Analyse asymptotique

Exercice 2529. Soit $f$ et $g$ deux applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f(x)=o(g(x))$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. \\ Montrer qu’il existe une application $h$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f(x)=o(h(x))$ et $h(x)=o(g(x))$, lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Exercice 2530. Déterminer une application $f:\mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}$ telle qu’au voisinage de $+\infty$, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\ln^n x = o(f(x))$ et $f(x) = o\!\left(x^{\frac{1}{n}}\right)$.
Exercice 2531. Soit $f:x\mapsto \tan x-\Frac{x^2}{x+1}$. \\ Pour $n\in\mathbb{N}^*$, montrer que $f$ a un seul zéro noté $x_n$ dans $]n\pi,n\pi+\Frac{\pi}{2}[$. \\ Donner un développement de $x_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, à la précision $o\!\left(\Frac{1}{n^3}\right)$.
Exercice 2532. Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand $x \to +\infty$.\\
  1. $\Frac{\ln(x+1)}{\ln x}-1$.\\
  2. $\sqrt{\ln(x+1)}-\sqrt{\ln(x-1)}$.\\
  3. $x\ln(x+1)-(x+1)\ln x$.
Exercice 2533. Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand $x \to 0$.\\
  1. $\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}$.\\
  2. $\tan x-\sin x$.\\
  3. $e^x+x-1$.
Exercice 2534. Déterminer un équivalent de $\ln(\cos x)$ quand $x \to (\pi/2)^-$.
Exercice 2535. Soit $f : \R \to \R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$. \\
  1. Montrer que si $x \in \R$, on a (lorsque $h \to 0$) : \\ \[ f(x+h)=f(x)+h f'(x)+\Frac{h^2}{2} f''(x)+o(h^2). \]
  2. On suppose de plus que $f(0)=0$. Déterminer la limite de la suite $(S_n)_{n \geqslant 0}$ définie par \\ \[ S_n=\Sum_{k=1}^{n} f\parenthese{\Frac{k}{n^2}} . \]
Exercice 2536. Calculer $\lim_{x\to 0}\left(\Frac{\ln(1+2x+2x^2)}{\ln(1+2x+3x^2)}\right)^{\frac{1}{e^x-1}}$.
Exercice 2537. On note $f : ]-1;1[ \to \mathbb{R}$, $x \mapsto f(x)=\Frac{1}{x-1}+\Frac{1}{x+1}+\Frac{1}{x+2}$.\\
  1. Montrer que $f$ est une bijection et que $f^{-1}$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.\\
  2. Former un développement asymptotique de $f^{-1}(y)$ à la précision $o\!\Big(\Frac{1}{y^2}\Big)$ lorsque $y$ tend vers $+\infty$.
Exercice 2538. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x-\ln(1+x^2)$.\\
  1. Montrer que $f$ est une bijection de $\R$ dans $\R$.\\
  2. Sa bijection réciproque $f^{-1}$ admet-elle un $DL_3(0)$ ? Si oui, le calculer.
Exercice 2539. Calculer $\lim_{x\to 0^+}\left(\Frac{2}{x(e^x-1)}-\Frac{2}{x^2}+\Frac{1}{x}\right)$.
Exercice 2540. Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand $x \to 0$.\\
  1. $\ln(1+\sin x)$.\\
  2. $\ln(\ln(1+x))$.\\
  3. $(\ln(1+x))^2-(\ln(1-x))^2$.
Exercice 2541. Montrer que la fonction\\ \[ f:x\mapsto \Frac{x}{e^x-1} \] peut être prolongée en une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice 2542. Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to 0}g(x)=0$.\\ Montrer que\\ \[ e^{f(x)}-e^{g(x)}\sim_{0} f(x)-g(x).\\ \]
Exercice 2543. Calculer la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de $\Sum_{k=1}^{n} \sin\!\left(\Frac{k}{n^2}\right)$.
Exercice 2544. Développement asymptotique à trois termes de :\\ \[ u_n=\Sum_{k=1}^{n}\sin\left(\Frac{k}{n^2}\right). \]
Exercice 2545. Former le développement asymptotique, en $+\infty$, à la précision $\Frac{1}{n^2}$ de\\ \[ u_n=\Frac{1}{n!}\Sum_{k=0}^{n}k!. \]
Exercice 2546. Donner un développement asymptotique de $\left(\Frac{1}{n!}\Sum_{k=0}^{n}k!\right)_{n\in\mathbb{N}}$ à la précision $o\left(\Frac{1}{n^3}\right)$.
