Projecteurs, symétries

Exercice 5272. Soient $E$ un $\K$-ev, $e=\mathrm{Id}_E$, $p$ un projecteur de $E$ tel que $p \neq 0$, $a \in \K \setminus \{1\}$, et $f=e-ap$.\\ Montrer que $f \in \GL(E)$ et exprimer $f^{-1}$.
Exercice 5273. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $p\in \mathcal{L}(E)$.\\
  1. Montrer que $p$ est un projecteur si, et seulement si, $\mathrm{Id}-p$ l'est.\\
  2. Exprimer alors $\mathrm{Im}(\mathrm{Id}-p)$ et $\ker(\mathrm{Id}-p)$ en fonction de $\mathrm{Im}\,p$ et $\ker p$.
Exercice 5274. Notons \[ A= \begin{pmatrix} -1&0&-2\\ 1&1&1\\ 1&0&2 \end{pmatrix} \in\mathcal{M}_3(\mathbb{R}) \] et $f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ canoniquement associé.\\
  1. Donner une base de $\ker(f)$ et une base de $\mathrm{Im}(f)$.\\
  2. Démontrer que $\mathbb{R}^3=\mathrm{Im}(f)\oplus\ker(f)$.\\
  3. Déterminer la matrice dans la base canonique de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ de la projection sur $\mathrm{Im}(f)$ parallèlement à $\ker(f)$.
Exercice 5275. Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$, $p$ un projecteur de $E$, et $f \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que $p \circ f=f \circ p$ si et seulement si $\ker(p)$ et $\mathrm{Im}(p)$ sont stables par $f$.
Exercice 5276. Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel $E$ sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ vérifiant \[ f\circ g=\mathrm{Id}. \]
  1. Montrer que \[ \ker(g\circ f)=\ker f \quad \text{et} \quad \mathrm{Im}(g\circ f)=\mathrm{Im}\,g. \]
  2. Montrer \[ E=\ker f\oplus \mathrm{Im}\,g. \]
  3. Dans quel cas peut-on conclure \[ g=f^{-1}\, ? \]
  4. Caractériser \[ g\circ f. \]
Exercice 5277. On pose \[ F=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x-y+3z=0\} \] et \[ G=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x+y-z=0 \; \mathrm{et} \; 2x+z=0\}. \]
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont deux supplémentaires dans $\R^3$.\\
  2. Déterminer une base de $F$ et une base de $G$.\\
  3. Soit $p$ le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$, et soit $q$ le projecteur sur $G$ parallèlement à $F$. Expliciter les applications $p$ et $q$.
Exercice 5278. Soit $E$ un espace vectoriel et $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que $f\circ f=f$.\\
  1. Démontrer que $E=\ker(f)\oplus \mathrm{Im}(f)$.\\
  2. Si $E$ est de dimension finie, donner la nature de $f$. La représenter géométriquement. Sous quelle forme matricielle peut-on mettre $f$ ?\\
  3. Donner un exemple d'endomorphisme de $E$ vérifiant la question $1$ mais tel que $f\circ f\neq f$.\\
  4. Supposons $\dim(E)\geqslant 2$. Donner un exemple d'endomorphisme de $E$ qui ne vérifie pas la question $1$.
Exercice 5279. Soit $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que \[ f^2-4f+3\mathrm{Id}=0. \] Montrer \[ \ker(f-\mathrm{Id})\oplus \ker(f-3\mathrm{Id})=E. \] Quelle transformation vectorielle réalise $f$ ?
Exercice 5280. Soient $p,q\in \mathcal{L}(E)$. Montrer l'équivalence entre les assertions :\\
  1. $p\circ q=p$ et $q\circ p=q$.\\
  2. $p$ et $q$ sont des projecteurs de même noyau.
Exercice 5281. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $p,q$ deux projecteurs de $E$ qui commutent.\\ Montrer que $p\circ q$ est un projecteur de $E$. En déterminer noyau et image.
Exercice 5282. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs de l'espace vectoriel $E$.\\ Montrer que :\\
  1. $\mathrm{Im}(p)=\mathrm{Im}(q) \iff p \circ q=q \quad \mathrm{et} \quad q \circ p=p$.\\
  2. $\ker(p)=\ker(q) \iff p \circ q=p \quad \mathrm{et} \quad q \circ p=q$
Exercice 5283. Soient $E$ un espace vectoriel, $u \in \mathcal{L}(E)$ et $p$ un projecteur de $E$. Montrer que $u$ et $p$ commutent si et seulement si $\mathrm{Im}(p)$ et $\Ker(p)$ sont stables par $u$.
