Noyau et image

Exercice 5121. Soit \[ f:(x,y,z)\mapsto(x-y+z,2x+y+2z). \]
  1. Déterminer une base de $\ker(f)$.\\
  2. En déduire la dimension puis une base de $\mathrm{Im}(f)$.\\
  3. L’application $f$ est-elle injective, surjective ?
Exercice 5122. Soient $a$ un élément d’un ensemble $X$ non vide et $E$ un $K$-espace vectoriel.\\
  1. Montrer que $E_a : \mathcal{F}(X,E) \to E$ définie par $E_a(f)=f(a)$ est une application linéaire.\\
  2. Déterminer l’image et le noyau de l’application $E_a$.
Exercice 5123. Soient $E,F,G$ des $\K$-ev, $f \in \Lc(E,F)$, $g \in \Lc(F,G)$.\\ Montrer :\\
  1. $f\bigl(\ker(g \circ f)\bigr)=\ker(g) \cap \mathrm{Im}(f)$.\\
  2. $g^{-1}\bigl(\mathrm{Im}(g \circ f)\bigr)=\ker(g)+\mathrm{Im}(f)$.
Exercice 5124. Soient $E,F,G$ trois $\K$-ev, $f \in \Lc(E,F)$, $g \in \Lc(F,G)$.\\ Montrer :\\
  1. $\ker(g \circ f)=f^{-1}\bigl(\ker(g)\bigr)$.\\
  2. $\ker(g \circ f) \supset \ker(f)$.\\
  3. $\mathrm{Im}(g \circ f)=g\bigl(\mathrm{Im}(f)\bigr)$.\\
  4. $\mathrm{Im}(g \circ f) \subset \mathrm{Im}(g)$.
Exercice 5125. Soient $E,F,G$ des $\K$-ev, $f \in \Lc(E,F)$, $g \in \Lc(F,G)$, $h \in \Lc(G,F)$, $k \in \Lc(F,E)$.\\ On suppose :\\ \[ f=h \circ g \circ f \quad\mathrm{et}\quad g=g \circ f \circ k. \] Démontrer que $\ker(g)$ et $\mathrm{Im}(f)$ sont supplémentaires dans $F$.
Exercice 5126. Soient $E,F,G$ trois $\K$-ev, $f \in \Lc(E,F)$, $g \in \Lc(F,G)$.\\ Montrer :\\
  1. $\ker(g \circ f)=\ker(f)\Longleftrightarrow \ker(g)\cap \mathrm{Im}(f)=\{0\}$.\\
  2. $\mathrm{Im}(g \circ f)=\mathrm{Im}(g)\Longleftrightarrow \ker(g)+\mathrm{Im}(f)=F$.\\ (On pourra utiliser l'exercice précédent sur $\ker(g \circ f)$ et $\mathrm{Im}(g \circ f)$.)
Exercice 5127. Soient $f$ et $g$ les applications de $\mathbb{R}^2$ vers $\mathbb{R}$ définies par \[ f : (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto x - 3y \in \mathbb{R}, \quad g : (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto x^2 - y^2 \in \mathbb{R}. \] Montrer que $f$ est linéaire et que $g$ ne l'est pas.
Exercice 5128. Pour les six applications suivantes, on admet qu'elles sont linéaires. Dans chaque cas, écrire la matrice de $f$ dans les bases canoniques, et déterminer $\mathrm{Im}(f)$ et $\mathrm{Ker}(f)$ en donnant une base de chacun de ces sous-espaces vectoriels.
  1. $f : (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (y,0) \in \mathbb{R}^2$
  2. $f : (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto 2x - 3y \in \mathbb{R}$
  3. $f : (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mapsto (x+2y+3z,\, 4x+5y+6z,\, 7x+8y+9z) \in \mathbb{R}^3$
  4. $f : (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \mapsto (x+t,\, 0,\, y+z) \in \mathbb{R}^3$
  5. $f : (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4 \mapsto (x-y+t,\, 2x+y-z,\, y+z) \in \mathbb{R}^3$
  6. $f : (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mapsto (x,x,x) \in \mathbb{R}^3$
Exercice 5129. Soient $E$, $F$ et $G$ trois $\K$-espaces vectoriels, puis \[ f\in\mathcal{L}(E,F)\quad \mathrm{et} \quad h\in\mathcal{L}(E,G) \] tels que \[ \ker(f)\subset\ker(h). \]
  1. Montrer qu’il existe une seule application \[ g:\mathrm{Im}(f)\to G \] telle que \[ g\circ f=h. \]
  2. Montrer que $g$ est linéaire.
Exercice 5130. On définit $\varphi:\R[X]\to\R[X]$ par \[ \varphi(P)=P(X+1)-P(X). \] Déterminer $\ker(\varphi)$ et $\mathrm{Im}(\varphi)$.
Exercice 5131. Soit $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.\\ Démontrer que si $\mathrm{tr}(AM)=\mathrm{tr}(MB)$ pour toute $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, alors $A=B$.
