Noyau et image

Exercice 3866. Soient $E$, $F$ et $G$ trois $\K$-espaces vectoriels, puis \[ f\in\mathcal{L}(E,F)\quad \mathrm{et} \quad h\in\mathcal{L}(E,G) \] tels que \[ \Ker(f)\subset\Ker(h). \]
  1. Montrer qu’il existe une seule application \[ g:\mathrm{Im}(f)\to G \] telle que \[ g\circ f=h. \]
  2. Montrer que $g$ est linéaire.
Exercice 3867. On définit $\varphi:\R[X]\to\R[X]$ par \[ \varphi(P)=P(X+1)-P(X). \] Déterminer $\ker(\varphi)$ et $\mathrm{Im}(\varphi)$.
Exercice 3868. Considérons un corps $K$.\\
  1. Notons $(E_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ la base canonique de $\mathcal{M}_n(K)$. Calculer $E_{i,j}E_{k,\ell}$.\\
  2. Prouver que $\mathrm{Vect}\{AB-BA\;/\;(A,B)\in\mathcal{M}_n(K)^2\}=\ker(\mathrm{tr})$.\\
  3. Soit $\varphi$ une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(K)$ telle que $\varphi(AB)=\varphi(BA)$ pour tout $(A,B)\in\mathcal{M}_n(K)^2$. Montrer qu’il existe un scalaire $\lambda$ tel que $\varphi=\lambda \mathrm{tr}$.\\
  4. Déterminer un supplémentaire de $\ker(\mathrm{tr})$.
Exercice 3869. Soit $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.\\ Démontrer que si $\mathrm{tr}(AM)=\mathrm{tr}(MB)$ pour toute $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, alors $A=B$.
Exercice 3870. Soient $E$, $F$ et $G$ trois espaces vectoriels sur un corps $\mathbb{K}$. \\ Soient $f \in \mathcal{L}(E,F)$ et $g \in \mathcal{L}(F,G)$. \\ Montrer : \\
  1. $\ker(g \circ f)=f^{-1}(\ker(g))$.\\
  2. $\ker(g \circ f)\supset \ker(f)$.\\
  3. $\mathrm{Im}(g \circ f)=g(\mathrm{Im}(f))$.\\
  4. $\mathrm{Im}(g \circ f)\subset \mathrm{Im}(g)$.\\
  5. $\ker(g \circ f)=\ker(f)\Longleftrightarrow \ker(g)\cap \mathrm{Im}(f)=\{0\}$.\\
  6. $\mathrm{Im}(g \circ f)=\mathrm{Im}(g)\Longleftrightarrow \ker(g)+\mathrm{Im}(f)=F$.
Exercice 3871. On définit $u:\K_{n-1}[X]\to \K_{n-1}[X]$ par \[ u(P)=P(X+1)-P(X). \]
  1. Montrer que $u$ est un endomorphisme de $\K_{n-1}[X]$.\\
  2. Démontrer qu'il existe $(a_1,\dots,a_n)\in \K^n$ tel que \[ \forall P\in \K_{n-1}[X],\;P=\Sum_{k=1}^{n}a_kP(X+k). \]
Exercice 3872. Les applications suivantes sont-elles des applications linéaires ? Si oui, déterminer une base de $\ker(f)$ :\\ $f:(x,y)\mapsto(2x+1,y-x)$ sur $\R^2$\\ $f:\varphi\mapsto\varphi''-2\varphi'+3\varphi$ sur $\mathcal{C}^\infty(\R,\R)$\\ $f:P(X)\mapsto P'(5)$ sur $\R[X]$\\ $f:(u_n)_{n\in\N}\mapsto(u_{n+2}+u_{n+1}+u_n)_{n\in\N}$ sur $\R^\N$\\ $f:x\mapsto x^2-x$ sur $\R$\\ $f:g\mapsto g\circ g$ sur $\mathcal{L}(\R^2)$\\ $f:P(X)\mapsto(2X+1)P'(X)-4P(X)$ sur $\R[X]$
Exercice 3873. Soit \[ f:(x,y,z)\mapsto(x-y+z,2x+y+2z). \]