Exercice 5284. Soient $E$ un $\C$-ev, $p,q$ deux projecteurs de $E$.\\ Démontrer que $p+q$ est un projecteur si et seulement si :\\ \[ p \circ q=q \circ p=0. \]
Exercice 5285. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $p$ un projecteur de $E$. On pose $q=\mathrm{Id}-p$ et on considère \[ L=\{f\in \mathcal{L}(E)\mid \exists u\in \mathcal{L}(E),\ f=u\circ p\} \] et \[ M=\{g\in \mathcal{L}(E)\mid \exists v\in \mathcal{L}(E),\ g=v\circ q\}. \] Montrer que $L$ et $M$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathcal{L}(E)$.
Exercice 5286. Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie.\\
  1. On suppose que $f$ est un projecteur. Montrer que $\mathrm{rg}(f)=\mathrm{Tr}(f)$.\\
  2. Réciproquement, on suppose que $\mathrm{rg}(f)=\mathrm{Tr}(f)=1$. Montrer que $f$ est un projecteur.
Exercice 5287. Soit $E=\mathbb{C}^3$, $P$ le sous-espace d’équation $x+y+z=0$, $D$ le sous-espace d’équation \[ x=\frac{y}{2}=\frac{z}{3} \]
  1. Les sous-espaces $P$ et $D$ sont-ils supplémentaires ?\\
  2. Déterminer la matrice dans la base canonique du projecteur sur $P$ de direction $D$.
Exercice 5288. Soit $E=\K^4$ muni de sa base canonique notée $\mathcal{B}$. Écrire la matrice de $u$, la projection sur $G=\{(x,y,z,t)\in E \; ; \; x+y=z+t=0\}$ parallèlement à $F=\{(x,y,z,t)\in E \; ; \; x=t=0\}$.
Exercice 5289. On considère l'application $p$ définie sur $\R^3$ par : \\ \[ p:\R^3 \longrightarrow \R^3 \] \[ (x,y,z)\longmapsto \left(\Frac{3x-y+2z}{4},\Frac{-x+3y+2z}{4},\Frac{x+y+2z}{4}\right) \]
  1. Montrer que $p$ est un endomorphisme de $\R^3$. \\
  2. Montrer que $p$ est un projecteur de $\R^3$. \\
  3. Donner l'expression de la symétrie $s$ associée à $p$. \\
  4. Déterminer trois vecteurs $e_1$, $e_2$ et $e_3$ de $\R^3$ tels que : $\mathrm{Im}(p)=\mathrm{Vect}(e_1,e_2)$ et $\ker(p)=\mathrm{Vect}(e_3)$.
Exercice 5290. Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel et $f \in \mathcal{L}(E)$ telle que : $f^2-5f+6\mathrm{id}_E=0$. Montrer l'égalité :\\ \[ E=\ker(f-2\mathrm{id}_E)\oplus\ker(f-3\mathrm{id}_E) \]
Exercice 5291. Soient $f$ et $g$ deux projecteurs d'un espace vectoriel $E$.
  1. Montrer que $\mathrm{Im}(f)=\mathrm{Im}(g)\iff f\circ g=g \; \mathrm{et} \; g\circ f=f$.
  2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\Ker(f)=\Ker(g)$.
Exercice 5292. Soit $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice triangulaire supérieure définie par $a_{i,j}=\frac{1}{j}$ si $i\leqslant j$.\\
  1. Démontrer sans calcul que $A$ est diagonalisable et préciser son spectre.\\
  2. Démontrer que la suite $(A^k)_{k\in\mathbb{N}}$ converge vers une matrice $L$. Quelle est la nature de la limite ?
Exercice 5293. Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$ tels que $u + v = \mathrm{Id}_E$ et $\mathrm{rg}(u) + \mathrm{rg}(v) \leq n$.\\ Montrer que $u$ et $v$ sont des projecteurs.
Exercice 5294. Soit $p : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ une application linéaire vérifiant $p \circ p = p$.
  1. Montrer que $\mathrm{Im}(p) \subset \ker(p - \mathrm{Id})$.
  2. Montrer que $\ker(p) \cap \mathrm{Im}(p) = \{0\}$.
  3. Montrer que $\mathbb{R}^n = \ker(p) \oplus \mathrm{Im}(p)$.
Exercice 5295. Soit $A$ un polynôme non nul. On note $\varphi_A$ l'application qui à un polynôme $P$ associe le reste dans la division euclidienne de $P$ par $A$.
  1. Rappeler le théorème de la division euclidienne. Préciser $\varphi_A(X^2+X-1)$ lorsque $A = X+2$.
  2. Justifier que $\varphi_A$ est un endomorphisme de $\mathbb{K}[X]$.
  3. Vérifier que $\varphi_A$ est un projecteur, c'est-à-dire que $\varphi_A \circ \varphi_A = \varphi_A$.
Exercice 5296. On note $\varphi : (x,y,z) \mapsto (x-2y+3z,\; 3x-6y+9z,\; 2x-4y+6z)$.
