Calcul de dimension

Exercice 1256. Soit $n \geqslant 1$, on pose $H = \{ P \in \R_{2n}[X] \; | \; \integrale{1}{4}{P(x)}{x} = 0 \}$.\\ Montrer que $H$ est un espace vectoriel. Déterminer sa dimension et donner une base de $H$.

Exercice 1257. Déterminer une base et la dimension du sous-espace vectoriel\\ \[ F = \mathrm{Vect}((1,2,-1,1), (-3,-2,3,2), (-1,0,1,1), (2,3,-2,1)) \]\\ Déterminer un supplémentaire de $F$ dans $\R^4$.

Exercice 1258. Soit $0 = x_0 < x_1 < \dots < x_n = 1$ une subdivision du segment $[0,1]$.On note $E$ l’ensemble des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$ dont la restriction à chaque intervalle $[x_i, x_{i+1}]$ est affine.\\ Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie de $\mathcal{C}([0,1], \R)$ et calculer sa dimension.\\ On pourra commencer par faire un dessin.

Exercice 1259. Une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\R)$ est dite magique si toutes les sommes des termes de ses lignes et de ses colonnes sont égales.\\ Montrer que l’ensemble des matrices magiques est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\R)$ et donner sa dimension.