Exercices divers

Exercice 2170. Trouver toutes les fonctions continues $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ telles que $\forall x \in [0,1]$,\\ \[ f(x)=\Sum_{n\geqslant 1}\frac{f(x^n)}{2^n}. \]
Exercice 2171. Soient $(a,b) \in \R^2$ tel que $a < b$ et $f,g : [a,b] \to \R$ continues telles que \[ \sup_{x \in [a,b]}f(x) = \sup_{x \in [a,b]}g(x) \] Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=g(c)$.
Exercice 2172. Trouver les fonctions bijectives de $[0,1]$ sur lui-même vérifiant $\forall x \in [0,1]$, $f(2x - f(x)) = x$.
Exercice 2173. Un voyageur fait un trajet de $500$ kilomètres en $5$ heures.\\
  1. Montrer qu’il existe un laps de temps d’une heure durant lequel le voyageur a exactement parcouru $100$ kilomètres.\\
  2. Existe-t-il un laps de temps de $3$ heures durant lequel le voyageur a exactement parcouru $300$ kilomètres ?
Exercice 2174. On cherche les fonctions $f : \R \to \R$ continues telles que pour tout $x,y \in \R$,\\ \[ f\parenthese{\Frac{x+y}{2}}=\Frac{1}{2}\parenthese{f(x)+f(y)}. \]
  1. On suppose $f$ solution et $f(0)=f(1)=0$. Montrer que $f$ est périodique et que\\ \[ \forall x \in \R,\quad 2f(x)=f(2x). \] En déduire que $f$ est nulle.\\
  2. Déterminer toutes les fonctions $f$ solutions.
Exercice 2175. Soit $f : \left[0,+\infty\right[ \to \R$ continue. \\ On suppose que $\abs{f(x)} \to +\infty$ lorsque $x \to +\infty$. \\ Montrer que $f(x) \to +\infty$ ou $f(x) \to -\infty$ lorsque $x \to +\infty$.
Exercice 2176. Un marcheur parcourt $12$ kilomètres en $2$ heures. Montrer qu'il y a un intervalle de $1$ heure pendant lequel il parcourt exactement $6$ kilomètres.
Exercice 2177. Soit $f$ une surjection continue de $\R_+$ dans $\R$.\\ Montrer que tout réel admet une infinité d’antécédents par $f$.
Exercice 2178. Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$ telle que $f_{\restriction \Q}$ est croissante.\\ Montrer que $f$ est croissante.
Exercice 2179. Montrer que la fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par \\ \[ f(x)= \begin{cases} \sin\!\left(\Frac{1}{x}\right) & \; x \neq 0,\\ 0 & \; x = 0, \end{cases} \] vérifie le théorème des valeurs intermédiaires mais n'est pas continue en $0$.
Exercice 2180. \\
  1. Donner un exemple d’application $f : \R \longrightarrow \R$ discontinue en tout point de $\R$ telle que $f^{2}$ est continue sur $\R$.\\
  2. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ telle que $f^{3}$ est continue sur $\R$. Montrer que $f$ est continue sur $\R$.
Exercice 2181. Montrer que tout fermé de $\mathbb{R}$ est l'ensemble des zéros d'une fonction $C^\infty$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
Exercice 2182. Soient $x \in \R$ et $p \in \N^{*}$.\\
  1. Montrer qu'il existe trois nombres $q \in \Z$, $r \in \{0,\ldots,p-1\}$ et $\alpha \in [0,1[$ tels que \[ x = q p + r + \alpha. \]
  2. Montrer que \[ \Sum_{k=0}^{p-1} \left\lfloor \Frac{x+k}{p} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor. \]

Exercice 2183. X PC

\\ Trouver toutes les fonctions continues $f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ telles que $\forall x \in [0,1]$, \[ f(x)=\Sum_{n \geqslant 1}\Frac{f(x^n)}{2^n} \]
Exercice 2184. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[0,1]$ vers $[0,1]$ qui commutent.\\ Montrer qu'il existe $x \in [0,1]$ tel que $f(x)=g(x)$.