Exercice 5132. Soient $E$, $F$ et $G$ trois espaces vectoriels sur un corps $\mathbb{K}$. \\ Soient $f \in \mathcal{L}(E,F)$ et $g \in \mathcal{L}(F,G)$. \\ Montrer : \\
  1. $\ker(g \circ f)=f^{-1}(\ker(g))$.\\
  2. $\ker(g \circ f)\supset \ker(f)$.\\
  3. $\mathrm{Im}(g \circ f)=g(\mathrm{Im}(f))$.\\
  4. $\mathrm{Im}(g \circ f)\subset \mathrm{Im}(g)$.\\
  5. $\ker(g \circ f)=\ker(f)\Longleftrightarrow \ker(g)\cap \mathrm{Im}(f)=\{0\}$.\\
  6. $\mathrm{Im}(g \circ f)=\mathrm{Im}(g)\Longleftrightarrow \ker(g)+\mathrm{Im}(f)=F$.
Exercice 5133. On définit $u:\mathbb{K}_{n-1}[X]\to \mathbb{K}_{n-1}[X]$ par \[ u(P)=P(X+1)-P(X). \]
  1. Montrer que $u$ est un endomorphisme de $\mathbb{K}_{n-1}[X]$.\\
  2. Démontrer qu'il existe $(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb{K}^n$ tel que \[ \forall P\in \mathbb{K}_{n-1}[X],\;P=\Sum_{k=1}^{n}a_kP(X+k). \]
Exercice 5134. Déterminer une base du noyau et de l'image des applications linéaires suivantes :\\
  1. $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ définie par \[ f(x,y,z)=(y-z,z-x,x-y). \]
  2. $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ définie par \[ f(x,y,z,t)=(2x+y+z,x+y+t,x+z-t). \]
  3. $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ définie par \[ f(z)=z+i\overline{z} \] où $\mathbb{C}$ est vu comme un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.
Exercice 5135. Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d'un $K$-espace vectoriel $E$ vérifiant \[ f\circ g=\mathrm{Id}. \] Montrer que $\ker f=\ker(g\circ f)$, $\mathrm{Im}\,g=\mathrm{Im}(g\circ f)$ puis que $\ker f$ et $\mathrm{Im}\,g$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice 5136. Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel $E$ sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ vérifiant \[ f\circ g=\mathrm{Id}. \]
  1. Montrer que $\ker(g\circ f)=\ker f$ et $\mathrm{Im}(g\circ f)=\mathrm{Im}\,g$.\\
  2. Montrer \[ E=\ker f\oplus \mathrm{Im}\,g. \]
  3. Dans quel cas peut-on conclure \[ g=f^{-1}\, ? \]
  4. Calculer \[ (g\circ f)\circ(g\circ f) \] et caractériser $g\circ f$.
Exercice 5137. Soient $E,F$ deux $K$-espaces vectoriels, $f \in \mathcal{L}(E,F)$ et $A,B$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.\\ Montrer \[ f(A)\subset f(B)\iff A+\ker f \subset B+\ker f. \]
Exercice 5138. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $h$ un endomorphisme de $E$.\\
  1. Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, montrer que $h^{-1}(h(F))=F+\ker(h)$.\\
  2. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.\\ Exprimer $h(h^{-1}(F))$ en fonction de $F$ et de $\mathrm{Im}(h)$.
Exercice 5139. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $u \in \mathcal{L}(E)$.
  1. Montrer : $\Ker(u)=\Ker(u^2)$ si et seulement si $\Ker(u)\cap \mathrm{Im}(u)=\{0\}$.\\
  2. On suppose que $E$ est de dimension finie. Montrer que \[ \Ker(u)\oplus \mathrm{Im}(u)=E \;\Longleftrightarrow\; \Ker(u^2)=\Ker(u) \;\Longleftrightarrow\; \mathrm{Im}(u^2)=\mathrm{Im}(u) \]
  3. On considère l’application sur $\mathbb{R}[X]$ définie par $u(P)=P'$. Justifier que $u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}[X])$ et calculer $\mathrm{Im}(u)$, $\mathrm{Im}(u^2)$, $\Ker(u)$ et $\Ker(u^2)$.
Exercice 5140. Pour tout $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\R^3$, on note \[ M(X)=\begin{pmatrix} x+2y+4z\\ 3y+3z\\ x+y+3z \end{pmatrix}. \] Montrer que $M\in\mathcal{L}(\R^3)$, puis calculer $\ker M$ et $\mathrm{Im}(M)$.
Exercice 5141. Soient $E,F,G$ des $\mathbb{K}$-ev, $f\in\mathcal{L}(E,F)$, $g\in\mathcal{L}(F,G)$, $h\in\mathcal{L}(G,F)$, $k\in\mathcal{L}(F,E)$.\\ On suppose :\\ \[ f=h\circ g\circ f\qquad \mathrm{et}\qquad g=g\circ f\circ k. \] Démontrer que $\ker(g)$ et $\mathrm{Im}(f)$ sont supplémentaires dans $F$.
Exercice 5142. Soient $E,F,G$ des $\mathbb{K}$-ev, $f\in\mathcal{L}(E,F)$, $g\in\mathcal{L}(F,G)$. Montrer :\\
  1. $f(\ker(g\circ f))=\ker(g)\cap \mathrm{Im}(f)$.\\
  2. $g^{-1}(\mathrm{Im}(g\circ f))=\ker(g)+\mathrm{Im}(f)$.
Exercice 5143. Soient $E,F,G$ trois $\mathbb{K}$-ev, $f\in\mathcal{L}(E,F)$, $g\in\mathcal{L}(F,G)$. Montrer :\\
  1. $\ker(g\circ f)=f^{-1}(\ker(g))$.\\
  2. $\ker(g\circ f)\supset \ker(f)$.\\
  3. $\mathrm{Im}(g\circ f)=g(\mathrm{Im}(f))$.\\
  4. $\mathrm{Im}(g\circ f)\subset \mathrm{Im}(g)$.