  1. Montrer que $f\in\mathcal{L}(\R^3,\R^2)$.\\
  2. Déterminer une base de $\Ker(f)$.\\
  3. En déduire la dimension puis une base de $\mathrm{Im}(f)$.\\
  4. L’application $f$ est-elle injective, surjective ?
Exercice 3874. Soit \[ f:(x,y,z)\mapsto\Frac13(2x+y+z,x+2y-z,x-y+2z). \]
  1. Montrer que $f\in\mathcal{L}(\R^3)$.\\
  2. Montrer que $f$ est un projecteur.\\
  3. Caractériser ce projecteur.\\
  4. Comparer les espaces $\R[f]$ des polynômes en $f$ et le commutant de $f$ des endomorphismes $g$ dans $\mathcal{L}(\R^3)$ tels que \[ g\circ f=f\circ g. \]
Exercice 3875. On pose \[ \Delta:\left|\begin{array}{rcl} \R[X]&\longrightarrow&\R[X]\\ P(X)&\longmapsto&P(X+1)-P(X) \end{array}\right. \] puis pour tout $n\in\N$, $\Delta_n$ la restriction à $\R_n[X]$.\\
  1. Montrer que $\Delta_n\in\mathcal{L}(\R_n[X])$.\\
  2. Déterminer $\Ker(\Delta_n)$ et $\mathrm{Im}(\Delta_n)$.\\
  3. Déterminer $\Ker(\Delta)$ et $\mathrm{Im}(\Delta)$.\\
  4. Montrer que pour tout $P\in\R_n[X]$, \[ \Delta^{n+1}(P)=0. \]
  5. Calculer pour tout polynôme $P(X)$ et tout entier $p$, $\Delta^p(P(X))$. On pourra utiliser \[ \delta:P(X)\mapsto P(X+1). \]
  6. Montrer que pour tout $d\in\N$, l’application \[ n\mapsto\sum_{k=0}^{n}k^d \] est polynomiale en la variable $n$.
Exercice 3876. Soient $E$ un espace vectoriel, puis $f$ et $g$ dans $\mathcal{L}(E)$ tels que \[ E=\Ker(f)+\Ker(g)=\mathrm{Im}(f)+\mathrm{Im}(g). \]
  1. On suppose que $E$ est de dimension finie. Montrer que les deux sommes précédentes sont directes.\\
  2. On prend \[ E=\R[X],\qquad f:P\mapsto P'(X),\qquad g:P\mapsto P(0). \]
    1. Calculer $\Ker(f)$, $\Ker(g)$, $\mathrm{Im}(f)$ et $\mathrm{Im}(g)$.\\
    2. Le résultat de la première question marche-t-il lorsque $E$ est de dimension infinie ?
Exercice 3877. Soit $f\in\mathcal{L}(E)$. Montrer les équivalences :\\ \[ \mathrm{Im}(f)\cap\Ker(f)=\{0\}\Longleftrightarrow \Ker(f^2)=\Ker(f) \] \[ \mathrm{Im}(f)+\Ker(f)=E\Longleftrightarrow \mathrm{Im}(f)=\mathrm{Im}(f^2) \]
Exercice 3878. Soient $E$, $F$ et $G$ trois $\K$-espaces vectoriels, puis \[ f\in\mathcal{L}(E,F)\quad \mathrm{et} \quad h\in\mathcal{L}(E,G) \] tels que \[ \Ker(f)\subset\Ker(h). \]
