalent de $x_n$.

1. Effectuer l’étude complète de $f(x)=x-\ln(x)$ sur son domaine de définition. Tracer une allure de sa courbe représentative avec tous les éléments à disposition.\\
2. Calculer un développement limité à l’ordre $4$ de $f$ au voisinage de $1$ sous la forme \[ f(x)=\sum_{k=0}^{4} a_k(x-1)^k+o((x-1)^4). \]
3. Montrer que $f$ admet deux bijections réciproques $g$ et $h$, toutes les deux définies sur $[1,+\infty[$ et à valeurs dans $]0,1]$ et $[1,+\infty[$ respectivement.\\
4. Déterminer sur quel(s) intervalle(s) $h$ et $g$ sont dérivables. On admet en outre qu’elles y sont $C^{\infty}$.\\
5. Justifier que $g$ admet un développement limité à tout ordre au voisinage de $2$ de la forme \[ g(x)=\sum_{k=0}^{n} b_k(x-2)^k+o((x-2)^n). \]
6. Que vaut $b_0$ en fonction de $g$ ? On ne cherchera pas sa valeur exacte.\\
7. On écrit $g(x)=b_0+b_1(x-2)+o(x-2)$. En utilisant $f(g(x))=x$, montrer que l’on peut exprimer $b_1$ en fonction de $b_0$.\\
8. Retrouver la valeur de $b_1$ en utilisant la dérivée de $g$.\\
9. De la même façon, exprimer $b_2$ en fonction de $b_0$.

1. Justifier l’existence et l’unicité pour tout $n\in\N^*$ de la solution à l’équation $f(x)=n$ dans $[1,+\infty[$. On notera $x_n$ cette solution par la suite.\\
2. Montrer que $(x_n)$ est croissante et que $\limn x_n=+\infty$.\\
3. On cherche à obtenir dans cette question un développement asymptotique de $x_n$.\\ On écrit alors $x_n=(1+\varepsilon_n)n$ avec $\limn \varepsilon_n=0$.\\
   1. En utilisant l’équation $f(x_n)=n$, montrer que $x_n\sim n$.\\
   2. En introduisant l’expression précédente dans $f(x_n)=n$, montrer que $\varepsilon_n\sim \dfrac{\ln(n)}{n}$. On utilisera un développement limité de $\ln(1+x)$.\\ On écrit alors $x_n=n+\ln(n)+\alpha_n\ln(n)$ avec $\limn \alpha_n=0$.\\
   3. Montrer alors que \[ x_n=n+\ln(n)+u\Frac{\ln(n)}{n}+o\parenthese{\Frac{\ln(n)}{n}} \] avec $u$ que l’on déterminera.\\
   4. Application numérique : donner une valeur approchée, en explicitant la précision, de la solution dans $]1,+\infty[$ de l’équation $f(x)=1000$.

1. 1. Étudier les variations de $x\mapsto P_n(x)$ sur $\R$. En déduire que, pour tout $n\geqslant 2$, $a_n > 1$.\\
   2. Montrer que $P_n(2)\sim 4^n$. En déduire qu’à partir d’un certain rang, on a : $a_n < 2$.
2. On pose, pour tout $n\geqslant 2$, \[ \varepsilon_n=a_n-1. \]
   1. Montrer qu’il existe $(\eta_n)_{n\geqslant 2}$ convergeant vers $0$ telle que : \[ \ln(1+\varepsilon_n)=\dfrac{\ln(n)}{2n}+\dfrac{\ln(1+\varepsilon_n)}{2n}+\dfrac{\ln 2+\eta_n}{2n}. \]
   2. Montrer que : \[ \dfrac{\ln 2+\eta_n}{2n}=o\left(\dfrac{\ln n}{2n}\right) \qquad \mathrm{et} \qquad \dfrac{\ln(1+\varepsilon_n)}{2n}=o\left(\dfrac{\ln n}{2n}\right). \] En déduire un équivalent simple de $\ln(1+\varepsilon_n)$.\\
   3. Montrer que $\ln(1+\varepsilon_n)\sim \varepsilon_n$ et en déduire que : \[ a_n=1+\dfrac{\ln n}{2n}+o\left(\dfrac{\ln n}{n}\right). \]

