Calcul de dimension

Exercice 4005. Soit $p\in\N^*$ et $E$ l’ensemble des suites réelles $p$-périodiques, c’est-à-dire des suites réelles $(u_n)$ telles que \[ \forall n\in\N,\quad u_{n+p}=u_n. \] Montrer que $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et déterminer celle-ci.
Exercice 4006. Soit $p\in\N^*$ et $E$ l’ensemble des suites complexes $p$-périodiques, c’est-à-dire des suites $(u_n)$ telles que \[ \forall n\in\N,\quad u_{n+p}=u_n. \]
  1. Montrer que $E$ est un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et déterminer celle-ci.\\
  2. Déterminer une base de $E$ formée de suites géométriques.
Exercice 4007. Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et $\delta$ une application à valeurs réelles définie sur l’ensemble des sous-espaces vectoriels de $E$.\\ On suppose \[ \forall F,F' \subset E,\quad F\cap F'=\{0_E\}\Longrightarrow \delta(F+F')=\delta(F)+\delta(F'). \] Déterminer $\delta$.
Exercice 4008. Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et $\delta$ une application à valeurs réelles définie sur l’ensemble des sous-espaces vectoriels de $E$.\\ On suppose \[ \forall F,F' \subset E,\quad F\cap F'=\{0_E\}\Longrightarrow \delta(F+F')=\delta(F)+\delta(F'). \] Déterminer $\delta$.
Exercice 4009. Soient $F,G$ deux sous-espaces vectoriels d’un $\K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$.\\ Montrer que si \[ \dim F+\dim G > n, \] alors $F\cap G$ contient un vecteur non nul.
Exercice 4010. Dans $\R^4$, on considère les vecteurs \[ u=(1,0,1,0),\qquad v=(0,1,-1,0),\qquad w=(1,1,1,1),\qquad x=(0,0,1,0),\qquad y=(1,1,0,-1). \] Soit \[ F=\Vect(u,v,w) \qquad \text{et} \qquad G=\Vect(x,y). \] Quelles sont les dimensions de $F$, $G$, $F+G$ et $F\cap G$ ?
Exercice 4011. Déterminer le rang des familles de vecteurs suivantes de $\R^4$ :
  1. $(x_1,x_2,x_3)$ avec \[ x_1=(1,1,1,1),\qquad x_2=(1,-1,1,-1),\qquad x_3=(1,0,1,1). \]
  2. $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ avec \[ x_1=(1,1,0,1),\qquad x_2=(1,-1,1,0),\qquad x_3=(2,0,1,1),\qquad x_4=(0,2,-1,1). \]
Exercice 4012. Dans $E=\R^{]-1,1[}$, on considère \[ f_1(x)=\sqrt{\Frac{1+x}{1-x}},\qquad f_2(x)=\sqrt{\Frac{1-x}{1+x}},\qquad f_3(x)=\Frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad f_4(x)=\Frac{x}{\sqrt{1-x^2}}. \] Quel est le rang de la famille $(f_1,f_2,f_3,f_4)$ ?
Exercice 4013. Soient $H$ un hyperplan et $F$ un sous-espace vectoriel non inclus dans $H$.\\ Montrer \[ \dim(F\cap H)=\dim F-1. \]
Exercice 4014. Soit $(x_1,\dots,x_n)$ une famille de vecteurs d’un $\K$-espace vectoriel $E$.\\ Montrer que pour tout $p\leqslant n$, \[ \rg(x_1,\dots,x_p)\geqslant \rg(x_1,\dots,x_n)+p-n. \]
Exercice 4015. Dans $\R^3$, on considère le sous-espace vectoriel \[ H=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x-2y+3z=0\}. \] Soient \[ u=(1,2,1) \qquad \text{et} \qquad v=(-1,1,1). \] Montrer que $B=(u,v)$ forme une base de $H$.
Exercice 4016. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie supérieure à $2$.\\ Soient $H_1$ et $H_2$ deux hyperplans distincts de $E$.\\ Déterminer la dimension de $H_1\cap H_2$.