  1. Montrer que $\varphi$ est un projecteur.
  2. Caractériser $\varphi$ géométriquement.
Exercice 5297. Soit $A \in \mathbb{R}[X]$. Montrer que l'application qui à tout $P \in \mathbb{R}[X]$ associe le reste de la division euclidienne de $P$ par $A$ est un projecteur de $\mathbb{R}[X]$ que l'on caractérisera géométriquement.
Exercice 5298. Soit $P$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $D$ la droite d'équation $x = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{3}$.
  1. Vérifier que $\mathbb{R}^3 = P \oplus D$.
  2. Soit $p$ la projection vectorielle de $\mathbb{R}^3$ sur $P$ parallèlement à $D$. Soit $u = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3$. Déterminer $p(u)$ et donner la matrice de $p$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$.
  3. Déterminer une base de $\mathbb{R}^3$ dans laquelle la matrice de $p$ est diagonale.
Exercice 5299. Soit $P$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $D$ la droite d'équation $x = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{3}$.
  1. Vérifier que $\mathbb{R}^3 = P \oplus D$.
  2. Soit $p$ la projection sur $P$ parallèlement à $D$. Soit $u = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3$. Déterminer $p(u)$ et donner la matrice de $p$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$.
  3. Déterminer une base de $\mathbb{R}^3$ dans laquelle la matrice de $p$ est diagonale.
Exercice 5300. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ défini par : pour tout $P \in \mathbb{R}_n[X]$, $f(P)=XP'$.\\
  1. Déterminer $\ker(f)$ et $\mathrm{Im}(f)$.\\
  2. Déterminer $\ker(f^2)$ et $\mathrm{Im}(f^2)$.\\
  3. L'endomorphisme $f$ est-il un projecteur de $\mathbb{R}_n[X]$ ?
Exercice 5301. Soit $n \geq 2$. On pose $F = \mathrm{Vect}(I_n)$ et $H = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \mid \mathrm{tr}(M) = 0\}$.
  1. Montrer que $\mathrm{tr} \in L(\mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \mathbb{K})$. Montrer que $H$ est un hyperplan.
  2. Montrer sans analyse-synthèse que $H$ et $F$ sont supplémentaires dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.
  3. Montrer que $H$ et $F$ sont supplémentaires dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ par une analyse-synthèse.
  4. Donner l'expression du projecteur sur $H$ parallèlement à $F$, puis de la symétrie sur $H$ parallèlement à $F$.
Exercice 5302. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, avec $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$, et soient $p$ et $q$ deux projecteurs de $E$.\\
  1. Montrer que $p+q$ est un projecteur si et seulement si \[ p\circ q=q\circ p=0. \] On suppose ensuite cette condition vérifiée.\\ En déduire \[ \mathrm{Im}(p+q)=\mathrm{Im}(p)\oplus \mathrm{Im}(q). \]
  2. Déterminer $\ker(p+q)$.
Exercice 5303. Soit $A\in\mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ telle que $A^p=I_p$.\\
  1. Démontrer que \[ B=\Frac{1}{p}\sum_{k=1}^{p}A^k \] est une matrice de projection.\\
  2. Montrer que $\ker(B-I)=\mathrm{Im}(B)$.\\
  3. En déduire que \[ \dim(\ker(B-I_p))=\Frac{1}{p}\sum_{k=1}^{p}\mathrm{tr}(A^k). \]
Exercice 5304. Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ de caractéristique différente de $2$, et $p$ et $q$ deux projecteurs de $E$. Montrer que $p+q$ est un projecteur si et seulement si $p \circ q=q \circ p=0$.
Exercice 5305. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-ev, $e=\mathrm{id}_E$, $p$ un projecteur de $E$ tel que $p\neq 0$, $a\in\mathbb{K}\setminus\{1\}$, $f=e-ap$.\\ Montrer que $f\in\mathcal{GL}(E)$ et exprimer $f^{-1}$.
Exercice 5306. Soient $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels de dimensions finies respectives $n$ et $p$ avec $n > p$.\\ On considère $u\in \mathcal{L}(E,F)$ et $v\in \mathcal{L}(F,E)$ vérifiant \[ u\circ v=\mathrm{Id}_F. \]
  1. Montrer que $v\circ u$ est un projecteur.\\
  2. Déterminer son rang, son image et son noyau.
Exercice 5307. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ vérifiant \[ \mathrm{Im}\,p\subset \ker q. \] Montrer que \[ p+q-p\circ q \] est un projecteur et préciser son image et son noyau.
