Comparaison de suites

Exercice 1800. Soient $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ deux suites réelles positives avec $u_n \sim v_n$.\\ Soient $U_n=\Sum_{k=0}^{n}u_k$ et $V_n=\Sum_{k=0}^{n}v_k$.\\ Montrer que si $V_n \to +\infty$, alors $U_n \sim V_n$.
Exercice 1801. Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs ou nuls. \\ Montrer que $a_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0 \Longleftrightarrow e^{a_n} \sim \left(1+\Frac{a_n}{n}\right)^n$.
Exercice 1802. Réaliser un développement asymptotique de la suite considérée à la précision demandée :\\
  1. $u_n=\ln(n+1)$ à la précision $\Frac{1}{n^2}$.\\
  2. $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$ à la précision $\Frac{1}{n^2}$.\\
  3. $u_n=\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n}$ à la précision $\Frac{1}{n}$.\\
  4. $u_n=\left(1+\Frac{1}{n}\right)^n$ à la précision $\Frac{1}{n^2}$.
Exercice 1803. Déterminer un équivalent de \[ (n+1)^{1/n}-n^{1/(n+1)} \] lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 1804. Déterminer un équivalent, puis la limite de la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$ définie par \[ x_n = \sin\!\left(\Frac{\pi}{n}\right) + \sin\!\left(\Frac{2\pi}{n}\right) + \dots + \sin\!\left(\Frac{(n-1)\pi}{n}\right). \]
Exercice 1805. Donner un développement asymptotique de $u_n = \Frac{(-1)^n\sqrt{n}\sin\!\left(\Frac{1}{\sqrt{n}}\right)}{\sqrt{n}+(-1)^n}$. \\ On pose $a_n = \left(1+\Frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{-n}$. Montrer que $a_n = o\!\left(\Frac{1}{n^2}\right)$.
Exercice 1806. Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $\limn (u_{n+1}-u_n)=\ell\in\R$.\\ Montrer que $\Frac{u_n}{n}\displaystyle \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}\ell$.
Exercice 1807. Soit $(a_n)$ une suite réelle à termes strictement positifs. On pose \[ b_n=n\left(\frac{1+a_{n+1}}{a_n}-1\right). \] Montrer que \[ \limsup_{n\to+\infty} b_n\geqslant 1. \]
Exercice 1808. Soit $(u_n)_{n\geqslant 1}$ définie par \[ u_1=1,\qquad u_2=u_3=2,\qquad u_4=u_5=u_6=3,\dots \] Elle prend une fois la valeur $1$, deux fois la valeur $2$, trois fois la valeur $3$ et ainsi de suite.\\ Donner une expression du terme général à l’aide de la fonction partie entière, et un équivalent de $u_n$.
Exercice 1809.
  1. Simplifier au maximum les expressions suivantes en restant le plus précis possible. Les $O$ et $o$ sont en $x\to +\infty$.\\
    1. $o(x+1)$ \\
    2. $o(5x^2)-o(2x^3)$ \\
    3. $O(x)-O(x^2)$ \\
    4. $\ln(x)\parenthese{o(x)+o(x^2)}$ \\
    5. $O(2+x-3x^4)$ \\
    6. $o\!\parenthese{\frac{1}{x}}+o(1)$ \\
    7. $o\!\parenthese{x^2-2-\frac{1}{x^3}}$ \\
    8. $o\!\parenthese{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}$ \\
    9. $1+2x-x^2+o(x)$ \\
    10. $5x^5-3x^2+o(x^3)$ \\
    11. $-2+x^2-x^3+o(x+1)$ \\
    12. $1+\frac{1}{x}-x^2+o(x-x^2)$ \\
  2. Reprendre le même travail avec cette fois-ci les $o$ et $O$ en $x\to 0$.
Exercice 1810. Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite décroissante de réels positifs. Pour $u\geqslant 0$ et $x>1$, on pose \[ f_u(x)=\sum_{u < n \leqslant ux}a_n. \] Montrer l’équivalence des deux conditions suivantes : \[ \text{(i)}\quad \forall x > 1,\; f_u(x)\;\text{a une limite finie lorsque }u\to +\infty \] et \[ \text{(ii)}\quad (na_n)_{n\geqslant 0}\;\text{converge}. \]
Exercice 1811. Le but de cet exercice est de montrer que $u_n=\left(\Frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)^n-1\sim\Frac{1}{\ln n}$.\\
  1. On pose $\alpha_n$ tel que $u_n=e^{\alpha_n}-1$. Trouver un équivalent de $\alpha_n$.\\
  2. En déduire que $\alpha_n\to 0$ et conclure.
Exercice 1812. Soit $u_n=\Frac{1}{n^n}$.\\ Montrer que $\Sum_{k=n}^{2n}u_k\sim u_n$.
Exercice 1813. Donner des équivalents au voisinage de $+\infty$ de : \\
  • $u_n=\left(\Frac{\ln(n+a)}{\ln(n+b)}\right)^{n\ln n}$. \\
  • $a_n=\arccos\!\left(\Frac{2}{\pi}\arctan(n^2)\right)$.
Exercice 1814. VRAI ou FAUX (justifier)\\
  1. Si $(u_n)$ est convergente, alors $u_{n+1} \sim u_n$.\\
  2. Si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent et $\lim(u_n)=\lim(v_n)$, alors $u_n \sim v_n$.\\
  3. Si $u_n \sim \Frac{1}{n}$, alors $u_n+u_{n+1} \sim \Frac{2}{n}$.\\
  4. Si $u_n \sim \ln(n)$, alors $u_{n+1} \sim u_n$ et $u_{2n} \sim u_n$.\\
  5. Si $u_n \sim v_n$, alors $\exp(u_n) \sim \exp(v_n)$.\\
  6. Si $u_n \sim v_n$ et $v_n=o(w_n)$, alors $u_n=o(w_n)$.\\
  7. Si $u_n \to_{n\to+\infty} 0$ et $v_n \to_{n\to+\infty} 0$, alors $e^{u_n}-e^{v_n} \sim u_n-v_n$.
Exercice 1815. Soit $(u_n)\in\R^{\N^*}$ telle que $\forall n,k\in\N^*,\;0\leqslant u_n\leqslant \Frac{k}{n}+\Frac{1}{k}$.\\ Montrer que $u_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0$.
Exercice 1816. Donner un équivalent simple des suites suivantes : $u_n=\Frac{n^2+3n+2}{n-1}$, $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$, $u_n=\Sum_{k=n}^{2n}\Frac{k^2}{k+1}$.
Exercice 1817. Montrer que $u_n \sim v_n$ n'implique pas $a^{u_n} \sim a^{v_n}$
Exercice 1818. Montrer que $u_n \sim v_n$ n'implique pas $\ln{u_n} \sim \ln{v_n}$ en général.
Exercice 1819. Soit une suite $(\alpha_n)_{n\geqslant 0}$ de réels $\geqslant 1$ qui tend vers $+\infty$.\\ Montrer que $\ln{\alpha_n} \sim \ln{\lfloor \alpha_n \rfloor}$.
Exercice 1820. Montrer que $u_n \in O(v_n)$ n'implique pas $a^{u_n} \in O(a^{v_n})$ et que $u_n \in o(v_n)$ n'implique pas $a^{u_n} \in o(a^{v_n})$.
Exercice 1821. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles.\\ On suppose que $u_n \in o(v_n)$ et que $v_n \to +\infty$.\\ Montrer que $e^{u_n} \in o(e^{v_n})$.
Exercice 1822. Calculer $\limn n^2\left((n+1)^{\frac{1}{n+1}}-n^{\frac{1}{n}}\right)$.
Exercice 1823. Soit $x \in \R$ fixé. On pose : $\forall n \in \N^*,\;u_n=\left(\cos\left(\Frac{x}{\sqrt{n}}\right)\right)^n$.\\ Donner la limite $(u_n)$ et un équivalent de $u_n-e^{-x^2/2}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 1824. On note $(u_n)$ la suite définie par $u_1 = 1$ et, pour tout $n \geqslant 1$, $u_{n+1} = \left(n+u_n^{\,n-1}\right)^{\frac{1}{n}}$. \\
  1. Déterminer la limite de $u_n$. \\
  2. Donner un développement de $u_n$ en $o\!\left(\Frac{1}{n}\right)$.
Exercice 1825. Déterminer un équivalent simple de chacune des suites : \\
  1. $u_n = \Frac{n^2+e^{-2n}+\sqrt{n^5}}{\ln(2n)+2n-3}$ \\
  2. $u_n = (n+3\ln(n))e^{-(n+1)}$ \\
  3. $u_n = \Frac{\ln(n^2+1)}{n^2+1}$ \\
  4. $u_n = \ln\parenthese{\Frac{n^2+1}{n^2+2}}$ \\
  5. $u_n = \sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}$\\
  6. $u_n = \Sum_{k=0}^{n} k!$ \\
  7. $u_n = \Frac{n^{\sqrt{n+1}}}{(n+1)^{\sqrt{n}}}$.
Exercice 1826. Calculer les limites suivantes : \\
  1. $\limn \Frac{2^n-3^n}{2^n+3^n}$. \\
  2. $\limn n(n+1)^3-\parenthese{\Frac{e+\pi}{5}}^n + \sin(n!)\arctan(n)$. \\
  3. $\limn \Frac{2^n+n}{2^n}$. \\
  4. $\limn \Frac{(2n)!}{n!n^n}$. \\
  5. $\limn \parenthese{1+\Frac{x}{n}}^{n}$ avec $x \in \R$.
Exercice 1827. Donner un équivalent simple des suites suivantes : \\
  1. $u_n = (\sqrt{n}-[\ln{n}]^{7/2}+\sin(n))$. \\
  2. $u_n = \sqrt{n+1}+\sqrt{n}$. \\
  3. $u_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. \\
  4. $u_n = \parenthese{\Frac{(1-\cos{\frac{1}{n}})\cos{\frac{1}{n}}}{e^{\frac{1}{n^3}-1}}}$.