Exercice 4017. Soit $E$ l’ensemble des applications $f:[-1;1]\to\mathbb{R}$ continues telles que les restrictions de $f$ à $[-1;0]$ et $[0;1]$ soient affines.\\
  1. Montrer que $E$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.\\
  2. Donner une base de $E$.
Exercice 4018. Soit $E$ l’espace vectoriel des applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.\\ On considère $F$ la partie de $E$ constituée des applications de la forme \[ x\mapsto P(x)\sin x+Q(x)\cos x \] avec \[ P,Q\in \mathbb{R}_n[X]. \]
  1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.\\
  2. Montrer que $F$ est de dimension finie et déterminer $\dim F$.
Exercice 4019. Soient $n\in\mathbb{N}$ et $A\in K[X]$ un polynôme non nul.\\ Montrer que \[ F=\{P\in K_n[X]\mid A\mid P\} \] est un sous-espace vectoriel de $K_n[X]$ et en déterminer la dimension ainsi qu’un supplémentaire.
Exercice 4020. On pose $\alpha=\sqrt2+\sqrt3$. On note $K$ le plus petit sous-corps de $\R$ contenant $\alpha$ et $L$ le plus petit sous-corps de $\R$ contenant $\sqrt2$ et $\sqrt3$.\\
  1. Déterminer un polynôme unitaire $P(X)\in\Q[X]$ de degré $4$ tel que $P(\alpha)=0$.\\
  2. Montrer que $P(X)$ est irréductible dans $\Q[X]$.\\
  3. Montrer que $K$ est un $\Q$-espace vectoriel et calculer sa dimension.\\
  4. Montrer que $K=L$.
Exercice 4021. Soient $E$ et $F$ deux espaces de dimensions finies, puis $G$ un sous-espace de $E$.\\
  1. Montrer que \[ \mathcal{G}=\{f\in\mathcal{L}(E,F)\mid G\subset\Ker(f)\} \] est un sous-espace de $\mathcal{L}(E,F)$.\\
  2. Calculer $\dim(\mathcal{G})$. On considérera un supplémentaire $H$ de $G$ dans $E$.
Exercice 4022. Soit $E$ un espace de dimension finie $n$. Soit $\mathcal{F}=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)$ une famille de $n$ formes linéaires sur $E$. Montrer que la famille $\mathcal{F}$ est une base de $\mathcal{L}(E,\K)$ si et seulement si l’application \[ x\longmapsto (\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x)) \] est un isomorphisme de $E$ vers $\K^n$.
Exercice 4023. Soit $E$ un espace de dimension finie, puis $F$ un sous-espace de $E$. Montrer que $F$ est l’intersection de \[ \dim(E)-\dim(F) \] hyperplans.
Exercice 4024. Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension $n$, puis $\varphi_1,\dots,\varphi_n,f$, $(n+1)$ éléments dans $E^*$. Montrer que \[ \bigcap_{i=1}^{n}\Ker(\varphi_i)\subset\Ker(f) \Longleftrightarrow f\in\Vect(\varphi_1,\dots,\varphi_n). \]
Exercice 4025. Soit $n\in\N^*$. Montrer qu’il existe un seul $(c_1,\dots,c_n)$ dans $\R^n$ tel que pour tout \[ P\in\R_{2n+1}[X], \] on ait \[ \int_{-1}^{1}P(x)\,dx = 2P(0)+\sum_{k=1}^{n}c_k\big(P(k)+P(-k)-2P(0)\big). \]
Exercice 4026. Soit $n\geqslant1$ un entier, puis $X_1,\dots,X_{n+1}$ des parties non vides de $[1,n]$.\\ Montrer qu’il existe deux parties $I$ et $J$ non vides et disjointes incluses dans $[1,n+1]$, telles que \[ \bigcup_{i\in I}X_i=\bigcup_{j\in J}X_j. \]
Exercice 4027. Soit $E$ l’ensemble des fonctions $f:\R\to\R$ telles qu’il existe $a,b,c\in\R$ vérifiant \[ \forall x\in\R,\quad f(x)=(ax^2+bx+c)\cos x. \]
  1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\R,\R)$.\\
  2. Déterminer une base de $E$ et sa dimension.
Exercice 4028. Donner la dimension de \[ \{P\in\R_3[X]\mid P(-1)=0\}. \] Faire de même avec \[ \{(u_n)\in\R^\N\mid \forall n\in\N,\;u_{n+2}=4u_{n+1}+5u_n\}. \] Faire de même avec les fonctions affines réelles.
