Applications linéaires en dimension finie
Exercice
4106. On note $E_0=\{f \in C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \,;\, f(0)=0\}$, et, pour toute $f \in E_0$, on considère l’application $\phi : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ définie par :\\
\[
\forall x \in \mathbb{R},\quad \phi(f)(x)=\integrale{0}{x}{t^{2}f(t)}{t}.
\]
- Montrer que $E_0$ est un $\mathbb{R}$-ev et que $\phi$ est un endomorphisme de $E_0$, injectif et non surjectif.\\
- Est-ce que $E_0$ est de dimension finie ?
Exercice
4107. Soit $f$ un endomorphisme de $\R^3$ nilpotent d'ordre $3$, i.e. tel que $f^3=0$ et $f^2 \neq 0$.\\
Montrer :\\
\[
\ker(f^2)=\mathrm{Im}(f),\quad \mathrm{Im}(f^2)=\ker(f),\quad \mathrm{rg}(f)=2,\quad \mathrm{rg}(f^2)=1.
\]
Exercice
4108. Soient $E$ un $\C$-ev de dimension finie, $e=\mathrm{Id}_E$, $(f,g)\in \Lc(E)^2$ tel que :\\
\[
f^2-f \circ g+2f-e=0.
\]
Montrer :\\
\[
g \circ f=f \circ g.
\]
Exercice
4109. Soit $f$ un endomorphisme sur un espace $E$ de dimension finie.\\
- Montrer que pour tout $n\in\N$, \[ \Ker(f^n)\subset\Ker(f^{n+1}) \] et \[ \mathrm{Im}(f^{n+1})\subset\mathrm{Im}(f^n). \]
- Que peut-on dire des deux suites \[ (\dim(\Ker(f^n)))_{n\in\N} \] et \[ (\dim(\mathrm{Im}(f^n)))_{n\in\N} ? \]
- Montrer que les deux suites \[ (\Ker(f^n))_{n\in\N} \] et \[ (\mathrm{Im}(f^n))_{n\in\N} \] sont constantes à partir du même rang.\\
- Montrer que la suite \[ (d_n)=\big(\mathrm{Rg}(f^n)\big)_{n\in\N} \] vérifie : \[ \forall n\in\N,\quad d_{n+1}\leqslant\Frac{d_n+d_{n+2}}{2}. \]
Exercice
4110. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $u\in \mathcal{L}(E)$.\\
- Montrer que, pour tout $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$, \[ \dim\bigl(\ker(u^k)\bigr)\leqslant k\dim\bigl(\ker(u)\bigr). \]
- Déterminer les endomorphismes $u$ de $E$ tels que, pour tout $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$, \[ \dim\bigl(\ker(u^k)\bigr)=k\dim\bigl(\ker(u)\bigr). \]
Exercice
4111. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel.\\
On considère $p+1$ formes linéaires $f_1,\dots,f_p,g$ avec $(f_1,\dots,f_p)$ libre.\\
Montrer que
\[
\bigcap_{i=1}^{p}\ker(f_i)\subset \ker(g)
\]
si et seulement si
\[
g\in \mathrm{Vect}(f_1,\dots,f_p).
\]
Exercice
4112. Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel muni d’une base $e=(e_1,\dots,e_n)$.\\
Pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, on pose
\[
\varepsilon_i=e_1+\dots+e_i.
\]
- Montrer que $\varepsilon=(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)$ est une base de $E$.\\
- Exprimer les composantes dans $\varepsilon$ d’un vecteur en fonction de ses composantes dans $e$.
Exercice
4113. Soit $a\in\R$.\\
On définit $\Phi_a:\R_n[X]\to\R_n[X]$ par
\[
\Phi_a(P)=P(X+a).
\]
- Démontrer que $\Phi_a$ est un endomorphisme de $\R_n[X]$.\\
- Écrire la matrice $M_a$ de $\Phi_a$ dans la base canonique de $\R_n[X]$.\\
- Démontrer que $M_a$ est inversible et calculer $M_a^{-1}$.
Exercice
4114. Soit $E=\mathbb{R}^3$. Fixons un plan vectoriel $P$ et une droite vectorielle $D$ non incluse dans $P$.\\
Vérifier que
\[
G=\{u\in\mathcal{L}(E)\;/\;u(P)\subset D,\;u(D)\subset P\}
\]
est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$. Déterminer sa dimension.