Exercice 2547. Soient $a$ un réel non nul et $f$ la fonction définie au voisinage de $0$ par\\ \[ f(x)=\Frac{\ln(1+ax)}{1+x}. \] Déterminer les éventuelles valeurs de $a$ pour lesquelles $f$ présente un point d’inflexion en $0$.
Exercice 2548. \\
  1. Montrer que l'équation $x=\tan x$ admet pour tout $n\in\N$ une unique solution $x_n$ dans l'intervalle \[ \left]-\Frac{\pi}{2}+n\pi,\Frac{\pi}{2}+n\pi\right[. \]
  2. Déterminer le développement asymptotique à quatre termes significatifs de $x_n$, lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 2549. Soit $f : \R \to \R$ définie par $f(x)=\begin{cases}\Frac{x}{e^x-1} & \mathrm{si}\; x \neq 0 \\ 1 & \mathrm{si}\; x = 0 \end{cases}$.\\
  1. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R$.\\
  2. Déterminer le $DL_{2,0}$ de $f$.\\
  3. Donner une équation de la tangente en $0$ et la position de la courbe par rapport à la tangente.\\
  4. Préciser le comportement asymptotique de $f$.\\
  5. Donner le tableau de variation et tracer $C_f$.
Exercice 2550. Soit $f$ la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $\begin{cases} f(x)=x^{1+\frac{1}{x}} \;\mathrm{si}\; x>0 \\ f(0)=0 \end{cases}$.\\ On désigne par $C$ la courbe représentative de $f$.\\
  1. Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en $0$. Étudier les variations de $f$. Étudier $f$ en $+\infty$.\\
    1. Montrer que le développement limité à l'ordre $3$ de $f$ en $1$ est : $f(x)=1+2(x-1)-\Frac{1}{2}(x-1)^3+o((x-1)^3)$.\\ On pourra poser $x=1+t$.\\
    2. Préciser l’équation de la tangente $T$ à $C$ au point d’abscisse $1$.\\ Étudier la position de la courbe au voisinage de $1$. Construire $C$ et $T$ dans un repère orthonormé.
Exercice 2551. Déterminer la limite quand $x\to 0$ de \[ \parenthese{\frac{\tan(x)}{x}}^{\frac{1}{x}}. \]
Exercice 2552. Montrer que les fonctions suivantes définissent des bijections au voisinage de $0$, montrer que les fonctions $f^{-1}$ sont encore de classe $C^{\infty}$ au voisinage de $f(0)$ et déterminer un développement limité de $f^{-1}$ avec : \\
  1. $f(x)=2\tan x-x$. Déterminer $DL_6(0)$ de $f^{-1}$. \\
  2. $f(x)=x+\ch x$. Déterminer $DL_4(1)$ de $f^{-1}$.
Exercice 2553. Soit $\alpha > 0$.\\ Déterminer la limite éventuelle de \[ \Frac{\sin(\sh x)-\sh(\sin x)}{x^{\alpha}} \] lorsque $x$ tend vers $0^+$.
Exercice 2554. Déterminer \[ \lim_{x \to 0}\Frac{\tan(\sin(x+\sqrt{3}x))}{\sh(\tanh(2x+\sin x))} \]
Exercice 2555. Pour tout $n$, on note $(E_n)$ l’équation $x^n=x+1$ $(x \geqslant 0)$.\\
  1. Démontrer que pour tout $n$, $(E_n)$ admet une unique solution $x_n$.\\
  2. Démontrer que la suite $(x_n)_n$ est convergente de limite $1$.\\
  3. Déterminer un développement limité de $x_n$.
Exercice 2556. \\
  1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, l’équation $x-e^{-x}=n$ admet une unique solution que l’on notera $x_n$.\\
  2. Donner un développement asymptotique à quatre termes de $x_n$.
Exercice 2557. Établir le développement asymptotique au voisinage de $+\infty$ : \[ \forall n \geqslant 1,\; \integrale{2}{x}{\Frac{1}{\ln(t)}}{t} =\sum_{k=0}^{n}\Frac{k! \, x}{\ln^{k+1}(x)}+o\parenthese{\Frac{x}{\ln^{n+1}(x)}}. \]
Exercice 2558. Pour \[ \lambda\in]0,1], \] on pose \[ f(\lambda)=\sup_{x\in[0,1/\lambda]}\Bigl(e^{-x}-(1-\lambda x)^{1/\lambda}\Bigr). \] Déterminer un développement asymptotique à deux termes de la fonction $f$ en $0$.