Exercice 4029. Base de Lagrange de $\mathbb{K}_n[X]$.\\ Soient $a_0,a_1,\ldots,a_n$ des éléments de $\mathbb{K}$ distincts deux à deux.\\
  1. Montrer qu'il existe une unique famille $(L_0,L_1,\ldots,L_n)$ d'éléments de $\mathbb{K}_n[X]$ telle que \[ \forall k \in [|0,n|],\quad \left\{ \begin{array}{l} L_k(a_k)=1\\ L_k(a_j)=0 \quad \mathrm{pour}\ j \neq k \end{array} \right. \]
  2. Montrer que $(L_0,L_1,\ldots,L_n)$ est une base de $\mathbb{K}_n[X]$, appelée base de Lagrange de $\mathbb{K}_n[X]$. Quelles sont les coordonnées d'un élément $P \in \mathbb{K}_n[X]$ dans cette base ?
Exercice 4030. Soit $[a,b]$ un segment. On note \[ x_0=a < x_1 < \cdots < x_n=b. \] Déterminer si les parties suivantes de $\mathcal{F}([a,b],\R)$ sont des espaces vectoriels, si elles sont de dimension finie. Si elles sont de dimension finie, on donnera leur dimension et on explicitera une base.\\
  1. $F_1$ est l’ensemble des fonctions $f$ telles que $f$ soit constante sur chaque $[x_k,x_{k+1}[$.\\
  2. $F_2$ est l’ensemble des fonctions $f$ telles que $f$ soit constante sur chaque $]x_k,x_{k+1}[$.\\
  3. $F_3$ est l’ensemble des fonctions $f$ telles que $f$ soit constante sur chaque $[x_k,x_{k+1}]$.
Exercice 4031. Pour tout \[ n\in\N, \] on définit une fonction de $\R$ dans $\R$ par \[ f_n:x\mapsto \sin(x+n). \]
  1. Démontrer que \[ (f_0,f_1) \] est une famille libre de $\mathcal{F}(\R,\R)$.\\
  2. Démontrer que \[ f_{n+1} \] est combinaison linéaire de \[ f_n \quad\text{et}\quad f_{n-1} \] en calculant \[ f_{n+1}+f_{n-1}. \]
  3. En déduire proprement le rang de la famille \[ (f_0,\dots,f_n) \] si \[ n\geqslant 1. \]
Exercice 4032. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel, pas forcément de dimension finie.\\ On appelle forme linéaire toute application \[ f:E\to\K \] linéaire.\\ On appelle noyau de $f$ \[ \ker(f)=\{x\in E\mid f(x)=0\}. \] Enfin, on appelle hyperplan tout noyau d’une forme linéaire non nulle.\\
  1. Justifier que \[ \{P\in\K[X]\mid P(1)=0\} \] est un hyperplan de $\K[X]$.\\
  2. Soit $H$ un hyperplan de $E$. Il existe donc une forme linéaire non nulle \[ \varphi \] telle que \[ H=\ker(\varphi). \]
    1. Montrer que \[ \mathrm{Im}(\varphi) \] est un sev non nul de $\K$. En déduire que \[ \mathrm{Im}(\varphi)=\K. \]
    2. Justifier qu’il existe \[ v\in E \] tel que \[ v\notin \ker(\varphi). \]
    3. Montrer que \[ H\cap \Vect(v)=\{0\}. \]
    4. Montrer par analyse synthèse que \[ H+\Vect(v)=E. \]
  3. On suppose ici que $E$ est de dimension finie et $H$ un hyperplan de $E$. Montrer alors qu’avec cette définition \[ \dim(H)=\dim(E)-1. \]
  4. On suppose ici que $E$ est de dimension finie et que $H,K$ sont deux hyperplans de $E$. On note \[ \varphi \quad\text{et}\quad \psi \] des formes linéaires non nulles telles que \[ H=\ker(\varphi) \quad\text{et}\quad K=\ker(\psi). \] Montrer que si \[ H=K \] alors il existe \[ \lambda\in\K^* \] tel que \[ \psi=\lambda\varphi. \]
Exercice 4033. Soient $H$ un hyperplan en dimension finie et $F$ un sev non inclus dans $H$. Montrer que \[ \dim(F\cap H)=\dim(F)-1. \]
Exercice 4034.
