Analyse asymptotique
Exercice
1619. Calculer la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de $\Sum_{k=1}^{n} \sin\!\left(\Frac{k}{n^2}\right)$.
Exercice
1620. Soit $f : \R \to \R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$. \\
- Montrer que si $x \in \R$, on a (lorsque $h \to 0$) : \\ \[ f(x+h)=f(x)+h f'(x)+\Frac{h^2}{2} f''(x)+o(h^2). \]
- On suppose de plus que $f(0)=0$. Déterminer la limite de la suite $(S_n)_{n \geqslant 0}$ définie par \\ \[ S_n=\Sum_{k=1}^{n} f\parenthese{\Frac{k}{n^2}} . \]
Exercice
1621. Soit $f$ et $g$ deux applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f(x)=o(g(x))$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. \\
Montrer qu’il existe une application $h$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $f(x)=o(h(x))$ et $h(x)=o(g(x))$, lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Exercice
1622. Déterminer une application $f:\mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}$ telle qu’au voisinage de $+\infty$, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\ln^n x = o(f(x))$ et $f(x) = o\!\left(x^{\Frac{1}{n}}\right)$.
Exercice
1623. Soit $f:x\mapsto \tan x-\Frac{x^2}{x+1}$. \\
Pour $n\in\mathbb{N}^*$, montrer que $f$ a un seul zéro noté $x_n$ dans $]n\pi,n\pi+\Frac{\pi}{2}[$. \\
Donner un développement de $x_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$, à la précision $o\!\left(\Frac{1}{n^3}\right)$.