Exercice
4115. Soient $n \in \N^*$, $(a_0,\ldots,a_n)\in \C^{n+1}$.\\
On considère l'application\\
\[
f:\C_n[X]\longrightarrow \C^{n+1},\qquad P\longmapsto f(P)=\bigl(P(a_0),P'(a_1),\ldots,P^{(n)}(a_n)\bigr).
\]
Montrer que $f$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels
Exercice
4116. Soient $E$ un $\K$-ev de dimension $3$, $f\in\mathcal{L}(E)$ tel que $f^3=0$ et $f^2\neq 0$.\\
- Montrer qu'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que la matrice de $f$ dans $\mathcal{B}$ soit\\ \[ N= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix}. \]
- Déterminer le commutant $C_N$ de $N$ dans $M_3(\R)$, c'est-à-dire l'ensemble\\ \[ C_N=\{A\in M_3(\R)\,;\, AN=NA\}. \]
- En déduire, en notant $e=\mathrm{id}_E$ :\\ \[ \{g\in\mathcal{L}(E)\,;\, g\circ f=f\circ g\}=\mathrm{Vect}(e,f,f^2). \]
Exercice
4117. Soient $E$ un $\K$-ev de dimension finie, $n=\dim(E)$, $f \in \Lc(E)$.\\
Montrer :\\
\[
\ker(f)=\mathrm{Im}(f)\Longleftrightarrow \Bigl(f^2=0\;\mathrm{et}\;n=2\mathrm{rg}(f)\Bigr).
\]
Exercice
4118. Soient $E,F$ deux $\mathbb{K}$-ev de dimension finie, $(f,f')\in(\mathcal{L}(E,F))^2$. Montrer :\\
\[
|\mathrm{rg}(f)-\mathrm{rg}(f')|\leqslant \mathrm{rg}(f+f')\leqslant \mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(f').
\]
Exercice
4119. Soient $E,F,G$ trois $\mathbb{K}$-ev de dimension finie, $f \in \mathcal{L}(E,F)$, $g \in \mathcal{L}(F,G)$.\\
- Montrer : $\ker(g_{\mid \mathrm{Im}(f)})=\ker(g)\cap \mathrm{Im}(f)$.\\
- En déduire : $\mathrm{rg}(g \circ f)=\mathrm{rg}(f)-\dim\bigl(\ker(g)\cap \mathrm{Im}(f)\bigr)$.\\
- Montrer : $\mathrm{rg}(g \circ f)\geqslant \mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)-\dim(F)$.
Exercice
4120. Soient $f$ et $g$ dans $\mathcal{L}(E)$ avec $E$ de dimension finie. Montrer les inégalités :\\
\[
\dim(\Ker(g\circ f))\leqslant\dim(\Ker(f))+\dim(\Ker(g))
\]
\[
\mathrm{Rg}(g\circ f)=\mathrm{Rg}(f)-\dim(\mathrm{Im}(f)\cap\Ker(g))
\]
\[
\mathrm{Rg}(f)+\mathrm{Rg}(g)-\dim(E)\leqslant \mathrm{Rg}(g\circ f)\leqslant \min(\mathrm{Rg}(f),\mathrm{Rg}(g))
\]
Exercice
4121. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, puis $f\in\mathcal{L}(E)$.\\
- On suppose que \[ \forall x\in E,\; \exists p\in\N,\; f^p(x)=0. \] Montrer qu’il existe \[ q\in\N \] tel que \[ f^q=0. \]
- On suppose que \[ \forall x\in E,\; \exists p\in\N^*,\; f^p(x)=x. \] Montrer qu’il existe \[ q\in\N^* \] tel que \[ f^q=\mathrm{id}_E. \]
Exercice
4122. Montrer que tout élément de $\mathcal{L}(\R^n)$ est la différence de deux automorphismes.
Exercice
4123. Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mathcal{L}(E)$ tel que
\[
\Ker(u)=\mathrm{Im}(u).
\]
- Montrer que $\dim(E)$ est un nombre pair.\\
- Montrer qu’il existe $v\in\mathcal{L}(E)$ tel que \[ v\circ u+u\circ v=\mathrm{id}_E. \]
Exercice
4124. Soient $E$ un espace de dimension finie, puis $p$ et $q$ deux projecteurs dans $\mathcal{L}(E)$. Montrer que $p$ et $q$ ont le même rang si et seulement s’il existe $(u,v)\in\mathcal{L}(E)^2$ tel que
\[
p=u\circ v \quad \mathrm{et} \quad q=v\circ u.
