Exercices divers
Exercice
5617. Soit $E$ le $\R$-espace vectoriel des suites réelles et $a$ un réel non nul.\\
On appelle $F$ l’ensemble des suites réelles $(u_n)$ telles que
\[
\forall n\in\N,\quad u_{n+1}=au_n.
\]
Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et justifier que c’est une droite vectorielle.
Exercice
5618. Dans les questions Q35 à Q43, $n$ désigne un entier naturel non nul. \\
- Soit $h$ une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^{2n-1}$ sur $\mathbb{R}$ telle qu’il existe $2n$ réels \\ \[ t_1,\ldots,t_{2n} \] vérifiant \\ \[ \forall i \in \llbracket 1,2n \rrbracket,\quad h(t_i)=0. \] Montrer qu’il existe un réel $c$ tel que \\ \[ h^{(2n-1)}(c)=0. \]
- Pour $i \in \llbracket 1,n \rrbracket$, on note $\ell_i$ l’application linéaire définie sur $\mathbb{R}_{n-1}[X]$, à valeurs dans $\mathbb{R}$, par \\ \[ \forall P \in \mathbb{R}_{n-1}[X],\quad \ell_i(P)=P(x_i). \] Montrer que $(\ell_1,\ldots,\ell_n)$ est libre dans $\mathcal{L}(\mathbb{R}_{n-1}[X],\mathbb{R})$. \\
- En déduire que pour toute application linéaire $\psi$ de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ dans $\mathbb{R}$, il existe un unique $n$-uplet \\ \[ (\beta_1,\ldots,\beta_n) \in \mathbb{R}^n \] tel que \\ \[ \psi=\sum_{k=1}^n \beta_k \ell_k. \]
- Montrer qu’il existe un unique $n$-uplet \\ \[ (\alpha_1,\ldots,\alpha_n) \in \mathbb{R}^n \] tel que \\ \[ \forall P \in \mathbb{R}_{n-1}[X],\quad \integrale{-1}{1}{P(t)}{t}=\alpha_1P(x_1)+\cdots+\alpha_nP(x_n). \]
- Montrer que la relation de la question précédente reste vérifiée pour tout \\ \[ P \in \mathbb{R}_{2n-1}[X]. \] Dans la suite du problème, $f$ désigne une application de $[-1,1]$ dans $\mathbb{R}$, de classe $\mathcal{C}^{2n}$ sur $[-1,1]$. \\
- Montrer qu’il existe un polynôme $H_n \in \mathbb{R}_{2n-1}[X]$ tel que \\ \[ \forall i \in \llbracket 1,n \rrbracket,\quad \left\{ \begin{array}{l} H_n(x_i)=f(x_i),\\ H_n'(x_i)=f'(x_i). \end{array} \right. \]
Exercice
5619. On note $\mathcal{A}_2(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices antisymétriques de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et
\[
f_n : M \longmapsto \Sum_{k=0}^{n}\frac{M^k}{k!}
\]
pour $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.\\
- Donner la dimension et une base de $\mathcal{A}_2(\mathbb{R})$.\\
- Calculer les puissances de $M \in \mathcal{A}_2(\mathbb{R})$.\\
- Soit $M \in \mathcal{A}_2(\mathbb{R})$. Montrer que $(f_n(M))_{n\in\mathbb{N}}$ converge et calculer sa limite.\\
- Soit $A \in \mathcal{A}_2(\mathbb{R})$. Écrire un programme Python f(A,n) qui renvoie \[ \Sum_{k=0}^{n}\frac{A^k}{k!} \]
Exercice
5620. Soit $M \in M_n(\R)$. \\
Trouver $d$ tel que $(I,M,\ldots,M^d)$ soit liée. \\
En déduire un polynôme annulateur de $M$.
Exercice
5621. On note $E=\R_5[X]$ et
\[
F=\{P \in E \mid P(0)=P(1)=0\}.
\]
On pose $Q=X(X-1)$. \\
- Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \\
- Montrer que la famille $(Q,XQ,X^2Q,X^3Q)$ est libre. \\
- Justifier que $\dim(F)=4$ ou $\dim(F)=5$ sans trouver de base de $F$. \\
- Donner la dimension de $F$ et déterminer un supplémentaire de $F$ dans $E$.
Exercice
5622. Pour tout $n \in \N$, on définit une fonction $f_n$ de $\R$ dans $\R$ par :
\[
\forall x \in \R,\quad f_n(x)=\sin(x+n).
\]
- Démontrer que $(f_0,f_1)$ est une famille libre de $\mathcal{F}(\R,\R)$. \\
- Démontrer que $f_{n+1}$ est combinaison linéaire de $f_n$ et $f_{n-1}$ en calculant $f_{n+1}+f_{n-1}$. \\
- En déduire proprement le rang de la famille $(f_0,\ldots,f_n)$ si $n \geqslant 1$.
Exercice
5623. Soient $n$ un entier naturel non nul et $(x_j)_{1\leqslant j\leqslant n}$ une suite de nombres réels distincts. On leur associe les $n$ polynômes $(L_j)_{1\leqslant j\leqslant n}$ définis par
\[
\forall j\in\{1,\dots,n\},\qquad L_j=\prod_{\substack{1\leqslant k\leqslant n\\k\neq j}}\frac{X-x_k}{x_j-x_k}.