  1. Montrer qu’il existe une seule application \[ g:\mathrm{Im}(f)\to G \] telle que \[ g\circ f=h. \]
  2. Montrer que $g$ est linéaire.
Exercice 3879. Soient $f,g\in \mathcal{L}(E)$ tels que \[ g\circ f\circ g=g \quad \text{et} \quad f\circ g\circ f=f. \]
  1. Montrer que $\mathrm{Im}\,f$ et $\ker g$ sont supplémentaires dans $E$.\\
  2. Justifier que \[ f(\mathrm{Im}\,g)=\mathrm{Im}\,f. \]
Exercice 3880. Déterminer une base du noyau et de l'image des applications linéaires suivantes :\\
  1. $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ définie par \[ f(x,y,z)=(y-z,z-x,x-y). \]
  2. $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ définie par \[ f(x,y,z,t)=(2x+y+z,x+y+t,x+z-t). \]
  3. $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ définie par \[ f(z)=z+i\overline{z} \] où $\mathbb{C}$ est vu comme un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.
Exercice 3881. Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d'un $K$-espace vectoriel $E$ vérifiant \[ f\circ g=\mathrm{Id}. \] Montrer que $\ker f=\ker(g\circ f)$, $\mathrm{Im}\,g=\mathrm{Im}(g\circ f)$ puis que $\ker f$ et $\mathrm{Im}\,g$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice 3882. Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel $E$ sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ vérifiant \[ f\circ g=\mathrm{Id}. \]
  1. Montrer que $\ker(g\circ f)=\ker f$ et $\mathrm{Im}(g\circ f)=\mathrm{Im}\,g$.\\
  2. Montrer \[ E=\ker f\oplus \mathrm{Im}\,g. \]
  3. Dans quel cas peut-on conclure \[ g=f^{-1}\, ? \]
  4. Calculer \[ (g\circ f)\circ(g\circ f) \] et caractériser $g\circ f$.
Exercice 3883. Soient $u$ un endomorphisme d’un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.\\
  1. Exprimer $u^{-1}(u(F))$ en fonction de $F$ et de $\ker u$.\\
  2. Exprimer $u(u^{-1}(F))$ en fonction de $F$ et de $\mathrm{Im}\,u$.\\
  3. À quelle condition a-t-on \[ u(u^{-1}(F))=u^{-1}(u(F)) \, ? \]
Exercice 3884. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que \[ f^2-3f+2\mathrm{Id}=0. \]
  1. Montrer que $f$ est inversible et exprimer son inverse en fonction de $f$.\\
  2. Établir que $\ker(f-\mathrm{Id})$ et $\ker(f-2\mathrm{Id})$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$.
Exercice 3885. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $u,v\in\mathcal{L}(E)$ tels que $u\circ v=v\circ u$ et $\ker(u)\cap\ker(v)=\{0\}$.\\ Montrer que quels que soient $i,j\in\mathbb{N}$, $\ker(u^i)\cap\ker(v^j)=\{0\}$.
Exercice 3886. Soient $a$ un élément d’un ensemble $X$ non vide et $E$ un $K$-espace vectoriel.\\
  1. Montrer que $E_a : \mathcal{F}(X,E) \to E$ définie par $E_a(f)=f(a)$ est une application linéaire.\\
  2. Déterminer l’image et le noyau de l’application $E_a$.
Exercice 3887. Soient $E,F$ deux $K$-espaces vectoriels, $f \in \mathcal{L}(E,F)$ et $A,B$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.\\ Montrer \[ f(A)\subset f(B)\iff A+\ker f \subset B+\ker f. \]
Exercice 3888. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $h$ un endomorphisme de $E$.\\
  1. Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, montrer que $h^{-1}(h(F))=F+\ker(h)$.\\
  2. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.\\ Exprimer $h(h^{-1}(F))$ en fonction de $F$ et de $\mathrm{Im}(h)$.
Exercice 3889. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $u$ un élément de $\mathcal{L}(E)$.\\
  1. Montrer que $\ker(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}$ si et seulement si $\ker(u^2)=\ker(u)$.\\
  2. Montrer que $E=\ker(u)+\mathrm{Im}(u)$ si et seulement si $\mathrm{Im}(u^2)=\mathrm{Im}(u)$.
Exercice 3890. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $u \in \mathcal{L}(E)$.
