Comparaison de suites

Exercice 2204. Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $\limn (u_{n+1}-u_n)=\ell\in\R$.\\ Montrer que $\Frac{u_n}{n}\displaystyle \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\ell$.
Exercice 2205.
  1. Simplifier au maximum les expressions suivantes en restant le plus précis possible. Les $O$ et $o$ sont en $x\to +\infty$.\\
    1. $o(x+1)$ \\
    2. $o(5x^2)-o(2x^3)$ \\
    3. $O(x)-O(x^2)$ \\
    4. $\ln(x)\parenthese{o(x)+o(x^2)}$ \\
    5. $O(2+x-3x^4)$ \\
    6. $o\!\parenthese{\frac{1}{x}}+o(1)$ \\
    7. $o\!\parenthese{x^2-2-\frac{1}{x^3}}$ \\
    8. $o\!\parenthese{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}$ \\
    9. $1+2x-x^2+o(x)$ \\
    10. $5x^5-3x^2+o(x^3)$ \\
    11. $-2+x^2-x^3+o(x+1)$ \\
    12. $1+\frac{1}{x}-x^2+o(x-x^2)$ \\
  2. Reprendre le même travail avec cette fois-ci les $o$ et $O$ en $x\to 0$.
Exercice 2206. Montrer que $u_n \sim v_n$ n'implique pas $a^{u_n} \sim a^{v_n}$
Exercice 2207. Montrer que $u_n \sim v_n$ n'implique pas $\ln{u_n} \sim \ln{v_n}$ en général.
Exercice 2208. Soit une suite $(\alpha_n)_{n\geqslant 0}$ de réels $\geqslant 1$ qui tend vers $+\infty$.\\ Montrer que $\ln{\alpha_n} \sim \ln{\lfloor \alpha_n \rfloor}$.
Exercice 2209. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles.\\ On suppose que $u_n \in o(v_n)$ et que $v_n \to +\infty$.\\ Montrer que $e^{u_n} \in o(e^{v_n})$.
Exercice 2210. Calculer les limites suivantes : \\
  1. $\limn \Frac{2^n-3^n}{2^n+3^n}$. \\
  2. $\limn n(n+1)^3-\parenthese{\Frac{e+\pi}{5}}^n + \sin(n!)\arctan(n)$. \\
  3. $\limn \Frac{2^n+n}{2^n}$. \\
  4. $\limn \Frac{(2n)!}{n!n^n}$. \\
  5. $\limn \parenthese{1+\Frac{x}{n}}^{n}$ avec $x \in \R$.
Exercice 2211. Donner un équivalent simple des suites suivantes : \\
  1. $u_n = (\sqrt{n}-[\ln{n}]^{7/2}+\sin(n))$. \\
  2. $u_n = \sqrt{n+1}+\sqrt{n}$. \\
  3. $u_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. \\
  4. $u_n = \parenthese{\Frac{(1-\cos{\frac{1}{n}})\cos{\frac{1}{n}}}{e^{\frac{1}{n^3}-1}}}$.
Exercice 2212. Trouver un équivalent simple aux suites $(u_n)$ suivantes et donner leur limite : \\
  1. $u_n = (n+3\ln{n})e^{-(n+1)}$. \\
  2. $u_n = \Frac{\ln(n^2+1)}{n+1}$. \\
  3. $u_n = \Frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt[3]{n^2-n+1}}$.
Exercice 2213. Soit $k$ un entier naturel fixé. Calculer la limite de $\dfrac{\binom{n}{k}}{n^k}$ lorsque $n \to +\infty$.
Exercice 2214.