Exercice 5144. Soit $\varphi : C^\infty(\R,\R)\to C^\infty(\R,\R)$ définie par $\varphi(f)=f''-3f'+2f$.\\ Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme et préciser son noyau.
Exercice 5145. Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$. Prouver l’équivalence \[ \mathrm{Im}(f)+\ker(f)=E \iff \mathrm{Im}(f)=\mathrm{Im}(f^2) \]
Exercice 5146. Soit $E$ un $K$-e.v de dimension finie et $F$ un $K$-e.v.\\
  1. Soient $f,g \in \mathcal{L}(E,F)$. Montrer les inégalités \[ \left|\mathrm{rg}f-\mathrm{rg} g\right| \leqslant \mathrm{rg}(f+g) \leqslant \mathrm{rg} f+\mathrm{rg} g. \]
  2. Soient deux endomorphismes $f,g \in \mathcal{L}(E)$ tels que $f \circ g=0$ et $f+g$ est inversible. Montrer que \[ \mathrm{rg} f+\mathrm{rg} g=\dim E. \]
Exercice 5147. Soit $E$ un $K$-e.v, $\varphi_1,\dots,\varphi_p \in E^*$ et \[ \varphi : E \to K^p \] définie par \[ \varphi=(\varphi_1,\dots,\varphi_p). \] Montrer que $\varphi$ est surjective si et seulement si $\varphi_1,\dots,\varphi_p$ sont linéairement indépendantes.
Exercice 5148. Soient $E$, $F$ et $G$ trois $\K$-espaces vectoriels, $f \in \mathcal{L}(E,F)$ et $g \in \mathcal{L}(F,G)$. \\
  1. Démontrer l'équivalence : $\ker(g \circ f)=\ker(f) \iff \ker(g)\cap \mathrm{Im}(f)=\{0_F\}$. \\
  2. Démontrer l'équivalence : $\mathrm{Im}(g \circ f)=\mathrm{Im}(g) \iff \ker(g)+\mathrm{Im}(f)=F$.

Exercice 5149. Banque CCP

Soit la matrice $A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{pmatrix}$ et $f$ l’endomorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ défini par $f(M)=AM$. \\
  1. Déterminer une base de $\ker f$. \\
  2. $f$ est-il surjectif ? \\
  3. Déterminer une base de $\mathrm{Im} f$. \\
  4. A-t-on $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})=\ker f \oplus \mathrm{Im} f$ ?
Exercice 5150. Considérons l'application $f : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}[X]$ définie par $f(P)=(X+1)P'-P$.\\
  1. Démontrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$. Calculer sa matrice $A$ dans la base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$.\\
  2. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?\\
  3. La matrice $A$ est-elle inversible ?\\
  4. Déterminer une base de $\mathrm{Im}(f)$.\\
  5. Déterminer une base de $\ker(f)$.\\
  6. Résoudre l'équation différentielle $(1+x)y'-y=(1+x)^2$. Que peut-on en déduire d'après la question $1$ ?
Exercice 5151. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie et $f \in \mathcal{L}(E)$. \\
  1. Montrer que $\mathrm{Im}(f)$ et $\ker(f)$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$. \\
  2. Montrer que si $f$ est injective alors $\ker(f)=\{0\}$. \\
  3. Montrer que si $f$ est surjective alors $\mathrm{Im}(f)=E$. \\
  4. Montrer que $\dim(E)=\dim(\ker(f))+\dim(\mathrm{Im}(f))$. \\
Exercice 5152. Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels, $u$ une application linéaire de $E$ dans $F$ et $v$ une application linéaire de $F$ dans $E$ telles que $v \circ u = \mathrm{Id}_E$.\\
  1. Montrer que $\ker(u \circ v) = \ker(v)$.\\
  2. Montrer que $\mathrm{Im}(u \circ v) = \mathrm{Im}(u)$.\\
  3. Montrer que $\ker(v) \oplus \mathrm{Im}(u) = F$.
Exercice 5153.
  1. Soit $f : \begin{cases} \mathbb{R}_3[X] \to \mathbb{R}^4 \\ P \mapsto (P(0), P'(0), P''(0), P'''(0)) \end{cases}$ (on admet sa linéarité). Donner la matrice de $f$ dans les bases canoniques au départ et à l'arrivée.
  2. Soit $f \in L(E,F)$. On suppose que $\dim(E) = \dim(F)$. Montrer que $f$ est injective si et seulement si $f$ est surjective.
  3. Donner le noyau de $\varphi : P \in \mathbb{R}_2[X] \mapsto P' + P$.
  4. Donner l'image de $\varphi : f \in L(\mathbb{R}^3) \mapsto f(0)$ (où $0$ désigne le vecteur nul de $\mathbb{R}^3$).
  5. Soit $f \in L(E,F)$. On suppose que $\dim(E) \geq \dim(F)$. Justifier que $f$ ne peut pas être injective. Énoncer et démontrer une proposition semblable sur la surjectivité.
  6. Soit $f : \begin{cases} \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}_3[X] \\ (x,y,z) \mapsto xX + yX^2 + zX^3 \end{cases}$ (on admet sa linéarité). Donner la matrice de $f$ dans les bases $B = \{(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)\}$ au départ et $B' = \{1, X+1, X^2, X^3\}$ à l'arrivée.