Exercice 2559. Soit $F:\R_+\to\R_+$ définie par \[ F(x)=\integrale{0}{x}{e^{-t^2}}{t}. \]
  1. Montrer que $F$ est croissante, dérivable et possède une limite finie $L>0$ en $+\infty$. \\ On notera \[ L=\integrale{0}{+\infty}{e^{-t^2}}{t}. \]
  2. Montrer que pour tout $x \in \R$, $e^x \geqslant 1+x$. \\
  3. En déduire que \[ \forall t \in [0,\sqrt{n}] \qquad 0 \leqslant \left(1-\Frac{t^2}{n}\right)^n \leqslant e^{-t^2} \] et que \[ \forall t \in \R \qquad e^{-t^2}\leqslant \left(1+\Frac{t^2}{n}\right)^{-n}. \]
  4. On pose \[ K_n=\integrale{0}{\sqrt{n}}{\left(1-\Frac{t^2}{n}\right)^n}{t}. \] À l’aide d’un changement de variable, montrer que $K_n=\sqrt{n}\,I_{2n+1}$. \\ En déduire la limite de $K_n$ quand $n\to+\infty$. \\
  5. Soit $G:\R_+\to\R_+$ définie par \[ G(x)=\integrale{0}{x}{\left(1+\Frac{t^2}{n}\right)^{-n}}{t}. \] Montrer que $G$ est croissante, dérivable, et possède une limite finie $L_n>0$ en $+\infty$. \\ Montrer que $L \leqslant L_n$. \\
  6. À l’aide du changement de variable $t=\sqrt{n}\tan u$, montrer que $L_n=\sqrt{n}\,I_{2n-2}$. \\ En déduire la limite de $L_n$ quand $n\to+\infty$. \\
  7. Montrer par un encadrement que \[ L=\integrale{0}{+\infty}{e^{-t^2}}{t}=\Frac{\sqrt{\pi}}{2}. \]
Exercice 2560. Pour tout $n \in \N$, on pose \[ I_n=\integrale{0}{\Frac{\pi}{2}}{\sin^n(x)}{x}. \]
    1. Montrer que $I_n \to 0$. \\
    2. Montrer que \[ I_n=\integrale{0}{\Frac{\pi}{2}}{\cos^n(x)}{x}. \]
    3. Montrer que \[ I_{2n+1}=\integrale{0}{1}{(1-u^2)^n}{u}. \]
  2. Montrer que \[ I_{n+2}=\Frac{n+1}{n+2}I_n. \]
  3. Montrer que $(n+1)I_nI_{n+1}$ est constant et déterminer cette constante. \\
    1. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante. \\
    2. En déduire que \[ \Frac{n+1}{n+2}\leqslant \Frac{I_{n+1}}{I_n}\leqslant 1 \] puis que \[ I_{n+1}\sim I_n. \]
  5. Montrer que \[ I_n\sim \sqrt{\Frac{\pi}{2n}}. \]
  6. Calculer $I_{2n}$ et $I_{2n+1}$ en fonction de $n$. \\
  7. Montrer que \[ \pi=\lim_{n\to+\infty}\Frac{1}{n}\left(\Frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}\right)^2. \]
Exercice 2561. Posons \[ q_n=\Frac{n!}{n^{n+\frac12}e^{-n}}. \]
  1. Calculer $\Frac{q_{n+1}}{q_n}$. \\ En déduire que \[ \ln q_{n+1}-\ln q_n \sim -\Frac{1}{12n^2} \quad \text{lorsque } n\to+\infty. \]
  2. Montrer que la suite $(\ln q_n)$ est décroissante à partir d’un certain rang. \\
  3. Montrer qu’il existe un entier $n_0 \in \N$ tel que \[ \forall n\geqslant n_0 \qquad \ln q_{n+1}-\ln q_n \geqslant -\Frac{1}{6n^2}. \]
  4. À l’aide de la question précédente, montrer par une comparaison série-intégrale que la suite $(\ln q_n)$ possède une limite finie. \\
  5. Montrer que la suite $(q_n)$ possède une limite $K \in \R_+^*$. \\
  6. Montrer que \[ \Frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)} \sim \Frac{K\sqrt{n}}{\sqrt2} \qquad \text{lorsque } n\to+\infty. \]
  7. En utilisant la formule de Wallis, calculer $K$ et établir la formule de Stirling \[ n!\sim\left(\Frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n} \qquad \text{lorsque } n\to+\infty. \]
Exercice 2562. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction décroissante telle que\\ \[ f(x)+f(x+1)\sim_{+\infty}\Frac{1}{x}. \]
