Calcul d'équivalents

Exercice 1284. Trouver un équivalent simple aux suites $(u_n)$ suivantes et donner leur limite : \\
  1. $u_n = (n+3\ln{n})e^{-(n+1)}$. \\
  2. $u_n = \Frac{\ln(n^2+1)}{n+1}$. \\
  3. $u_n = \Frac{\sqrt{n^2+n+1}}{\sqrt[3]{n^2-n+1}}$.
Exercice 1285. Donner un équivalent simple des suites suivantes : \\
  1. $u_n = (\sqrt{n}-[\ln{n}]^{7/2}+\sin(n))$. \\
  2. $u_n = \sqrt{n+1}+\sqrt{n}$. \\
  3. $u_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. \\
  4. $u_n = \parenthese{\Frac{(1-\cos{\frac{1}{n}})\cos{\frac{1}{n}}}{e^{\frac{1}{n^3}-1}}}$.
Exercice 1286. Calculer les limites suivantes : \\
  1. $\limn \Frac{2^n-3^n}{2^n+3^n}$. \\
  2. $\limn n(n+1)^3-\parenthese{\Frac{e+\pi}{5}}^n + \sin(n!)\arctan(n)$. \\
  3. $\limn \Frac{2^n+n}{2^n}$. \\
  4. $\limn \Frac{(2n)!}{n!n^n}$. \\
  5. $\limn \parenthese{1+\Frac{x}{n}}^{n}$ avec $x \in \R$.
Exercice 1287. Déterminer un équivalent simple de chacune des suites : \\
  1. $u_n = \Frac{n^2+e^{-2n}+\sqrt{n^5}}{\ln(2n)+2n-3}$ \\
  2. $u_n = (n+3\ln(n))e^{-(n+1)}$ \\
  3. $u_n = \Frac{\ln(n^2+1)}{n^2+1}$ \\
  4. $u_n = \ln\parenthese{\Frac{n^2+1}{n^2+2}}$ \\
  5. $u_n = \sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}$\\
  6. $u_n = \Sum_{k=0}^{n} k!$ \\
  7. $u_n = \Frac{n^{\sqrt{n+1}}}{(n+1)^{\sqrt{n}}}$.
Exercice 1288. Déterminer un équivalent, puis la limite de la suite $(x_n)_{n \geqslant 1}$ définie par \[ x_n = \sin\!\left(\Frac{\pi}{n}\right) + \sin\!\left(\Frac{2\pi}{n}\right) + \dots + \sin\!\left(\Frac{(n-1)\pi}{n}\right). \]
Exercice 1289. Donner des équivalents au voisinage de $+\infty$ de : \\
  • $u_n=\left(\Frac{\ln(n+a)}{\ln(n+b)}\right)^{n\ln n}$. \\
  • $a_n=\arccos\!\left(\Frac{2}{\pi}\arctan(n^2)\right)$.
Exercice 1290. Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $3$. Soit $f_n:[0,+\infty[\to\mathbb{R}$ l’application définie pour tout $x\in[0,+\infty[$ par $f_n(x)=x^n-nx+1$.\\
  1. Prouver l’existence de deux racines $\alpha_n$ et $\beta_n$ de $f_n$ telles que $0<\alpha_n<1<\beta_n$.\\
  2. Montrer que $(\alpha_n)_{n\geqslant 3}$ converge et calculer sa limite.\\
  3. Montrer que $\alpha_n\sim_{+\infty}\Frac{1}{n}$.\\
  4. En considérant $f_n\left(1+\Frac{2}{\sqrt{n}}\right)$, déterminer la limite $\ell$ de $\beta_n$.\\
  5. Déterminer un équivalent de $\ln(\beta_n)$, puis de $\beta_n-\ell$.\\