  1. Quelle est la dimension de $\R$ en tant que $\R$-espace vectoriel ?\\
  2. Dans la suite, on considère $\R$ en tant que $\Q$-espace vectoriel.\\
    1. On considère la famille \[ (1,\sqrt{2}). \] Montrer que cette famille est $\Q$-libre.\\
    2. Que peut-on en conclure sur la dimension de $\R$ en tant que $\Q$-espace vectoriel ?\\
    3. Soit $(p_n)_{n\in\N^*}$ la suite des nombres premiers. Soit \[ n\in\N^*. \] Montrer que la famille \[ (\ln(p_1),\dots,\ln(p_n)) \] est $\Q$-libre.\\
    4. Que peut-on en déduire sur la dimension de $\R$ en tant que $\Q$-espace vectoriel ? Conclure.
Exercice 4035. Soit $E$ un $\K$-ev de dimension \[ n\geqslant 1 \] et soit $\mathcal{S}$ l’ensemble des sous-espaces vectoriels de $E$. Soit \[ d:\mathcal{S}\to\N \] vérifiant les propriétés suivantes :
  • si \[ F,F'\in\mathcal{S} \] sont tels que \[ F\cap F'=\{0\}, \] alors \[ d(F+F')=d(F)+d(F') \]
  • \[ d(E)=n \]
  1. Justifier que pour tout \[ F\in\mathcal{S} \] tel que \[ \dim(F) > 1, \] il existe \[ G,H\in\mathcal{S} \] tels que \[ F=G\oplus H \quad\text{et}\quad \dim(H)=1. \]
  2. Soient \[ F,G\in\mathcal{S} \] avec \[ \dim(F)=\dim(G)=1. \]
    1. On suppose \[ F\neq G. \] Montrer que \[ F\cap G=\{0\}. \]
    2. Montrer que \[ F+G=\Vect(a)+\Vect(a+b)=\Vect(a+b)+\Vect(b) \] si \[ F=\Vect(a) \quad\text{et}\quad G=\Vect(b). \]
    3. En déduire que \[ d(F)=d(G). \]
    On notera ensuite \[ m \] la valeur commune de \[ d(H) \] pour tout sev \[ H \] de dimension \[ 1. \]
  3. Montrer que \[ d(\{0\})=0. \]
  4. Montrer par récurrence sur \[ p\leqslant n \] que si \[ F\in\mathcal{S} \quad\text{et}\quad \dim(F)=p, \] alors \[ d(F)=mp. \]
  5. Montrer que pour tout \[ F\in\mathcal{S}, \] on a \[ d(F)=\dim(F). \]
Exercice 4036. Soient $(e_1,\dots,e_n)$ et $(e_1',\dots,e_n')$ deux bases d’un $\R$-ev $E$.\\ Montrer qu’il existe $j\in\{1,\dots,n\}$ tel que la famille \[ (e_1,\dots,e_{n-1},e_j') \] soit encore une base de $E$.
Exercice 4037. Soient $U,V,W$ trois sev d’un ev $E$ de dimension finie $n\in\N$.\\
  1. On suppose \[ \dim(U)+\dim(V) > n. \] Montrer que $U\cap V$ contient un vecteur non nul.\\
  2. On suppose maintenant \[ \dim(U)+\dim(V)+\dim(W) > 2n. \] Que dire de l’espace $U\cap V\cap W$ ?
Exercice 4038. Soit $E$ un $\K$-ev de dimension finie $n\geqslant 2$.\\ Soient $H_1$ et $H_2$ deux hyperplans distincts de $E$.\\ Déterminer la dimension de \[ H_1\cap H_2. \]
Exercice 4039. Soit $E=\R_n[X]$ avec $n\in\N^*$ et \[ F=\left\{P\in E\mid \integrale{0}{1}{P(x)}{x}=0\;\;\text{et}\;\;\integrale{0}{1}{P'(x)}{x}=0\right\}. \]
  1. Vérifier que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.\\
  2. Si $n\geqslant 2$, démontrer que tout $P\in E$ peut s’écrire comme somme d’un élément $Q\in F$ et de $R\in\R_1[X]$.\\
  3. En déduire que pour $n\geqslant 2$ on a \[ E=F\oplus \R_1[X]. \] Calculer la dimension de $F$ ainsi qu’une base de ce sous-espace.