Exercice 5308. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs sur $E$, un $\R$-espace.\\
  1. Montrer que $(p+q)$ est un projecteur si et seulement si \[ p\circ q=q\circ p=0. \]
  2. Montrer que si $(p+q)$ est un projecteur, alors \[ \mathrm{Im}(p+q)=\mathrm{Im}(p)\oplus\mathrm{Im}(q) \] et \[ \Ker(p+q)=\Ker(p)\cap\Ker(q). \]
Exercice 5309. Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel, puis $f\in\mathcal{L}(E)$ tel que \[ f^2=-\mathrm{id}_E. \]
  1. Montrer que $f$ est un automorphisme de $E$.\\
  2. On pose \[ F=\{x\in E\mid f(x)=ix\} \] et \[ G=\{x\in E\mid f(x)=-ix\}. \]
    1. Montrer que $F$ et $G$ sont deux sous-espaces de $E$.\\
    2. Montrer qu’ils sont supplémentaires.
  3. Soit $p$ le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$. On pose \[ q=\mathrm{id}_E-p. \]
    1. Montrer que $q$ est un projecteur et en déterminer ses caractéristiques.\\
    2. Montrer que \[ f=i(p-q). \]
Exercice 5310. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs d'un $K$-espace vectoriel $E$ vérifiant \[ p\circ q=0. \]
  1. Montrer que \[ r=p+q-q\circ p \] est un projecteur.\\
  2. Déterminer son image et son noyau.
Exercice 5311. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel.\\ Soit $s$ un endomorphisme de $E$ involutif, i.e. tel que $s^2=\mathrm{Id}$.\\ On pose $F=\ker(s-\mathrm{Id})$ et $G=\ker(s+\mathrm{Id})$.\\
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$.\\
  2. Montrer que $s$ est la symétrie vectorielle par rapport à $F$ et parallèlement à $G$.\\
  3. Plus généralement, soit $\alpha\in K\setminus \{1\}$ et $f$ un endomorphisme de $E$ tel que \[ f^2-(\alpha+1)f+\alpha \mathrm{Id}=0. \] On pose $F=\ker(f-\mathrm{Id})$ et $G=\ker(f-\alpha \mathrm{Id})$.\\ Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$.\\
  4. Montrer que $f$ est l'affinité par rapport à $F$, parallèlement à $G$ et de rapport $\alpha$.
Exercice 5312. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $q \in \mathbb{N}^*$ tels que $A^q=I_n$. Montrer que \[ \dim(\ker(A-I_n))=\frac{1}{q}\Sum_{k=1}^{q}\mathrm{Tr}(A^k) \]
Exercice 5313. Soit $E$ un espace euclidien. On note le produit scalaire $(\cdot\mid\cdot)$. \\
  1. Montrer que si $p$ est un projecteur orthogonal alors $p$ est un endomorphisme auto-adjoint et \[ \forall x\in E,\quad \|p(x)\|^2=(p(x)\mid x) \]
  2. Réciproquement, soit $f$ un endomorphisme auto-adjoint tel que \[ \forall x\in E,\quad \|f(x)\|^2=(f(x)\mid x) \] Montrer que $f$ est un projecteur orthogonal.
Exercice 5314. \\
  1. Soit $p\in\mathcal{L}(E)$ avec $E$ de dimension finie. A-t-on : \[ E=\ker(p)\oplus\mathrm{Im}(p)\qquad \Longleftrightarrow \qquad p \;\; \mathrm{projecteur} \; ? \]
  2. Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ avec $\dim(E)=n$. Existe-t-il $v\in\mathcal{L}(E)$ tel que $u\circ v$ soit un projecteur ?
Exercice 5315. Soient $p,q,r$ trois projecteurs de $\R^n$ tels que \[ p+\sqrt{2}\,q+\sqrt{3}\,r=0_{\mathcal{L}(\R^n)}. \] Déterminer $p,q,r$.
Exercice 5316. Soit $E$ un $K$-e.v (où $K$ est de caractéristique différente de $2$), et $p,q \in \mathcal{L}(E)$ deux projecteurs.\\
  1. Montrer que $p+q$ est un projecteur si et seulement si \[ p \circ q=q \circ p=0. \]
  2. Montrer que si $p+q$ est un projecteur, alors \[ \mathrm{Im}(p+q)=\mathrm{Im}(p)\oplus \mathrm{Im}(q) \quad \text{et} \quad \ker(p+q)=\ker(p)\cap \ker(q). \]
Exercice 5317. Soit $E$ un $\mathbb{R}$-e.v de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$. Soient \[ p_1,\dots,p_k \in \mathcal{L}(E) \] des projecteurs. Montrer que \[ p=p_1+\cdots+p_k \] est un projecteur si et seulement si \[ \forall (i,j) \in \{1,\dots,k\}^2,\; i \neq j \Rightarrow p_i \circ p_j=0. \]
Exercice 5318. Soient $E$ un espace vectoriel, et $p,q$ deux projecteurs de $E$.
