Développements limités, équivalents

Exercice 2478. Calculer des équivalents, au voisinage de $0$, de :\\
  1. $\Frac{1}{x}-\Frac{1}{\sin x}+x$.\\
  2. $\Frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{\sin x}}{x}$.\\
  3. $\Frac{(\sin x)^x-(\sh x)^x}{(\sin x)^{2x}-x^2\sh x}$.\\
  4. $\ln\left(\Frac{1}{x}\right)\ln\left(1+e^{\frac{1}{x}}\right)$.\\
  5. $\Frac{x^x-(\sin x)^x-\Frac{x^3}{6}}{x^4\ln x}$.
Exercice 2479. Déterminer le développement limité de $f$, au voisinage de $a$, à l'ordre $n$, avec :\\
  1. $y=\sqrt[3]{1+2x}$, $a=0$, $n=2$.\\
  2. $y=\sqrt[3]{1+2x}$, $a=1$, $n=2$.\\
  3. $y=\sqrt{1+\cos(x)}$, $a=0$, $n=2$.\\
  4. $y=\Frac{x+1}{x^2+2x+2}$, $a=0$, $n=5$.\\
  5. $y=\arccos(x)$, $a=0$, $n=5$.\\
  6. $y=\ln(2+e^x)$, $a=0$, $n=2$.\\
  7. $y=\ln\left(\Frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)$, $a=0$, $n=5$.\\
  8. $y=\Frac{x-\tan(x)}{\sh(x)}$, $a=0$, $n=3$.\\
  9. $y=(1+x)^{\frac{1}{x}}$, $a=0$, $n=3$.\\
  10. $y=\Frac{1}{\sin^2(x)}$, $a=0$, $n=3$.\\
  11. $y=\sh(x)e^{\cos(x^2)}$, $a=0$, $n=5$.\\
  12. $y=\sqrt{x^2+\sqrt{x^4+2}}$, $a=+\infty$, $n=7$.\\
  13. $y=\Frac{e^{2x}-1}{1-\cos(x)}$, $a=0$, $n=2$.\\
  14. $y=\arctan(1+x+x^2)$, $a=0$, $n=3$.\\
  15. $y=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt[3]{x^3-5x^2+6}$, $a=+\infty$, $n=2$
Exercice 2480. Former le développement limité, à l’ordre et au voisinage indiqués, de la fonction $f$ définie par la formule suivante (variable $x$) :\\
  1. ordre $22$, voisinage de $0$, $\exp\!\Big(\Sum_{k=1}^{20}\Frac{(-1)^{k+1}}{k}x^k\Big)$.\\
  2. ordre $3$, voisinage de $0$, $\integrale{x}{2x}{\ln(1+t)\ln(1-t)}{t}$.
Exercice 2481. Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \Frac{x^x - 1}{\ln^2\!\bigl(1 + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)}$.
Exercice 2482. Considérons la fonction $f$ définie par $f(x)=\Frac{e^x-1-x}{\ln(1+x)}$.\\ Déterminer le développement limité de $f$ à l’ordre $3$ en $0$.
Exercice 2483. Déterminer le $DL_{100}(0)$ de $f(x)=\ln\!\left(\Sum_{k=0}^{99}\Frac{x^k}{k!}\right)$.
Exercice 2484. Déterminer le $DL_{2}(1)$ de $f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}$.
Exercice 2485. \\
  1. $DL_3(0)$ de $\sqrt{3+\cos(x)}$.\\
  2. $DL_8(0)$ de $(\tan(x))^3\left((\cos(x))^{x^2}-1\right)$.
Exercice 2486. Calculer la limite en $+\infty$, si elle existe, de $x\sin\!\left(\Frac{1}{x}\right)$, $\left(\Frac{x^4}{x-1}\right)^{\frac{1}{3}} - x$, $\cos\sqrt{x+1}-\cos\sqrt{x}$ et $\Frac{\sh\sqrt{x^2+2}}{e^x}$.
Exercice 2487. Calculer le développement limité à l’ordre $3$ au voisinage de $0$ de $\cos\!\big(\sqrt{t^{2}+t}\big)$.
Exercice 2488. Développement limité à l'ordre $3$ au voisinage de $0$ de $e^{\sin{t}}$.
Exercice 2489. Donner un équivalent simple en $0$ de $\ln(4x^4-2\cos x+3)$.
Exercice 2490. Déterminer un équivalent de $a_n=\cos\!\left(\Frac{\pi n^2}{2n^2+an+1}\right)$, où $a\in\mathbb{R}$.