  1. En déterminant un équivalent simple des termes généraux des suites suivantes, trouver leur limite :\\ \[ \dfrac{(8n-5n^2)(n^4+3)}{n^4+n^2+5} \quad ; \quad \dfrac{\sqrt{3n^2+5n+1}}{n+\sqrt{n}} \quad ; \quad \dfrac{2^n-5^n}{4^n+n^4}. \]
  2. Quelles sont les limites des termes généraux des suites suivantes ?\\ \[ n^2\sin\parenthese{\dfrac{2}{n}} \quad ; \quad n\ln\parenthese{1+\dfrac{1}{\sqrt{n}}} \quad ; \quad \parenthese{1-\dfrac{4}{n^2}}^n \quad ; \quad \dfrac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt[3]{n^2-n+1}}. \]
  1. En déterminant un équivalent simple des termes généraux des suites suivantes, trouver leur limite :\\ \[ \dfrac{(8n-5n^2)(n^4+3)}{n^4+n^2+5} \quad ; \quad \dfrac{\sqrt{3n^2+5n+1}}{n+\sqrt{n}} \quad ; \quad \dfrac{2^n-5^n}{4^n+n^4}. \]
  2. Quelles sont les limites des termes généraux des suites suivantes ?\\ \[ n^2\sin\parenthese{\dfrac{2}{n}} \quad ; \quad n\ln\parenthese{1+\dfrac{1}{\sqrt{n}}} \quad ; \quad \parenthese{1-\dfrac{4}{n^2}}^n \quad ; \quad \dfrac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt[3]{n^2-n+1}}. \]
Exercice 2215. Déterminer un équivalent simple quand $n \to +\infty$ de :\\
  1. $n+2$\\
  2. $\dfrac{1}{n}+2$\\
  3. $3e^{2n}+2n^4$\\
  4. $\dfrac{1}{2n^2}-\dfrac{3}{n}+e^{-n}$\\
  5. $(n+2)e^{n+3}$\\
  6. $(n^2+n+1)\ln(n)$
Exercice 2216. Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites à valeurs strictement positives, équivalentes et tendant vers $+\infty$.\\
  1. Montrer que $\ln(u_n)\sim \ln(v_n)$.\\
  2. Montrer qu’on n’a pas forcément $e^{u_n}\sim e^{v_n}$.\\
  3. Déterminer un équivalent simple de\\ \[ \dfrac{\ln(n^2+3n+2)}{\ln(n)} \quad \text{et} \quad \dfrac{n^2+1}{\ln(e^n+n)}. \]
Exercice 2217. Déterminer les limites des suites de terme général :\\
  1. $u_n=\dfrac{n\sqrt{n}-3n+6}{\sqrt{1+4n+n^3}}$\\
  2. $u_n=n\cos\parenthese{\dfrac{1}{n}}-n$\\
  3. $u_n=\sqrt{n}\parenthese{\ln(n+3)-\ln(n)}$\\
  4. $u_n=\dfrac{\exp\parenthese{\dfrac{1}{n^2}}-1}{\sqrt{1+\dfrac{3}{n}}-1}$
Exercice 2218. Réaliser un développement asymptotique de la suite considérée à la précision demandée :\\
  1. $u_n=\ln(n+1)$ à la précision $\Frac{1}{n^2}$.\\
  2. $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$ à la précision $\Frac{1}{n^2}$.\\
  3. $u_n=\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n}$ à la précision $\Frac{1}{n}$.\\
  4. $u_n=\left(1+\Frac{1}{n}\right)^n$ à la précision $\Frac{1}{n^2}$.
Exercice 2219. Déterminer un équivalent de \[ (n+1)^{1/n}-n^{1/(n+1)} \] lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 2220. Déterminer un équivalent, puis la limite de la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$ définie par \[ x_n = \sin\!\left(\Frac{\pi}{n}\right) + \sin\!\left(\Frac{2\pi}{n}\right) + \dots + \sin\!\left(\Frac{(n-1)\pi}{n}\right). \]
Exercice 2221. Donner un développement asymptotique de $u_n = \Frac{(-1)^n\sqrt{n}\sin\!\left(\Frac{1}{\sqrt{n}}\right)}{\sqrt{n}+(-1)^n}$. \\ On pose $a_n = \left(1+\Frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{-n}$. Montrer que $a_n = o\!\left(\Frac{1}{n^2}\right)$.
Exercice 2222. Le but de cet exercice est de montrer que $u_n=\left(\Frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)^n-1\sim\Frac{1}{\ln n}$.\\
