Projecteurs, symétries

Exercice 3931. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel, avec $\K=\R$ ou $\C$, et soient $p$ et $q$ deux projecteurs de $E$.\\
  1. Montrer que $p+q$ est un projecteur si et seulement si \[ p\circ q=q\circ p=0. \] On suppose ensuite cette condition vérifiée.\\ En déduire \[ \mathrm{Im}(p+q)=\mathrm{Im}(p)\oplus \mathrm{Im}(q). \]
  2. Déterminer $\ker(p+q)$.
Exercice 3932. Notons \[ A= \begin{pmatrix} -1&0&-2\\ 1&1&1\\ 1&0&2 \end{pmatrix} \in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}) \] et $f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ canoniquement associé.\\
  1. Donner une base de $\ker(f)$ et une base de $\mathrm{Im}(f)$.\\
  2. Démontrer que $\mathbb{R}^3=\mathrm{Im}(f)\oplus\ker(f)$.\\
  3. Déterminer la matrice dans la base canonique de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ de la projection sur $\mathrm{Im}(f)$ parallèlement à $\ker(f)$.
Exercice 3933. Soit $A\in\mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ telle que $A^p=I_p$.\\
  1. Démontrer que \[ B=\Frac{1}{p}\sum_{k=1}^{p}A^k \] est une matrice de projection.\\
  2. Montrer que $\ker(B-I)=\mathrm{Im}(B)$.\\
  3. En déduire que \[ \dim(\ker(B-I_p))=\Frac{1}{p}\sum_{k=1}^{p}\mathrm{tr}(A^k). \]
Exercice 3934. Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ de caractéristique différente de $2$, et $p$ et $q$ deux projecteurs de $E$. Montrer que $p+q$ est un projecteur si et seulement si $p \circ q=q \circ p=0$.
Exercice 3935. Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$, $p$ un projecteur de $E$, et $f \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que $p \circ f=f \circ p$ si et seulement si $\ker(p)$ et $\mathrm{Im}(p)$ sont stables par $f$.
Exercice 3936. Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. \\
  1. Soient $f \in \mathcal{L}(E)$ et $g$ un projecteur de $E$. Montrer que \\ \[ \ker(f \circ g)=\ker(g)\oplus (\ker(f)\cap \mathrm{Im}(g)). \] \\
  2. Soit $f$ un projecteur de $E$, et $g \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que \\ \[ \mathrm{Im}(f \circ g)=\mathrm{Im}(f)\cap (\ker(f)+\mathrm{Im}(g)). \] \\
  3. Soient $f$ et $g$ deux projecteurs de $E$. Montrer que $f \circ g$ est un projecteur si et seulement si \\ \[ \mathrm{Im}(f)\cap (\ker(f)+\mathrm{Im}(g))\subset \mathrm{Im}(g)\oplus (\ker(f)\cap \ker(g)). \]
Exercice 3937. Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie. Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL(E)$. Démontrer que \[ \bigcap_{g\in G}\ker(g-\mathrm{Id}_E) \] est de dimension \[ \Frac{1}{\mathrm{Card}(G)}\Sum_{g\in G}\mathrm{tr}(g). \]
Exercice 3938. Soient $E$ un $\K$-ev, $e=\mathrm{Id}_E$, $p$ un projecteur de $E$ tel que $p \neq 0$, $a \in \K \setminus \{1\}$, et $f=e-ap$.\\ Montrer que $f \in \GL(E)$ et exprimer $f^{-1}$.
Exercice 3939. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-ev, $e=\mathrm{id}_E$, $p$ un projecteur de $E$ tel que $p\neq 0$, $a\in\mathbb{K}\setminus\{1\}$, $f=e-ap$.\\ Montrer que $f\in\mathcal{GL}(E)$ et exprimer $f^{-1}$.
Exercice 3940. Soient $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels de dimensions finies respectives $n$ et $p$ avec $n > p$.\\ On considère $u\in \mathcal{L}(E,F)$ et $v\in \mathcal{L}(F,E)$ vérifiant \[ u\circ v=\mathrm{Id}_F. \]
  1. Montrer que \[ v\circ u \] est un projecteur.\\
  2. Déterminer son rang, son image et son noyau.
Exercice 3941. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ vérifiant \[ \mathrm{Im}\,p\subset \ker q. \] Montrer que \[ p+q-p\circ q \] est un projecteur et préciser son image et son noyau.