\]
- Pour tout entier $j\in\{1,\dots,n\}$, expliciter le degré et les racines du polynôme $L_j$. Calculer $L_j(x_j)$.\\
- Montrer que la famille $(L_j)_{1\leqslant j\leqslant n}$ constitue une base de $\R_{n-1}[X]$.\\
- Soit $P\in\R_{n-1}[X]$, on pose
\[
Q=\sum_{j=1}^n P(x_j)L_j.
\]
- Pour tout entier $k\in\{1,\dots,n\}$, calculer $Q(x_k)$.\\
- Prouver que $Q=P$.\\
- Quelles sont les coordonnées de $P$ dans la base $(L_j)_{1\leqslant j\leqslant n}$ ?
- Application : trouver un polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $3$ vérifiant \[ P(0)=-1,\qquad P(1)=1,\qquad P(2)=0,\qquad P(3)=1. \] Ce polynôme est-il unique ?
Exercice
5624. Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, distinct de $E$.\\
Montrer que $F$ peut s’écrire comme une intersection d’un nombre fini d’hyperplans.\\
Quel est le nombre minimum d’hyperplans nécessaire ?
Exercice
5625. Soient $E$ un $\K$-ev de dimension finie $n$, et $f \in \Lc(E)$.\\
Pour tout $p \in \N$, on note $I_p=\mathrm{Im}(f^p)$ et $K_p=\ker(f^p)$, avec par convention $f^0=\mathrm{Id}_E$.\\
- Montrer que $(I_p)_{p \in \N}$ est décroissante et que $(K_p)_{p \in \N}$ est croissante, i.e. :\\ \[ \forall p \in \N,\quad I_{p+1}\subset I_p,\quad K_{p+1}\supset K_p. \]
- Montrer qu'il existe $p_0 \in \N$ tel que :\\ \[ \forall p \in \N,\quad \Bigl(p < p_0 \Rightarrow I_p \neq I_{p_0}\Bigr)\quad\mathrm{et}\quad \Bigl(p \geqslant p_0 \Rightarrow I_p=I_{p_0}\Bigr). \]
- Établir :\\ \[ \forall p \in \N,\quad \Bigl(p < p_0 \Rightarrow K_p \neq K_{p_0}\Bigr)\quad\mathrm{et}\quad \Bigl(p \geqslant p_0 \Rightarrow K_p=K_{p_0}\Bigr). \]
- Montrer : $p_0 \leqslant n$.\\
- Démontrer que $I_{p_0}$ et $K_{p_0}$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice 5626. Centrale MP 2024
\\ On considère l'application $\Delta$ définie par : \[ \Delta : \begin{cases} \mathbb{K}[X] \to \mathbb{K}[X]\\ P(X) \mapsto P(X+1)-P(X) \end{cases} \] Pour tout $d \in \mathbb{N}^{*}$, on note $\mathbb{K}_{d}[X]$ l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à $d$, et $\Delta_d$ l'endomorphisme de $\mathbb{K}_{d}[X]$ induit par $\Delta$.\\ On se propose d'étudier l'équation \[ \forall x \in \mathbb{K},\; f(x+1)-f(x)=h(x). \]- Montrer que $\Delta$ est un endomorphisme de $\mathbb{K}[X]$.\\
- Soit $P \in \mathbb{K}[X]$. Déterminer le degré de $\Delta(P)$ en fonction de celui de $P$.\\
- Montrer que, pour tout $d \in \mathbb{N}^{*}$, $\Delta$ induit un endomorphisme sur $\mathbb{K}_{d}[X]$.\\
- Déterminer $\ker(\Delta_d)$ et $\mathrm{Im}(\Delta_d)$ pour tout $d \in \mathbb{N}^{*}$.\\
- En déduire $\ker(\Delta)$ et $\mathrm{Im}(\Delta)$. Appliquer les résultats obtenus à l'étude de l'équation ci-dessus dans le cas où $h$ est polynomiale.\\
- On suppose pour cette question seulement que $h$ est la fonction $x \mapsto x$. Déterminer une solution dans $\mathbb{K}_{2}[X]$, puis toutes les solutions polynomiales de l'équation.\\
- Soit $d \in \mathbb{N}^{*}$. Déterminer un polynôme annulateur de $\Delta_d$.
Exercice
5627. Pour $n\in\mathbb{N}$ et $k\in \llbracket 0,n\rrbracket$, on pose $P_{n,k}=X^k(X-1)^{n-k}$. \\
- Montrer que la famille $\mathcal{B}_n=(P_{n,0},P_{n,1},\dots,P_{n,n})$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$.
- Décomposer les polynômes $1,X,\dots,X^n$ dans $\mathcal{B}_n$.
Exercice
5628. On se place dans $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ et pour tout $k\in\mathbb{N}$, on pose $f_k:x\mapsto \cos^k x$ et $g_k:x\mapsto \cos(kx)$. \\
- Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, la famille $(f_0,f_1,\dots,f_n)$ est libre.
- Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, la famille $(g_0,g_1,\dots,g_n)$ est libre.