1. Justifier que, pour un entier $n$ suffisamment grand, cette équation admet exactement $2$ solutions positives que l’on notera $a_{n}$ et $b_{n}$ avec $a_{n} < b_{n}$. \\
2. Justifier que $a_{n}$ converge vers une limite finie à déterminer et que $b_{n}$ converge dans $\overline{\R}=\R\cup\{-\infty,+\infty\}$. \\
3. Montrer $a_{n}\sim\dfrac{A}{n^{\delta}}$, où $A,\delta$ sont $2$ réels à déterminer. \\
4. Déterminer un équivalent simple de $a_{n}-\dfrac{A}{n^{\delta}}$. \\
5. Déterminer un équivalent simple de $b_{n}$ que l’on notera $\beta_{n}$. \\
6. Montrer que $(b_{n}-\beta_{n})$ converge vers $0$. \\
7. Déterminer un équivalent de $b_{n}-\beta_{n}$. \\
8. Déterminer un terme supplémentaire dans les développements asymptotiques de $(a_{n})$ et $(b_{n})$.

1. Montrer que $x_n$ existe.
2. Déterminer la limite de $(x_n)$.
3. Déterminer un équivalent de $x_n$.

1. Montrer que cette équation admet une unique solution réelle notée $x_n$.
2. Montrer que la suite $(x_n)$ a une limite $\ell$ que l’on déterminera.
3. Préciser la nature des séries de termes généraux $x_n$ et $x_n^2$.
4. Déterminer un équivalent de $x_n$.

1. Trouver un réel $\alpha$ tel que la suite $(\ln(n^\alpha u_n))$ converge.
2. On suppose que cette condition est vérifiée. Donner un équivalent de $(u_n)$.
3. Déterminer une condition sur $a,b,c,d$ pour que la série $\Sum u_n$ converge.

1. Soit $\alpha > 1$. Montrer que la somme \[ \Sum_{p=n+1}^{+\infty} p^{-\alpha} \] est bien définie et déterminer un équivalent lorsque $n \to +\infty$.
2. On suppose que $u_n \sim v_n$, $u$ étant une suite à termes strictement positifs, et que la série $\Sum u_n$ converge. Montrer que \[ \Sum_{p=n+1}^{+\infty} u_p \sim \Sum_{p=n+1}^{+\infty} v_p \]
3. Soit \[ U_n=\Sum_{p=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{p}} \] Montrer que \[ U_n=2\sqrt{n}+a+\frac{b}{\sqrt{n}}-\frac{1}{24n^{3/2}}+o\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right) \] où $(a,b)\in \R^2$.

1. Trouver $\alpha$ tel que \[ u_n=(1+a+b)\sqrt{n}+\frac{\alpha}{\sqrt{n}}+O\left(\frac{1}{n\sqrt{n}}\right) \]
2. Trouver les couples $(a,b)$ tels que la série $\Sum_{n \geqslant 1}u_n$ converge.

1. Montrer qu’il existe un unique $x > 0$ tel que $P_n(x)=0$ sur $\R_+^*$. On note cette solution $x_n$.\\
2. 1. Déterminer $x_1$ et $x_2$ et montrer que $x_5 < 1$.\\
   2. Étudier le signe de $P_n(x_{n+1})$ et en déduire la monotonie de $(x_n)_{n \geqslant 1}$ ainsi que sa convergence vers une limite $\ell$.\\
3. 1. Montrer que $\forall n \in \N^*,\quad x_n^{n+1}-5x_n+4=0$.\\
   2. Montrer que $\lim_{n \to +\infty}x_n^{n+1}=0$ et en déduire la valeur de $\ell$.\\
4. En posant $\delta_n=x_n-\ell$, montrer que $\delta_n=\dfrac{1}{5}x_n^{n+1}$ et en déduire que $\lim_{n \to +\infty} n\delta_n=0$.\\
5. Montrer qu’il existe $k > 0$ tel que $\delta_n \sim k\ell^{\,n+1}$ et déterminer $k$.

1. Étudier la suite $(x_n)$ : donner les variations et la limite de la suite.\\
2. La série de terme général \[ \frac{1}{x_{n+1}^2}-\frac{1}{x_n^2} \] converge-t-elle ?
3. Étudier la convergence de la série de terme général $x_{n+1}-x_n$ puis celle de la série de terme général $x_n^3$.\\
4. Étudier la nature de la série de terme général $x_n^2$.

