Exercices divers

Exercice 4197. Soit $E$ le $\R$-espace vectoriel des suites réelles et $a$ un réel non nul.\\ On appelle $F$ l’ensemble des suites réelles $(u_n)$ telles que \[ \forall n\in\N,\quad u_{n+1}=au_n. \] Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et justifier que c’est une droite vectorielle.
Exercice 4198. Soient $n$ un entier naturel non nul et $(x_j)_{1\leqslant j\leqslant n}$ une suite de nombres réels distincts. On leur associe les $n$ polynômes $(L_j)_{1\leqslant j\leqslant n}$ définis par \[ \forall j\in\{1,\dots,n\},\qquad L_j=\prod_{\substack{1\leqslant k\leqslant n\\k\neq j}}\frac{X-x_k}{x_j-x_k}. \]
  1. Pour tout entier $j\in\{1,\dots,n\}$, expliciter le degré et les racines du polynôme $L_j$. Calculer $L_j(x_j)$.\\
  2. Montrer que la famille $(L_j)_{1\leqslant j\leqslant n}$ constitue une base de $\R_{n-1}[X]$.\\
  3. Soit $P\in\R_{n-1}[X]$, on pose \[ Q=\sum_{j=1}^n P(x_j)L_j. \]
    1. Pour tout entier $k\in\{1,\dots,n\}$, calculer $Q(x_k)$.\\
    2. Prouver que $Q=P$.\\
    3. Quelles sont les coordonnées de $P$ dans la base $(L_j)_{1\leqslant j\leqslant n}$ ?
  4. Application : trouver un polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $3$ vérifiant \[ P(0)=-1,\qquad P(1)=1,\qquad P(2)=0,\qquad P(3)=1. \] Ce polynôme est-il unique ?
Exercice 4199. Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, distinct de $E$.\\ Montrer que $F$ peut s’écrire comme une intersection d’un nombre fini d’hyperplans.\\ Quel est le nombre minimum d’hyperplans nécessaire ?
Exercice 4200. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, distinct de $E$.\\ Montrer que $F$ peut s’écrire comme une intersection d’un nombre fini d’hyperplans.\\ Quel est le nombre minimum d’hyperplans nécessaire ?
Exercice 4201. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-ev de dimension finie, $n=\dim(E)$, $e=\mathrm{id}_E$, $f,g\in\mathcal{L}(E)$ tels que :\\ \[ f+g=e\qquad \mathrm{et}\qquad \mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)\leqslant n. \]
  1. Établir que $\mathrm{Im}(f)$ et $\mathrm{Im}(g)$ sont supplémentaires dans $E$ et que $\mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)=n$.\\
  2. En déduire que $f$ et $g$ sont des projecteurs.
Exercice 4202. Soient $E$ un $\K$-ev de dimension finie $n$, et $f \in \Lc(E)$.\\ Pour tout $p \in \N$, on note $I_p=\mathrm{Im}(f^p)$ et $K_p=\ker(f^p)$, avec par convention $f^0=\mathrm{Id}_E$.\\
  1. Montrer que $(I_p)_{p \in \N}$ est décroissante et que $(K_p)_{p \in \N}$ est croissante, i.e. :\\ \[ \forall p \in \N,\quad I_{p+1}\subset I_p,\quad K_{p+1}\supset K_p. \]
  2. Montrer qu'il existe $p_0 \in \N$ tel que :\\ \[ \forall p \in \N,\quad \Bigl(p < p_0 \Rightarrow I_p \neq I_{p_0}\Bigr)\quad\mathrm{et}\quad \Bigl(p \geqslant p_0 \Rightarrow I_p=I_{p_0}\Bigr). \]
  3. Établir :\\ \[ \forall p \in \N,\quad \Bigl(p < p_0 \Rightarrow K_p \neq K_{p_0}\Bigr)\quad\mathrm{et}\quad \Bigl(p \geqslant p_0 \Rightarrow K_p=K_{p_0}\Bigr). \]
  4. Montrer : $p_0 \leqslant n$.\\
  5. Démontrer que $I_{p_0}$ et $K_{p_0}$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice 4203. Soit $n \in \mathbb{N}^*$.\\
  1. Déterminer la dimension maximale d’un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ dans lequel tout élément non nul appartient à \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}).\\
  2. Le résultat obtenu pour $\mathbb{C}$ vaut-il encore pour $\mathbb{R}$ ? Résoudre la question précédente pour $n=2$ et $\mathbb{R}$ à la place de $\mathbb{C}$.\\
Exercice 4204. Si $A$ est une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on note $\mathcal{C}(A)$ son commutant : \[ \mathcal{C}(A)=\{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \mid AM=MA\} \]
  1. Montrer que $\mathcal{C}(A)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ stable par produit matriciel.\\
  2. Montrer que si $M \in \mathcal{C}(A)$ est inversible alors $M^{-1} \in \mathcal{C}(A)$.\\
  3. Déterminer le commutant d’une matrice diagonale $D$ dont les coefficients diagonaux sont tous distincts et montrer que $(D^k)_{0 \leqslant k \leqslant n-1}$ est une base de $\mathcal{C}(D)$.\\
  4. Quelles sont les matrices de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ qui ont un commutant de dimension $4$ ?\\
  5. Montrer que si $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ alors $\dim(\mathcal{C}(A)) \geqslant 2$.\\
  6. On suppose que $\dim(\mathcal{C}(A)) \geqslant 3$. Montrer que $A=\lambda I_2$.\\
  7. Donner une base de $\mathcal{C}(A)$ pour $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$.\\
Exercice 4205. On note $\mathcal{A}_2(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices antisymétriques de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et \[ f_n : M \longmapsto \Sum_{k=0}^{n}\frac{M^k}{k!} \] pour $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.\\
  1. Donner la dimension et une base de $\mathcal{A}_2(\mathbb{R})$.\\
  2. Calculer les puissances de $M \in \mathcal{A}_2(\mathbb{R})$.\\
  3. Soit $M \in \mathcal{A}_2(\mathbb{R})$. Montrer que $(f_n(M))_{n\in\mathbb{N}}$ converge et calculer sa limite.\\
  4. Soit $A \in \mathcal{A}_2(\mathbb{R})$. Écrire un programme Python f(A,n) qui renvoie \[ \Sum_{k=0}^{n}\frac{A^k}{k!} \]