  7. Donner le noyau de $\varphi : M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \mapsto 2M - {}^t\!M$.
  8. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Donner l'image de $\varphi : P \in \mathbb{R}_n[X] \mapsto XP'$.
Exercice 5154. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ et $f$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ défini par $f(M) = AM$.
  1. Déterminer une base de $\mathrm{Ker}(f)$.
  2. $f$ est-elle surjective ?
  3. Déterminer une base de $\mathrm{Im}(f)$.
  4. A-t-on $\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) = \mathrm{Ker}(f) \oplus \mathrm{Im}(f)$ ?
Exercice 5155. Montrer que les applications suivantes sont linéaires. Déterminer ensuite une base de leur noyau et de leur image. Sont-elles injectives ? Bijectives ? Surjectives ? Sont-ce des endomorphismes, des isomorphismes, des automorphismes ?
  1. $f_1 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, $(x,y) \mapsto (y-3x,\; 5x+2y,\; x+y)$.
  2. $f_2 : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, $(x,y,z) \mapsto (x+y+z,\; x+3y+2z,\; 3x+y+2z)$.
  3. $f_3 : \mathbb{R}_3[X] \to \mathbb{R}_3[X]$, $P \mapsto X(P'(X+1) - P'(1))$.
Exercice 5156. On note $\Delta$ l'endomorphisme $P \mapsto P(X+1) - P(X)$ de $\mathbb{R}[X]$.
  1. Déterminer $\mathrm{Ker}(\Delta)$.
  2. Déterminer $\mathrm{Im}(\Delta_{|\mathbb{R}_n[X]})$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.
  3. Montrer que $\Delta$ est surjectif de $\mathbb{R}[X]$ sur lui-même.
Exercice 5157. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ et $f$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ défini par $f(M) = AM$.
  1. Déterminer une base de $\mathrm{Ker}(f)$.
  2. $f$ est-il surjectif ?
  3. Déterminer une base de $\mathrm{Im}(f)$.
  4. A-t-on $\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) = \mathrm{Ker}(f) \oplus \mathrm{Im}(f)$ ?
Exercice 5158. On note $\varphi$ l'application qui à tout polynôme $P \in \mathbb{R}_2[X]$ associe le polynôme $Q$ défini par $Q = (1+2X^2)P + (1-X^3)P'$.
  1. Montrer que $\varphi$ est linéaire et que $\mathrm{Im}(\varphi) \subset \mathbb{R}_3[X]$.
  2. Calculer $\varphi(1)$, $\varphi(X)$ et $\varphi(X^2)$, puis écrire la matrice de $\varphi$ dans les bases canoniques de $\mathbb{R}_2[X]$ et $\mathbb{R}_3[X]$.
  3. Déterminer $\mathrm{Im}(\varphi)$ et vérifier que $\varphi$ est injective.
Exercice 5159. On note $\varphi$ l'application qui à tout polynôme $P \in \mathbb{R}_2[X]$ associe le polynôme $Q$ défini par $Q = (1+2X^2)P + (1-X^3)P'$.
  1. Montrer que $\varphi$ est linéaire et que $\mathrm{Im}(\varphi) \subset \mathbb{R}_3[X]$.
  2. Calculer $\varphi(1)$, $\varphi(X)$ et $\varphi(X^2)$, puis écrire la matrice de $\varphi$ dans les bases canoniques de $\mathbb{R}_2[X]$ et $\mathbb{R}_3[X]$.
  3. Déterminer $\mathrm{Im}(\varphi)$ et vérifier que $\varphi$ est injective.
Exercice 5160. On note $\varphi$ l'application qui à tout polynôme $P \in \mathbb{R}_2[X]$ associe le polynôme $Q$ défini par $Q = (1+2X^2)P + (1-X^3)P'$.
  1. Montrer que $\varphi$ est linéaire et que $\mathrm{Im}(\varphi) \subset \mathbb{R}_3[X]$.
  2. Calculer $\varphi(1)$, $\varphi(X)$ et $\varphi(X^2)$, puis écrire la matrice de $\varphi$ dans les bases canoniques de $\mathbb{R}_2[X]$ et $\mathbb{R}_3[X]$.
  3. Déterminer $\mathrm{Im}(\varphi)$ et vérifier que $\varphi$ est injective.
Exercice 5161. On note $\varphi$ l'application qui à tout polynôme $P \in \mathbb{R}_2[X]$ associe le polynôme $Q$ défini par $Q = (1+2X^2)P + (1-X^3)P'$.
  1. Montrer que $\varphi$ est linéaire et que $\mathrm{Im}(\varphi) \subset \mathbb{R}_3[X]$.
  2. Calculer $\varphi(1)$, $\varphi(X)$ et $\varphi(X^2)$, puis écrire la matrice de $\varphi$ dans les bases canoniques de $\mathbb{R}_2[X]$ et $\mathbb{R}_3[X]$.
  3. Déterminer $\mathrm{Im}(\varphi)$ et vérifier que $\varphi$ est injective.
Exercice 5162. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ et $f$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ défini par $f(M) = AM$.
  1. Déterminer une base de $\mathrm{Ker}(f)$.
  2. $f$ est-il surjectif ?