- On note $E_n=\Vect(f_0,f_1,\dots,f_n)$ et $F_n=\Vect(g_0,g_1,\dots,g_n)$. Montrer que $E_n=F_n$.
Exercice
5629. Soit $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)$ une base de $E$, et $u$ un vecteur de coordonnées $(a_1,\dots,a_n)$ dans $\mathcal{B}$. \\
Déterminer à quelle condition la famille $\mathcal{B}'=(e_1-u,\dots,e_n-u)$ est une base de $E$.
Exercice
5630. Etude d'un endomorphisme de $\mathbb{R}[X]$. \\
On note $\mathbb{R}[X]$ l'espace vectoriel des polynômes sur $\mathbb{R}$ et, pour tout entier naturel $n$, $\mathbb{R}_n[X]$ l'espace des polynômes de degré au plus égal à $n$. \\
On note $\varphi$ l'application de $\mathbb{R}[X]$ vers $\mathbb{R}[X]$ définie par :
\[
\forall P\in\mathbb{R}[X],\quad \varphi(P)=Q \quad \mathrm{avec} \quad Q(X)=\frac{1}{2}[P(X+1)+P(X)].
\]
- Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de l'espace vectoriel $\mathbb{R}[X]$. Pour $k$ entier naturel, quel est le terme dominant du polynôme $Q_k=\varphi(X^k)$ ?
- Montrer que $(Q_0,\dots,Q_n)$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$.
- Déterminer la matrice de l'endomorphisme de $\mathbb{R}_3[X]$ induit par $\varphi$, relativement à la base canonique de $\mathbb{R}_3[X]$.
- Plus généralement, pour tout $n$ entier naturel, on note $\varphi_n$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ induit par $\varphi$. Montrer que $\varphi_n$ définit un automorphisme de l'espace vectoriel $\mathbb{R}_n[X]$. En déduire que $\varphi$ est un automorphisme de l'espace vectoriel $\mathbb{R}[X]$.
Exercice 5631. CCP PC 2022
\\ Dans cet exercice, on se donne un entier $n \in \mathbb{N}^*$ et un couple $(A,B) \in \mathbb{C}_n[X] \times \mathbb{C}[X]$ tel que $\deg(B)=n+1$. \\ On considère également l’application $\varphi$ définie sur $\mathbb{C}_n[X]$ qui à un polynôme $P \in \mathbb{C}_n[X]$ associe le reste dans la division euclidienne de $AP$ par $B$. \\ Par exemple, si on suppose que l’on a : \\ \[ n=2,\quad A=X^2,\quad B=X^3-X,\quad P=X^2+X+1, \] alors, en effectuant la division euclidienne de $AP$ par $B$, on obtient : \\ \[ AP=X^4+X^3+X^2=BQ+R \quad \mathrm{avec} \quad Q=X+1 \quad \mathrm{et} \quad R=2X^2+X, \] donc on a $\varphi(P)=2X^2+X$. \\ Partie I - Généralités sur l’application $\varphi$ \\ Dans cette partie, on démontre que l’application $\varphi$ est un endomorphisme de $\mathbb{C}_n[X]$. \\- Justifier que pour tout polynôme $P \in \mathbb{C}_n[X]$, on a $\varphi(P) \in \mathbb{C}_n[X]$. \\ On considère deux polynômes $P_1 \in \mathbb{C}_n[X]$ et $P_2 \in \mathbb{C}_n[X]$. Par le théorème de la division euclidienne rappelé dans la présentation, il existe $(Q_1,R_1) \in \mathbb{C}[X] \times \mathbb{C}_n[X]$ et $(Q_2,R_2) \in \mathbb{C}[X] \times \mathbb{C}_n[X]$ tels que : \\ \[ AP_1=BQ_1+R_1 \quad \mathrm{et} \quad AP_2=BQ_2+R_2. \]
- Soit $\lambda \in \mathbb{C}$. Exprimer le quotient et le reste dans la division euclidienne de $A(P_1+\lambda P_2)$ par $B$ en fonction de $\lambda$ et des polynômes $Q_1,Q_2,R_1,R_2$ en justifiant votre réponse. En déduire que $\varphi$ est un endomorphisme de l’espace vectoriel $\mathbb{C}_n[X]$. \\
- Montrer que la matrice de l’endomorphisme $\varphi$ de $\mathbb{C}_2[X]$ dans la base $(1,X,X^2)$ est : \\ \[ M= \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 2&1&2\\ 1&1&0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}). \]
- Montrer que la matrice de l’endomorphisme $\varphi$ de $\mathbb{C}_2[X]$ dans la base $(1,X,X^2)$ est : \\ \[ T= \begin{pmatrix} \alpha&0&0\\ \beta&\alpha&0\\ \gamma&\beta&\alpha \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}). \]
- Soit $P \in \mathbb{C}_n[X]$. Montrer que $x_0,\ldots,x_n$ sont des racines du polynôme \\ \[ D=P-\sum_{i=0}^n P(x_i)L_i. \]
- Déduire de la question précédente que pour tout $P \in \mathbb{C}_n[X]$, on a \\ \[ P=\sum_{i=0}^n P(x_i)L_i. \]
- Montrer que $(L_0,\ldots,L_n)$ est une base de $\mathbb{C}_n[X]$. \\
- Soit $(j,k) \in \llbracket 0,n \rrbracket^2$. Montrer que $R_k(x_j)=0$ si $j \neq k$ et que $R_k(x_k)=A(x_k)$. \\
- En utilisant Q$9$, en déduire pour tout $k \in \llbracket 0,n \rrbracket$ que $\varphi(L_k)=A(x_k)L_k$. \\
- Justifier que l’endomorphisme $\varphi$ est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.
