Exercices divers

Exercice 1090. Pour quelle(s) valeur(s) de $a \in \R$ la fonction suivante est-elle dérivable en $0$ ? \[ f : \begin{cases} \R \to \R \\ x \mapsto \begin{cases} x \;\;\; si \;\; x < 0 \\ \sin(ax) \;\;\; si \;\; x \geqslant 0 \end{cases} \end{cases} \]
Exercice 1091. Montrer que pour tout $x \in \Rp$, on a $\abs{\sqrt{2+x}-2} \leqslant \Frac{1}{2\sqrt{2}} \abs{x-2}$.
Exercice 1092. Soit $f : [a,b] \to \R$ une fonction dérivable s'annulant en $a$ et $b$. \\
  1. Soit $\alpha \in \R$. Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c)+\alphaf(c)=0$. \\
  2. Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c)+cf(c)=0$.
Exercice 1093. A l'aide du théorème des accroissements finis, calculer $\limplus \parenthese{(x+1)e^{\frac{1}{x+1}}-xe^{\frac{1}{x}}}$.
Exercice 1094. Soit $(a,b,c) \in \R^3$. Montrer qu'il existe $x \in ]0,1[$ tel que $4ax^3+3bx^2+2cx = a+b+c$.
Exercice 1095. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\arctan\parenthese{\Frac{1}{1+x+x^2}} = \arctan(1+x)-\arctan(x)$. \\ En déduire $\limn \Sum_{k=0}^{n} \arctan\parenthese{\Frac{1}{1+k+k^2}}$.
Exercice 1096. Soit $f$ définie sur $]-\infty,-2[\cup]-2,+\infty[$ par $f(x) = \Frac{e^x}{x+2}$. \\
    1. Dresser le tableau de variations de $f$ et préciser $f([0,1])$. \\
    2. Montrer que pour tout $x \in [0,1]$, $\Frac{1}{4} \leqslant f'(x) \leqslant \Frac{2}{3}$. \\
    3. Montrer que l'équation $f'(x)=x$ admet une unique solution dans $[0,1]$. On notera $a$ cette unique solution dans la suite. \\
  2. On considère la suite $\un$ définie par $u_0 = \Frac{1}{2}$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = f(u_n)$. \\
    1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n \in [0,1]$. \\
    2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $\abs{u_{n+1}-a} \leqslant \Frac{2}{3} \abs{u_n-a}$. \\
    3. En déduire que pour tout $n \in \N$, $\abs{u_n-a} \leqslant \parenthese{\Frac{2}{3}}^{n}$. \\
    4. En déduire la convergence de la suite $(u_n)$ et déterminer sa limite.

Exercice 1097. HEC 2022

\\ Déterminer toutes les fonctions $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\R$ telles que : \\
  • $f(0)=0$ \\
  • $f'(0)=1$ \\
  • $\forall x \in \R$, $f'(x) = \Frac{1}{f'(f(x))}$.

Exercice 1098. EM Lyon 2024

\\ Soit $a$ un réel non nul et la suite $(u_m)$ définie par $\forall m \in \N$, $u_{m+1} = \Frac{1}{2}\parenthese{u_m+\Frac{1}{u_m}}$ et $u_0 = a$. \\
  1. Dresser le tableau de variations complet de $\varphi : x \in \R^* \mapsto \Frac{1}{2}\parenthese{x+\Frac{1}{x}}$. \\
  2. Montrer que si $a > 0$, alors $(u_m)_{m \geqslant 1}$ est bien définie et que pour tout $m \geqslant 1$, $\abs{u_m} \geqslant 1$ et $u_m$ a le même signe que $a$. \\ On admet qu'avec un raisonnement analogue, on obtient le même résultat pour $a < 0$. \\
  3. Montrer quue $(u_m)$ est monotone et converge vers une limite $\varepsilon \in \{-1,1\}$. \\
  4. Montrer que pour tout $x \in \R$ tel que $\abs{x} \geqslant 1$, on a $\abs{\varphi'(x)} \leqslant \Frac{1}{2}$. \\
  5. En déduire quue pour tout $m \in \N$, $\abs{u_m-\varepsilon} \leqslant \parenthese{\Frac{1}{2}}^{l} \abs{a-\varepsilon}$.