  3. Déterminer une base de $\mathrm{Im}(f)$.
  4. A-t-on $\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) = \mathrm{Ker}(f) \oplus \mathrm{Im}(f)$ ?
Exercice 5163. On considère un $\K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie et $(f,g)\in \mathcal{L}(E)^2$. \\
    1. Montrer que $\mathrm{Im}(f+g)\subset \mathrm{Im}(f)+\mathrm{Im}(g)$. \\
    2. En déduire que $\rg(f+g)\leqslant \rg(f)+\rg(g)$. \\
  2. On souhaite déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que l'inégalité 1.(b) soit une égalité. \\
    1. On suppose que $\rg(f+g)=\rg(f)+\rg(g)$. \\
      • Prouver que $\mathrm{Im}(f)\cap \mathrm{Im}(g)=\{0\}$. \\
      • En utilisant l'inclusion $\mathrm{Im}(f)\subset \mathrm{Im}(f+g)$, montrer que $\ker(f)+\ker(g)=E$. \\
    2. On suppose réciproquement que $\mathrm{Im}(f)\cap \mathrm{Im}(g)=\{0\}$ et $\ker(f)+\ker(g)=E$. \\
      • Prouver que $\mathrm{Im}(f)\subset \mathrm{Im}(f+g)$ et $\mathrm{Im}(g)\subset \mathrm{Im}(f+g)$. \\
      • En déduire que $\mathrm{Im}(f+g)=\mathrm{Im}(f)\oplus \mathrm{Im}(g)$ puis que $\rg(f+g)=\rg(f)+\rg(g)$. \\
    1. Montrer que : $\forall u\in \mathcal{L}(E),\ \mathrm{Im}(-u)=\mathrm{Im}(u)$. \\
    2. Etablir que : $|\rg(f)-\rg(g)|\leqslant \rg(f+g)$.
Exercice 5164. Les applications suivantes sont-elles des applications linéaires ? Si oui, déterminer une base de $\ker(f)$ :\\ $f:(x,y)\mapsto(2x+1,y-x)$ sur $\R^2$\\ $f:\varphi\mapsto\varphi''-2\varphi'+3\varphi$ sur $\mathcal{C}^\infty(\R,\R)$\\ $f:P(X)\mapsto P'(5)$ sur $\R[X]$\\ $f:(u_n)_{n\in\N}\mapsto(u_{n+2}+u_{n+1}+u_n)_{n\in\N}$ sur $\R^\N$\\ $f:x\mapsto x^2-x$ sur $\R$\\ $f:g\mapsto g\circ g$ sur $\mathcal{L}(\R^2)$\\ $f:P(X)\mapsto(2X+1)P'(X)-4P(X)$ sur $\R[X]$
Exercice 5165. On pose \[ \Delta:\left|\begin{array}{rcl} \R[X]&\longrightarrow&\R[X]\\ P(X)&\longmapsto&P(X+1)-P(X) \end{array}\right. \] puis pour tout $n\in\N$, $\Delta_n$ la restriction à $\R_n[X]$.\\
  1. Montrer que $\Delta_n\in\mathcal{L}(\R_n[X])$.\\
  2. Déterminer $\Ker(\Delta_n)$ et $\mathrm{Im}(\Delta_n)$.\\
  3. Déterminer $\Ker(\Delta)$ et $\mathrm{Im}(\Delta)$.\\
  4. Montrer que pour tout $P\in\R_n[X]$, \[ \Delta^{n+1}(P)=0. \]
  5. Calculer pour tout polynôme $P(X)$ et tout entier $p$, $\Delta^p(P(X))$. On pourra utiliser \[ \delta:P(X)\mapsto P(X+1). \]
  6. Montrer que pour tout $d\in\N$, l’application \[ n\mapsto\sum_{k=0}^{n}k^d \] est polynomiale en la variable $n$.
Exercice 5166. Soient $E$ un espace vectoriel, puis $f$ et $g$ dans $\mathcal{L}(E)$ tels que \[ E=\Ker(f)+\Ker(g)=\mathrm{Im}(f)+\mathrm{Im}(g). \]
  1. On suppose que $E$ est de dimension finie. Montrer que les deux sommes précédentes sont directes.\\
  2. On prend \[ E=\R[X],\qquad f:P\mapsto P'(X),\qquad g:P\mapsto P(0). \]
    1. Calculer $\Ker(f)$, $\Ker(g)$, $\mathrm{Im}(f)$ et $\mathrm{Im}(g)$.\\
    2. Le résultat de la première question marche-t-il lorsque $E$ est de dimension infinie ?
Exercice 5167. Soit $f\in\mathcal{L}(E)$. Montrer les équivalences :\\ \[ \mathrm{Im}(f)\cap\Ker(f)=\{0\}\Longleftrightarrow \Ker(f^2)=\Ker(f) \] \[ \mathrm{Im}(f)+\Ker(f)=E\Longleftrightarrow \mathrm{Im}(f)=\mathrm{Im}(f^2) \]
Exercice 5168. Soient $f,g\in \mathcal{L}(E)$ tels que \[ g\circ f\circ g=g \quad \text{et} \quad f\circ g\circ f=f. \]
  1. Montrer que $\mathrm{Im}\,f$ et $\ker g$ sont supplémentaires dans $E$.\\
  2. Justifier que \[ f(\mathrm{Im}\,g)=\mathrm{Im}\,f. \]
Exercice 5169. Soient $u$ un endomorphisme d’un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.\\
  1. Exprimer $u^{-1}(u(F))$ en fonction de $F$ et de $\ker u$.\\
  2. Exprimer $u(u^{-1}(F))$ en fonction de $F$ et de $\mathrm{Im}\,u$.\\
  3. À quelle condition a-t-on \[ u(u^{-1}(F))=u^{-1}(u(F)) \, ? \]
Exercice 5170. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que \[ f^2-3f+2\mathrm{Id}=0. \]
  1. Montrer que $f$ est inversible et exprimer son inverse en fonction de $f$.\\
  2. Établir que $\ker(f-\mathrm{Id})$ et $\ker(f-2\mathrm{Id})$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$.