Exercice 1828. CCP

\\ Montrer que, au voisinage de $+\infty$,\\ \[ u_n=\integrale{n^2}{n^3}{\Frac{1}{1+t^2}}{t}\sim \Frac{1}{n^2}. \]
Exercice 1829. Trouver un équivalent simple aux suites $(u_n)$ suivantes et donner leur limite : \\
  1. $u_n = (n+3\ln{n})e^{-(n+1)}$. \\
  2. $u_n = \Frac{\ln(n^2+1)}{n+1}$. \\
  3. $u_n = \Frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt[3]{n^2-n+1}}$.
Exercice 1830. Soit $(u_n)$ une suite décroissante de réels telle que $u_n+u_{n+1} \sim \Frac{1}{n}$.\\
  1. Montrer que $(u_n)$ converge vers $0^+$.\\
  2. Donner un équivalent simple de $(u_n)$.

Exercice 1831. CCP

\\ On considère deux suites numériques $(u_n)_{n\in\N}$ et $(v_n)_{n\in\N}$ telles que $(v_n)_{n\in\N}$ est non nulle à partir d’un certain rang et $u_n \sim v_n$.\\
  1. Démontrer que $u_n$ et $v_n$ sont de même signe à partir d’un certain rang.\\
  2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de : $u_n=\sh\left(\Frac{1}{n}\right)-\tan\left(\Frac{1}{n}\right)$.