  1. Montrer que $p+q$ est un projecteur de $E$ si et seulement si $p\circ q=q\circ p=0$.
  2. Montrer qu'alors $\ker(p+q)=\ker(p)\cap \ker(q)$ et $\mathrm{Im}(p+q)=\mathrm{Im}(p)+\mathrm{Im}(q)$.
Exercice 5319. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^2=f$. \\
  1. Montrer que $\mathrm{Im}(f) \subset \ker(f-\mathrm{id})$. \\
  2. Montrer que $\ker(f-\mathrm{id}) \subset \mathrm{Im}(f)$. \\
  3. En déduire que $\mathrm{Im}(f)=\ker(f-\mathrm{id})$. \\
  4. Montrer que $E=\ker(f)\oplus \mathrm{Im}(f)$.
Exercice 5320. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. \\ Soient $f_1,\ldots,f_p$ des endomorphismes non nuls de $E$ tels que : \[ \forall (i,j)\in \llbracket 1,p \rrbracket^2,\quad f_i\circ f_j=\delta_{ij}f_i. \] Montrer que $p\leqslant n$. \\ Dans le cas où $p=n$, montrer que : \[ \sum_{i=1}^n f_i=\mathrm{Id}_E. \]
Exercice 5321. Dans les trois cas suivants, montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$, et donner l'expression de la projection sur $F$ parallèlement à $G$ :
  1. $F = \mathbb{R}_1[X]$, $G = \mathrm{Vect}(X^2+X+1)$ et $E = \mathbb{R}_2[X]$.
  2. $G = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x+y+2z = 0\}$, $F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = -y = -z\}$ et $E = \mathbb{R}^3$.
  3. $F = \mathrm{Vect}(\exp)$ et $G = \{f \in \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \mid f(0) = 0\}$ et $E = \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice 5322. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $p, q \in L(E)$. Montrer que $p$ et $q$ sont des projecteurs de même noyau si et seulement si $p = pq$ et $q = qp$.
Exercice 5323. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Soit $s$ un endomorphisme de $E$ tel que $s^2 = \mathrm{Id}$. On pose $F = \mathrm{Ker}(s - \mathrm{Id})$ et $G = \mathrm{Ker}(s + \mathrm{Id})$.
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$.
  2. Montrer que $s$ est la symétrie vectorielle par rapport à $F$ parallèlement à $G$.
Plus généralement, soient $\alpha \in \mathbb{K} \setminus \{1\}$ et $f$ un endomorphisme de $E$ tel que $f^2 - (\alpha+1)f + \alpha\,\mathrm{Id} = 0$. On pose $F = \mathrm{Ker}(f - \mathrm{Id})$ et $G = \mathrm{Ker}(f - \alpha\,\mathrm{Id})$.
    \setcounter{enumi}{2}
  1. Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$.
  2. Montrer que $f$ est l'affinité par rapport à $F$, parallèlement à $G$, de rapport $\alpha$.
Exercice 5324. Soient $f,g\in \mathcal{L}(E)$ tels que \[ f+g=\mathrm{Id}_E \quad \text{et} \quad \mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)=\dim E. \] Montrer que $f$ et $g$ sont des projecteurs complémentaires.
Exercice 5325. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$. Montrer que : \[ f \; \mathrm{est\ un\ projecteur} \iff \mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(\mathrm{id}-f)=n \]
Exercice 5326. Soient $u,v\in \mathcal{L}(K^n)$ tels que \[ u+v=\mathrm{Id} \quad \mathrm{et} \quad \mathrm{rg}(u)+\mathrm{rg}(v)\leqslant n. \] Montrer que $u$ et $v$ sont des projecteurs.
Exercice 5327.
  1. Déterminer la matrice dans la base canonique de la projection parallèlement à $\mathrm{Vect}((-1,1,2))$ sur le plan d'équation $x-2y+z=0$.\\
  2. Soit \[ X= \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}). \] Montrer que la matrice $XX^T$ est une matrice de projection de rang $1$ si et seulement si $X^TX=(1)$.