  1. On pose $\alpha_n$ tel que $u_n=e^{\alpha_n}-1$. Trouver un équivalent de $\alpha_n$.\\
  2. En déduire que $\alpha_n\to 0$ et conclure.
Exercice 2223. VRAI ou FAUX (justifier)\\
  1. Si $(u_n)$ est convergente, alors $u_{n+1} \sim u_n$.\\
  2. Si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent et $\lim(u_n)=\lim(v_n)$, alors $u_n \sim v_n$.\\
  3. Si $u_n \sim \Frac{1}{n}$, alors $u_n+u_{n+1} \sim \Frac{2}{n}$.\\
  4. Si $u_n \sim \ln(n)$, alors $u_{n+1} \sim u_n$ et $u_{2n} \sim u_n$.\\
  5. Si $u_n \sim v_n$, alors $\exp(u_n) \sim \exp(v_n)$.\\
  6. Si $u_n \sim v_n$ et $v_n=o(w_n)$, alors $u_n=o(w_n)$.\\
  7. Si $u_n \to_{n\to+\infty} 0$ et $v_n \to_{n\to+\infty} 0$, alors $e^{u_n}-e^{v_n} \sim u_n-v_n$.
Exercice 2224. Soit $(u_n)\in\R^{\N^*}$ telle que $\forall n,k\in\N^*,\;0\leqslant u_n\leqslant \Frac{k}{n}+\Frac{1}{k}$.\\ Montrer que $u_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0$.
Exercice 2225. Donner un équivalent simple des suites suivantes : $u_n=\Frac{n^2+3n+2}{n-1}$, $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$, $u_n=\Sum_{k=n}^{2n}\Frac{k^2}{k+1}$.
Exercice 2226. Montrer que $u_n \in O(v_n)$ n'implique pas $a^{u_n} \in O(a^{v_n})$ et que $u_n \in o(v_n)$ n'implique pas $a^{u_n} \in o(a^{v_n})$.

Exercice 2227. CCP

\\ Montrer que, au voisinage de $+\infty$,\\ \[ u_n=\integrale{n^2}{n^3}{\Frac{1}{1+t^2}}{t}\sim \Frac{1}{n^2}. \]
Exercice 2228. Soit $(u_n)$ une suite décroissante de réels telle que $u_n+u_{n+1} \sim \Frac{1}{n}$.\\
  1. Montrer que $(u_n)$ converge vers $0^+$.\\
  2. Donner un équivalent simple de $(u_n)$.

Exercice 2229. CCP

\\ On considère deux suites numériques $(u_n)_{n\in\N}$ et $(v_n)_{n\in\N}$ telles que $(v_n)_{n\in\N}$ est non nulle à partir d’un certain rang et $u_n \sim v_n$.\\
  1. Démontrer que $u_n$ et $v_n$ sont de même signe à partir d’un certain rang.\\
  2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de : $u_n=\sh\left(\Frac{1}{n}\right)-\tan\left(\Frac{1}{n}\right)$.
Exercice 2230. Ranger par ordre de négligeabilité les suites suivantes :\\ \[ a_n=\ln(n), \quad b_n=n^3, \quad c_n=7^n, \quad d_n=\exp(n), \quad e_n=n!, \quad f_n=n^{0,01}, \quad g_n=\sqrt{\ln(n)}, \quad h_n=2^n, \quad i_n=n^{15}, \quad j_n=(\ln(n))^{18}. \]
Exercice 2231. Donner un équivalent simple pour chacune des suites $(u_n)$ définies par :\\
  1. $u_n=n^3-4n^4+3n$\\
  2. $u_n=\exp\parenthese{\dfrac{1}{\sqrt{n}}}-\exp(n)$\\
  3. $u_n=n!+10n^7$\\
  4. $u_n=3n^6+5^n-8^n$\\
  5. $u_n=\sqrt{n+4}+\sqrt{n+5}$\\
  6. $u_n=\sqrt{n^2+1}-n$\\
  7. $u_n=\dfrac{\sin\parenthese{\dfrac{1}{n}}}{\cos\parenthese{\dfrac{1}{n}}-1}$\\
  8. $u_n=\dfrac{\sin\parenthese{\dfrac{1}{n}}}{\cos^2\parenthese{\dfrac{1}{n}}}$
Exercice 2232. \\
  1. Si $\limn x_n=\limn y_n$, alors $x_n \sim y_n$. Est-ce vrai ?\\
  2. Soit $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites convergentes dans $\overline{\R}$ et on les suppose équivalentes.\\ A-t-on alors $\limn x_n=\limn y_n$ ?\\ A-t-on alors $\limn (x_n-y_n)=0$ ?
Exercice 2233. Une suite $(u_n)$ positive vérifie : pour tout $n \geqslant 2$,\\ \[ 2n+1 \leqslant u_n^2 \leqslant 2n+\dfrac{5}{2}+\dfrac{\ln(n-1)}{2}. \] Donner un équivalent de la suite $(u_n)$.