Exercice 5632. CCP PC 2019
\\ On considère l’application $\alpha$ définie sur $\mathbb{R}_n[X]$ par : \\ \[ \forall P \in \mathbb{R}_n[X],\quad \alpha(P)=XP''+(1-X)P'. \]- Montrer que $\alpha$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$. \\
- Écrire la matrice de $\alpha$ dans la base $(1,X,\ldots,X^n)$. \\
Exercice 5633. CCP PC 2018
\\ On rappelle que $\mathbb{R}[X]$ désigne le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Pour $n$ entier naturel, $\mathbb{R}_n[X]$ désigne le sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$ des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$. \\ Soit $P$ un polynôme de $\mathbb{R}[X]$. On note $P^{(n)}$ sa dérivée $n$-ième. \\ On considère l’application $\varphi$ de $\mathbb{R}[X]$ dans lui-même définie par : \\ \[ \forall P \in \mathbb{R}[X],\quad \varphi(P)=(X^2-1)P''+2XP'. \] Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $U_n=(X^2-1)^n$ et $L_n=\Frac{1}{2^n n!}U_n^{(n)}$. \\ Partie I - Quelques résultats généraux \\- Déterminer $L_0$, $L_1$ et vérifier que $L_2=\Frac{1}{2}(3X^2-1)$. \\
- Justifier que $L_n$ est de degré $n$ et préciser la valeur de $a_n$. \\
- Montrer que la famille $(L_0,\ldots,L_n)$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$. \\
- Pour $n \in \mathbb{N}^*$, déterminer les racines de $U_n$, puis justifier qu’il existe $\alpha \in ]-1,1[$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ tels que \\ \[ U_n'=\lambda (X-1)^{n-1}(X+1)^{n-1}(X-\alpha). \]
- En supposant l’existence d’une factorisation analogue pour $U_n^{(k)}$, établir celle de $U_n^{(k+1)}$. \\
- En déduire que $L_n$ admet $n$ racines réelles simples dans $[-1,1]$. \\
- Prouver que $\varphi$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}[X]$. \\
- Justifier que $\mathbb{R}_n[X]$ est stable par $\varphi$. \\
- Montrer que la matrice de $\varphi_n$ dans la base canonique est triangulaire supérieure et que $\forall k \in \llbracket 0,n \rrbracket$, $m_{k,k}=k(k+1)$. \\
- En déduire que $\varphi_n$ est diagonalisable. \\
- Vérifier que $\forall k \in \llbracket 0,n \rrbracket$, $(X^2-1)L_k''-2kXL_k'=0$. \\
- En déduire une relation vérifiée par $L_k$ et conclure que $L_k$ est vecteur propre. \\
- Préciser la valeur propre associée. \\
Exercice
5634. Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $\R$ vers $\R$. \\
- Justifier que $\mathcal{C}^0(\R,\R)$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \\
- Montrer que $F=\left\{f \in \mathcal{C}^0(\R,\R) \mid \integrale{0}{2\pi}{f(t)}{t}=0\right\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^0(\R,\R)$. \\
- Montrer que l'ensemble $G$ des fonctions $f$ telles qu'il existe $a,b \in \R$ vérifiant, pour tout $t \in \R$, $f(t)=a\cos(t)+b\sin(t)$, est un sous-espace vectoriel de $E$. \\ Est-ce un sous-espace vectoriel de $F$ ? \\
- Montrer que la famille $\{t \mapsto \cos(t),t \mapsto \cos(2t),\ldots,t \mapsto \cos(nt)\}$ est libre quel que soit $n$. \\ Que peut-on alors dire sur $\dim(F)$ ?
Exercice
5635. Soient $n$ un entier naturel non nul et $(x_j)_{1 \leqslant j \leqslant n}$ une suite de nombres réels distincts. \\
On leur associe les $n$ polynômes $(L_j)_{1 \leqslant j \leqslant n}$ définis par, pour tout $j \in \llbracket 1,n \rrbracket$,
\[
L_j=\Prod_{\substack{1 \leqslant k \leqslant n\\ k \neq j}}\frac{X-x_k}{x_j-x_k}.
\]
- Pour tout entier $j \in \llbracket 1,n \rrbracket$, expliciter le degré et les racines du polynôme $L_j$. Calculer $L_j(x_j)$. \\
- Montrer que la famille $(L_j)_{1 \leqslant j \leqslant n}$ constitue une base de $\R_{n-1}[X]$. \\
- Soit $P \in \R_{n-1}[X]$, on pose $Q=\Sum_{j=1}^n P(x_j)L_j$. \\ \startlettersnext
- a Pour tout entier $k \in \llbracket 1,n \rrbracket$, calculer $Q(x_k)$. \\
- a Prouver que $Q=P$. \\
- a Quelles sont les coordonnées de $P$ dans la base $(L_j)_{1 \leqslant j \leqslant n}$ ? \\
- Application : trouver un polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $3$ vérifiant $P(0)=-1$, $P(1)=1$, $P(2)=0$ et $P(3)=1$. \\ Ce polynôme est-il unique ?
