Somme directe
Exercice
1260. Soient $F$ et $G$ deux espaces vectoriels de $\R^5$ de dimension $3$.\\
Montrer que $F \cap G \neq \{0\}$.
Exercice
1261. Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie. Soit $W$ un sous-espace vectoriel de $E$. On note $\mathcal{A} = \{ u \in \mathcal{L}(E,F) \; | \; W \subset \ker(u) \}$.\\
- Montrer que $\mathcal{A}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E,F)$.\\
- Exprimer la dimension de $\mathcal{A}$ en fonction des dimensions de $E, F, W$.
Exercice
1262. Soit\\
\[
F = \left\{
\begin{pmatrix}
a & 2a + b \\
-b & -a
\end{pmatrix}, \; (a,b) \in \R^2
\right\}
\quad \text{et} \quad
G = \left\{
\begin{pmatrix}
a & 3a + b \\
-b & -2a + b
\end{pmatrix}, \; (a,b) \in \R^2
\right\}.
\]\\
Montrer que $\mathcal{M}_2(\R) = F \oplus G$. Expliciter les projections associées.