Exercice 4040. Dans $E=\K^n$, on définit \[ G=\left\{(x_1,\dots,x_n)\in E\mid \sum_{k=1}^n kx_k=0\right\}. \] Déterminer la dimension de $G$ et un supplémentaire.
Exercice 4041. Pour tout $k\in\{1,\dots,n\}$, on pose \[ u_k=(k,k-1,\dots,2,1,0,\dots,0)\in\R^n. \] Montrer que la famille $(u_1,\dots,u_n)$ est une base de $\R^n$.
Exercice 4042. Soit $M\in M_n(\R)$.\\ Trouver $d$ tel que $(I,M,\dots,M^d)$ soit liée.\\ En déduire un polynôme annulateur de $M$.
Exercice 4043. Soit $E$ l’espace vectoriel des fonctions de $\R$ vers $\R$.\\
  1. Justifier que $\mathcal{C}^0(\R,\R)$ est un sous-espace vectoriel de $E$.\\
  2. Montrer que \[ F=\left\{f\in \mathcal{C}^0(\R,\R)\mid \integrale{0}{2\pi}{f(t)}{t}=0\right\} \] est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}^0(\R,\R)$.\\
  3. Montrer que l’ensemble $G$ des fonctions $f$ telles qu’il existe $a$ et $b$ réels vérifiant \[ \forall t\in\R,\quad f(t)=a\cos(t)+b\sin(t) \] est un sous-espace vectoriel de $E$. Est-ce un sous-espace vectoriel de $F$ ?\\
  4. Montrer que la famille \[ \{t\mapsto \cos(t),t\mapsto \cos(2t),\dots,t\mapsto \cos(nt)\} \] est libre quel que soit $n$. Que peut-on alors dire sur $\dim(F)$ ?
Exercice 4044. Dans $E=\mathcal{F}(]-1,1[,\R)$, on considère $f_1,f_2,f_3,f_4$ définies par \[ f_1(x)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}, \qquad f_2(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}, \qquad f_3(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad f_4(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}. \] Donner le rang de $(f_1,f_2,f_3,f_4)$.
Exercice 4045. On note $E=\mathcal{C}^1(\R,\R)$ et $n\in\N^*$. Soit $(f_1,\dots,f_n)$ une famille libre de $E$.\\ Montrer par l’absurde que le rang de la famille $(f_1',\dots,f_n')$ est supérieur ou égal à $n-1$.
Exercice 4046. Soit $E$ un $\K$-ev de dimension $3$ et $e=(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$.\\ On pose \[ f_1=e_2+2e_3,\qquad f_2=e_3-e_1,\qquad f_3=e_1+2e_2. \] Montrer que $B=(f_1,f_2,f_3)$ est une base de $E$.
Exercice 4047. Soit $E$ un $\K$-ev de dimension $3$ et $e=(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$.\\ Soient \[ f_1=e_1+2e_2+2e_3 \qquad\text{et}\qquad f_2=e_2+e_3. \] Montrer que la famille $(f_1,f_2)$ est libre et la compléter en une base de $E$.
Exercice 4048. Pour les familles suivantes, donner leur rang et signaler si elles sont libres.\\
  1. $\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ où \[ e_1=(1,1,1,1),\quad e_2=(0,1,2,-1),\quad e_3=(1,0,-2,3),\quad e_4=(2,1,0,-1). \]
  2. $\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ où \[ e_1=(1,1,1,1),\quad e_2=(0,1,2,1),\quad e_3=(1,0,-2,3),\quad e_4=(1,1,2,-2). \]
  3. $\{f,g,h\}$ où \[ f(x)=\cos(2x),\qquad g(x)=\frac12\cos(x)^2,\qquad h(x)=2\sin(x)^2. \]
  4. $\{f,g,h\}$ où \[ f(x)=\cos(x+\alpha),\qquad g(x)=\cos(x+\beta),\qquad h(x)=\cos(x+\gamma). \] Donner le rang en fonction de $\alpha,\beta,\gamma$.