Exercice 2185. Soit $(f_n)_n$ une suite de fonctions croissantes de $\R$ dans $[0,1]$. On suppose que $(f_n)_n$ converge simplement sur $\Q$ vers une fonction $f$. On pose \[ g(x)=\begin{cases} f(x) & \mathrm{si}\; x\in\Q,\\ \sup\{f(r)\mid r\in\Q\cap]-\infty,x[\} & \mathrm{si}\; x\notin\Q. \end{cases} \]
    1. Démontrer que $g$ est bien définie sur $\R$.\\
    2. Démontrer que $g$ est croissante sur $\R$. \\
  2. Soit $a\in\R$. On suppose que $g$ est continue en $a$. \\ Démontrer que $(f_n(a))_n$ converge vers $g(a)$.
Exercice 2186. Trouver toutes les applications $f : ]0,+\infty[ \to \R$ telles que \[ \forall (x,y) \in \Rpe^2, \;\; \abs{f(x)-f(y)} \leqslant \Frac{1}{x+y} \]
Exercice 2187. Soit $f : [0,1] \to \Rpe$ une application telle que \[ f(x) + \Frac{1}{f(x)} \xrightarrow[x \to 0]{} 2 \] Montrer que $f(x) \xrightarrow[x \to 0]{} 1$.

Exercice 2188. Oral Mines-Pont PC

\\ Soit $f : \R_+ \to \R_+$ continue telle que $f \circ f = \mathrm{Id}$. \\ Montrer que $f = \mathrm{Id}$.
Exercice 2189. Trouver toutes les applications $f : \R \to \R$ continues en $0$ telles que \[ \forall (x,y) \in \R^2, \quad f\parenthese{\Frac{x+y}{3}} = \Frac{f(x)+f(y)}{2} \]
Exercice 2190. Déterminer les applications $f:\mathbb{R}_+^*\to\mathbb{R}_+^*$ qui tendent vers $0$ en $+\infty$ et qui vérifient \[ f(xf(y))=y\,f(x) \] pour tout $(x,y)\in (\mathbb{R}_+^*)^2$.
Exercice 2191. Soit $a,b$ deux réels avec $a\neq 0$ et $a\neq 1$. \\ Déterminer les fonctions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ telles que pour tout $x$, \[ f(f(x))=ax+b. \]
Exercice 2192. Déterminer les fonctions continues $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ telles que l'on ait \[ f(f(x))=\mathrm{e}^x \] pour tout $x$.
Exercice 2193. Soient $a,b,c$ des réels strictement positifs deux à deux distincts. \\ Trouver les fonctions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ telles que pour tout $x$, \[ f(ax)+f(bx)+f(cx)=0. \]
Exercice 2194.
  1. Trouver toutes les fonctions continues $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ telles que \[ f(x)=\Sum_{n=1}^{+\infty}\frac{f(x^n)}{3^n} \] pour tout $x\in [0,1]$. \\
  2. Même question avec la condition \[ f(x)=\Sum_{n=1}^{+\infty}\frac{f(x^n)}{2^n} \] pour tout $x\in [0,1]$. \\
  3. Pour $0 < c < 1$, déterminer toutes les fonctions continues \[ f:[0,1]\to\mathbb{R} \] telles que \[ f(x)=c\Sum_{n=1}^{+\infty}\frac{f(x^n)}{2^n} \] pour tout $x\in [0,1]$. \\ Traiter également le cas $c=2$. \\
Exercice 2195. Que dire d'une application $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ vérifiant \[ f(1)=1,\quad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y) \quad \text{et} \quad \forall x\in\mathbb{R}^*,\ f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{f(x)} \, ? \] On pourra commencer par démontrer que $f$ est bornée sur un voisinage de $0$ en utilisant la fonction \[ x\mapsto x+\frac{1}{x}. \]
Exercice 2196. Déterminer les applications continues $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ telles que pour tout $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, \[ f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)=f(x)f(y). \]
Exercice 2197. Trouver toutes les fonctions continues $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ telles que \[ g(g(x))=2g(x)-x \] pour tout $x$.