Exercice 5171. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $u,v\in\mathcal{L}(E)$ tels que $u\circ v=v\circ u$ et $\ker(u)\cap\ker(v)=\{0\}$.\\ Montrer que quels que soient $i,j\in\mathbb{N}$, $\ker(u^i)\cap\ker(v^j)=\{0\}$.
Exercice 5172. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $u$ un élément de $\mathcal{L}(E)$.\\
  1. Montrer que $\ker(u)\cap\mathrm{Im}(u)=\{0\}$ si et seulement si $\ker(u^2)=\ker(u)$.\\
  2. Montrer que $E=\ker(u)+\mathrm{Im}(u)$ si et seulement si $\mathrm{Im}(u^2)=\mathrm{Im}(u)$.
Exercice 5173. Soient $m > n\geqslant 1$, $A\in \mathcal{M}_{m,n}(\R)$, $B\in \mathcal{M}_{n,m}(\R)$ telles que \[ \mathrm{Rg}(AB)=n \quad \mathrm{et} \quad (AB)^2=AB. \] Montrer que \[ BA=I_n. \]
Exercice 5174. On suppose que $f\in \mathcal{L}(E)$ où $E$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $K=\R$ ou $\C$.\\
  1. Démontrer que la suite définie par \[ r_k=\mathrm{Rg}(f^k) \] pour \[ k\in \N \] est décroissante et stationnaire.
  2. Établir que cette décroissance est de moins en moins rapide, c'est-à-dire que la suite définie par \[ d_k=r_k-r_{k+1} \] est décroissante.
  3. Soit \[ p=\min\{k\in \N,\; r_k=r_{k+1}\}. \] Montrer que la suite $(r_k)$ est constante à partir du rang $p$ et que \[ p\leqslant n. \]
  4. Montrer que \[ E=\ker(f^n)\oplus \mathrm{Im}(f^n). \]
Exercice 5175. On définit $u:\K_{n-1}[X]\to \K_{n-1}[X]$ par \[ u(P)=P(X+1)-P(X). \]
  1. Montrer que $u$ est un endomorphisme de $\K_{n-1}[X]$.\\
  2. Démontrer qu'il existe $(a_1,\dots,a_n)\in \K^n$ tel que \[ \forall P\in \K_{n-1}[X],\;P=\Sum_{k=1}^{n}a_kP(X+k). \]
Exercice 5176. Soient $E,F,G$ trois $\mathbb{K}$-ev, $f\in\mathcal{L}(E,F)$, $g\in\mathcal{L}(F,G)$. Montrer :\\
  1. $\ker(g\circ f)=\ker(f)\iff \ker(g)\cap \mathrm{Im}(f)=\{0\}$.\\
  2. $\mathrm{Im}(g\circ f)=\mathrm{Im}(g)\iff \ker(g)+\mathrm{Im}(f)=F$.
Exercice 5177. Soit $E$ et $F$ des espaces vectoriels de dimension finie. Soit $W$ un sous-espace vectoriel de $E$. On pose \[ \mathcal{A}=\{u \in \mathcal{L}(E,F) \mid W \subset \ker(u)\} \]
  1. Montrer que $\mathcal{A}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E,F)$.\\
  2. Exprimer la dimension de $\mathcal{A}$ en fonction des dimensions de $E$, $F$ et $W$.
Exercice 5178. Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension $n$, $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.
  1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $F$ et $G$ pour qu’il existe $u\in\mathcal{L}(E)$ tel que \[ \ker(u)=F \qquad \mathrm{et} \qquad \mathrm{Im}(u)=G. \]
  2. Application : donner l’expression analytique d’une solution $u\in\mathcal{L}(\R^4)$ lorsque \[ F=\Vect((2,1,1,-1)) \qquad \mathrm{et} \qquad G=\{(x,y,z,t)\in\R^4\; ; \; x+y+z+t=0\}. \]
Exercice 5179. Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel $E$.
  1. Montrer que si $g\circ f$ est surjective, alors $g$ est surjective.
  2. Montrer que si $g$ est surjective et si $E=\mathrm{Im}(f)+\Ker(g)$, alors $g\circ f$ est surjective.
  3. Formuler des énoncés similaires pour l'injectivité.
Exercice 5180. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f$ un endomorphisme de $E$.
  1. Montrer que si $f$ est un projecteur, alors $E=\ker(f)\oplus \mathrm{Im}(f)$.
  2. Montrer que :
    1. $\ker(f)\cap \mathrm{Im}(f)=\{0\}\iff \ker(f)=\ker(f^2)$.
    2. $E=\ker(f)+\mathrm{Im}(f)\iff \mathrm{Im}(f)=\mathrm{Im}(f^2)$.
    Que se passe-t-il si $E$ est de dimension finie ?
Exercice 5181. Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel $E$ qui commutent.