Exercice 2376. Mines PSI

1. Montrer que l’application \[ k\longmapsto \binom{n}{k} \] est croissante sur $\{0,\ldots,\lfloor n/2 \rfloor\}$. En déduire que pour tout $k\in \{0,\ldots,n\}$, \[ \binom{n}{k}\leqslant \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}. \]
2. Trouver un équivalent de $\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$ quand $n\to +\infty$. En déduire qu’il existe un entier $n_0$ tel que pour $n\geqslant n_0$, \[ \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}\leqslant \Frac{2^n}{\sqrt{n}}. \]
3. Montrer que pour tout entier non nul $n$ et tout $k\in \{0,\ldots,n\}$, \[ \binom{n}{k}2^{k-1}\leqslant n^k. \] On note $(e_i,1\leqslant i\leqslant n)$ la base canonique de $\R^n$ et $v=\Sum_{i=1}^n e_i$. On identifie $\Omega_{1,n}$ et le sous-ensemble de $\R^n$ \[ \left\{\Sum_{i=1}^n \omega_i e_i,\; (\omega_1,\ldots,\omega_n)\in \Omega_{1,n}\right\}. \]
4. Pour tout $i\in \{1,\ldots,n\}$, exprimer $e_i$ en fonction de $v$ et $v-2e_i$. En déduire que $\mathrm{Vect}(\Omega_{1,n})=\R^n$.

Exercice 2377. Centrale PC 2017

• $\mathbb{N}$ désigne l’ensemble des entiers naturels. \\
• $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ désigne l’espace vectoriel des suites définies sur $\mathbb{N}$ à valeurs réelles. \\
• $E$ désigne le sous-ensemble de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ constitué des suites $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ convergentes telles que \\ \[ \exists N \in \mathbb{N},\;\forall k \geqslant N,\quad u_k \neq \limn u_n. \]
• À toute suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ appartenant à $E$ et de limite égale à $\ell$, on associe la suite $(u_n^c)_{n \in \mathbb{N}}$ définie à partir d’un certain rang par \\ \[ u_n^c=\left|\frac{u_{n+1}-\ell}{u_n-\ell}\right|. \]
• $E^c$ désigne l’ensemble des éléments $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $E$ tels que $(u_n^c)_{n \in \mathbb{N}}$ soit convergente. \\
• Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite appartenant à $E^c$ et soit $\ell^c$ la limite de $(u_n^c)_{n \in \mathbb{N}}$ ; on dit que la vitesse de convergence de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est : \\
  • lente si $\ell^c=1$, \\
  • géométrique de rapport $\ell^c$ si $\ell^c \in ]0,1[$, \\
  • rapide si $\ell^c=0$. \\
• Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite appartenant à $E$ et de limite égale à $\ell$, et soit $r$ un réel strictement supérieur à $1$ ; on dit que la vitesse de convergence de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ vers $\ell$ est d’ordre $r$ si la suite définie à partir d’un certain rang par \\ \[ \frac{u_{n+1}-\ell}{|u_n-\ell|^r} \] est bornée. \\
• On rappelle qu’une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est stationnaire si $\exists n_0 \in \mathbb{N},\;\forall n \geqslant n_0,\;u_n=u_{n_0}$. \\

1. Montrer que l’ensemble $E^c$ est non vide. \\
2. L’ensemble $E^c$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ? \\
3. Montrer que $E^c$ est strictement inclus dans $E$. \\
4. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ un élément de $E^c$. Montrer que $\ell^c$ appartient au segment $[0,1]$. \\

1. Soit $k$ un entier strictement positif et $q$ un réel appartenant à l’intervalle $]0,1[$. Montrer que les suites \\ \[ \left(\frac{1}{(n+1)^k}\right)_{n \in \mathbb{N}},\quad (n^kq^n)_{n \in \mathbb{N}} \quad \mathrm{et} \quad \left(\frac{1}{n!}\right)_{n \in \mathbb{N}} \] appartiennent à $E^c$ et donner leur vitesse de convergence. \\
2. On considère la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par \\ \[ \forall n \in \mathbb{N},\quad v_n=\left(1+\frac{1}{2^n}\right)^{2^n}. \] \startletters
3. Montrer qu’au voisinage de $+\infty$, \\ \[ v_n=e-\frac{e}{2^{n+1}}+o\left(\frac{1}{2^n}\right). \]
4. Montrer que la suite $(v_n)$ appartient à $E^c$ et donner sa vitesse de convergence.

