Projecteurs, symétries

Exercice 1241. Soit $E$ un espace vectoriel et $u \in \mathcal{L}(E)$ et $p$ un projecteur de $E$.\\ Démontrer que $u$ commute avec $p$ si et seulement si $u(\mathrm{Im}\,(p)) \subset \mathrm{Im}\,(p)$ et $u(\ker(p)) \subset \ker(p)$.

Exercice 1242. Soit $E$ un espace vectoriel et $p$ un projecteur de $E$.\\ On pose $q = \mathrm{id} - p$ et on considère\\ \[ L = \{ f \in \mathcal{L}(E) \; | \; \exists u \in \mathcal{L}(E), \; f = u \circ p \} \quad \text{et} \quad M = \{ g \in \mathcal{L}(E) \; | \; \exists v \in \mathcal{L}(E), \; g = v \circ q \} \]\\ Montrons que $L$ et $M$ sont supplémentaires dans $\mathcal{L}(E)$.