  1. Montrer : $\Ker(u)=\Ker(u^2)$ si et seulement si $\Ker(u)\cap \mathrm{Im}(u)=\{0\}$.\\
  2. On suppose que $E$ est de dimension finie. Montrer que \[ \Ker(u)\oplus \mathrm{Im}(u)=E \;\Longleftrightarrow\; \Ker(u^2)=\Ker(u) \;\Longleftrightarrow\; \mathrm{Im}(u^2)=\mathrm{Im}(u) \]
  3. On considère l’application sur $\mathbb{R}[X]$ définie par $u(P)=P'$. Justifier que $u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}[X])$ et calculer $\mathrm{Im}(u)$, $\mathrm{Im}(u^2)$, $\Ker(u)$ et $\Ker(u^2)$.
Exercice 3891. Pour tout $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\R^3$, on note \[ M(X)=\begin{pmatrix} x+2y+4z\\ 3y+3z\\ x+y+3z \end{pmatrix}. \] Montrer que $M\in\mathcal{L}(\R^3)$, puis calculer $\ker M$ et $\mathrm{Im}(M)$.
Exercice 3892. Soient $E,F,G$ des $\mathbb{K}$-ev, $f\in\mathcal{L}(E,F)$, $g\in\mathcal{L}(F,G)$, $h\in\mathcal{L}(G,F)$, $k\in\mathcal{L}(F,E)$.\\ On suppose :\\ \[ f=h\circ g\circ f\qquad \mathrm{et}\qquad g=g\circ f\circ k. \] Démontrer que $\ker(g)$ et $\mathrm{Im}(f)$ sont supplémentaires dans $F$.
Exercice 3893. Soient $m > n\geqslant 1$, $A\in \mathcal{M}_{m,n}(\R)$, $B\in \mathcal{M}_{n,m}(\R)$ telles que \[ \mathrm{Rg}(AB)=n \quad \mathrm{et} \quad (AB)^2=AB. \] Montrer que \[ BA=I_n. \]
Exercice 3894. On suppose que $f\in \mathcal{L}(E)$ où $E$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $K=\R$ ou $\C$.\\
  1. Démontrer que la suite définie par \[ r_k=\mathrm{Rg}(f^k) \] pour \[ k\in \N \] est décroissante et stationnaire.
  2. Établir que cette décroissance est de moins en moins rapide, c'est-à-dire que la suite définie par \[ d_k=r_k-r_{k+1} \] est décroissante.
  3. Soit \[ p=\min\{k\in \N,\; r_k=r_{k+1}\}. \] Montrer que la suite $(r_k)$ est constante à partir du rang $p$ et que \[ p\leqslant n. \]
  4. Montrer que \[ E=\ker(f^n)\oplus \mathrm{Im}(f^n). \]
Exercice 3895. On définit $u:\K_{n-1}[X]\to \K_{n-1}[X]$ par \[ u(P)=P(X+1)-P(X). \]
  1. Montrer que $u$ est un endomorphisme de $\K_{n-1}[X]$.\\
  2. Démontrer qu'il existe $(a_1,\dots,a_n)\in \K^n$ tel que \[ \forall P\in \K_{n-1}[X],\;P=\Sum_{k=1}^{n}a_kP(X+k). \]
Exercice 3896. Soient $E,F,G$ des $\K$-ev, $f \in \Lc(E,F)$, $g \in \Lc(F,G)$.\\ Montrer :\\
  1. $f\bigl(\ker(g \circ f)\bigr)=\ker(g) \cap \mathrm{Im}(f)$.\\
  2. $g^{-1}\bigl(\mathrm{Im}(g \circ f)\bigr)=\ker(g)+\mathrm{Im}(f)$.