Exercice 2198. Trouver les sous-groupes finis du groupe des homéomorphismes de $\mathbb{R}$.
Exercice 2199. On note $H$ le groupe des homéomorphismes de $[0,1]$ sur lui-même, c'est-à-dire des bijections continues de $[0,1]$ sur $[0,1]$. \\ Soient $f$ et $g$ deux éléments de $H$ dont les seuls points fixes sont $0$ et $1$. \\ Montrer qu'il existe $h\in H$ tel que \[ f\circ h=h\circ g. \]
Exercice 2200. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une application continue croissante, telle que pour tout $x$, \[ f(x+1)=f(x)+1. \] On veut prouver que pour tout $x$, la suite \[ u_n(x)=\frac{f^n(x)}{n} \] admet une limite finie $\ell$ indépendante de $x$.
  1. Soient $(x,y)\in\mathbb{R}^2$. Montrer qu'il existe $k\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ |f^n(x)-f^n(y)|\leqslant k. \] Que peut-on en déduire ? \\
  2. Montrer que pour tout $(n,m)\in\mathbb{N}^2$, \[ f^n(0)+f^m(0)-1\leqslant f^{n+m}(0)\leqslant f^n(0)+f^m(0)+1. \]
  3. En déduire que la suite $(u_n(0))_{n\geqslant 1}$ converge et vérifier que sa limite $\ell$ appartient à \[ [f(0)-1,f(0)+1]. \] Conclure.
Exercice 2201. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction réglée, c'est-à-dire possédant en tout point une limite à droite et une limite à gauche. \\ Montrer que l'ensemble des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable.
Exercice 2202. Soit $A$ une partie dénombrable de $\mathbb{R}$. \\ Montrer l'existence d'une fonction $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ monotone, dont $A$ est l'ensemble des points de discontinuité.
Exercice 2203. On dit que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est continue au sens de Césaro en $a$ si, pour toute suite $(x_n)\in\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, on a \[ \frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\to a \quad \Longrightarrow \quad \frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n}\to f(a). \] Déterminer les fonctions continues au sens de Césaro sur $\mathbb{R}$.
Exercice 2204. Soit $f : \R \to \K$ une fonction périodique, tendant vers $\ell \in \mathbb{K}$ en $+\infty$. Montrer que $f$ est constante.\\ Aboutir au même résultat pour une fonction périodique et monotone.
Exercice 2205. Soit $f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ telle que : \\ (i) pour tout $(s,t)\in\mathbb{R}_+^2$, $f(s+t)\geqslant f(s)+f(t)$, \\ (ii) il existe $M\geqslant 0$ tel que pour tout $t\in\mathbb{R}_+$, $|f(t)|\leqslant Mt$. \\ Montrer l'existence de \[ \alpha=\lim_{t\to 0^+}\frac{f(t)}{t} \quad \mathrm{et} \quad \beta=\lim_{t\to +\infty}\frac{f(t)}{t}. \] Comparer $f(t)$ avec $\alpha t$ et $\beta t$ pour $t\in\mathbb{R}_+$.
Exercice 2206. Soit $\omega_1,\dots,\omega_n$ des réels et $a_1,\dots,a_n$ des complexes. \\ On suppose que la fonction $F:t\in\mathbb{C}\mapsto \Sum_{k=1}^{n}a_k\mathrm{e}^{\omega_k t}$ est non nulle. \\ Montrer que l'ensemble des parties réelles des zéros de $F$ est borné.
Exercice 2207. Soit $f:\R\to\R$ une fonction bornée sur tout intervalle de longueur $1$. On suppose que\\ \[ \lim_{x\to +\infty} (f(x+1)-f(x)) = 0. \] Montrer que $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \Frac{f(x)}{x}=0$.