Exercice 2378. X ENS

1. Justifier que pour tout $i \in \llbracket 0,n-1 \rrbracket$, $f_n$ atteint un maximum sur $]i,i+1[$.\\
2. On pose pour certains $x$ de $[0,n]$ à déterminer, $g_n(x)=\dfrac{f_n'(x)}{f_n(x)}$. Réduire l’expression de $g_n(x)$.\\
3. Montrer que $|f_n|$ admet son maximum sur $[i,i+1]$ en une unique valeur qui annule $g_n$.\\
4. Montrer que pour tout $x \in [0,1]$, $x(1-x)\in \ldots$\\
5. Pour tout $i \in \llbracket 0,n/2 \llbracket$, majorer $|f_n(x)|$ sur $[i,i+1]$ par une expression indépendante de $x$ que l’on notera $(u_i)$ : on attend que la suite $(u_i)$ soit décroissante et on montrera que pour tout $i \in \llbracket 1,n/2 \llbracket$, $u_i \leqslant \dfrac{(n-1)!}{2}$.\\
6. Montrer que pour tout $x \in [1,n-1]$, $|f_n(x)| \leqslant \dfrac{(n-1)!}{2}$.\\
7. Étudions sur $[0,1]$ : notons $a_n$ le maximum de $|f_n|$ sur cet intervalle. Donner un équivalent de $a_n$, puis de $|f_n(a_n)|$.\\
8. Conclure.

1. Montrer que $\Delta(f)$ est bien défini, et montrer l’existence d’une suite $(x_{n})_{n \in \N}$ d’éléments de $\R$ telle que $x_{n}^{2}+f(x_{n})^{2}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\Delta(f)$. \\
2. En déduire l’existence de $a \in \R$ tel que $\Delta(f)=a^{2}+f(a)^{2}$. \\
3. Montrer que $f(a)f'(a)=-a$.

1. Soit $n \in \N^{*}$. \\
   1. Montrer l’existence de $a_{n} \in \left[ 0,\dfrac{\pi}{2} \right]$ tel que $\delta_{n}=a_{n}^{2}+\cos^{2n}(a_{n})$. \\
   2. Montrer $a_{n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$.
2. 1. Montrer que pour $n$ suffisamment grand, \\ \[ \ln n=-\ln\left( \frac{\sin a_{n}}{a_{n}} \right)-(2n-1)\ln(\cos a_{n}) \]
   2. En déduire $a_{n}^{2}\sim\dfrac{\ln n}{n}$.
3. 1. Montrer $\ln\left( \dfrac{\sin a_{n}}{a_{n}} \right)=o\left( \dfrac{\ln^{2}n}{n} \right)$ et $\ln(\cos a_{n})=o\left( \dfrac{\ln^{2}n}{n} \right)$. \\
   2. En reprenant la relation obtenue à la question précédente et en effectuant un développement asymptotique à la précision $o\left( \dfrac{\ln^{2}n}{n} \right)$, montrer \\ \[ a_{n}^{2}=\frac{\ln n}{n}-\frac{\ln^{2}n}{6n^{2}}+o\left( \frac{\ln^{2}n}{n^{2}} \right) \]
   3. En déduire un développement asymptotique de $(\delta_{n})_{n \in \N^{*}}$ à la précision $o\left( \dfrac{\ln^{2}n}{n^{2}} \right)$.

1. Rappeler le développement limité à l’ordre $3$ en $0$ de la fonction tangente.\\
2. Montrer qu’il existe un unique $x_n \in I_n$ tel que $f(x_n)=0$.\\
3. Montrer que $x_n \sim n\pi$.\\ On pose $y_n=x_n-n\pi$.\\
4. Montrer que $y_n=\arctan(x_n)$ et que $\lim y_n=\dfrac{\pi}{2}$.\\
5. Montrer que $\tan\left(y_n-\dfrac{\pi}{2}\right)\sim y_n-\dfrac{\pi}{2}$ et déterminer $c \in \R$ tel que $y_n-\dfrac{\pi}{2}\sim \dfrac{c}{n}$.\\
6. Montrer que $\tan\left(y_n-\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{1}{n\pi}\right)=\dfrac{x_n\tan(1/n\pi)-1}{x_n+\tan(1/n\pi)}$.\\
7. Trouver $(a,b,c,d)\in \R^4$ tels que $x_n=an+b+\dfrac{c}{n}+\dfrac{d}{n^2}+o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$.