Exercice 4049. \\
  1. Donner la limite de \[ \integrale{0}{1}{x^n\cos^2(x^n)}{x} \] quand $n\to +\infty$.
  2. Donner le rang de la famille \[ \{(1,0,1,2),(2,-1,0,1),(1,-1,-1,-1),(0,1,-2,-3)\}. \]
  3. Soit $n\in\N^*$ et $B\in\R_n[X]$. On pose \[ F=\{P\in\R_n[X]\mid B \;divise\; P\}. \]
    1. Justifier que $F$ est un sev de $\R_n[X]$.\\
    2. On note $p=\deg(B)$. Justifier que la famille $\{B,XB,\dots,X^{n-p}B\}$ est une famille d’éléments de $F$.\\
    3. Justifier que cette même famille est libre.\\
    4. Que peut-on dire sur la dimension de $F$ ?\\
    5. Justifier que si $P\in F$ alors il existe $a_0,\dots,a_{n-p}$ tels que \[ P=\sum_{k=0}^{n-p}a_kX^kB. \]
    6. En déduire la dimension de $F$.
Exercice 4050. \\
  1. Montrer que la famille suivante est une base de $\R^3$ : \[ \{(1,1,0),(1,2,3),(0,1,1)\}. \]
  2. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Soit $F$ un sev de $E$. Que dire de la dimension de $F$ ? On suppose alors que $F$ admet une famille libre de cardinal $n$, justifier que $F=E$.
  3. Montrer la proposition suivante : "soit $\mathcal{F}$ une famille d’éléments de $E$. Alors \[ \rg(\mathcal{F})\leqslant \dim(E) \] avec égalité si et seulement si $\mathcal{F}$ est génératrice de $E$"
  4. Donner le rang de la famille \[ \{(1,1,2),(1,2,0),(1,-1,6)\}. \]
  5. Soit $P\in\R_n[X]$ et $a\in\R$. Donner le rang de la famille \[ \{1,X-a,(X-a)^2,\dots,(X-a)^n,P\}. \]
Exercice 4051. Soient $F$, $G$ et $H$ les ensembles suivants de $\R^4$ : \[ F=\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid 2x-y+4z-3t=0\}, \] \[ G=\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid y-4z+3t=0\}, \] \[ H=\Vect((-3,1,1,1),(6,2,-1,-2),(3,11,2,-1)). \]
  1. Décrire $F\cap G$ et montrer que c’est un sev de $\R^4$. Donner sa dimension.\\
  2. Montrer que $H\subset F\cap G$.\\
  3. En déduire que $H=F\cap G$.
Exercice 4052. Démontrer qu’il existe des réels $(\lambda_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$ non tous nuls tels que pour tout réel $x$ on ait \[ \sum_{k=0}^n \lambda_k\sin(x+k)=0 \] dès que $n\geqslant 3$. On considérera la famille des \[ f_k:x\mapsto \sin(x+k). \]
Exercice 4053. Soit $E=\R_4[X]$ et \[ P_1=X+1,\qquad P_2=X^2-2X+1,\qquad P_3=X^4-X^3+3X^2+2. \]
  1. Montrer que la famille $\{P_1,P_2,P_3\}$ peut être complétée en une base de $E$. Compléter alors cette famille en une base.\\
  2. Exprimer le polynôme \[ Q=X^3+2X^2-4X+2 \] dans la nouvelle base.
Exercice 4054. Soit $E$ l’ensemble des fonctions $f:\R\to\R$ telles qu’il existe $a,b,c\in\R$ vérifiant \[ \forall x\in\R,\quad f(x)=(ax^2+bx+c)\cos(x). \]
  1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\R,\R)$.\\
  2. Déterminer une base de $E$ et donner sa dimension.
Exercice 4055. Soit $E$ l’ensemble des fonctions $f:\R\to\R$.\\ Pour tout $n\in\N$, on note $f_n:x\mapsto x^n$.\\
  1. Soit $N\in\N$, montrer que $(f_0,f_1,\dots,f_N)$ est libre. On utilisera les racines d’un certain polynôme.\\
  2. En déduire que $E$ est de dimension infinie par l’absurde.
Exercice 4056. Soit $p\in\N^*$.\\ On note $E$ l’ensemble des suites réelles $p$-périodiques, c’est-à-dire telles que \[ \forall n\in\N,\quad u_{n+p}=u_n. \] Montrer que $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et déterminer celle-ci.