Exercice 2491. Donner un équivalent simple au voisinage de $0$ puis de $+\infty$ pour les fonctions suivantes :\\
  1. $x+\sqrt{x}$. \\
  2. $e^x+\sin(x)$. \\
  3. $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$. \\
  4. $\ln(1+4x)$. \\
  5. $\dfrac{\ln(1+x^2)}{4x^2}$.
Exercice 2492. Donner un équivalent simple des expressions suivantes :\\
  1. $\ln\!\parenthese{e^x+e^{-x^2}}$ en $+\infty$. \\
  2. $\dfrac{1-\cos(x)(1+2x)}{x^2-x^3}$ en $0$. \\
  3. $\dfrac{(2+x)x^2\sqrt{3x^2+4}}{\sqrt{x}\sin(\sqrt{x})}$ en $0^+$. \\
  4. $\sqrt{\cos(x)}-1$ en $0$. \\
  5. $\dfrac{(e^x-1)\sin^2(x)}{3x^2+\arctan(x^4)}$ en $0$.
Exercice 2493. Écrire les développements limités des fonctions : $\ln$, $\exp$, $\ch$, $\sh$, $\sin$, $\cos$ à l’ordre $n$ au point $a$, pour $n$ et $a$ quelconques.
Exercice 2494. Calculer les limites suivantes :\\
  1. $\lim_{x\to \Frac{1}{2}}(2x^2-3x+1)\tan(\pi x)$.\\
  2. $\lim_{x\to a}\Frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\ln x-\ln a}$.\\
  3. $\lim_{x\to 1}(2-x)^{\tan\left(\Frac{\pi x}{2}\right)}$.\\
  4. $\lim_{x\to 2}\Frac{x^2-2^x}{\sin(x-2)}$.\\
  5. $\lim_{x\to 0}\Frac{a^x\sin(bx)-b^x\sin(ax)}{c^x\sin(dx)-d^x\sin(cx)} \quad (a,b,c,d \in \R_+^*)$.\\
  6. $\lim_{x\to \Frac{\pi}{4}}\Frac{\tan^n x-1}{2\sin^2 x-1} \quad (n \in \N^*)$.\\
  7. $\lim_{x\to \Frac{\pi}{2}}\left(\Frac{2}{\cos^2 x}+\Frac{1}{\ln\sin x}\right)$.\\
  8. $\lim_{x\to \Frac{\pi}{2}}\Frac{\sin^{p+q}x-1}{(\sin^p x-1)(\sin^q x-1)} \quad (p,q \in \R)$.\\
  9. $\lim_{x\to +\infty}\Frac{\sqrt{\Frac{\pi}{2}}-\arctan x}{\left(1+\Frac{1}{x}\right)^x-e}$.\\
  10. $\lim_{x\to +\infty}\left(1+x+x^2+\cdots+x^p\right)^{\Frac{1}{p}}-\left(1+x+x^2+\cdots+x^q\right)^{\Frac{1}{q}} \quad (p,q \in \N^*)$.\\
  11. $\lim_{x\to +\infty}\left(\sh x\right)^{\ch x}-\left(\ch x\right)^{\sh x}$.\\
  12. $\lim_{x\to \Frac{\pi}{4}}\left(2\sin x-\sqrt{2}\tan x\right)\ln\left(1-\tan^n x\right) \quad (n \in \N^*)$.\\
  13. $\lim_{x\to 0}\left(\Frac{\tan x}{x}\right)^{\Frac{1}{\tan x}}$.\\
  14. $\lim_{x\to 0}\left(\Frac{1}{x-\sin(x)}+\Frac{1}{x-\sh(x)}\right)$.
Exercice 2495. Soit $f(x)=x+\ln(1+x)$ pour tout $x > -1$.\\ On note $g$ sa bijection réciproque.\\
  1. Montrer que $f$ est une bijection.\\
  2. Calculer $g(0)$ et $g'(0)$.\\
  3. Prouver que $g$ admet un développement limité à tout ordre au voisinage de $0$.\\
  4. Exprimer le développement limité de $g$ à l'ordre $3$.
Exercice 2496. Développement limité à l'ordre 3 au voisinage de $0$ de $f(x) = xe^{\sin{x}}-\sqrt{1+x}$.
Exercice 2497. Exprimer le développement limité général en $0$ de $\arcsin x$.\\
Exercice 2498. Pour $n\in\mathbb{N}$, déterminer le développement limité à l’ordre $2n+2$ de $x\mapsto \Frac{1}{2}\ln\!\Big(\Frac{1+x}{1-x}\Big)$.\\ On pourra commencer par calculer la dérivée de cette fonction.
Exercice 2499. On note $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x)=\ln(1+x^2)-x$.\\ Montrer que $f$ est bijective puis former le $DL_4(0)$ de $f^{-1}$.