Exercice 3942. Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel $E$ sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ vérifiant \[ f\circ g=\mathrm{Id}. \]
  1. Montrer que \[ \ker(g\circ f)=\ker f \quad \text{et} \quad \mathrm{Im}(g\circ f)=\mathrm{Im}\,g. \]
  2. Montrer \[ E=\ker f\oplus \mathrm{Im}\,g. \]
  3. Dans quel cas peut-on conclure \[ g=f^{-1}\, ? \]
  4. Caractériser \[ g\circ f. \]
Exercice 3943. On pose \[ F=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x-y+3z=0\} \] et \[ G=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x+y-z=0 \; \mathrm{et} \; 2x+z=0\}. \]
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont deux supplémentaires dans $\R^3$.\\
  2. Déterminer une base de $F$ et une base de $G$.\\
  3. Soit $p$ le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$, et soit $q$ le projecteur sur $G$ parallèlement à $F$. Expliciter les applications $p$ et $q$.
Exercice 3944. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs sur $E$, un $\R$-espace.\\
  1. Montrer que $(p+q)$ est un projecteur si et seulement si \[ p\circ q=q\circ p=0. \]
  2. Montrer que si $(p+q)$ est un projecteur, alors \[ \mathrm{Im}(p+q)=\mathrm{Im}(p)\oplus\mathrm{Im}(q) \] et \[ \Ker(p+q)=\Ker(p)\cap\Ker(q). \]
Exercice 3945. Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel, puis $f\in\mathcal{L}(E)$ tel que \[ f^2=-\mathrm{id}_E. \]
  1. Montrer que $f$ est un automorphisme de $E$.\\
  2. On pose \[ F=\{x\in E\mid f(x)=ix\} \] et \[ G=\{x\in E\mid f(x)=-ix\}. \]
    1. Montrer que $F$ et $G$ sont deux sous-espaces de $E$.\\
    2. Montrer qu’ils sont supplémentaires.
  3. Soit $p$ le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$. On pose \[ q=\mathrm{id}_E-p. \]
    1. Montrer que $q$ est un projecteur et en déterminer ses caractéristiques.\\
    2. Montrer que \[ f=i(p-q). \]
Exercice 3946. Soit $E$ un espace vectoriel et $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que $f\circ f=f$.\\
  1. Démontrer que $E=\ker(f)\oplus \mathrm{Im}(f)$.\\
  2. Si $E$ est de dimension finie, donner la nature de $f$. La représenter géométriquement. Sous quelle forme matricielle peut-on mettre $f$ ?\\
  3. Donner un exemple d'endomorphisme de $E$ vérifiant la question $1$ mais tel que $f\circ f\neq f$.\\
  4. Supposons $\dim(E)\geqslant 2$. Donner un exemple d'endomorphisme de $E$ qui ne vérifie pas la question $1$.
Exercice 3947. Soit $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que \[ f^2-4f+3\mathrm{Id}=0. \] Montrer \[ \ker(f-\mathrm{Id})\oplus \ker(f-3\mathrm{Id})=E. \] Quelle transformation vectorielle réalise $f$ ?
Exercice 3948. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs d'un $K$-espace vectoriel $E$ vérifiant \[ p\circ q=0. \]
  1. Montrer que \[ r=p+q-q\circ p \] est un projecteur.\\
  2. Déterminer son image et son noyau.
Exercice 3949. Soient $p,q\in \mathcal{L}(E)$. Montrer l'équivalence entre les assertions :\\
  1. $p\circ q=p$ et $q\circ p=q$.\\
  2. $p$ et $q$ sont des projecteurs de même noyau.
Exercice 3950. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $p,q$ deux projecteurs de $E$ qui commutent.\\ Montrer que $p\circ q$ est un projecteur de $E$. En déterminer noyau et image.
Exercice 3951. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel.\\ Soit $s$ un endomorphisme de $E$ involutif, i.e. tel que $s^2=\mathrm{Id}$.\\ On pose $F=\ker(s-\mathrm{Id})$ et $G=\ker(s+\mathrm{Id})$.\\
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$.\\
  2. Montrer que $s$ est la symétrie vectorielle par rapport à $F$ et parallèlement à $G$.\\
  3. Plus généralement, soit $\alpha\in K\setminus \{1\}$ et $f$ un endomorphisme de $E$ tel que \[ f^2-(\alpha+1)f+\alpha \mathrm{Id}=0. \] On pose $F=\ker(f-\mathrm{Id})$ et $G=\ker(f-\alpha \mathrm{Id})$.\\ Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$.\\
