Déterminer la convexité

Exercice 303. Etudier la convexité de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x-1)e^x$.
Exercice 304. Etudier la convexité de $f$ définie sur $]-\infty;1[$ par $f(x) = \Frac{e^x}{x-1}$.
Exercice 305. Etudier la convexité de $g$ définie par $g(x) = xe^{-x}$ sur $\R$.
Exercice 306. Soit $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = (4x-2)e^{-x+1}$.\\ Etudier la convexité de $f$ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de $\Cf$.
Exercice 307. Soit $k$ une fonction définie sur $\R$ dont la dérivée est $k'(x) = (3x-12)^3e^x$.\\ Déterminer la convexité de $k$ et l'abscisse du point d'inflexion.
Exercice 308. Soit la fonction $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x) = \Frac{e^x}{x}$. \\ La courbe $\Cf$ admet-elle un point d'inflexion ?
Exercice 309. Une seule des quatre réponses est correcte. \\ La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x) = x^{1000}+x$.\\
  1. La fonction $g$ est concave sur $\R$. \\
  2. La fonction $g$ est convexe sur $\R$. \\
  3. La fonction $g$ possède exactement un point d'inflexion sur $\R$. \\
  4. La fonction $g$ possède exactement deux points d'inflexions sur $\R$.
Exercice 310. Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x^2+2)e^x$. \\ Déterminer la convexité de $f$ et les éventuels points d'inflexions de la courbe $\Cf$.
Exercice 311. $\forall n \in \N^*$, on pose $f_n(x) = 10x^2e^{nx-1}$. \\ Montrer que $\mathscr{C}_n$ admet deux points d'inflexion dont on donnera les abscisses.
Exercice 312. Soit $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = xe^{-x}$. \\ \\
  1. Etudier la convexité de $f$ sur $\Rp$. \\ \\
  2. Soit $a$ un réel dans $\Rp$ et $A$ le point de $\Cf$ d'abscisse $a$. \\ On note : \\ \\
    • $T_a$ la tangente à $\Cf$ au point $A$. \\ \\
    • $H_a$ le point d'intersection de la droite $T_a$ et l'axe des ordonnées. \\ \\
    • $g(a)$ l'ordonnée de $H_a$. \\ \\
    Montrer que $g(a)$ est maximum lorsque $A$ est un point d'inflexion de $\Cf$.
Exercice 313. On considère la fonction $f$ définie sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ par $f(x)=\Frac{10(x-8)}{x(x-1)}$.\\ Calculer $f''(x)$ puis étudier la convexité de $f$ sur $]0,1[$ et sur $]1,+\infty[$.
Exercice 314. On considère la fonction $f$ définie sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ par $f(x)=\Frac{10(x-8)}{x(x-1)}$.\\ Déterminer s’il existe des points d’inflexion sur $]0,1[$ ou sur $]1,+\infty[$.
Exercice 315. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\parenthese{x+\Frac{1}{2}}e^{-x}+x$.\\ Montrer que pour tout $x\in\R$, $f''(x)=\parenthese{x-\Frac{3}{2}}e^{-x}$.\\ En déduire les intervalles de convexité de $f$ et l’abscisse de l’éventuel point d’inflexion de $\Cf$.
Exercice 316. On considère $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=(ax+b)e^{-x}+x$, où $a,b\in\R$.\\ On admet que $h''(x)=\parenthese{x-\Frac{3}{2}}e^{-x}$.\\ Déterminer les abscisses des points d’inflexion éventuels de la courbe $\Ch$.
Exercice 317. Soit $k>0$ et $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\Frac{4}{1+e^{-kx}}$.\\ Prouver que la courbe de $g$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $0$.
Exercice 318. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\Frac{1}{1+e^{-3x}}$.\\ On admet que pour tout $x\in\R$, $f''(x)=\Frac{9e^{-3x}(e^{-3x}-1)}{(1+e^{-3x})^3}$.\\ Déterminer les intervalles de convexité de $f$ sur $\R$ et préciser la nature du point $A\parenthese{0,\Frac12}$ pour la courbe $\Cf$.
Exercice 319. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(x^2-5x+6)e^x$.\\ On admet que pour tout réel $x$, $f''(x)=(x+1)(x-2)e^x$.\\ Étudier la convexité de $f$ sur $\R$ et déterminer les abscisses des points d'inflexion de sa courbe.
Exercice 320. Soit $f$ définie sur $I=[-3;4]$ par $f(x)=\Frac{e^x}{1+x^2}$.\\ On admet que pour tout $x\in I$, $f''(x)=\Frac{p(x)(x-1)e^x}{(1+x^2)^3}$, où $p(x)=x^3-2x^2+5x+1$.\\ Déterminer le nombre de points d’inflexion de $\Cf$ sur $I$ et préciser leurs abscisses.
Exercice 321. On considère la fonction $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x)=xe^{-x}$.\\ Étudier la convexité de $f$ sur $\Rp$ et déterminer l’abscisse du point d’inflexion de $\Cf$.
Exercice 322. On considère $f(x)=xe^{-x}$ sur $\Rpe$ et on note $g(a)=a^2e^{-a}$ pour $a\in\Rp$.\\ Démontrer que $g(a)$ est maximum lorsque $a$ est l’abscisse d’un point d’inflexion de $\Cf$.
Exercice 323. Soit $f$ définie sur $[0 \; ; \; +\infty[$ par $f(x)=x+1+xe^{-x}$.\\ Étudier la convexité de $f$ sur $[0 \; ; \; +\infty[$.\\ Préciser s’il existe un point d’inflexion.
Exercice 324. Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=(x-1)^2+\Frac{(e^x-e^{-x})^2}{4}$. \\ Calculer $g''(x)$ et montrer que, pour tout $x \in \R$, $g''(x)=e^{2x}+e^{-2x}+2$.