Exercice 2234.
  1. Donner, en justifiant, un équivalent le plus simple possible de $u_n$ dans les cas suivants :\\
    1. $\dfrac{n^2+n\sin(n)}{e^n+1}$\\
    2. $\ln(1+e^{-n})\,n$\\
    3. \[ \left(\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}-1\right)(n+\ln(n)) \]
  2. Soit $n \in \N^*$. Montrer que\\ \[ 0 \leqslant \Sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{k!}{n!}\leqslant \dfrac{1}{n}+\dfrac{n-2}{n(n-1)}. \] En déduire un équivalent de \[ \Sum_{k=1}^{n}k!. \]
Exercice 2235. Déterminer des équivalents simples aux suites de terme général suivants. Le cas échéant, donner leur limite :\\
  1. $((n+3)\ln(n))e^{-n+1}$\\
  2. $\dfrac{\ln(n^2+1)}{n+1}$\\
  3. $\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+1}$\\
  4. $\ln\parenthese{\sin\parenthese{\dfrac{1}{n}}}$\\
  5. $\dfrac{3}{5n^2+1}$\\
  6. $(2n-\ln(n))^3$\\
  7. $\dfrac{\ln(n^2+1)}{\ln(n+1)}$\\
  8. \[ \left(\dfrac{n+e^n}{1+e^{2n}}\right)^2 \]
  9. \[ \sqrt{\dfrac{2}{n^4}+\dfrac{2}{n^2}} \]
  10. \[ \dfrac{n\ln(n^2+n)+2n}{(n+1)^2\ln(n^5+1)} \]
Exercice 2236.
  1. Montrer que l’équation $x^5+tx-1=0$ d’inconnue $x \in [0,1]$ possède une et une seule solution $x_t$ pour tout $t \geqslant 0$.\\
  2. Montrer que $\lim_{t \to +\infty}x_t=0$.\\
  3. Montrer que $x_t \sim \dfrac{1}{t}$ puis calculer un équivalent simple de $x_t-\dfrac{1}{t}$ quand $t \to +\infty$.
Exercice 2237. Soient $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ deux suites réelles positives avec $u_n \sim v_n$.\\ Soient $U_n=\Sum_{k=0}^{n}u_k$ et $V_n=\Sum_{k=0}^{n}v_k$.\\ Montrer que si $V_n \to +\infty$, alors $U_n \sim V_n$.
Exercice 2238. Soit $(u_n)_{n\geqslant 1}$ définie par \[ u_1=1,\qquad u_2=u_3=2,\qquad u_4=u_5=u_6=3,\dots \] Elle prend une fois la valeur $1$, deux fois la valeur $2$, trois fois la valeur $3$ et ainsi de suite.\\ Donner une expression du terme général à l’aide de la fonction partie entière, et un équivalent de $u_n$.
Exercice 2239. Soit $u_n=\Frac{1}{n^n}$.\\ Montrer que $\Sum_{k=n}^{2n}u_k\sim u_n$.
Exercice 2240. Donner des équivalents au voisinage de $+\infty$ de : \\
  • $u_n=\left(\Frac{\ln(n+a)}{\ln(n+b)}\right)^{n\ln n}$. \\
  • $a_n=\arccos\!\left(\Frac{2}{\pi}\arctan(n^2)\right)$.
Exercice 2241. Calculer $\limn n^2\left((n+1)^{\frac{1}{n+1}}-n^{\frac{1}{n}}\right)$.
Exercice 2242. Soit $x \in \R$ fixé. On pose : $\forall n \in \N^*,\;u_n=\left(\cos\left(\Frac{x}{\sqrt{n}}\right)\right)^n$.\\ Donner la limite $(u_n)$ et un équivalent de $u_n-e^{-x^2/2}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 2243. On note $(u_n)$ la suite définie par $u_1 = 1$ et, pour tout $n \geqslant 1$, $u_{n+1} = \left(n+u_n^{\,n-1}\right)^{\frac{1}{n}}$. \\