  4. Montrer que $f$ est l'affinité par rapport à $F$, parallèlement à $G$ et de rapport $\alpha$.
Exercice 3952. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs de l'espace vectoriel $E$.\\ Montrer que :\\
  1. $\mathrm{Im}(p)=\mathrm{Im}(q) \iff p \circ q=q \quad \mathrm{et} \quad q \circ p=p$.\\
  2. $\ker(p)=\ker(q) \iff p \circ q=p \quad \mathrm{et} \quad q \circ p=q$
Exercice 3953. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $p\in \mathcal{L}(E)$.\\
  1. Montrer que $p$ est un projecteur si, et seulement si, $\mathrm{Id}-p$ l'est.\\
  2. Exprimer alors $\mathrm{Im}(\mathrm{Id}-p)$ et $\ker(\mathrm{Id}-p)$ en fonction de $\mathrm{Im}\,p$ et $\ker p$.
Exercice 3954. Soient $E$ un espace vectoriel, $u \in \mathcal{L}(E)$ et $p$ un projecteur de $E$. Montrer que $u$ et $p$ commutent si et seulement si $\mathrm{Im}(p)$ et $\Ker(p)$ sont stables par $u$.
Exercice 3955. Soient $E$ un $\C$-ev, $p,q$ deux projecteurs de $E$.\\ Démontrer que $p+q$ est un projecteur si et seulement si :\\ \[ p \circ q=q \circ p=0. \]
Exercice 3956. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $p$ un projecteur de $E$. On pose $q=\mathrm{Id}-p$ et on considère \[ L=\{f\in \mathcal{L}(E)\mid \exists u\in \mathcal{L}(E),\ f=u\circ p\} \] et \[ M=\{g\in \mathcal{L}(E)\mid \exists v\in \mathcal{L}(E),\ g=v\circ q\}. \] Montrer que $L$ et $M$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathcal{L}(E)$.
Exercice 3957. Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel et $u\in \mathcal{L}(E)$. On suppose qu'il existe \[ n\in \N^* \] tel que \[ u^n=\mathrm{Id}_E. \] Soit $V$ un sous-espace de $E$ stable par $u$ et $p$ un projecteur d'image $V$. Soit \[ q=\frac{1}{n}\Sum_{k=1}^{n}u^k\circ p\circ u^{n-k}. \]
  1. Montrer que $q$ est un projecteur.
  2. Trouver un supplémentaire de $V$ stable par $u$. Que peut-on en déduire sur $u$ ?
Exercice 3958. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie.\\
  1. Soit $f,g$ deux endomorphismes de $E$. On suppose qu’il existe un projecteur $p$ de $E$ et un scalaire $\lambda \neq 0$ tel que $g=\lambda p$. Montrer que si $f$ stabilise $\ker(g)$ et $\mathrm{Im}(g)$ alors $f$ commute avec $g$.\\
  2. Le résultat précédent tient-il sans l’hypothèse particulière effectuée sur $g$ ?\\
  3. Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $u(x) \in \mathrm{Vect}(x)$ pour tout $x \in E \setminus \{0\}$. Montrer que $u$ est une homothétie.\\
  4. Soit $g$ un endomorphisme de $E$. On suppose que $g$ commute avec tout endomorphisme de $E$ qui stabilise $\ker(g)$ et $\mathrm{Im}(g)$. Montrer que $g$ est produit d’un projecteur par un scalaire non nul.
Exercice 3959. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $q \in \mathbb{N}^*$ tels que $A^q=I_n$. Montrer que \[ \dim(\ker(A-I_n))=\frac{1}{q}\Sum_{k=1}^{q}\mathrm{Tr}(A^k) \]
Exercice 3960. Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie.\\
  1. On suppose que $f$ est un projecteur. Montrer que $\mathrm{rg}(f)=\mathrm{Tr}(f)$.\\
  2. Réciproquement, on suppose que $\mathrm{rg}(f)=\mathrm{Tr}(f)=1$. Montrer que $f$ est un projecteur.
Exercice 3961. Soit $E=\mathbb{C}^3$, $P$ le sous-espace d’équation $x+y+z=0$, $D$ le sous-espace d’équation \[ x=\frac{y}{2}=\frac{z}{3} \]
  1. Les sous-espaces $P$ et $D$ sont-ils supplémentaires ?\\
  2. Déterminer la matrice dans la base canonique du projecteur sur $P$ de direction $D$.