\]
Exercice
4125. On considère l’espace $E=\C_n[X]$, où $n$ est un entier naturel.\\
- Toutes les formes linéaires de $E$ sont-elles des évaluations, c’est-à-dire de la forme \[ \mathrm{ev}_\lambda:P\mapsto P(\lambda) \] pour un certain $\lambda\in\C$ ?\\
- Soient $\lambda_0,\dots,\lambda_n$ $(n+1)$ nombres complexes distincts. La famille \[ (\mathrm{ev}_{\lambda_0},\dots,\mathrm{ev}_{\lambda_n}) \] est-elle la base duale d’une base de $E$ ? Si oui, laquelle ?\\
- On note pour tout \[ k\in[0,n], \] la forme linéaire \[ \varphi_k:P\mapsto P^{(k)}(0). \] La famille \[ (\varphi_0,\dots,\varphi_n) \] est-elle la base duale d’une base de $E$ ? Si oui, laquelle ?
Exercice
4126. Soit $f\in\mathcal{L}(E)$ avec $E=n$. Si $V$ est un sous-espace de $E$, on dit que $V$ est hypostable s’il existe un hyperplan $H$ de $V$ tel que
\[
f(H)\subset V.
\]
- Montrer que si $V$ est hypostable et si \[ f(V)\not\subset V, \] alors $H$ est unique.\\
- Montrer que si $V$ est hypostable sans être stable, alors $V$ est un hyperplan de \[ V+f(V). \] Étudier la réciproque.\\
- Montrer que si $V$ est hypostable, il existe un sous-espace $X$ de $E$ dont $V$ est un hyperplan et qui soit encore hypostable.
Exercice
4127. Soit $E$ un espace de dimension $n$, puis
\[
\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)
\]
une base de $E$. On pose pour tout
\[
i\in[1,n],
\]
$p_i$ la projection sur $\Vect(e_i)$ parallèlement à $\Vect(\mathcal{B}\setminus\{e_i\})$.\\
- Montrer que pour tous \[ i,j\in[1,n], \] on a \[ p_i\circ p_j=\delta_{i,j}\,p_i. \]
- Soit $\Phi$ un automorphisme de l’algèbre $\mathcal{L}(E)$. Montrer qu’il existe \[ g\in GL(E) \] tel que \[ \Phi:f\mapsto g^{-1}\circ f\circ g. \]
Exercice
4128. Soient $a_0,\dots,a_n$ des réels non nuls deux à deux distincts.\\
On note
\[
F_j
\]
l'application de $\mathbb{R}_n[X]$ dans $\mathbb{R}$ définie par
\[
F_j(P)=\integrale{0}{a_j}{P}{}
\]
Montrer que
\[
(F_0,\dots,F_n)
\]
est une base de
\[
(\mathbb{R}_n[X])^*.
\]
Exercice
4129. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n\geqslant 1$. Montrer
\[
\forall x,y\in E,\ x\neq y \Longrightarrow \exists \varphi\in E^*,\ \varphi(x)\neq \varphi(y).
\]
Exercice
4130. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f,g$ deux formes linéaires non nulles sur $E$. Montrer
\[
\exists x\in E,\ f(x)g(x)\neq 0.
\]
Exercice
4131. Soient $f_1,\dots,f_n$ des formes linéaires sur un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$.\\
On suppose qu'il existe
\[
x\in E\setminus \{0\}
\]
tel que
\[
f_1(x)=\cdots =f_n(x)=0.
\]
Montrer que la famille
\[
(f_1,\dots,f_n)
\]
est liée.
Exercice
4132. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$.\\
Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ tels que
\[
E=\mathrm{Im}(u)+\mathrm{Im}(v)=\ker(u)+\ker(v).
\]
Établir que d'une part $\mathrm{Im}(u)$ et $\mathrm{Im}(v)$, d'autre part $\ker(u)$ et $\ker(v)$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice
4133. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n\in \mathbb{N}$.\\
Montrer qu'il existe un endomorphisme $f$ tel que
\[
\mathrm{Im}(f)=\ker(f)
\]
si, et seulement si, $n$ est pair.
Exercice
4134. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in \mathcal{L}(E)$.\\
On suppose qu'il existe un projecteur $p$ de $E$ tel que
\[
u=p\circ u-u\circ p.
\]
- Montrer que \[ u(\ker p)\subset \mathrm{Im}\,p \quad \mathrm{et} \quad \mathrm{Im}\,p\subset \ker u. \]
- En déduire que \[ u^2=0. \]
- Réciproque ?