Exercice 4057. Soient \[ F=\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid 2x-y+4z+3t=0\}, \] \[ G=\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid y-4z+3t=0\}, \] \[ H=\Vect((-3,1,1,1),(6,2,-1,-2),(3,11,2,-1)). \]
    1. Donner une base de $F\cap G$, puis sa dimension.\\
    2. Montrer que $H\subset F\cap G$.\\
    3. En déduire que $H=F\cap G$.
  2. Déterminer une base et la dimension du sous-espace vectoriel \[ F=\Vect((1,2,-1,1),(-3,-2,3,2),(-1,0,1,1),(2,3,-2,1)). \]
  3. Donner une famille génératrice finie, puis une base, de chacun des sous-espaces vectoriels de $\R^3$ suivants : \[ F=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x-2y+z=0\}, \qquad G=\{(a,a+b,b)\mid a,b\in\R\}. \]
Exercice 4058. \\
  1. Soient \[ F=\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid 2x-y+4z+3t=0\}, \] \[ G=\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid y-4z+3t=0\}, \] \[ H=\Vect((-3,1,1,1),(6,2,-1,-2),(3,11,2,-1)). \]
    1. Donner une base de $F\cap G$, puis sa dimension.\\
    2. Montrer que $H\subset F\cap G$.\\
    3. En déduire que $H=F\cap G$.
  2. Déterminer une base et la dimension du sous-espace vectoriel \[ F=\Vect((1,2,-1,1),(-3,-2,3,2),(-1,0,1,1),(2,3,-2,1)). \]
  3. Donner une famille génératrice finie, puis une base, de chacun des sous-espaces vectoriels de $\R^3$ suivants : \[ F=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x-2y+z=0\}, \qquad G=\{(a,a+b,b)\mid a,b\in\R\}. \]
