Somme directe

Exercice 4070. Soient $D$ une droite vectorielle et $H$ un hyperplan d’un $\K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie.\\ Montrer que si \[ D\nsubseteq H, \] alors $D$ et $H$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice 4071. Soient $\K$ un sous-corps de $\C$, $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie, et $F_1,F_2$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.\\
  1. On suppose \[ \dim F_1=\dim F_2. \] Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel $G$ de $E$ tel que \[ F_1\oplus G=F_2\oplus G=E. \]
  2. On suppose \[ \dim F_1\leqslant \dim F_2. \] Montrer qu’il existe $G_1,G_2$ sous-espaces vectoriels de $E$ tels que \[ F_1\oplus G_1=F_2\oplus G_2=E \qquad \text{et} \qquad G_2\subset G_1. \]
Exercice 4072. Soit $(e_1,\dots,e_p)$ une famille libre de vecteurs de $E$, $F=\Vect(e_1,\dots,e_p)$ et $G$ un supplémentaire de $F$ dans $E$.\\ Pour tout $a\in G$, on note \[ F_a=\Vect(e_1+a,\dots,e_p+a). \]
  1. Montrer que \[ F_a\oplus G=E. \]
  2. Soient $a,b\in G$. Montrer que \[ a\neq b\Longrightarrow F_a\neq F_b. \]
Exercice 4073. Dans $\R^3$, déterminer une base et un supplémentaire des sous-espaces vectoriels suivants :
  1. $F=\Vect(u,v)$ où \[ u=(1,1,0),\qquad v=(2,1,1). \]
  2. $F=\Vect(u,v,w)$ où \[ u=(-1,1,0),\qquad v=(2,0,1),\qquad w=(1,1,1). \]
  3. \[ F=\left\{(x,y,z)\in\R^3\mid x-2y+3z=0\right\}. \]
Exercice 4074. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie.\\
  1. Soient $H$ et $H'$ deux hyperplans de $E$. Montrer que ceux-ci possèdent un supplémentaire commun.\\
  2. Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ tels que \[ \dim F=\dim G. \] Montrer que $F$ et $G$ ont un supplémentaire commun.
Exercice 4075. Montrer que deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension finie qui sont de même dimension ont un supplémentaire commun.
Exercice 4076. Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie et $p_1,\dots,p_m$ des projecteurs de $E$ dont la somme vaut $\mathrm{Id}_E$.\\ On note $F_1,\dots,F_m$ les images de $p_1,\dots,p_m$. Montrer \[ E=\bigoplus_{k=1}^{m}F_k. \]
Exercice 4077. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n\in \mathbb{N}^*$ et $\varphi$ une forme linéaire non nulle sur $E$.\\ Montrer que pour tout \[ u\in E\setminus \ker(\varphi), \] $\ker(\varphi)$ et $\mathrm{Vect}(u)$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice 4078. Soient $F$ et $G$, deux sous-espaces d’un espace vectoriel $E$ de dimension finie.\\
  1. Trouver une CNS pour que $F$ et $G$ admettent un supplémentaire commun.\\
  2. Trouver une CNS pour qu’il existe \[ f\in\mathcal{L}(E) \] tel que \[ \Ker(f)=F \quad \mathrm{et} \quad \mathrm{Im}(f)=G. \]
Exercice 4079. Soient $n\in\mathbb{N}$, $E=\mathbb{R}_n[X]$.\\ Pour tout $i\in[0;n]\cap\mathbb{N}$, on note \[ F_i=\{P\in E\mid \forall j\in[0;n]\cap\mathbb{N}\setminus\{i\},\; P(j)=0\}. \] Montrer que les $F_i$ sont des sous-espaces vectoriels et que \[ E=F_0\oplus\cdots\oplus F_n. \]
Exercice 4080. Soient $E_1,\ldots,E_n$ et $F_1,\ldots,F_n$ des sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $E_i\subset F_i$ et \[ \bigoplus_{i=1}^n E_i=\bigoplus_{i=1}^n F_i. \] Montrer que $E_i=F_i$ pour tout $i$.
Exercice 4081. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $F_1$ et $F_2$ deux sev de $E$ de bases respectives $B_1$ et $B_2$.\\ Montrer : \[ \text{la famille obtenue par concaténation des bases }B_1\text{ et }B_2\text{ est une base de }E \Rightarrow E=F_1\oplus F_2. \]
Exercice 4082. Dans $\R^3$, on pose \[ F=\Vect((1,1,4)), \qquad G=\Vect((0,1,-1)) \] et \[ H=\Vect((4,1,-1),(2,3,0)). \] La somme \[ F+G+H \] est-elle directe ?