Exercice
4135. Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ avec $E$ de dimension finie sur $\R$. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :\\
\[
u^2=0
\]
\[
\exists \; p \; \mathrm{projecteur}\; \mathrm{de}\; E\; \mathrm{tel}\; \mathrm{que}\; pu=u \; \mathrm{et}\; up=0
\]
\[
\exists \; p \; \mathrm{projecteur}\; \mathrm{de}\; E\; \mathrm{tel}\; \mathrm{que}\; pu-up=u
\]
Exercice
4136. Soit $u$ un endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie.\\
Montrer
\[
\forall k,\ell\in \mathbb{N},\ \dim(\ker u^{k+\ell})\leqslant \dim(\ker u^k)+\dim(\ker u^\ell).
\]
Exercice
4137. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$.\\
- En appliquant le théorème du rang à la restriction $h$ de $f$ à l'image de $g$, montrer que \[ \mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)-n\leqslant \mathrm{rg}(f\circ g). \]
- Pour $n=3$, trouver tous les endomorphismes de $E$ tels que \[ f^2=0. \]
Exercice
4138. Soit $f$ un endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie vérifiant
\[
\mathrm{rg}(f^2)=\mathrm{rg}(f).
\]
- Établir \[ \mathrm{Im}(f^2)=\mathrm{Im}(f) \quad \text{et} \quad \ker(f^2)=\ker(f). \]
- Montrer \[ \ker(f)\oplus \mathrm{Im}(f)=E. \]
Exercice
4139. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n > 1$ avec $K=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.\\
Soit $f$ un endomorphisme de $E$ nilpotent d'ordre $n$.\\
On note
\[
C(f)=\{g\in \mathcal{L}(E)\mid g\circ f=f\circ g\}.
\]
- Montrer que $C(f)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$.\\
- Soit $a\in E$ tel que \[ f^{n-1}(a)\neq 0. \] Montrer que la famille \[ \bigl(a,f(a),\dots,f^{n-1}(a)\bigr) \] constitue une base de $E$.\\
- Soit \[ \varphi_a : C(f)\to E,\quad g\mapsto g(a). \] Montrer que $\varphi_a$ est un isomorphisme.\\
- En déduire que \[ C(f)=\mathrm{Vect}(\mathrm{Id},f,\dots,f^{n-1}). \]
Exercice
4140. Soit $f\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^6)$ tel que
\[
\mathrm{rg}(f^2)=3.
\]
Quels sont les rangs possibles pour $f$ ?
Exercice
4141. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ et $(f_1,\dots,f_n)$ une famille de formes linéaires sur $E$.\\
On suppose qu'il existe un vecteur
\[
x\in E\setminus \{0\}
\]
tel que, pour tout
\[
i\in \{1,\dots,n\},
\]
\[
f_i(x)=0.
\]
Montrer que la famille
\[
(f_1,\dots,f_n)
\]
est liée dans $E^*$.
Exercice
4142. Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ tel que
\[
f^2=0.
\]
Montrer qu'il existe
\[
a\in \mathbb{R}^3
\]
et
\[
\varphi\in (\mathbb{R}^3)^*
\]
tels que, pour tout
\[
x\in \mathbb{R}^3,
\]
\[
f(x)=\varphi(x)a.
\]
Exercice
4143. Soient $a_0,a_1,\dots,a_n\in \mathbb{R}$ deux à deux distincts. Montrer qu'il existe un unique
\[
(\lambda_0,\dots,\lambda_n)\in \mathbb{R}^{n+1}
\]
vérifiant
\[
\forall P\in \mathbb{R}_n[X],\ \integrale{0}{1}{P(t)}{t}=\Sum_{k=0}^{n}\lambda_k P(a_k).
\]
Exercice
4144. Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie $E$.\\
- Montrer \[ |\mathrm{rg}(u)-\mathrm{rg}(v)|\leqslant \mathrm{rg}(u+v)\leqslant \mathrm{rg}(u)+\mathrm{rg}(v). \]
- Trouver $u$ et $v$ dans $\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ tels que \[ \mathrm{rg}(u+v) < \mathrm{rg}(u)+\mathrm{rg}(v). \]
- Trouver deux endomorphismes $u$ et $v$ de $\mathbb{R}^2$ tels que \[ \mathrm{rg}(u+v)=\mathrm{rg}(u)+\mathrm{rg}(v). \]
Exercice
4145. Soient $E,F$ deux $K$-espaces vectoriels de dimensions finies et $f,g\in \mathcal{L}(E,F)$.\\
Montrer
\[
\mathrm{rg}(f+g)=\mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)
\iff
\left\{
\begin{array}{l}
\mathrm{Im}(f)\cap \mathrm{Im}(g)=\{0\}\\
\ker(f)+\ker(g)=E
\end{array}
\right.