Exercice 5328. Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. \\
  1. Soient $f \in \mathcal{L}(E)$ et $g$ un projecteur de $E$. Montrer que \\ \[ \ker(f \circ g)=\ker(g)\oplus (\ker(f)\cap \mathrm{Im}(g)). \] \\
  2. Soit $f$ un projecteur de $E$, et $g \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que \\ \[ \mathrm{Im}(f \circ g)=\mathrm{Im}(f)\cap (\ker(f)+\mathrm{Im}(g)). \] \\
  3. Soient $f$ et $g$ deux projecteurs de $E$. Montrer que $f \circ g$ est un projecteur si et seulement si \\ \[ \mathrm{Im}(f)\cap (\ker(f)+\mathrm{Im}(g))\subset \mathrm{Im}(g)\oplus (\ker(f)\cap \ker(g)). \]
Exercice 5329. Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie. Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL(E)$. Démontrer que \[ \bigcap_{g\in G}\ker(g-\mathrm{Id}_E) \] est de dimension \[ \Frac{1}{\mathrm{Card}(G)}\Sum_{g\in G}\mathrm{tr}(g). \]
Exercice 5330. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie.\\
  1. Soit $f,g$ deux endomorphismes de $E$. On suppose qu’il existe un projecteur $p$ de $E$ et un scalaire $\lambda \neq 0$ tel que $g=\lambda p$. Montrer que si $f$ stabilise $\ker(g)$ et $\mathrm{Im}(g)$ alors $f$ commute avec $g$.\\
  2. Le résultat précédent tient-il sans l’hypothèse particulière effectuée sur $g$ ?\\
  3. Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $u(x) \in \mathrm{Vect}(x)$ pour tout $x \in E \setminus \{0\}$. Montrer que $u$ est une homothétie.\\
  4. Soit $g$ un endomorphisme de $E$. On suppose que $g$ commute avec tout endomorphisme de $E$ qui stabilise $\ker(g)$ et $\mathrm{Im}(g)$. Montrer que $g$ est produit d’un projecteur par un scalaire non nul.
Exercice 5331. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs d’un $\R$-espace vectoriel $E$. Montrer que : \[ p+q \;\; \mathrm{est\; un\; projecteur} \Longleftrightarrow \mathrm{Im}(p)\subset \ker(q) \;\; \mathrm{et} \;\; \mathrm{Im}(q)\subset \ker(p). \] Dans le cas où $p+q$ est un projecteur, déterminer \[ \ker(p+q) \qquad \mathrm{et} \qquad \mathrm{Im}(p+q). \]
Exercice 5332. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs d'un espace vectoriel $E$ qui commutent.
  1. Montrer que $p+q-p\circ q$ et $p\circ q$ sont des projecteurs.
  2. Montrer que $\Ker(p\circ q)=\Ker(p)+\Ker(q)$ et que $\mathrm{Im}(p\circ q)=\mathrm{Im}(p)\cap \mathrm{Im}(q)$.
  3. Montrer que $\Ker(p+q-p\circ q)=\Ker(p)\cap \Ker(q)$ et que $\mathrm{Im}(p+q-p\circ q)=\mathrm{Im}(p)+\mathrm{Im}(q)$.
Exercice 5333. Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mathcal{L}(E)$. \\
  1. On suppose qu'il existe un projecteur $p$ tel que $u=p\circ u-u\circ p$. Montrer que $u^2=0$.
  2. Étudier la réciproque.

Exercice 5334. X ENS

\\ Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. \\ Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $u$ pour qu’il existe \[ v \in \mathcal{L}(E) \] tel que \[ u \circ v=0 \quad \mathrm{et} \quad u+v \;\; \mathrm{inversible}. \]

Exercice 5335. X ENS

\\ Soit $p$ et $q$ deux projecteurs de $E$ tels que $\mathrm{Im}\, p \subset \ker q$ et $r=p+q-pq$. \\ Montrer que $r$ est un projecteur et déterminer son image et son noyau.

Exercice 5336. X ENS

Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, où $K \subset \C$. \\ On se donne $n$ endomorphismes non nuls $p_1,\ldots,p_n$ de $E$ tels que, pour tout $1 \leqslant i,j \leqslant n$, \\ $p_i \circ p_j=\delta_{ij}p_i$. \\
  1. Montrer que, pour tout $1 \leqslant i \leqslant n$, $\mathrm{rg}\, p_i=1$. \\
  2. Montrer que les sous-espaces $\mathrm{Im}\, p_i$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) sont en somme directe.

Exercice 5337. X ENS

\\ Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie. Si $I$ est un idéal à droite de $\mathcal{L}(E)$ et $F$ un sous-espace de $E$, on pose \[ f(I)=\sum_{u \in I} \mathrm{Im}\,u \quad \text{et} \quad g(F)=\{u \in \mathcal{L}(E), \mathrm{Im}\,u \subset F\}. \]
  1. Montrer que pour tout sous-espace $F$, $g(F)$ est un idéal à droite de $\mathcal{L}(E)$ et que $f(g(F))=F$.
  2. Soit $I$ un idéal à droite. Soit $u \in I$, $v \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\mathrm{Im}\,v \subset \mathrm{Im}\,u$. Montrer que $v \in I$.
  3. Soit $u$ et $v$ deux éléments de $I$. Montrer qu’il existe un projecteur $p \in I$ tel que $\mathrm{Im}\,p=\mathrm{Im}\,u+\mathrm{Im}\,v$.
  4. En déduire qu’il existe un projecteur $p$ appartenant à $I$ tel que $\mathrm{Im}\,p=f(I)$, puis que $I=p\mathcal{L}(E)$.