Exercice 4083. Soient $F,G,H$ trois sev de $E$. On suppose que \[ G\subset H, \qquad F\cap G=F\cap H \qquad\text{et}\qquad F+G=F+H. \]
  1. On suppose que $E$ est de dimension finie. Montrer que \[ \dim(G)=\dim(H) \] et en déduire que \[ G=H. \]
  2. Montrer que la conclusion \[ G=H \] est encore vraie si $E$ est de dimension infinie.
Exercice 4084. Soient \[ F=\{f\in \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid f(0)=f'(0)=0\} \] et \[ G=\{x\mapsto ax+b\mid (a,b)\in\mathbb{R}^2\}. \] Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice 4085. Soient \[ F=\left\{f\in \mathcal{C}([-1;1],\mathbb{C})\mid \integrale{-1}{1}{f(t)}{t}=0\right\} \] et \[ G=\{f\in \mathcal{C}([-1;1],\mathbb{C})\mid f \;\mathrm{constante}\}. \] Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathcal{C}([-1;1],\mathbb{C})$.
Exercice 4086. Soient \[ H=\{(x_1,\ldots,x_n)\in K^n\mid x_1+\cdots+x_n=0\} \] et \[ u=(1,\ldots,1)\in K^n. \] Montrer que $H$ et $\mathrm{Vect}(u)$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $K^n$.
Exercice 4087. Dans l’espace \[ E=\mathcal{C}([0;\pi],\mathbb{R}), \] on considère \[ F=\{f\in E\mid f(0)=f(\pi/2)=f(\pi)\} \] et \[ G=\mathrm{Vect}(\sin,\cos). \] Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$.
Exercice 4088. Soit \[ F=\{f\in \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})\mid f(0)+f(1)=0\}. \]
  1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.\\
  2. Déterminer un supplémentaire de $F$ dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice 4089. Soient $F,G,F',G'$ des sous-espaces vectoriels d’un $K$-espace vectoriel $E$ vérifiant \[ F\oplus G=F'\oplus G'=E \] et \[ F'\subset G. \] Montrer \[ F\oplus F'\oplus (G\cap G')=E. \]
Exercice 4090. Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie, $H$ un hyperplan de $E$ et $D$ une droite vectorielle de $E$.\\ À quelle condition $H$ et $D$ sont-ils supplémentaires dans $E$ ?
Exercice 4091. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n\geqslant 2$ et $F,G$ deux sous-espaces vectoriels de même dimension. Montrer qu'ils possèdent un supplémentaire commun, c'est-à-dire qu'il existe un sous-espace vectoriel $H$ tel que \[ E=F\oplus H=G\oplus H. \]
Exercice 4092. Soit \[ n\geqslant 2 \quad\text{et}\quad E=\C^n. \] On pose \[ H=\left\{(x_1,\dots,x_n)\in\C^n\mid \sum_{i=1}^n x_i=0\right\} \] et \[ e=(1,\dots,1). \] Montrer que \[ H\oplus \Vect(e)=E. \]
Exercice 4093. Soit \[ E=\left\{(x_n)\in\R^\N\mid \forall n\in\N,\;x_{n+3}-x_{n+2}-x_{n+1}+x_n=0\right\}, \] \[ E_1=\left\{(x_n)\in\R^\N\mid \forall n\in\N,\;x_{n+1}+x_n=0\right\}, \] \[ E_2=\left\{(x_n)\in\R^\N\mid \forall n\in\N,\;x_{n+2}-2x_{n+1}+x_n=0\right\}. \] Montrer que \[ E=E_1\oplus E_2. \] Donner les dimensions des trois espaces \[ E,\;E_1,\;E_2. \]
Exercice 4094. On considère \[ F=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x-y=0\;\text{et}\;2x+y-z=0\}. \]
  1. Donner la dimension de $F$.\\
  2. Déterminer un supplémentaire de $F$ dans $\R^3$.
Exercice 4095. Dans $\R^3$, on pose \[ F=\Vect((1,1,4)) \quad\text{et}\quad G=\Vect((0,1,-1)). \] Montrer que la somme \[ F+G \] est directe. Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel \[ F+G. \]
Exercice 4096. Dans $\R^3$, on considère \[ F=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x-y+z=0\} \quad\text{et}\quad G=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x-y+2z=0\}. \]
  1. Déterminer une base et la dimension de $F$ et $G$.\\
  2. La somme $F+G$ est-elle directe ?\\
  3. Montrer que $F+G=\R^3$.\\
  4. Les sous-espaces $F$ et $G$ sont-ils supplémentaires ? Quelle est la dimension de $F\cap G$ ?\\
  5. Déterminer un supplémentaire de $F$ dans $\R^3$.
Exercice 4097. Montrer que \[ F=\{P\in\R_4[X]\mid P(1)=0\} \] est un hyperplan de $\R_4[X]$. Déterminer une base de $F$ et un supplémentaire de $F$ dans $\R_4[X]$.
