Somme d'une série

Exercice 1298. Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leur somme.\\
  1. $\Sum_{k \geqslant 1} k \parenthese{\Frac{1}{4}}^{k-1}$\\
  2. $\Sum_{k \geqslant 0} k(k-1)\Frac{1}{4^k}$\\
  3. $\Sum_{n \geqslant 0} \Frac{(-1)^n}{(n+2)!}$\\
  4. $\Sum_{n \geqslant 0} \Frac{n^2+n+1}{n!}$
Exercice 1299. Pour chaque série déterminer sa convergence et sa somme le cas échéant : \\
  • $\Sum \Frac{2^n+1}{3^n}$ \\
  • $\Sum \Frac{1}{2^{2n+4}}$ \\
  • $\Sum \ln\parenthese{\Frac{n+1}{n-1}}$
Exercice 1300. Convergence et somme de la série de terme général $u_n = \ln\parenthese{1+\Frac{(-1)^n}{n}}$ pour $n \geqslant 2$.
Exercice 1301. \\ Montrer que la série $\Sum \Frac{1}{2^n}$ converge et calculer sa somme.
Exercice 1302. \\ Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose $u_n = \ln(n)+a\ln(n+1)+b\ln(n+2)$. \\
  1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la série de terme général $u_n$ soit convergente. \\
  2. Calculer alors la somme de cette série.
Exercice 1303. Montrer que la série $\Sum_{k \geqslant 0} \ln\parenthese{1 + \Frac{2}{n(n+3)}}$ converge et calculer sa somme.
Exercice 1304. Donner la nature et calculer la somme de la série $\Sum_{n \geqslant 0} \Frac{n^3}{n!}$.
Exercice 1305. Montrer que la série $\Sum_{k \geqslant 1} u_k$ converge et calculer sa somme avec $u_n = \Frac{1}{n \Sum_{k=1}^{n} k^2}$.\\ Indication : On pourra commencer par déterminer $a, b, c$ tels que $\Frac{1}{n(n+1)(2n+1)} = \Frac{a}{n} + \Frac{b}{n+1} + \Frac{c}{2n+1}$ et utiliser le développement asymptotique $\Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k} = \ln(n) + \gamma + o(1)$.\\
Exercice 1306. Soit $x \in \left]-\Frac{\pi}{2}, \Frac{\pi}{2}\right[$. Montrer que la série $\Sum_{k} \ln\parenthese{\cos\parenthese{\Frac{x}{2^k}}}$ converge et calculer sa somme.\\ Indication : On pourra utiliser la formule $\sin(2a) = 2\cos(a)\sin(a)$.
Exercice 1307. Donner la nature et calculer la somme de la série $\Sum_{n \geqslant 1} \Frac{n^2}{(n-1)!}$.