Exercice 2208. Soit $L$ l'ensemble des fonctions lipschitziennes de $\R$ dans $\R$.\\ Démontrer que :\\
  1. $L$ est un sous-espace vectoriel de $\R^\R$.\\
  2. Le produit de deux fonctions bornées et lipschitziennes de $\R$ dans $\R$ est lipschitzienne.\\
  3. La composée de deux fonctions lipschitziennes de $\R$ dans $\R$ l'est encore.
Exercice 2209. \\
  1. Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ continue en $0$ vérifiant : $\forall x \in \R \quad f(2x)=f(x)$.\\ Montrer que $f$ est constante.\\ On pose $f(x)=\sin\!\left(\Frac{2\pi \ln|x|}{\ln 2}\right)$ si $x \neq 0$, $f(0)=0$ ; comparer $f(x)$ et $f(2x)$ ; conclure.\\
  2. Soit $f:\R \to \R$ continue en $0$ et en $1$, telle que pour tout $x \in \R \quad f(x^2)=f(x)$.\\ Montrer que $f$ est constante.
Exercice 2210. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vérifiant : $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$.\\ Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes :\\
  1. L’application $f$ est surjective et non injective.\\
  2. Pour tout intervalle $I$ d’intérieur non vide, $f(I)$ est égal à $\mathbb{R}$.\\
  3. L’application $f$ est discontinue et vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.\\
On admet l’existence d’une base de $\mathbb{R}$ vu comme $\mathbb{Q}$-espace vectoriel, appelée base de Hamel de $\mathbb{R}$, c’est-à-dire une famille $(x_a)$ de réels telle que tout réel $x$ s’écrive de façon unique $x=\Sum_{i=1}^{n} r_i x_{a_i}$ où les $r_i$ sont des rationnels.\\ Existe-t-il alors une application $f$ vérifiant ces trois propriétés ?
Exercice 2211. Soit $f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ une fonction continue.\\ On suppose qu'il existe $l\in\mathbb{R}$ tel que $f(x+1)-f(x)\to l\in\mathbb{R}$. Montrer que $\Frac{f(x)}{x}\to l$.
Exercice 2212. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vérifiant : $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$. On suppose de plus que $f$ est discontinue.\\ Montrer que le graphe $G=\{(x,f(x)),x \in \mathbb{R}\}$ de $f$ est dense dans $\mathbb{R}^2$ et que $f$ est discontinue en tout point.
Exercice 2213. Montrer la surjectivité de l'application $z\in\C\mapsto z\exp(z)\in\C$.
Exercice 2214. Pour $h$ une fonction de $[0,1] \to [0,1]$, on note $\mathrm{Fix}(h) = \{x \in [0,1]/h(x)=x\}$. \\ Soient $f,g$ deux fonctions continues de $[0,1]\to[0,1]$ telles que $f \circ g = g \circ f$. \\
  1. Soit $x \in \mathrm{Fix}(f)$. Montrer que $g(x) \in \mathrm{Fix}(f)$. \\
  2. Soit $h : [0,1] \to [0,1]$ continue. Montrer que $\mathrm{Fix}(h)$ est non vide. \\
  3. Soit $h : [0,1] \to [0,1]$ continue. \\
    1. Soit $(x_n)$ une suite à valeurs dans $\mathrm{Fix}(h)$. On suppose que $(x_n)$ converge vers une limite $x_{\infty}$. Montrer que $x_{\infty} \in \mathrm{Fix}(h)$. \\
    2. En déduire que $\bar{\mathrm{Fix}(h)} = \mathrm{Fix}(h)$. \\
    3. Montrer que $\mathrm{Fix}(h)$ possède un maximum et un minimum.
Exercice 2215. Soit $f : I \to \R$ une fonction possédant la propriété des valeurs intermédiaires et injective.\\ Montrer que $f$ est continue.\\ Même question pour $g$ possédant la propriété des valeurs intermédiaires et telle que $\forall r \in \Q$, $X_r = g^{-1}(\{r\})$ est fermée (c’est-à-dire que toute suite convergente de points de $X_r$ a sa limite dans $X_r$).