Exercice
5636.
- Quelle est la dimension de $\R$ en tant que $\R$-espace vectoriel ? \\
- Dans la suite, on considère $\R$ en tant que $\Q$-espace vectoriel. \\ Ainsi la loi externe est définie par \[ \Q \times \R \to \R,\quad (\lambda,x)\mapsto \lambda x. \] \startlettersnext
- a On considère la famille $\mathcal{F}=(1,\sqrt2)$. Montrer que cette famille est $\Q$-libre. \\
- a Que peut-on en conclure sur la dimension de $\R$ en tant que $\Q$-espace vectoriel ? \\
- a Soit $(p_n)_{n \in \N^*}$ la suite des nombres premiers. Soit $n \in \N^*$. Montrer que la famille $(\ln(p_1),\ldots,\ln(p_n))$ est $\Q$-libre. \\
- a Que peut-on en déduire sur la dimension de $\R$ en tant que $\Q$-espace vectoriel ? Conclure.
Exercice
5637. Soit
\[
E=\{(x_n) \in \R^\N \mid \forall n \in \N,\ x_{n+3}-x_{n+2}-x_{n+1}+x_n=0\},
\]
\[
E_1=\{(x_n) \in \R^\N \mid \forall n \in \N,\ x_{n+1}+x_n=0\}
\]
et
\[
E_2=\{(x_n) \in \R^\N \mid \forall n \in \N,\ x_{n+2}-2x_{n+1}+x_n=0\}.
\]
Montrer que
\[
E=E_1 \oplus E_2.
\]
Donner les dimensions des trois espaces $E$, $E_1$ et $E_2$.
Exercice
5638. On considère la base canonique de $\mathcal{M}_p(K)$.\\
- Expliciter le produit matriciel de deux vecteurs de cette base.\\
- Deux matrices de cette base sont-elles équivalentes ? Si oui, expliciter les matrices de changement de base.\\
- Deux matrices de cette base sont-elles semblables ? Si oui, expliciter la matrice de changement de base.
Exercice
5639. On pose
\[
A=
\begin{pmatrix}
1 & -4 & -3 & -2 & -2\\
2 & -6 & -6 & -4 & -2\\
-3 & 12 & 12 & 6 & 3\\
0 & 2 & 3 & 0 & -1
\end{pmatrix}.
\]
Expliciter une matrice de type $J_r$ et les matrices de passage telles que la matrice $A$ soit équivalente à la matrice $J_r$.
Exercice
5640. Soient $n\in \mathbb{N}^*$ et $G$ un groupe fini de matrices de $(\mathrm{GL}_n(\mathbb{C}),\times)$.\\
- Montrer que la matrice \[ B=\frac{1}{\mathrm{Card}(G)}\Sum_{A\in G}A \] est un projecteur.\\
- En déduire que $\mathrm{Card}(G)$ divise le nombre \[ \Sum_{A\in G}\mathrm{Tr}(A). \]
Exercice
5641. Soit $n \in \mathbb{N}^*$.\\
- Déterminer la dimension maximale d’un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ dans lequel tout élément non nul appartient à $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$.\\
- Le résultat obtenu pour $\mathbb{C}$ vaut-il encore pour $\mathbb{R}$ ? Résoudre la question précédente pour $n=2$ et $\mathbb{R}$ à la place de $\mathbb{C}$.\\
Exercice
5642. Si $A$ est une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on note $\mathcal{C}(A)$ son commutant :
\[
\mathcal{C}(A)=\{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \mid AM=MA\}
\]
- Montrer que $\mathcal{C}(A)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ stable par produit matriciel.\\
- Montrer que si $M \in \mathcal{C}(A)$ est inversible alors $M^{-1} \in \mathcal{C}(A)$.\\
- Déterminer le commutant d’une matrice diagonale $D$ dont les coefficients diagonaux sont tous distincts et montrer que $(D^k)_{0 \leqslant k \leqslant n-1}$ est une base de $\mathcal{C}(D)$.\\
- Quelles sont les matrices de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ qui ont un commutant de dimension $4$ ?\\
- Montrer que si $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ alors $\dim(\mathcal{C}(A)) \geqslant 2$.\\
- On suppose que $\dim(\mathcal{C}(A)) \geqslant 3$. Montrer que $A=\lambda I_2$.\\
- Donner une base de $\mathcal{C}(A)$ pour $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$.\\
Exercice
5643. Soient $E_0,E_1,\dots,E_n$ des $K$-e.v de dimension finie.\\
On note $\alpha_k=\dim E_k$. On suppose qu’il existe des applications linéaires $f_0,f_1,\dots,f_{n-1}$ telles que :\\
- $f_0$ est injective.\\
- Pour tout $k \in \llbracket 1,n-1 \rrbracket$, on a \[ \mathrm{Im}(f_{k-1})=\ker(f_k). \]
- $f_{n-1}$ est surjective.
