Comparaison de suites

Exercice 1090. Donner un développement asymptotique de $u_n = \Frac{(-1)^n\sqrt{n}\sin\!\left(\Frac{1}{\sqrt{n}}\right)}{\sqrt{n}+(-1)^n}$. \\ On pose $a_n = \left(1+\Frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{-n}$. Montrer que $a_n = o\!\left(\Frac{1}{n^2}\right)$.
Exercice 1091. Déterminer un équivalent, puis la limite de la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$ définie par \[ x_n = \sin\!\left(\Frac{\pi}{n}\right) + \sin\!\left(\Frac{2\pi}{n}\right) + \dots + \sin\!\left(\Frac{(n-1)\pi}{n}\right). \]

Exercice 1092. CCP

\\ On considère deux suites numériques $(u_n)_{n\in\N}$ et $(v_n)_{n\in\N}$ telles que $(v_n)_{n\in\N}$ est non nulle à partir d’un certain rang et $u_n \sim v_n$.\\
  1. Démontrer que $u_n$ et $v_n$ sont de même signe à partir d’un certain rang.\\
  2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de : $u_n=\sh\left(\Frac{1}{n}\right)-\tan\left(\Frac{1}{n}\right)$.
Exercice 1093. Soit $(u_n)$ une suite décroissante de réels telle que $u_n+u_{n+1} \sim \Frac{1}{n}$.\\
  1. Montrer que $(u_n)$ converge vers $0^+$.\\
  2. Donner un équivalent simple de $(u_n)$.
Exercice 1094. Donner des équivalents au voisinage de $+\infty$ de : \\
  • $u_n=\left(\Frac{\ln(n+a)}{\ln(n+b)}\right)^{n\ln n}$. \\
  • $a_n=\arccos\!\left(\Frac{2}{\pi}\arctan(n^2)\right)$.
Exercice 1095. Soient $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ deux suites réelles positives avec $u_n \sim v_n$.\\ Soient $U_n=\Sum_{k=0}^{n}u_k$ et $V_n=\Sum_{k=0}^{n}v_k$.\\ Montrer que si $V_n \to +\infty$, alors $U_n \sim V_n$.
Exercice 1096. Soit $x \in \R$ fixé. On pose : $\forall n \in \N^*,\;u_n=\left(\cos\left(\Frac{x}{\sqrt{n}}\right)\right)^n$.\\ Donner la limite $(u_n)$ et un équivalent de $u_n-e^{-x^2/2}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 1097. Calculer $\limn n^2\left((n+1)^{\Frac{1}{n+1}}-n^{\Frac{1}{n}}\right)$.
Exercice 1098. On note $(u_n)$ la suite définie par $u_1 = 1$ et, pour tout $n \geqslant 1$, $u_{n+1} = \left(n+u_n^{\,n-1}\right)^{\frac{1}{n}}$. \\
  1. Déterminer la limite de $u_n$. \\
  2. Donner un développement de $u_n$ en $o\!\left(\Frac{1}{n}\right)$.
Exercice 1099. Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs ou nuls. \\ Montrer que $a_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0 \Longleftrightarrow e^{a_n} \sim \left(1+\Frac{a_n}{n}\right)^n$.