Exercices divers

Exercice 1889. X PC

\\ Déterminer un équivalent de $u_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{2^k}{k}$.

Exercice 1890. X PC

\\ On pose, pour tout $n \geqslant 1$, $u_n=\Sum_{k=1}^{n} \Frac{\ln k}{k}$. \\
  1. Montrer que $u_n \sim \Frac{\ln^2 n}{2} \quad (n \to +\infty)$. \\
  2. Montrer que la suite $v_n = u_n - \Frac{\ln^2 n}{2}$ est convergente.

Exercice 1891. X ENS

\\ On pose pour tout $n \in \N$, $u_n = \parenthese{\Prod_{k=1}^{n}k^k}^{\frac{1}{n}}$. \\ Donner un équivalent de $(u_n)_{n \geqslant 1}$.

Exercice 1892. Mines-Pont

\\ Trouver un équivalent de $\Sum_{k=1}^{n} k!$.
Exercice 1893. On note, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\\ \[ P_n = X^3-(n+2)X^2+(2n+1)X-1 \in \mathbb{R}[X]. \]
  1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ assez grand, $P_n$ admet trois zéros, notés $a_n,b_n,c_n$, tels que : $0 < a_n < 1 < b_n < 3 < \Frac{2n+1}{3} < c_n$.\\
  2. Montrer successivement : $c_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty$, $a_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$, $c_n \sim n$, $b_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 2$,$a_n \sim \Frac{1}{2n}$.
Exercice 1894. On note, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $I_n=\integrale{0}{1}{\Frac{x^{2n}}{1+x^n}}{x}$.\\
  1. Trouver $\limn I_n$.\\
  2. On considère, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $J_n=\integrale{0}{1}{\Frac{x^{2n-1}}{1+x^n}}{x}$.\\
    1. Montrer : $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $|I_n-J_n| \leqslant \Frac{1}{2n(n+1)}$.\\
    2. Calculer $J_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.\\
    3. En déduire un équivalent simple de $I_n$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini.
Exercice 1895. \\ On pose $u_n = \Frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}$ et $W_n = \integrale{0}{\pi/2}{\cos^n(t)}{t}$. \\
    1. Déterminer un équivalent de la suite $\parenthese{\ln\parenthese{\Frac{u_n}{u_{n-1}}}}_{ n\geqslant 2}$. \\
    2. En admettant que $\parenthese{\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k^2}}$ converge, montrer que $(u_n)_{n \geqslant 1}$ converge vers une limite $\ell > 0$. \\ On pourra par exemple minorer la suite $(\ln(u_n))_{n \geqslant 2}$ par une suite convergente. \\
  2. Exprimer pour tout $n \in \N$, $W_{2n}$ en fonction de $\displaystyle \binom{2n}{n}$. \\
  3. Montrer la formule de Stirling : $n! \sim \sqrt{2\pi n} \parenthese{\Frac{n}{e}}^n$.
Exercice 1896. Pour tout $n \in \N^*$, on pose $H_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k}$ et $S_n = \Sum_{k=n+1}^{2n} \Frac{1}{k}$. \\
  1. Etudier la monotonie de $(H_n)$ puis montrer que pour tout $n \in \N^*$, $H_{2n}-H_n \geqslant \Frac{1}{2}$. En déduire que $H_n \to +\infty$.\\
  2. Montrer que $(H_n-\ln{n})_{n \in \N^*}$ et $(H_n-\ln(n+1))_{n \in \N^*}$ sont adjacentes. \\
  3. Montrer que $S_n \to S_{\infty}$ et déterminer la valeur de $S_{\infty}$. \\
  4. Montrer que $H_n \sim \ln(n)$.