Exercice
5644. Pour $p\in\mathbb{N}$ et $\alpha\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$, on note $S_p$ l'ensemble des suites réelles $u=(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifiant :
\[
\exists P\in\mathbb{R}_p[X],\quad \forall n\in\mathbb{N},\quad u_{n+1}=\alpha u_n+P(n).
\]
- Montrer que si $u\in S_p$, $P$ est unique. On notera $P_u$ ce polynôme.
- Montrer que $S_p$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.
- Montrer que l'application $\varphi:S_p\to \mathbb{R}_p[X]$, $u\mapsto P_u$ est linéaire et donner une base de son noyau.
- Quelle est l'image de $\varphi$ ? Donner une base de $S_p$. On pourra utiliser les polynômes $R_k=(X+1)^k-\alpha X^k$ avec $k\in \llbracket 0,p\rrbracket$.
- Application : déterminer le terme général de la suite $u$ définie par $u_0=-2$ et la relation : $\forall n\in\mathbb{N},\; u_{n+1}=2u_n-2n+7$.
Exercice
5645. On se donne un entier naturel $n\geq 2$ et un polynôme $P$ à coefficients réels de degré $n$, $\mathbb{R}$-scindé et à racines simples. \\
On considère les $\mathbb{R}$-espaces vectoriels $E=\mathbb{R}_{n-2}[X]$, $F=\mathbb{R}_{n-1}[X]$ et $G=\mathbb{R}_{2n-2}[X]$. \\
- A tout couple $(U,V)$ de $E\times F$, on associe le polynôme $f(U,V)=UP+VP'$, où $P'$ désigne la dérivée de $P$. Justifier que $f$ ainsi définie est une application linéaire de $E\times F$ dans $G$.
- Montrer que $f$ est injective. En déduire que $f$ est bijective.
- Montrer alors l'existence d'un unique couple $(A,B)$ de $E\times F$ tel que $AP+BP'=1$.
Exercice 5646. X ENS
\\ Soit $(A,B) \in \mathcal{M}_n(K)^2$. Montrer l’équivalence des deux assertions suivantes : \\ (i) $\exists X \in \mathcal{M}_n(K), \; AX + XA = B$ ; \\ (ii) $\forall C \in \mathcal{M}_n(K), \; AC + CA = 0 \Longrightarrow \mathrm{Tr}(BC)=0$.Exercice 5647. Centrale PC 2016
\\ L’opérateur de translation \\ L’opérateur de translation est l’endomorphisme $\tau$ de $\mathbb{R}_n[X]$ donné par \\ \[ \tau:\left\{ \begin{array}{rcl} \mathbb{R}_n[X]&\to&\mathbb{R}_n[X]\\ P(X)&\mapsto&P(X+1) \end{array} \right. \]- Pour un polynôme non nul $P \in \mathbb{R}_n[X]$, exprimer $\deg(\tau(P))$ et $\mathrm{cd}(\tau(P))$ à l’aide de $\deg(P)$ et $\mathrm{cd}(P)$. \\
- Soit $P \in \mathbb{R}_n[X]$. Pour $k \in \mathbb{N}$, donner l’expression de $\tau^k(P)$ en fonction de $P$. \\
- Donner la matrice $M=(M_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n+1}$ de $\tau$ dans la base $(P_k)_{k \in \llbracket 1,n+1 \rrbracket}$. On exprimera les coefficients $M_{i,j}$ en fonction de $i$ et $j$. \\
- Préciser l’ensemble des valeurs propres de $\tau$. L’application $\tau$ est-elle diagonalisable ? \\
- L’application $\tau$ est-elle bijective ? Si oui, préciser $\tau^{-1}$. L’expression de $\tau^j$ trouvée à la question $2$ pour $j \in \mathbb{N}$ est-elle valable pour $j \in \mathbb{Z}$ ? \\
- Que vaut $M^{-1}$ ? Exprimer les coefficients $(M^{-1})_{i,j}$ en fonction de $i$ et $j$. \\
- On se donne une suite réelle $(u_k)_{k \in \mathbb{N}}$ et on définit pour tout entier $k \in \mathbb{N}$ \\ \[ v_k=\sum_{j=0}^k \binom{k}{j}u_j. \] Déterminer une matrice $Q \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})$ telle que \\ \[ \begin{pmatrix} v_0\\ v_1\\ \vdots\\ v_n \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix} u_0\\ u_1\\ \vdots\\ u_n \end{pmatrix}. \]
- En déduire la formule d’inversion : pour tout entier $k \in \mathbb{N}$, \\ \[ u_k=\sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}\binom{k}{j}v_j. \]
- On considère un réel $\lambda$ et la suite $(u_k)_{k \in \mathbb{N}}=(\lambda^k)_{k \in \mathbb{N}}$. Quelle est la suite $(v_k)_{k \in \mathbb{N}}$ définie par la formule précédente ? Vérifier alors la formule d’inversion.
