Suite d'intégrales
Exercice
1108. Pour tout $n \in \N$ on pose\\
\[
I_n = \integrale{0}{1}{\Frac{(1-x)^n e^x}{n!}}{x}
\]\\
- Montrer que $I_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$.\\
- Donner une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n+1}$.\\
- En déduire que\\ \[ \Sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k!} \xrightarrow[n \to +\infty]{} e \]
Exercice
1109. Soit $p,q \in \N$, on pose\\
\[
I_{p,q} = \integrale{a}{b}{(t-a)^p(b-t)^q}{t}
\]\\
- Former une relation de récurrence liant $I_{p,q}$ et $I_{p+1,q-1}$.\\
- Donner une expression explicite de $I_{p,q}$.
Exercice
1110. Soit $n$ un entier naturel, on pose\\
\[
I_n = \integrale{0}{\Frac{\pi}{4}}{\tan^n(x)}{x}
\]\\
- Calculer $I_0, I_1$. \\ Trouver une relation entre $I_n$ et $I_{n+2}$ puis en déduire $I_n$ en fonction de $n$.\\
- Montrer que $\limn I_n = 0$ et en déduire les limites de $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par :\\ \[ u_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{(-1)^{k-1}}{k} \quad \text{et} \quad v_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{(-1)^{2k-1}}{k} \]
Exercice
1111. Pour $n \geqslant 1$, on définit\\
\[
I_n = \integrale{1}{e}{x^2 \ln(x)^n}{x}
\]\\
- Calculer $I_1$.\\
- Étudier la monotonie de $(I_n)$. En déduire que $(I_n)$ est convergente.\\
- Montrer que $\forall x \in [1,e], \ln(x) \leqslant \Frac{x}{e}$. \\ En déduire $\limn I_n$.\\
- Montrer que $\forall n \in \N^*, \; I_{n+1} = \Frac{e^3}{3} - \Frac{n+1}{3} I_n$.\\ En déduire $\limn n I_n$.