  1. Déterminer la limite de $u_n$. \\
  2. Donner un développement de $u_n$ en $o\!\left(\Frac{1}{n}\right)$.
Exercice 2244. Déterminer un équivalent simple de chacune des suites : \\
  1. $u_n = \Frac{n^2+e^{-2n}+\sqrt{n^5}}{\ln(2n)+2n-3}$ \\
  2. $u_n = (n+3\ln(n))e^{-(n+1)}$ \\
  3. $u_n = \Frac{\ln(n^2+1)}{n^2+1}$ \\
  4. $u_n = \ln\parenthese{\Frac{n^2+1}{n^2+2}}$ \\
  5. $u_n = \sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}$\\
  6. $u_n = \Sum_{k=0}^{n} k!$ \\
  7. $u_n = \Frac{n^{\sqrt{n+1}}}{(n+1)^{\sqrt{n}}}$.
Exercice 2245. Partie A\\
  1. Montrer que pour tout entier $k \geqslant 2$, on a\\ $\integrale{k-1}{k}{\ln(t)}{t}\leqslant \ln(k)\leqslant \integrale{k}{k+1}{\ln(t)}{t}$.\\
  2. En déduire un encadrement de $\ln(n!)$ pour tout entier $n \geqslant 2$.\\
  3. Montrer que $\ln(n!)\sim \ln(n^n)$.\\
On n’a cependant pas $n! \sim n^n$. Une formule appelée formule de Stirling donne un équivalent de $n!$ :\\ \[ n!\sim \sqrt{2\pi n}\, n^n e^{-n}. \] Partie B\\ On pose pour $n \in \N^*$, $H_n=\Sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}$.\\
  1. Soit $k \in \N^*$, justifier que\\ $\dfrac{1}{k+1}\leqslant \integrale{k}{k+1}{\dfrac{1}{t}}{t}\leqslant \dfrac{1}{k}$.\\
  2. En déduire que\\ $H_n-1\leqslant \ln(n)\leqslant H_n-\dfrac{1}{n}$.\\
  3. Conclure en prouvant que $H_n\sim \ln(n)$.
Exercice 2246. Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs ou nuls. \\ Montrer que $a_n = o(\sqrt{n}) \Longleftrightarrow e^{a_n} \sim \left(1+\Frac{a_n}{n}\right)^n$.
Exercice 2247. Soit $(X_1,\ldots,X_N)$ des variables aléatoires indépendantes telles que \[ \mathbb{P}(X_i=1)=\mathbb{P}(X_i=-1)=\frac{1}{2}. \] On pose \[ S_N=\frac{1}{N}\Sum_{i=1}^N X_i. \] On admet la formule de Stirling : \[ n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n. \] On définit \[ I(x)=\frac{1+x}{2}\ln\left(\frac{1+x}{2}\right)+\frac{1-x}{2}\ln\left(\frac{1-x}{2}\right). \] Soit $(x_N)$ une suite telle que $x_N\in S_N(\Omega)$ et $x_N\to x\in ]-1,1[$.\\ Montrer que \[ -\frac{1}{N}\ln\left(\mathbb{P}(S_N=x_N)\right)\to I(x)+\ln(2) \]
Exercice 2248. La suite \[ \left(\Frac{1}{n}\left(\Frac{(2n)!}{n!}\right)^{\frac{1}{n}}\right)_{n\geqslant 1} \] converge-t-elle ? Si oui, vers quelle limite ?
Exercice 2249. Donner la limite de la suite de terme général : \[ A_n=\Prod_{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n}\right)^{1/n}. \] Même question pour la suite de terme général : \[ B_n=\Prod_{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n^2}\right). \]
Exercice 2250. \\
  1. Donner les développements de Taylor avec reste intégral de l'exponentielle entre $0$ et $1$. \\
  2. En déduire la convergence, et préciser la limite, de la suite \[ u_n=n\sin(2\pi n!e). \]
Exercice 2251. Calculer la limite de $(u_n)$ de terme général : \\ \[ \forall n \in \N, \; u_n=\sin\!\parenthese{\Frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}}. \]

Exercice 2252. X

\\ Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite décroissante de réels positifs. Pour $u\geqslant 0$ et $x>1$, on pose \[ f_u(x)=\sum_{u < n \leqslant ux}a_n. \] Montrer l’équivalence des deux conditions suivantes : \\ (i) $\forall x > 1,\; f_u(x)$ a une limite finie lorsque $u\to +\infty$ \\ (ii) $(na_n)_{n\geqslant 0}$ converge.