Exercice 5648. Centrale PC 2016
\\ L’opérateur de différence \\ L’opérateur de différence est l’endomorphisme $\delta$ de $\mathbb{R}_n[X]$ tel que $\delta=\tau-\mathrm{Id}_{\mathbb{R}_n[X]}$ : \\ \[ \delta:\left\{ \begin{array}{rcl} \mathbb{R}_n[X]&\to&\mathbb{R}_n[X]\\ P(X)&\mapsto&P(X+1)-P(X) \end{array} \right. \]- Pour un polynôme non constant $P \in \mathbb{R}_n[X]$, exprimer $\deg(\delta(P))$ et $\mathrm{cd}(\delta(P))$ à l’aide de $\deg(P)$ et $\mathrm{cd}(P)$. \\
- En déduire le noyau $\ker(\delta)$ et l’image $\mathrm{Im}(\delta)$ de l’endomorphisme $\delta$. \\
- Plus généralement, pour $j \in \llbracket 1,n \rrbracket$, montrer : \\ \[ \ker(\delta^j)=\mathbb{R}_{j-1}[X] \quad \mathrm{et} \quad \mathrm{Im}(\delta^j)=\mathbb{R}_{n-j}[X]. \]
- Pour $k \in \mathbb{N}$ et $P \in \mathbb{R}_n[X]$, exprimer $\delta^k(P)$ en fonction des $\tau^j(P)$ pour $j \in \llbracket 0,k \rrbracket$. \\
- Soit $P \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$. Montrer que \\ \[ \sum_{j=0}^n (-1)^{n-j}\binom{n}{j}P(j)=0. \]
- Dans cette question, on se propose de montrer qu’il n’existe pas d’application linéaire $u:\mathbb{R}_n[X]\to\mathbb{R}_n[X]$ telle que $u \circ u=\delta$. On suppose, par l’absurde, qu’une telle application $u$ existe. \\ \startletters
- Montrer que $u$ et $\delta^2$ commutent. \\
- En déduire que $\mathbb{R}_1[X]$ est stable par l’application $u$. \\
- Montrer qu’il n’existe pas de matrice $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que \\ \[ A^2= \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}. \]
- Conclure. \\
- Dans cette question, on cherche tous les sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}_n[X]$ stables par $\delta$. \\ \startletters
- Pour un polynôme non nul $P$ de degré $d \leqslant n$, montrer que la famille $(P,\delta(P),\ldots,\delta^d(P))$ est libre. Quel est l’espace vectoriel engendré par cette famille ? \\
- En déduire que si $V$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}_n[X]$ stable par $\delta$ et non réduit à $\{0\}$, il existe un entier $d \in \llbracket 0,n \rrbracket$ tel que $V=\mathbb{R}_d[X]$.
Exercice 5649. CCP PC 2018
Dans les questions Q35 à Q43, $n$ désigne un entier naturel non nul. \\- Soit $h$ une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^{2n-1}$ sur $\mathbb{R}$ telle qu’il existe $2n$ réels \\ \[ t_1,\ldots,t_{2n} \] vérifiant \\ \[ \forall i \in \llbracket 1,2n \rrbracket,\quad h(t_i)=0. \] Montrer qu’il existe un réel $c$ tel que \\ \[ h^{(2n-1)}(c)=0. \]
- Pour $i \in \llbracket 1,n \rrbracket$, on note $\ell_i$ l’application linéaire définie sur $\mathbb{R}_{n-1}[X]$, à valeurs dans $\mathbb{R}$, par \\ \[ \forall P \in \mathbb{R}_{n-1}[X],\quad \ell_i(P)=P(x_i). \] Montrer que $(\ell_1,\ldots,\ell_n)$ est libre dans $\mathcal{L}(\mathbb{R}_{n-1}[X],\mathbb{R})$. \\
- En déduire que pour toute application linéaire $\psi$ de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ dans $\mathbb{R}$, il existe un unique $n$-uplet \\ \[ (\beta_1,\ldots,\beta_n) \in \mathbb{R}^n \] tel que \\ \[ \psi=\sum_{k=1}^n \beta_k \ell_k. \]
- Montrer qu’il existe un unique $n$-uplet \\ \[ (\alpha_1,\ldots,\alpha_n) \in \mathbb{R}^n \] tel que \\ \[ \forall P \in \mathbb{R}_{n-1}[X],\quad \integrale{-1}{1}{P(t)}{t}=\alpha_1P(x_1)+\cdots+\alpha_nP(x_n). \]
- Montrer que la relation de la question précédente reste vérifiée pour tout \\ \[ P \in \mathbb{R}_{2n-1}[X]. \] Dans la suite du problème, $f$ désigne une application de $[-1,1]$ dans $\mathbb{R}$, de classe $\mathcal{C}^{2n}$ sur $[-1,1]$. \\
- Montrer qu’il existe un polynôme $H_n \in \mathbb{R}_{2n-1}[X]$ tel que \\ \[ \forall i \in \llbracket 1,n \rrbracket,\quad \left\{ \begin{array}{l} H_n(x_i)=f(x_i),\\ H_n'(x_i)=f'(x_i). \end{array} \right. \]
Exercice
5650. Soit $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.\\
- Montrer que l'ensemble \[ I_A=\{P\in \mathbb{C}[X]\mid P(A)=0\} \] est un idéal de $\mathbb{C}[X]$ non réduit à $\{0\}$.\\
- Déterminer le polynôme minimal $\mu_A(X)$ de la matrice $A$, c'est-à-dire le générateur unitaire de l'idéal $I_A$, dans les cas suivants :
- la matrice $A$ est une matrice compagnon ;
- la matrice $A$ est une matrice $E_{i,j}$ de la base canonique ;
- la matrice $A$ est la matrice remplie de $1$ ;
- la matrice $A$ est une matrice diagonale.