Exercice 4059. \\
  1. Donner le rang de la famille \[ \{(1,0,1,2),(2,-1,0,1),(1,-1,-1,-1),(0,1,-2,-3)\}. \]
  2. Soit $n\in\N^*$ et $B\in\R_n[X]$. On pose \[ F=\{P\in\R_n[X]\mid B \;divise\; P\}. \]
    1. Justifier que $F$ est un sev de $\R_n[X]$.\\
    2. On note $p=\deg(B)$. Justifier que la famille $\{B,XB,\dots,X^{n-p}B\}$ est une famille d’éléments de $F$.\\
    3. Justifier que cette même famille est libre.\\
    4. Que peut-on dire sur la dimension de $F$ ?\\
    5. Justifier que si $P\in F$ alors il existe $a_0,\dots,a_{n-p}$ tels que \[ P=\sum_{k=0}^{n-p}a_kX^kB. \]
    6. En déduire la dimension de $F$.
Exercice 4060. On considère dans $\R^3$ les vecteurs \[ u=(1,2,3) \quad\text{et}\quad v=(3,2,1). \]
  1. La famille $(u,v)$ est-elle une base de $\R^3$ ?\\
  2. Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel \[ F=\Vect(u,v) \; ? \]
  3. Le vecteur \[ x=(1,4,7) \] appartient-il à $F$ ? Si oui, quelles sont ses coordonnées dans la base $(u,v)$ de $F$ ?\\
  4. Même question avec \[ y=(-1,6,9). \]
Exercice 4061. \\
  1. Montrer que \[ \Vect((1,1,1),(-1,1,0))=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x+y-2z=0\}. \]
  2. Montrer que \[ \Vect((1,1,1),(-1,0,1))=\Vect((1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)). \]
Exercice 4062. \\
  1. Dans $\R^4$, on considère \[ u_1=(1,1,0,2),\quad u_2=(-1,0,2,1),\quad u_3=(0,1,2,3),\quad u_4=(1,3,4,8). \] Déterminer le rang de la famille $(u_1,u_2,u_3,u_4)$.\\
  2. Dans $\R_3[X]$, on considère \[ P_1=1+X-X^2+X^3,\quad P_2=2-X+X^3,\quad P_3=1+X+2X^2-X^3,\quad P_4=-1+X+X^3. \] Déterminer le rang de la famille $(P_1,P_2,P_3,P_4)$.\\
  3. Dans $\R^3$, on considère \[ u_1=(1,2,3),\quad u_2=(1,0,-1),\quad u_3=(0,1,2). \] Déterminer le rang de la famille $(u_1,u_2,u_3)$.\\
  4. Donner le rang de la famille $\{f,g,h\}$ des fonctions définies sur $\R_+^*$, où \[ f:x\mapsto \ln(4x),\quad g:x\mapsto \ln(2x),\quad h:x\mapsto \ln(x). \]
Exercice 4063. Soit $n\in\N^*$ et $E=\R^n$. On pose \[ H=\left\{(x_1,\dots,x_n)\in\R^n\mid \sum_{i=1}^n x_i=0\right\}. \] On note $(e_1,\dots,e_n)$ la base canonique de $E$.\\ Pour tout $i\in\{1,\dots,n-1\}$, on définit \[ f_i=e_i-e_{i+1} \] et \[ f_n=e_n. \]
  1. Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$.\\
    1. Montrer que $(f_1,\dots,f_n)$ est une base de $E$.\\
    2. Montrer que $(f_1,\dots,f_{n-1})$ est une famille libre de $H$. En déduire que $\dim(H)\geqslant n-1$.\\
    3. Montrer que $\dim(H)=n-1$. En déduire que $(f_1,\dots,f_{n-1})$ est une base de $H$.
Exercice 4064. \\
  1. Montrer que l’ensemble $D_3(\R)$ des matrices diagonales de $M_3(\R)$ est un sous-espace vectoriel de $M_3(\R)$ dont on donnera la dimension.\\
  2. Montrer que l’ensemble $A_3(\R)$ des matrices antisymétriques de $M_3(\R)$ est un sous-espace vectoriel de $M_3(\R)$ dont on donnera la dimension.\\
  3. Généraliser le résultat précédent à $A_n(\R)$.\\
  4. Quelle est la dimension de $S_n(\R)$ ?
Exercice 4065. Compléter les phrases suivantes.\\ Soit une famille de cardinal $4$ dans un espace vectoriel de dimension $5$. On est sûr que cette famille n’est pas $\dots$\\ Soit une famille de cardinal $6$ dans un espace vectoriel de dimension $5$. On est sûr que cette famille est $\dots$ \\ Soit $E$ un espace de dimension $n$. Une famille de cardinal $n+1$ est $\dots$\\ Que dire d’une famille de cardinal $n$ ?
Exercice 4066. Soit \[ H=\{(a+b,b+c,c+d,d+a)\mid (a,b,c,d)\in\R^4\}. \]
  1. Le vecteur $(1,1,2,0)$ appartient-il à $H$ ?\\
  2. Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $\R^4$.\\
  3. Déterminer une base de $H$ et donner sa dimension.
Exercice 4067. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-ev de dimension finie, $F,G$ deux $\mathrm{sev}$ de $E$. Montrer :\\ \[ (\dim(F+G))^2+(\dim(F\cap G))^2\geqslant (\dim(F))^2+(\dim(G))^2 \] et étudier le cas d’égalité.
Exercice 4068. Soit \[ F=\{(x,y)\in\R^2\mid x+y=0\}. \]
  1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\R^2$ et donner sa dimension.
Soit \[ G=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x+y=0\}. \]
  1. Montrer que $G$ est un sous-espace vectoriel de $\R^3$ et donner sa dimension.
Soit \[ H=\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid x+y=0\}. \]
  1. Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $\R^4$ et donner sa dimension.
Exercice 4069. Soit $H_1$ et $H_2$ deux hyperplans de $\mathbb{R}^n$ avec $n \geqslant 4$. Montrer que $\dim(H_1 \cap H_2) > 1$.