Analyse asymptotique

Exercice 1282. Soit $n \geqslant 1$,\\
  1. Montrer que l’équation $x + \ln(x) = n$ admet une unique solution $x_n$ sur $\R^{+*}$.\\
  2. Montrer que $x_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$. En déduire que $\ln(x_n) = o(x_n)$.\\
  3. Montrer que $x_n \sim n$.\\
  4. En étudiant $\alpha_n = x_n - n$. Montrer que $x_n$ admet le développement asymptotique à deux termes :\\ \[ x_n = n - \ln(n) + o(\ln(n)) \]\\
  5. En étudiant $\beta_n = x_n - n + \ln(n)$. Montrer que $x_n$ admet le développement asymptotique à trois termes :\\ \[ x_n = n - \ln(n) + \Frac{\ln(n)}{n} + o\parenthese{\Frac{\ln(n)}{n}} \]
Exercice 1283. On considère pour tout $n \in \N^*$, l’équation $e^x + x - n = 0$.\\
  1. Montrer que l’équation admet une unique solution que l’on note $u_n$.\\
  2. Montrer que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.\\
  3. Montrer que $u_n \sim \ln(n)$.\\
  4. En étudiant $v_n = u_n - \ln(n)$, montrer que\\ \[ u_n = \ln(n) - \Frac{\ln(n)}{n} + o\parenthese{\Frac{\ln(n)}{n}} \]
Exercice 1284. Montrer que l’équation $\tan(x) = \sqrt{x}$ possède une unique solution $x_n$ sur chaque intervalle $I_n = \left]-\Frac{\pi}{2}, \Frac{\pi}{2}\right[ + n\pi$.\\ Donner un développement asymptotique à quatre termes de $x_n$.
Exercice 1285. \\
  1. Montrer que la fonction $f : x \mapsto x^2 \parenthese{\sin\parenthese{\Frac{1}{x}} + \Frac{\ln(e^x + e^{-x})}{x^2}}$ admet une asymptote dont on donnera l’équation en $+\infty$. \\
  2. Montrer que la fonction $f : x \mapsto (x^2 + 5x + 4)e^{\frac{1}{x+3}}$ admet une asymptote dont on donnera l’équation en $+\infty$. \\
  3. Montrer que la fonction $f : x \mapsto \Frac{(x+1)e^{\frac{2}{x}}}{(x-1)^4}$ admet une asymptote dont on donnera l’équation en $+\infty$.