- Si la matrice $A$ est semblable à une matrice $B\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, a-t-on $\mu_A(X)=\mu_B(X)$ ?
Exercice 5651. X ENS
\\ Soit $V$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$, $d$ et $d'$ deux drapeaux, respectivement \[ V_0 \subset V_1 \subset \cdots \subset V_n \quad \text{et} \quad V'_0 \subset V'_1 \subset \cdots \subset V'_n. \]- On pose \[ A_{ij}=V'_{i-1}+V_j \] pour $i \in \llbracket 1,n+1 \rrbracket$ et $j \in \llbracket 0,n \rrbracket$, et \[ \sigma(i)=\min\{j,\; A_{ij}=A_{i+1,j}\} \] pour $i \in \llbracket 1,n \rrbracket$. \\ Montrer que $\sigma$ est une bijection de $\llbracket 1,n \rrbracket$ sur $\llbracket 1,n \rrbracket$. \\
- Par définition, une base $(e_1,\ldots,e_n)$ est adaptée à $d$ si, pour tout $k \in \llbracket 1,n \rrbracket$, \[ \mathrm{Vect}(e_1,\ldots,e_k)=V_k. \] Trouver une base $(e_1,\ldots,e_n)$ adaptée à $d$ et une permutation $\sigma$ de $\llbracket 1,n \rrbracket$ telle que \[ (e_{\sigma(1)},\ldots,e_{\sigma(n)}) \] soit adaptée à $d'$. \\
- On fait opérer naturellement $\mathrm{GL}(V)$ sur les couples de drapeaux de $V$. Quel est le nombre d’orbites ?
Exercice 5652. X ENS
\\ Soit $V \subset \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ tel que $\mathrm{rg}\; M \leqslant p$. Montrer que \[ \dim V \leqslant np. \]Exercice 5653. X ENS
\\ Soit $K$ un corps de caractéristique nulle. \\- Montrer qu’une matrice de $\mathcal{M}_n(K)$ de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle. \\
- Montrer que si une matrice $A \in \mathcal{M}_n(K)$ est de trace nulle, il existe $B$ et $C$ dans $\mathcal{M}_n(K)$ telles que $A=BC-CB=[B,C]$.
Exercice 5654. X ENS
\\ Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$. Quels sont les $n$-uplets $(a_1,\dots,a_n) \in K^n$ tels qu’il existe une matrice diagonale $\mathrm{diag}(a_1,\dots,a_n)$ semblable à $A$ ?
Exercice
5655. \\
Soit $p$ un nombre premier, $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$. \\
- Montrer que \[ \mathrm{Tr}(A+B)^p \equiv \mathrm{Tr}(A^p)+\mathrm{Tr}(B^p) \; [p]. \]
- En déduire que \[ \mathrm{Tr}(A^p) \equiv \mathrm{Tr}(A) \; [p]. \]
- Soit la suite récurrente $(u_n)$ définie par \[ u_0=3, \qquad u_1=0, \qquad u_2=2 \] et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, \[ u_{n+3}=u_{n+1}+u_n. \] Montrer que $p$ divise $u_p$ pour tout $p$ premier.
Exercice
5656. Montrer que les matrices nilpotentes de $\mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ sont exactement les matrices semblables aux matrices triangulaires supérieures à diagonale nulle.
Exercice
5657. Soient $n\in \mathbb{N}^*$ et $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice de trace nulle.\\
Montrer que $A$ est semblable à une matrice de diagonale nulle.
Exercice
5658. Soit $n\in \mathbb{N}^*$, $K$ un corps et $A\in \mathcal{M}_{3n}(K)$ telle que $\mathrm{rg}(A)=2n$ et $A^3=0$.\\
Montrer que la matrice $A$ est semblable à la matrice par blocs
\[
\begin{pmatrix}
0 & I_n & 0\\
0 & 0 & I_n\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.
\]
Exercice
5659. Soit $N\in \mathcal{M}_d(\mathbb{C})$ une matrice triangulaire supérieure à diagonale nulle.\\
- Montrer que $N^d=0$.\\
- Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : \[ N^{d-1}\neq 0, \] \[ \mathrm{rg}(N)=d-1, \] \[ \Prod_{k=2}^{d}N_{k-1,k}\neq 0, \] \[ N\ \text{est semblable à}\ \Sum_{k=2}^{d}E_{k-1,k}, \] \[ (I_d,N,\dots,N^{d-1})\ \text{est libre}. \]
Exercice
5660. Soient $A_1,\dots,A_n$ $n$ matrices nilpotentes dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ commutant deux à deux.\\
Montrer que :
\[
A_1\cdots A_n=0.
\]
Exercice
5661. Soit $A\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$.\\
Montrer qu'il existe deux matrices triangulaires supérieures $T_1$ et $T_2$, puis $P$ une matrice de permutation telles que :
\[
A=T_1PT_2.
\]