  1. Montrer que $\mathrm{Im}(u)$ et $\Ker(u)$ sont stables par $v$.
  2. On suppose que $E=\ker(u)\oplus \ker(v)$. Montrer que $\mathrm{Im}(u)\subset \ker(v)$ et que $\mathrm{Im}(v)\subset \ker(u)$.
  3. Montrer que les inclusions précédentes sont des égalités lorsque $E$ est de dimension finie.
Exercice 5182. Soient $A,B\in M_3(\mathbb{C})$ non nulles telles que $A^2=B^2=0$. \\ Montrer que $A$ et $B$ sont semblables. \\ Est-ce encore vrai dans $M_4(\mathbb{C})$ ?
Exercice 5183. Soit $n \in \mathbb{N}$.
  1. Montrer que $\mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Soit $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$. On considère l'application $f : \mathcal{A}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ définie par $f(M) = {}^t\!MA + AM$.
  2. Justifier que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{A}_n(\mathbb{R})$.
  3. Justifier que $\{M \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R}) \mid AM = MA\} \subset \mathrm{Ker}(f)$.
  4. Dans le cas où $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ et $n = 3$, donner $\mathrm{Im}(f)$, $\mathrm{rg}(f)$, puis $\dim(\mathrm{Ker}(f))$, puis $\mathrm{Ker}(f)$, dans cet ordre.
Exercice 5184. Soit $E = \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Pour toute $f \in E$, on pose $\Phi(f) : x \in \mathbb{R} \mapsto \displaystyle\integrale{x}{x+1}{f(t)}{t}$.
  1. Montrer que $\Phi \in L(E)$. L'application $\Phi$ est-elle injective ? Surjective ?
  2. Déterminer le noyau de $\Phi$.
Exercice 5185. Dans $E = \mathbb{R}_3[X]$, on pose $A = X^4 - 1$ et $B = X^4 - X$. Pour tout $P \in E$, on note $\varphi(P)$ le reste $R$ dans la division euclidienne de $AP$ par $B$. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$. Quel est son noyau ? Quelle est son image ?
Exercice 5186. Soit $u$ un endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie.\\ Montrer \[ \forall k,\ell\in \mathbb{N},\ \dim(\ker u^{k+\ell})\leqslant \dim(\ker u^k)+\dim(\ker u^\ell). \]
Exercice 5187. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f,g\in \mathcal{L}(E)$.\\ Montrer \[ \mathrm{Im}(g)\subset \mathrm{Im}(f) \iff \exists h\in \mathcal{L}(E),\ g=f\circ h. \]
Exercice 5188. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f,g\in \mathcal{L}(E)$.\\ Montrer \[ \ker(f)\subset \ker(g) \iff \exists h\in \mathcal{L}(E),\ g=h\circ f. \]
Exercice 5189. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer qu’il existe $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\ker(u)=\mathrm{Im}(u)$ si et seulement si $n$ est pair.
Exercice 5190. Considérons un corps $K$.\\
  1. Notons $(E_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ la base canonique de $\mathcal{M}_n(K)$. Calculer $E_{i,j}E_{k,\ell}$.\\
  2. Prouver que $\mathrm{Vect}\{AB-BA\;/\;(A,B)\in\mathcal{M}_n(K)^2\}=\ker(\mathrm{tr})$.\\
  3. Soit $\varphi$ une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(K)$ telle que $\varphi(AB)=\varphi(BA)$ pour tout $(A,B)\in\mathcal{M}_n(K)^2$. Montrer qu’il existe un scalaire $\lambda$ tel que $\varphi=\lambda \mathrm{tr}$.\\
  4. Déterminer un supplémentaire de $\ker(\mathrm{tr})$.
Exercice 5191. Soit \[ f:(x,y,z)\mapsto\Frac13(2x+y+z,x+2y-z,x-y+2z). \]
  1. Montrer que $f\in\mathcal{L}(\R^3)$.\\
  2. Montrer que $f$ est un projecteur.\\
  3. Caractériser ce projecteur.\\
  4. Comparer les espaces $\R[f]$ des polynômes en $f$ et le commutant de $f$ des endomorphismes $g$ dans $\mathcal{L}(\R^3)$ tels que \[ g\circ f=f\circ g. \]
Exercice 5192. Soit $u$ un endomorphisme non nul de $\R^3$ tel que \[ u^3+u=0_{\mathcal{L}(\R^3)}. \]
  1. Montrer que $u$ n’est pas injectif.\\
  2. Montrer que pour tout $x\in\ker(u)\setminus\{0\}$, la famille $(u(x),u^2(x))$ est une base de $\mathrm{Im}(u)$.\\
  3. Montrer que \[ \ker(u)\oplus\mathrm{Im}(u)=\R^3. \]
Exercice 5193. Pour $f\in E=C([0,1],\mathbb{R})$, on pose $\Phi(f):x\in [0,1]\mapsto \integrale{0}{1}{\min(x,t)f(t)}{t}$.
  1. Prouver que $\Phi$ est linéaire et que, pour tout $f\in E$, $\Phi(f)$ est lipschitzienne. En déduire que $\Phi$ est un endomorphisme de $E$.
  2. En utilisant la relation de Chasles, trouver une autre expression de $\Phi(f)(x)$. En déduire que $\Phi(f)$ est de classe $C^2$ et exprimer $[\Phi(f)]''$ en fonction de $f$.
