Développements limités

Exercice 1607. En utilisant la formule de Taylor-Young, déterminer la limite de $\Frac{\ch x + \cos x - 2}{x^4}$ lorsque $x$ tend vers $0$.
Exercice 1608. Calculer le développement limité à l’ordre $3$ au voisinage de $0$ de $\cos\!\big(\sqrt{t^{2}+t}\big)$.
Exercice 1609. Développement limité à l'ordre $3$ au voisinage de $0$ de $e^{\sin{t}}$.
Exercice 1610. Développement limité à l'ordre 3 au voisinage de $0$ de $f(x) = xe^{\sin{x}}-\sqrt{1+x}$.
Exercice 1611. Déterminer la limite lorsque $x$ tend vers $1$ de $\Frac{x^{x}-x}{\,1-x+\ln x\,}$.
Exercice 1612. Donner un équivalent simple en $0$ et en $+\infty$ de $\Frac{1}{x}-\Frac{1}{x^2}$ et de $\ln(4x^4-2\cos x+3)$.
Exercice 1613. Donnez des équivalents de\\
  • $\Frac{1}{\sqrt[3]{1+t^3}}$ au voisinage de $-1$.\\
  • $\Frac{\ch x-\cos x}{(e^x-1)^{5/2}}$ au voisinage de $0$ et de $+\infty$.\\
  • $\Frac{\ln t}{\sqrt{1-t}}$ au voisinage de $0$ et de $1$.
Exercice 1614. Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \Frac{x^x - 1}{\ln^2\!\bigl(1 + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)}$.
Exercice 1615. Calculer la limite en $+\infty$, si elle existe, de $x\sin\!\left(\Frac{1}{x}\right)$, $\left(\Frac{x^4}{x-1}\right)^{\Frac{1}{3}} - x$, $\cos\sqrt{x+1}-\cos\sqrt{x}$ et $\Frac{\sh\sqrt{x^2+2}}{e^x}$.
Exercice 1616. Donner des équivalents de : \\
  • $f(x)=\Frac{\ln x}{\sqrt{x}(1-x)^{\Frac{3}{2}}}$ au voisinage de $0^+$ et de $1^-$. \\
  • $f(x)=\Frac{\sin(ax)}{e^x-1}$ au voisinage de $0$. \\
  • $f(x)=\Frac{\th 3x-\th 2x}{x}$ au voisinage de $+\infty$ et de $0$.
Exercice 1617. Déterminer le $DL_{100}(0)$ de $f(x)=\ln\!\left(\Sum_{k=0}^{99}\Frac{x^k}{k!}\right)$.
Exercice 1618. Déterminer le $DL_{2}(1)$ de $f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}}$.