Exercice 4098. On considère les sous-ensembles $F$ et $G$ de l’espace vectoriel $E=\R[X]$ définis par \[ F=\{P\in E\mid (X-1)\;divise\;P\} \] et \[ G=\{P\in E\mid (X-5)\;divise\;P\}. \]
  1. Démontrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$.\\
  2. Trouver un couple $(c,d)\in\R^2$ tel que \[ c(X-1)+d(X-5)=1. \]
  3. En déduire que $E=F+G$.\\
  4. La somme est-elle directe ?
Exercice 4099. Soient \[ F=\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid x+y-z+t=0\} \] et \[ G=\{(x,y,z,t)\in\R^4\mid x-y-z=0\}. \] Déterminer la dimension de $F$, $G$, $F+G$ et $F\cap G$.
Exercice 4100. On note $E=\R_5[X]$ et \[ F=\{P\in E\mid P(0)=P(1)=0\} \] et \[ Q=X(X-1). \]
  1. Montrer que $F$ est un sev de $E$.\\
  2. Montrer que la famille $(Q,XQ,X^2Q,X^3Q)$ est libre.\\
  3. Justifier que $\dim(F)=4$ ou $\dim(F)=5$ sans trouver de base de $F$.\\
  4. Donner la dimension de $F$ et déterminer un supplémentaire de $F$ dans $E$.
Exercice 4101. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $n\in\N^*$.\\ On dit que deux sous-espaces vectoriels $A$ et $B$ de $E$ possèdent un supplémentaire commun lorsqu’il existe $S$ un sev de $E$ tel que \[ A\oplus S=B\oplus S=E. \] L’objectif est de montrer que $A$ et $B$ possèdent un supplémentaire commun si et seulement si $A$ et $B$ sont de même dimension.\\
  1. Montrer l’implication directe.\\
  2. Pour la réciproque, on raisonne par récurrence descendante sur $p\in\{0,\dots,n\}$. On note $H_p$ : "si $A$ et $B$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ de même dimension $p$, alors $A$ et $B$ possèdent un supplémentaire commun".\\
    1. Montrer que $H_n$ est vraie.\\
    2. Soit $p\in\{1,\dots,n\}$. On suppose $H_p$ vraie, et soient $A$ et $B$ deux sev de $E$ de même dimension $p-1$.\\ On suppose $A\neq B$.\\
      1. Montrer qu’il existe $x\in E$ tel que $x\notin A\cup B$.\\
      2. On note \[ F=A+\Vect(x) \qquad\text{et}\qquad G=B+\Vect(x). \] Donner $\dim(F)$ et $\dim(G)$.\\
      3. En déduire un supplémentaire commun à $A$ et $B$.\\
      4. Discuter le cas $A=B$.
    3. Conclure.
Exercice 4102. Soient $E$ un $\K$-ev de dimension finie et $F_1,F_2$ deux sev de $E$. On suppose que \[ \dim(F_1)\leqslant \dim(F_2). \] Montrer qu’il existe \[ G_2\subset G_1 \] deux sev de $E$ tels que \[ F_1\oplus G_1=F_2\oplus G_2=E. \]
Exercice 4103. Soit $(e_1,\dots,e_p)$ une famille libre de vecteurs de $E$ et \[ F=\Vect(e_1,\dots,e_p) \] et $G$ un supplémentaire de $F$ dans $E$.\\ Pour tout $a\in G$, on note \[ F_a=\Vect(e_1+a,\dots,e_p+a). \]
  1. Montrer que \[ F_a\oplus G=E. \]
  2. Soient $a,b\in G$. Montrer \[ a\neq b\Rightarrow F_a\neq F_b. \]
Exercice 4104. Soient $E$ un $\K$-ev de dimension finie, $D$ une droite de $E$ et $H$ un hyperplan de $E$. Montrer que si $D$ n’est pas inclus dans $H$ alors $D$ et $H$ sont supplémentaires.
Exercice 4105. Soient $x_1,\dots,x_n\in\R$ distincts. On pose \[ F=\{f\in\mathcal{C}(\R,\R)\mid \forall k\in\{1,\dots,n\},\; f(x_k)=0\}. \] Montrer que $F$ est un sev de $\mathcal{C}(\R,\R)$ et donner un supplémentaire.