  3. En déduire $\Ker \Phi$ et $\mathrm{Im}\Phi$.
Exercice 5194. Décomposition des noyaux : première approche. \\ Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel, $u\in\mathcal{L}(E)$ et $X^2+aX+b$ un polynôme à coefficients complexes. \\
  1. On note $r_1$ et $r_2$ les deux racines de $X^2+aX+b$. Montrer que \[ u^2+au+b\,\mathrm{id}_E=(u-r_1\mathrm{id}_E)\circ (u-r_2\mathrm{id}_E)=(u-r_2\mathrm{id}_E)\circ (u-r_1\mathrm{id}_E). \]
  2. On pose $F=\Ker(u^2+au+b\,\mathrm{id}_E)$, $F_1=\Ker(u-r_1\mathrm{id}_E)$ et $F_2=\Ker(u-r_2\mathrm{id}_E)$. Montrer que $F_1\subset F$ et $F_2\subset F$. \\ A partir de maintenant, on suppose que $a^2-4b\neq 0$. \\
  3. Montrer que $F=F_1\oplus F_2$.
  4. Application : dans cette question, on suppose que $E$ est le $\mathbb{C}$-espace vectoriel des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ de classe $C^\infty$ et que $u$ est l'endomorphisme de $E$ qui à $f$ associe $f'$. On considère l'équation différentielle $(\mathcal{E})$ : \[ y''+ay'+by=0. \] \startletters
  5. a Montrer que toute solution de $(\mathcal{E})$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$.
  6. a Montrer que l'ensemble des solutions de $(\mathcal{E})$ est $F$ et déterminer $F_1$ et $F_2$.
  7. a En déduire le résultat du cours : les solutions de $(\mathcal{E})$ sont les fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ du type $t\mapsto \lambda e^{r_1t}+\mu e^{r_2t}$ avec $\lambda,\mu\in\mathbb{C}$.
Exercice 5195. Soit $K$ un corps de caractéristique différente de $2$ et $E$ un $K$-espace vectoriel.\\ Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ tels que \[ u^2=v^2=\mathrm{id}_E. \] Montrer que \[ \ker(u\circ v-v\circ u)=\ker(u-v)\oplus\ker(u+v). \]
Exercice 5196. Soit $f$ un endomorphisme sur un espace $E$ de dimension finie.\\
  1. Montrer que pour tout $n\in\N$, \[ \Ker(f^n)\subset\Ker(f^{n+1}) \] et \[ \mathrm{Im}(f^{n+1})\subset\mathrm{Im}(f^n). \]
  2. Que peut-on dire des deux suites \[ (\dim(\Ker(f^n)))_{n\in\N} \] et \[ (\dim(\mathrm{Im}(f^n)))_{n\in\N} ? \]
  3. Montrer que les deux suites \[ (\Ker(f^n))_{n\in\N} \] et \[ (\mathrm{Im}(f^n))_{n\in\N} \] sont constantes à partir du même rang.\\
  4. Montrer que la suite \[ (d_n)=\big(\mathrm{Rg}(f^n)\big)_{n\in\N} \] vérifie : \[ \forall n\in\N,\quad d_{n+1}\leqslant\Frac{d_n+d_{n+2}}{2}. \]
Exercice 5197. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $u\in \mathcal{L}(E)$.\\
  1. Montrer que, pour tout $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$, \[ \dim\bigl(\ker(u^k)\bigr)\leqslant k\dim\bigl(\ker(u)\bigr). \]
  2. Déterminer les endomorphismes $u$ de $E$ tels que, pour tout $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$, \[ \dim\bigl(\ker(u^k)\bigr)=k\dim\bigl(\ker(u)\bigr). \]
Exercice 5198. On dit qu'une suite d'applications linéaires \[ \{0\}\xrightarrow{u_0} E_1\xrightarrow{u_1} E_2\xrightarrow{u_2}\cdots \xrightarrow{u_{n-1}} E_n\xrightarrow{u_n}\{0\} \] est exacte si on a \[ \mathrm{Im}(u_k)=\ker(u_{k+1}) \] pour tout $k\in \{0,\dots,n-1\}$. Montrer que si tous les $E_k$ sont de dimension finie, on a la formule dite d'Euler-Poincaré : \[ \Sum_{k=1}^{n}(-1)^k\dim E_k=0. \]
Exercice 5199. Soit $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que \[ f^2=0 \] avec $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie.\\ Montrer que \[ \exists g\in \mathcal{L}(E),\ f\circ g+g\circ f=\mathrm{Id}_E \iff \mathrm{Im}(f)=\ker(f). \]
Exercice 5200. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n\geqslant 1$ et $f$ un endomorphisme nilpotent de $E$.\\ Pour tout $p\in \mathbb{N}$, on pose \[ I_p=\mathrm{Im}(f^p) \quad \text{et} \quad N_p=\ker(f^p). \]
  1. Montrer que $(I_p)_{p\geqslant 0}$ est décroissante tandis que $(N_p)_{p\geqslant 0}$ est croissante.\\
  2. Montrer qu'il existe $s\in \mathbb{N}$ tel que \[ I_{s+1}=I_s \quad \text{et} \quad N_{s+1}=N_s. \]
  3. Soit $r$ le plus petit des entiers $s$ ci-dessus considérés. Montrer que \[ \forall s\geqslant r,\ I_s=I_r \quad \text{et} \quad N_s=N_r. \]
  4. Montrer que $I_r$ et $N_r$ sont supplémentaires dans $E$.