  5. Conclure.
Exercice 5338. Soit $E$ un espace vectoriel et $u$ un endomorphisme de $E$.\\
  1. On suppose qu'il existe un projecteur $p$ et un automorphisme $v$ de $E$ tels que $u \circ v = v \circ u = p$. Justifier que $\ker(u) = \ker(p)$ et $\mathrm{Im}(u) = \mathrm{Im}(p)$.\\
  2. Montrer que $E = \ker(u) \oplus \mathrm{Im}(u)$ si et seulement s'il existe un projecteur $p$ et un automorphisme $v$ de $E$ tels que $u \circ v = v \circ u = p$.
Exercice 5339. Soit $E$ un espace vectoriel et $p$, $q$ deux projecteurs de cet espace.
  1. Rappeler les relations vérifiées par $p$ et par $q$.
  2. On choisit $p(f) = \mathbf{1}_A \cdot f$ et $q(f) = \mathbf{1}_B \cdot f$ sur $\mathcal{F}(\mathbb{R})$, pour $A, B \subset \mathbb{R}$.
    1. Montrer que $p$ et $q$ sont des projecteurs.
    2. Identifier les éléments caractéristiques de chacun.
    3. Étudier les applications $p + q$ et $p \circ q$.
    1. Montrer que $(p \circ q = q$ et $q \circ p = p) \Rightarrow \mathrm{Im}(p) = \mathrm{Im}(q)$.
    2. Montrer la réciproque.
  4. Montrer que $(p \circ q = p$ et $q \circ p = q) \Leftrightarrow \mathrm{Ker}(p) = \mathrm{Ker}(q)$.
    1. Montrer que $p + q$ est un projecteur si et seulement si $p \circ q = q \circ p = 0$.
    2. Dans ce cas, montrer que $\mathrm{Ker}(p+q) = \mathrm{Ker}(p) \cap \mathrm{Ker}(q)$ et $\mathrm{Im}(p+q) = \mathrm{Im}(p) + \mathrm{Im}(q)$.
  6. On suppose que $p \circ q = q \circ p$.
    1. Montrer que $p \circ q$ est un projecteur.
    2. Montrer que $\mathrm{Ker}(p \circ q) = \mathrm{Ker}(p) + \mathrm{Ker}(q)$ et $\mathrm{Im}(p \circ q) = \mathrm{Im}(p) \cap \mathrm{Im}(q)$.
  7. Retrouver les réponses de la question 2 à l'aide des questions 5 et 6.
Exercice 5340. Soient $E$ un espace de dimension finie, puis $p$ et $q$ deux projecteurs dans $\mathcal{L}(E)$. Montrer que $p$ et $q$ ont le même rang si et seulement s’il existe $(u,v)\in\mathcal{L}(E)^2$ tel que \[ p=u\circ v \quad \mathrm{et} \quad q=v\circ u. \]
Exercice 5341. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in \mathcal{L}(E)$.\\ On suppose qu'il existe un projecteur $p$ de $E$ tel que \[ u=p\circ u-u\circ p. \]
  1. Montrer que \[ u(\ker p)\subset \mathrm{Im}\,p \quad \mathrm{et} \quad \mathrm{Im}\,p\subset \ker u. \]
  2. En déduire que \[ u^2=0. \]
  3. Réciproque ?
Exercice 5342. Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ avec $E$ de dimension finie sur $\R$. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :\\ \[ u^2=0 \] \[ \exists \; p \; \mathrm{projecteur}\; \mathrm{de}\; E\; \mathrm{tel}\; \mathrm{que}\; pu=u \; \mathrm{et}\; up=0 \] \[ \exists \; p \; \mathrm{projecteur}\; \mathrm{de}\; E\; \mathrm{tel}\; \mathrm{que}\; pu-up=u \]
Exercice 5343. Soient $L_1$ et $L_2$ deux sous-espaces supplémentaires dans $\mathcal{L}(E)$, où $E$ est de dimension finie $n$, tels que : \[ \forall\, (u,v) \in L_1 \times L_2, \quad u \circ v + v \circ u = 0. \]
  1. Montrer qu'il existe deux projecteurs $p_1$ et $p_2$ dans $L_1 \times L_2$ tels que $\mathrm{Id}_E = p_1 + p_2$.\\
  2. Montrer que $n = \mathrm{rg}(p_1) + \mathrm{rg}(p_2)$.\\
  3. Soit $u \in L_1$. Montrer que, si $x \in \mathrm{Im}(p_2)$ alors $u(x) = 0$, et si $x \in \ker(p_2)$ alors $u(x) \in \ker(p_2)$.\\
  4. En déduire que $\dim(L_1) \leq (n - \mathrm{rg}(p_2))^2$. Quelle inégalité a-t-on pour $\dim(L_2)$ ?\\
  5. Justifier que $\dim(\mathcal{L}(E)) = \dim(L_1) + \dim(L_2)$.\\
  6. Montrer que $\mathrm{rg}(p_1)(n - \mathrm{rg}(p_2)) \leq 0$ et en déduire que $\mathrm{rg}(p_1) = 0$ ou $\mathrm{rg}(p_1) = n$, puis que $L_1 = \{0\}$ ou $L_2 = \{0\}$.
