Somme d'une série

Exercice 2828. Montrer que \[ \Sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(3n)!} \] converge et déterminer sa limite.
Exercice 2829. On donne $\Sum_{k=1}^{+\infty}\Frac{1}{k^2}=\Frac{\pi^2}{6}$.\\ Calculer $\Sum_{k=1}^{+\infty}\Frac{1}{k^2(k+1)^2}$ après en avoir justifié l'existence.
Exercice 2830. Soit $n \in \N^*$, on pose, la notation $[\;]$ désignant la partie entière : \[ S=\Sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k-n[k/n]}{k(k+1)}. \] Prouver l'existence de $S$, et la calculer.
Exercice 2831.
  1. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite de réels strictement positifs. \\ On pose \[ S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k \] et on suppose que \[ \frac{S_n}{nu_n}\to \alpha > 0. \] Étudier la convergence et la limite de \[ \frac{1}{n^2u_n}\sum_{k=0}^{n}ku_k. \]
  2. Soient $(u_n)_{n \in \N}$ et $(v_n)_{n \in \N}$ deux suites de réels strictement positifs. \\ On pose \[ S_n=\sum_{k=0}^{n}u_k \quad \text{et} \quad T_n=\sum_{k=0}^{n}v_k. \] On suppose que \[ \frac{S_n}{nu_n}\to \alpha > 0 \quad \text{et} \quad \frac{T_n}{nv_n}\to \beta > 0. \] Étudier la convergence et la limite de \[ \frac{1}{n^2u_nv_n}\sum_{k=0}^{n}ku_kv_k. \]
Exercice 2832. On pose \[ H_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n} \] pour $n \geqslant 1$. \\
  1. Soit \[ u_n=H_n-\ln n \quad \text{et} \quad v_n=u_n-\frac{1}{n}. \] Démontrer que ces suites sont adjacentes et convergent vers une constante réelle strictement positive $\gamma$. \\
  2. Déterminer un développement asymptotique de $H_n$ comprenant quatre termes. \\
  3. On pose \[ k_n=\min\{k\in\N,\ H_k \geqslant n\}. \] Déterminer \[ \limn \frac{k_{n+1}}{k_n}. \]
Exercice 2833. Établir la convergence et calculer la somme de la série \[ \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{4n+1}-\frac{3}{4n+2}+\frac{1}{4n+3}+\frac{1}{4n+4}\right). \]
Exercice 2834. Établir la convergence et calculer la somme de la série \[ \sum_{n=1}^{+\infty}n\sum_{p=2^{n-1}}^{2^n-1}\frac{1}{p(2p+1)(2p+2)}. \]
Exercice 2835. Nature puis calcul de la somme de la série \[ \Sum_{n\geqslant 2}\ln\left(1-\Frac{1}{n^2}\right). \]
Exercice 2836. Nature de la série $\Sum_n u_n$, avec \[ u_n=\Frac{\ln(1+\sqrt{n})}{\sqrt{n}+n+n^2},\qquad n\geqslant 1. \]
Exercice 2837. Calculer $\Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{\cos(n\theta)}{n}$, pour $\theta\in]0,2\pi[$.

Exercice 2838. CCP

\\ On pose, pour tout $n \geqslant 1$, $a_n=\Frac{1}{1^2+2^2+\cdots+n^2}$ et $H_n=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k}$.\\
  1. Montrer la convergence de la série de terme général $a_n$.\\
  2. Montrer que $\limn(H_{2n+1}-H_n)=\ln 2$.\\
  3. Trouver $(a,b,c)\in\R^3,\;\forall n \in \N^*,\;a_n=\Frac{a}{n}+\Frac{b}{n+1}+\Frac{c}{2n+1}$.\\
  4. En déduire $\Sum_{n=1}^{+\infty}a_n$.
Exercice 2839. Pour $p \in \N$, on pose\\ \[ a_p=\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{n^p}{2^n}. \]
  1. Montrer que $a_p$ existe puis exprimer $a_p$ en fonction de $a_0,\ldots,a_{p-1}$.\\
  2. En déduire que $a_p \in \N$.

Exercice 2840. X ENS

\\
  1. Pour $n \in \N$, on note $u_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{\ln{k}}{k}-\Frac{1}{2}\ln(n)^2$. \\ Montrer que $\un$ converge. \\
  2. Calculer $\Sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \Frac{\ln(n)}{n}$.
Exercice 2841. Calculer pour $x \in ]-1,1[$\\ \[ \Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}. \]
Exercice 2842. Après avoir justifié leur convergence, calculer la somme des séries suivantes :\\
  1. $\Sum_{n\geqslant 0}\Frac{n^3-2n^2+1}{3^n}$.\\
  2. $\Sum_{n\geqslant 0}\Frac{2n^3+n^2+n+3}{n!}\cdot 2^n$.
Exercice 2843. Pour chaque série déterminer sa convergence et sa somme le cas échéant : \\
  • $\Sum \Frac{2^n+1}{3^n}$ \\
  • $\Sum \Frac{1}{2^{2n+4}}$ \\
  • $\Sum \ln\parenthese{\Frac{n+1}{n-1}}$
Exercice 2844. Convergence et somme de la série de terme général $u_n = \ln\parenthese{1+\Frac{(-1)^n}{n}}$ pour $n \geqslant 2$.
Exercice 2845. \\ Montrer que la série $\Sum \Frac{1}{2^n}$ converge et calculer sa somme.
Exercice 2846. Soient $\alpha \in ]2,+\infty[$ et $(a_n)$ la suite définie par\\ $a_0=\alpha$ et $a_{n+1}=a_n^2-2$ pour tout $n \in \N$.\\ Montrer\\ \[ \Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{1}{a_0a_1\cdots a_n} = \Frac12\left(\alpha-\sqrt{\alpha^2-4}\right). \]
Exercice 2847. Calculer $\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{1}{(2n+1)^2}$.
Exercice 2848. Montrer que pour tout $x\in\R$,\\ \[ \Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{n}{2^{n-1}}\cos((n-1)x)=4\cdot \Frac{3-4\cos x+2\cos^2 x}{(5-4\cos x)^2}. \]
Exercice 2849. Nature puis somme de la série $\Sum_{n \geqslant 1}\Frac{1}{n(n+1)(n+2)}$.
Exercice 2850. On pose pour $n \geqslant 1$, $u_n = (-1)^n \ln\parenthese{1 + \Frac{1}{n}}$. \\ Montrer que la série $\Sum_{n \geqslant 1} u_n$ converge, puis calculer sa somme.
Exercice 2851. Sachant $\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{1}{n!}=e$, calculer $\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{n+1}{n!}$ et $\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{n^2-2}{n!}$.
Exercice 2852. Existence et valeur pour $m \geqslant 1$ de\\ \[ S_m=\Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{1}{n(n+1)\cdots(n+m)}. \]
Exercice 2853.
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, il existe un unique polynôme $P_n$ tel que \[ \forall t \in \left] 0,\frac{\pi}{2} \right[,\quad P_n(\tan^2(t)) = \frac{\cos((2n+1)t)}{\cos^{2n+1}(t)} \]
  2. Déterminer les racines de $P_n$ et montrer que leur somme est égale à \[ \frac{n(2n-1)}{3} \]
  3. Démontrer que \[ \forall t \in \left] 0,\frac{\pi}{2} \right[,\quad \tan^2(t) \leqslant \left( \frac{\pi}{2}-t \right)^{-2} \leqslant 1+\tan^2(t) \] et en déduire \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} \]