Exercices divers

Exercice 1041. Oral HEC

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  1. Etudier la limite éventuelle de la suite $(u_n)$ définie par $u_0 \in ]0,1[$ et $u_{n+1} = 1+\Frac{u_n}{n+1}$. \\
  2. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que pour $n$ voisin de $+\infty$, $u_n = 1 + \Frac{a}{n} + \Frac{b}{n^2} + o\parenthese{\Frac{1}{n^2}}$.
Exercice 1042. Déterminer la limite de la suite \[ u_n=\Frac{1}{n\sqrt{n}}\Sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}. \] \\ Puis donner un équivalent de $\Sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}$ en $+\infty$.\\
Exercice 1043. Montrer que si $P \in \R[x]$ est non nul alors $P(n)\sim an^p$ avec $a$ égal au coefficient dominant de $P$ et $p=\deg(P)$.
Exercice 1044. Calculer la limite de la suite définie pour les entiers $n \geqslant 3$ par \[ u_n=\parenthese{1-\Frac{2}{n}}^{3n} \]
Exercice 1045. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite telle que pour tout $n \in \N$, $u_n>0$ et $\ln\!\parenthese{\Frac{2}{u_n}} \sim \Frac{1}{n^2}$.\\ Montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ converge vers une limite $\ell$ (à déterminer) et donner un équivalent de $(u_n-\ell)$.
Exercice 1046. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite décroissante de réels telle que \[ u_n + u_{n+1} \sim \Frac{1}{n}. \] \\
  1. Montrer que $(u_n)$ converge vers $0^+$.\\
  2. Donner un équivalent simple de $(u_n)$.
Exercice 1047. Pour tout $n \geqslant 2$, on pose : \[ u_n=\Frac{\ln(n!)}{\ln(n^n)}. \] \\
    1. Montrer que pour tout $k \geqslant 2$ : \[ \integrale{k-1}{k}{\ln(t)}{t} \leqslant \ln(k) \leqslant \integrale{k}{k+1}{\ln(t)}{t}. \] \\
    2. En déduire un encadrement de $\ln(n!)$, puis de $u_n$ pour $n \geqslant 2$.\\
  2. Qu’en déduire pour les suites $(\ln(n!))_{n \geqslant 2}$ et $(\ln(n^n))_{n \geqslant 2}$ ?
Exercice 1048. Soient $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$, $(t_n)$ des suites de réels strictement positifs telles que \[ u_n \sim v_n \quad et \quad w_n \sim t_n. \] Montrer que $u_n+w_n \sim v_n+t_n$.
Exercice 1049. Montrer que, au voisinage de $+\infty$, \[ u_n=\integrale{n^2}{n^3}{\dfrac{dt}{1+t^2}}{} \sim \dfrac{1}{n^2}. \]

Exercice 1050. ESCP 2014

\\ Soit $(u_n)_{n\geqslant 0}$ une suite réelle. On définit la suite $(s_n)_{n\geqslant 0}$ en posant :\\ \[ \forall n \in \N,\; s_n=\Frac{u_0+\cdots+u_n}{n+1}. \]\\
  1. On suppose dans cette question que la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ est décroissante et tend vers $\ell \in \R$.\\
    1. Si $x \in \R$, on note $\lfloor x \rfloor$ la partie entière de $x$. Vérifier que la suite $\parenthese{\Frac{n-\lfloor \sqrt{n}\rfloor}{n+1}}_{n\geqslant 0}$ converge vers $1$ lorsque $n$ tend vers l’infini.\\
    2. Montrer que \[ \ell \leqslant s_n \leqslant \Frac{\lfloor \sqrt{n}\rfloor+1}{n+1}\,u_0+\Frac{n-\lfloor \sqrt{n}\rfloor}{n+1}\,u_{\lfloor \sqrt{n}\rfloor}. \]\\
    3. Montrer que la suite $(s_n)_{n\geqslant 0}$ converge vers $\ell$.\\
    4. Réciproquement, on suppose que la suite $(s_n)_{n\geqslant 0}$ converge vers $\ell \in \R$. Montrer alors que la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ converge aussi vers $\ell$ (on pourra raisonner par l’absurde).\\
  2. Dans cette question, on suppose que la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ converge vers $0$.\\
    1. Vérifier que $v_n=\sup\{\,|u_k|;\; k\geqslant n\,\}$ est bien défini.\\
    2. Montrer que la suite $(v_n)_{n\geqslant 0}$ est décroissante de limite nulle.\\
    3. En déduire que la suite $(s_n)_{n\geqslant 0}$ converge vers $0$.\\
  3. On suppose maintenant que la suite $(u_n)_{n\geqslant 0}$ converge vers $\ell \in \R$. Montrer que la suite des moyennes $(s_n)_{n\geqslant 0}$ converge aussi vers $\ell$. Donner un exemple simple prouvant que la réciproque est fausse.\\
  4. On considère la suite $(w_n)_{n\geqslant 0}$ définie par récurrence en posant :\\ \[ w_0=1 \quad et \quad w_{n+1}=w_n+e^{-w_n}. \]
    1. Étudier la suite $(w_n)_{n\geqslant 0}$.\\
    2. Prouver que $\limn \parenthese{e^{w_{n+1}}-e^{w_n}}=1$.\\
    3. En déduire un équivalent de $w_n$, lorsque $n$ tend vers l’infini.