Exercice 5344. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-ev de dimension finie et $f \in L(E)$. On veut montrer l'équivalence : \[ \mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Im}(f) \Leftrightarrow f^2 = 0 \mathrm{\; et \; } \exists g \in L(E),\; fg + gf = \mathrm{Id}. \]
  1. Montrer l'implication réciproque en montrant que $fg$ est un projecteur et que $\mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Im}(fg) = \mathrm{Im}(f)$. \\
  2. Montrer l'implication directe.
Exercice 5345.
  1. Déterminer la matrice $A$ selon la base canonique de $\mathbb{R}^3$ de la projection sur le plan $x+y+z=0$, parallèlement à la droite $6x=3y=2z$.\\
  2. Déterminer toutes les matrices $B$ vérifiant $B^2=B$ et $AB=BA$.\\
  3. Déterminer tous les sous-espaces stables par l'application linéaire $A$.
Exercice 5346. Soit $p\in \mathbb{N}^*$.\\
  1. Montrer que si $A\in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ est un projecteur, alors $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{Tr}(A)$.\\
Soient $A_1,\dots,A_n$ des matrices de projections. On pose $Q=A_1+\cdots+A_n$.\\
  1. On suppose que pour tous entiers $i$ et $j$ entre $1$ et $n$, on a $A_iA_j=\delta_{i,j}A_i$. Montrer que $Q$ est une matrice de projection.\\
  2. On suppose que $Q$ est une matrice de projection. On note $F=\mathrm{Im}(Q)$, $G=\ker(Q)$, puis $F_k=\mathrm{Im}(A_k)$ et $G_k=\ker(A_k)$, pour tout $k\in \llbracket 1,n\rrbracket$.\\
    1. Montrer que $F\subset \Sum_{k=1}^{n}F_k$.\\
    2. Montrer que $F=\bigoplus_{k=1}^{n}F_k$.\\
    3. Montrer que $G=\bigcap_{k=1}^{n}G_k$.\\
    4. Montrer que pour tous entiers $i$ et $j$ entre $1$ et $n$, $A_iA_j=\delta_{i,j}A_i$.
Exercice 5347. Soit $E$ un espace de dimension $n$, puis \[ \mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n) \] une base de $E$. On pose pour tout \[ i\in[1,n], \] $p_i$ la projection sur $\Vect(e_i)$ parallèlement à $\Vect(\mathcal{B}\setminus\{e_i\})$.\\
  1. Montrer que pour tous \[ i,j\in[1,n], \] on a \[ p_i\circ p_j=\delta_{i,j}\,p_i. \]
  2. Soit $\Phi$ un automorphisme de l’algèbre $\mathcal{L}(E)$. Montrer qu’il existe \[ g\in GL(E) \] tel que \[ \Phi:f\mapsto g^{-1}\circ f\circ g. \]
Exercice 5348. Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $n$, et \[ f_1,f_2,\dots,f_m \] des endomorphismes de $E$. On suppose que \[ f_1+f_2+\cdots+f_m=\mathrm{Id}_E \qquad \mathrm{et} \qquad \rg(f_1)+\rg(f_2)+\cdots+\rg(f_m)\leqslant n. \] Montrer que :
  • $f_k$ est un projecteur pour tout $k\in\llbracket 1,m\rrbracket$,\\
  • $f_i\circ f_j=0$ pour tout $i\neq j$,\\
  • $\mathrm{Im}(f_1)\oplus\mathrm{Im}(f_2)\oplus\cdots\oplus\mathrm{Im}(f_m)=E$.
Exercice 5349. Soient $H_1$ et $H_2$ deux sous-espaces supplémentaires de $\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ vérifiant la propriété suivante : \[ \forall (f,g)\in H_1\times H_2,\quad f\circ g+g\circ f=0. \]
  1. Justifier qu'il existe $(p_1,p_2)\in H_1\times H_2$ tel que $p_1+p_2=\mathrm{id}$. \\
  2. Montrer que $p_1$ et $p_2$ sont des projecteurs. \\
  3. Montrer que $\dim H_1\leq (n-\mathrm{rg}\,p_2)^2$ et $\dim H_2\leq (n-\mathrm{rg}\,p_1)^2$. \\
  4. Quels sont les choix possibles pour le couple $(H_1,H_2)$ ?