Exercice 2500. Montrer que l’application $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par $f(x)=xe^{x^2}$ admet une application réciproque définie sur $\mathbb{R}$ et former le $DL_5(0)$ de $f^{-1}$.
Exercice 2501. Former le développement asymptotique en $0$ de l’expression considérée à la précision demandée :\\
  1. $\Frac{\ln(1+x)}{\sqrt{x}}$ à la précision $x^{5/2}$\\
  2. $x^x$ à la précision $(x\ln x)^2$
Exercice 2502. \\
  1. $DL_3(0)$ de $\arctan\left(\Frac{1+x}{1-x}\right)$.\\
  2. $DL_3(1)$ de $\arctan$.\\
  3. $DL_3(0)$ de $\Frac{1}{(1+x)(2-x)}$.\\
  4. $DL_3(0)$ de $e^{\sin(x)}$.\\
  5. $DL_5(0)$ de $e^{\cos(x)}$.
Exercice 2503. Donnez des équivalents de\\
  • $\Frac{1}{\sqrt[3]{1+t^3}}$ au voisinage de $-1$.\\
  • $\Frac{\ch x-\cos x}{(e^x-1)^{5/2}}$ au voisinage de $0$ et de $+\infty$.\\
  • $\Frac{\ln t}{\sqrt{1-t}}$ au voisinage de $0$ et de $1$.
Exercice 2504. Donner des équivalents de : \\
  • $f(x)=\Frac{\ln x}{\sqrt{x}(1-x)^{\Frac{3}{2}}}$ au voisinage de $0^+$ et de $1^-$. \\
  • $f(x)=\Frac{\sin(ax)}{e^x-1}$ au voisinage de $0$. \\
  • $f(x)=\Frac{\th 3x-\th 2x}{x}$ au voisinage de $+\infty$ et de $0$.
Exercice 2505. \\
  1. $DL_3(0)$ de $\ln(1+e^x)$.\\
  2. $DL_3(0)$ de $\ln(2+\sin(x))$.\\
  3. $DL_3\left(\Frac{\pi}{4}\right)$ de $\sin(x)$.\\
  4. $DL_4(1)$ de $\Frac{\ln(x)}{x^2}$.
Exercice 2506. \\
  1. DL à l’ordre $2$ au voisinage de $\Frac{1}{2}$ de $\cos(\pi x(1-x))$.\\
  2. DL à l’ordre $3$ au voisinage de $0$ de $\ln\sqrt[5]{2+\cos x}$.\\
  3. DL à l’ordre $2$ au voisinage de $\Frac{\pi}{3}$ de $\ln(\sin x)$.
Exercice 2507. Donner le développement limité en $0$ des fonctions suivantes :\\
  1. $x\mapsto \ln(\cos x)$ à l’ordre $5$.\\
  2. $x\mapsto \sin^6 x$ à l’ordre $9$.\\
  3. $x\mapsto \Frac{\sqrt{1+\ln(1+x^2)}}{\sqrt[3]{1+x}}$ à l’ordre $3$.
Exercice 2508. Soient $n\in\mathbb{N}$, $n\geqslant 2$ et $f$ l’application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par\\ \[ f(x)=x^n\sin\!\Big(\Frac{1}{x}\Big)\;\;\text{si}\;\;x\neq 0\quad\text{et}\quad f(0)=0. \]
  1. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.\\
  2. $f$ admet-elle un développement limité en $0$ ? si oui à quel ordre maximal ?
Exercice 2509. \\
  1. Donner un équivalent simple en $0^+$ de $\Frac{\ln(1+\sqrt{x})}{\sqrt{\sin(x)}}$.\\
  2. Donner un équivalent simple en $\left(\Frac{\pi}{2}\right)^-$ de $\tan(x)$.\\
  3. Donner un équivalent simple en $+\infty$ de $\ln\left(\Frac{\ln(x+1)}{\ln(x)}\right)$.\\
  4. Trouver un équivalent simple en $0$ de $x^x-\sin^x(x)$.\\
  5. Donner un équivalent simple de $(x+1)\ln(x)-x\ln(x+1)$ en $0$ ; $+\infty$ ; $1$.
Exercice 2510. Former le développement asymptotique en $+\infty$ de l’expression considérée à la précision demandée :\\
  1. $\sqrt{x+1}$ à la précision $1/x^{3/2}$.\\
  2. $x\ln(x+1)-(x+1)\ln x$ à la précision $1/x^2$.\\
  3. $\left(\Frac{x+1}{x}\right)^x$ à la précision $1/x^2$.
Exercice 2511. Déterminer un équivalent en $+\infty$ de \[ (n+1)^{\frac{1}{n+1}}-n^{\frac{1}{n}}. \]