Exercice 1897. Wallis

\\ Pour tout $n \in \N$, on pose $W_n = \integrale{0}{\pi/2}{\cos^n(t)}{t}$. \\
  1. Calculer $W_0$ et $W_1$. \\
  2. Montrer que $(W_n)$ est décroissante à valeurs $\geqslant 0$. \\
  3. Pour $n \geqslant 1$, exprimer $W_{n+1}$ en fonction de $W_{n-1}$. \\ En déduire que $(nW_nW_{n-1})_{n \geqslant 1}$ est constante. \\
  4. Montrer que $\Frac{n}{n+1} \ps{2} \leqslant nW_n^2 \leqslant \ps{2}$ et en déduire un équivalent simple de $(W_n)$.
Exercice 1898. \\
  1. On définit $f:x\in \mathbb{R}_+\mapsto xe^{x^2}\in \mathbb{R}_+$. Justifier que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}_+$ dans $\mathbb{R}_+$. \\
  2. Donner le développement limité à l’ordre $1$ de $f^{-1}$ en $e$. \\
  3. Donner un équivalent simple de $f^{-1}(y)$ lorsque $y\to +\infty$. \\
  4. Même question lorsque $y\to 0$.
Exercice 1899. Déterminer le développement asymptotique à trois termes significatifs de la suite $(u_n)$ définie par : $u_n$ est la seule solution à l'équation \[ e^x+1+nx=0. \]
Exercice 1900. On note, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $I_n=\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\tan^n x}{x}$.\\
  1. Calculer $I_n+I_{n+2}$ et en déduire $\limn I_n$.\\
    1. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\cos 2x\,\tan^n x}{x}=\Frac{1}{2}-nI_n$.\\
    2. En déduire un équivalent simple de $I_n$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini.
Exercice 1901. On considère pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ l’équation \[ e^x+x=n. \] Montrer qu’il existe une unique solution $x_n$ réelle positive.\\ Étudiez la suite ainsi définie. Trouvez un équivalent en $+\infty$ puis un développement asymptotique.
Exercice 1902. Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage de $a$ et à valeurs strictement positives.\\
    1. On suppose que $f\sim_a g$ et $\lim_{x\to a}g(x)=+\infty$. \\Justifier que $\ln(f(x))\sim_a \ln(g(x))$. \\
    2. En déduire un équivalent en $+\infty$ de $\ln(8x^7+3x^3+2x-1)$. \\
    1. Vérifier que la conclusion de la question précédente reste valable si on suppose seulement $f\sim_a g$ et $\lim_{x\to a}g(x)=\ell$ avec $\ell\in \mathbb{R}_+\setminus\{1\}$. \\
    2. Que dire si $\ell=1$ ?
Exercice 1903. Soient $f$, $g$, $h$ trois fonctions définies sur un intervalle $I$, tel que $h$ ne s’annule pas au voisinage de $a\in I$.\\ Montrer l’implication :\\ \[ f\leqslant g\leqslant h \qquad \text{et} \qquad f(x)\sim_{x\to a}h(x) \quad \Longrightarrow \quad g(x)\sim_{x\to a}f(x). \]
Exercice 1904. On pose \[ u_n=\Sum_{k=1}^n \dfrac{\ln k}{k}. \]
  1. Prouver que \[ u_n\sim \dfrac{\ln^2 n}{2}. \]
  2. Prouver que la suite \[ \left(u_n-\dfrac{\ln^2 n}{2}\right) \] converge.
Exercice 1905. Montrer que \[ \Sum_{k=1}^n k! \sim n! \quad \text{lorsque } n\to+\infty \]
Exercice 1906. On désigne par $\pi(n)$ le nombre de nombres premiers $\leqslant n$ et par $p_n$ le $n$-ième nombre premier ($p_1=2,p_2=3,p_3=5,\dots$).\\ En particulier, remarquer que $p_{\pi(n)}\leqslant n < p_{\pi(n)+1}$ et que $\pi(p_n)=n$.\\ Montrer que les deux énoncés suivants du "théorème des nombres premiers" ($1896$) sont équivalents :\\ \[ \pi(n)\sim\Frac{n}{\ln n}\Longleftrightarrow p_n\sim n\ln n. \]
Exercice 1907. On pose $H_n=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k}$ (série harmonique) et $A_n=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{(-1)^{k+1}}{k}$ (série harmonique alternée).\\
  1. Montrer que $H_n\sim\ln n$ puis que $H_n\to +\infty$.\\
  2. Montrer que les suites $(A_{2n})$ et $(A_{2n+1})$ sont adjacentes.\\ En déduire que la suite $(A_n)$ converge. On pose $l=\lim A_n$, montrer que $\Frac{1}{2} < l < 1$.\\
    1. On pose $u_n=H_n-\ln n$ et $v_n=H_{n-1}-\ln n$. Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.\\ On pose $\gamma=\lim u_n$ (constante d’Euler).\\
    2. Montrer que $H_n=\ln n+\gamma+o(1)$ quand $n\to +\infty$.\\
    3. Montrer que $H_{2n}-A_{2n}=H_n$. En déduire que $l=\ln 2$.

Exercice 1908. Mines-Pont

\\ Soit $n \in \N^*$. On pose $x_n = \min\{x > 0, \;\; \cos(nx) = e^{-x} \}$. \\
  1. Montrer que $x_n$ existe. \\ On posera $\varphi_n(x) = \cos(nx)-e^{-x}$. \\
  2. Déterminer la limite de $x_n$. \\
  3. Déterminer un équivalent de $x_n$.