  1. Étudier la limite de $f$ en $+\infty$.\\
  2. Donner un équivalent de $f$ en $+\infty$.
Exercice 2563. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par\\ \[ f(x)= \begin{cases} e^{-1/x^2} \quad \text{si}\;\; x\neq 0\\ 0 \quad \text{sinon.} \end{cases} \] Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f^{(n)}(0)=0$.\\ C’est ici un exemple de fonction non nulle dont tous les $DL_n(0)$ sont nuls.
Exercice 2564. Déterminer un équivalent simple des fonctions proposées au voisinage de $0$ :\\
  1. $x(2+\cos x)-3\sin x$.\\
  2. $x^x-(\sin x)^x$.\\
  3. $\arctan(2x)-2\arctan(x)$.
Exercice 2565. Soit $f:]-1;0[\cup]0;+\infty[\to\mathbb{R}$ définie par\\ \[ f(x)=\Frac{\ln(1+x)-x}{x^2}. \] Montrer que $f$ peut être prolongée par continuité en $0$ et que ce prolongement est alors dérivable en $0$.\\ Quelle est alors la position relative de la courbe de $f$ par rapport à sa tangente en ce point ?
Exercice 2566. Soit $\varphi : ]-1 ; +\infty[ \to \R$ la fonction définie par $\varphi(s)=s-\ln(1+s)$ pour tout $s>-1$.\\
  1. Montrer que $\varphi$ définit par restriction aux intervalles $]-1 ; 0]$ et $[0 ; +\infty[$ une bijection $\varphi_- : ]-1 ; 0] \to [0 ; +\infty[$ et une bijection $\varphi_+ : [0 ; +\infty[ \to [0 ; +\infty[$.\\
  2. Donner un équivalent de $\varphi(s)$ lorsque $s$ tend vers $0$ et en déduire des équivalents des bijections réciproques $\varphi_+^{-1}$ et $\varphi_-^{-1}$ en $0$ par valeurs supérieures.\\
  3. Former un développement asymptotique à trois termes de $\varphi_+^{-1}$ et $\varphi_-^{-1}$ en $0^+$.
Exercice 2567. Soit $f: ]0;1[\cup]1;+\infty[\to\mathbb{R}$ l’application définie par\\ \[ f(x)=\integrale{x}{x^2}{\Frac{dt}{\ln t}}{t}. \]
  1. Montrer que $f$ est convexe sur $]0;1[$ et $]1;+\infty[$.\\
  2. Montrer que, pour tout $x>1$ on a :\\ \[ \integrale{x}{x^2}{\Frac{x\,dt}{t\ln t}}{t}\leqslant \integrale{x}{x^2}{\Frac{dt}{\ln t}}{t}\leqslant \integrale{x}{x^2}{\Frac{x^2\,dt}{t\ln t}}{t}. \] En déduire que $\lim_{x\to 1^+}f(x)=\ln 2$. De même, établir : $\lim_{x\to 1^-}f(x)=\ln 2$.\\
  3. On prolonge $f$ par continuité en $1$, en posant $f(1)=\ln 2$.\\ Montrer que $f$ ainsi prolongée est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $]0;+\infty[$.\\ Établir la convexité de $f$ sur $]0;+\infty[$.