Exercice 3897. Soient $E,F,G$ trois $\K$-ev, $f \in \Lc(E,F)$, $g \in \Lc(F,G)$.\\ Montrer :\\
  1. $\ker(g \circ f)=f^{-1}\bigl(\ker(g)\bigr)$.\\
  2. $\ker(g \circ f) \supset \ker(f)$.\\
  3. $\mathrm{Im}(g \circ f)=g\bigl(\mathrm{Im}(f)\bigr)$.\\
  4. $\mathrm{Im}(g \circ f) \subset \mathrm{Im}(g)$.
Exercice 3898. Soient $E,F,G$ des $\K$-ev, $f \in \Lc(E,F)$, $g \in \Lc(F,G)$, $h \in \Lc(G,F)$, $k \in \Lc(F,E)$.\\ On suppose :\\ \[ f=h \circ g \circ f \quad\mathrm{et}\quad g=g \circ f \circ k. \] Démontrer que $\ker(g)$ et $\mathrm{Im}(f)$ sont supplémentaires dans $F$.
Exercice 3899. Soient $E,F,G$ trois $\K$-ev, $f \in \Lc(E,F)$, $g \in \Lc(F,G)$.\\ Montrer :\\
  1. $\ker(g \circ f)=\ker(f)\Longleftrightarrow \ker(g)\cap \mathrm{Im}(f)=\{0\}$.\\
  2. $\mathrm{Im}(g \circ f)=\mathrm{Im}(g)\Longleftrightarrow \ker(g)+\mathrm{Im}(f)=F$.\\ (On pourra utiliser l'exercice précédent sur $\ker(g \circ f)$ et $\mathrm{Im}(g \circ f)$.)
Exercice 3900. Soient $E,F,G$ des $\mathbb{K}$-ev, $f\in\mathcal{L}(E,F)$, $g\in\mathcal{L}(F,G)$. Montrer :\\
  1. $f(\ker(g\circ f))=\ker(g)\cap \mathrm{Im}(f)$.\\
  2. $g^{-1}(\mathrm{Im}(g\circ f))=\ker(g)+\mathrm{Im}(f)$.
Exercice 3901. Soient $E,F,G$ trois $\mathbb{K}$-ev, $f\in\mathcal{L}(E,F)$, $g\in\mathcal{L}(F,G)$. Montrer :\\
  1. $\ker(g\circ f)=f^{-1}(\ker(g))$.\\
  2. $\ker(g\circ f)\supset \ker(f)$.\\
  3. $\mathrm{Im}(g\circ f)=g(\mathrm{Im}(f))$.\\
  4. $\mathrm{Im}(g\circ f)\subset \mathrm{Im}(g)$.
Exercice 3902. Soient $E,F,G$ trois $\mathbb{K}$-ev, $f\in\mathcal{L}(E,F)$, $g\in\mathcal{L}(F,G)$. Montrer :\\
  1. $\ker(g\circ f)=\ker(f)\iff \ker(g)\cap \mathrm{Im}(f)=\{0\}$.\\
  2. $\mathrm{Im}(g\circ f)=\mathrm{Im}(g)\iff \ker(g)+\mathrm{Im}(f)=F$.
Exercice 3903. Soit $\varphi : C^\infty(\R,\R)\to C^\infty(\R,\R)$ définie par $\varphi(f)=f''-3f'+2f$.\\ Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme et préciser son noyau.
Exercice 3904. Soit $E$ et $F$ des espaces vectoriels de dimension finie. Soit $W$ un sous-espace vectoriel de $E$. On pose \[ \mathcal{A}=\{u \in \mathcal{L}(E,F) \mid W \subset \ker(u)\} \]
  1. Montrer que $\mathcal{A}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E,F)$.\\
  2. Exprimer la dimension de $\mathcal{A}$ en fonction des dimensions de $E$, $F$ et $W$.
Exercice 3905. Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$. Prouver l’équivalence \[ \mathrm{Im}(f)+\ker(f)=E \iff \mathrm{Im}(f)=\mathrm{Im}(f^2) \]