\]
Exercice
4146. Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$. Montrer que :\\
- \[ \mathrm{rg}(f\circ g)\leqslant \min(\mathrm{rg}(f),\mathrm{rg}(g)). \]
- \[ \mathrm{rg}(f\circ g)\geqslant \mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)-\dim E. \]
Exercice
4147. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f,g\in \mathcal{L}(E)$ tels que $f+g$ soit bijectif et
\[
g\circ f=0.
\]
Montrer que
\[
\mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)=\dim E.
\]
Exercice
4148. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n\in \mathbb{N}^*$ et $u$ un endomorphisme de $E$ vérifiant
\[
u^3=0.
\]
Établir
\[
\mathrm{rg}(u)+\mathrm{rg}(u^2)\leqslant n.
\]
Exercice
4149. Soient $f,g\in \mathcal{L}(E)$ tels que
\[
f+g=\mathrm{Id}_E
\quad \text{et} \quad
\mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)=\dim E.
\]
Montrer que $f$ et $g$ sont des projecteurs complémentaires.
Exercice
4150. Soient $E,F,G,H$ des $K$-espaces vectoriels de dimensions finies et
\[
f\in \mathcal{L}(E,F),\quad g\in \mathcal{L}(F,G),\quad h\in \mathcal{L}(G,H).
\]
Montrer
\[
\mathrm{rg}(g\circ f)+\mathrm{rg}(h\circ g)\leqslant \mathrm{rg}(g)+\mathrm{rg}(h\circ g\circ f).
\]
Exercice
4151. Soient $v\in \mathcal{L}(E,F)$ et $u\in \mathcal{L}(F,G)$. Établir
\[
\mathrm{rg}(u)+\mathrm{rg}(v)-\dim F\leqslant \mathrm{rg}(u\circ v)\leqslant \min(\mathrm{rg}(u),\mathrm{rg}(v)).
\]
Exercice
4152. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f,g\in \mathcal{L}(E)$.\\
Établir que
\[
\dim(\ker(g\circ f))\leqslant \dim(\ker g)+\dim(\ker f).
\]
Exercice
4153. Soient $f\in \mathcal{L}(E)$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer
\[
\dim(\ker f\cap F)\geqslant \dim F-\mathrm{rg}(f).
\]
Exercice
4154. On dit qu'une suite d'applications linéaires
\[
\{0\}\xrightarrow{u_0} E_1\xrightarrow{u_1} E_2\xrightarrow{u_2}\cdots \xrightarrow{u_{n-1}} E_n\xrightarrow{u_n}\{0\}
\]
est exacte si on a
\[
\mathrm{Im}(u_k)=\ker(u_{k+1})
\]
pour tout $k\in \{0,\dots,n-1\}$. Montrer que si tous les $E_k$ sont de dimension finie, on a la formule dite d'Euler-Poincaré :
\[
\Sum_{k=1}^{n}(-1)^k\dim E_k=0.
\]
Exercice
4155. Soient $K$ un corps, $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_n(K)$ vérifiant :
\[
A^p=I_n
\]
avec $p \in \mathbb{N}^*$.\\
On pose :
\[
B=\frac{1}{p}\Sum_{k=0}^{p-1}A^k
\]
- Calculer $AB$.\\
- Vérifier que $B^2=B$.\\
- Montrer que $\mathrm{Im}(B)=\ker(A-I_n)$ et en déduire que \[ \dim\ker(A-I_n)=\frac{1}{p}\Sum_{k=0}^{p-1}\mathrm{Tr}(A^k) \]
Exercice
4156. Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension $n$. Montrer que
\[
(\mathrm{Id},f,f^2,\dots,f^{n^2})
\]
est liée et en déduire qu'il existe un polynôme non identiquement nul qui annule $f$.
Exercice
4157. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n\geqslant 1$, $f$ un endomorphisme nilpotent non nul de $E$ et $p$ le plus petit entier tel que
\[
f^p=0.
\]
- Montrer qu'il existe $x\in E$ tel que la famille \[ \bigl(x,f(x),f^2(x),\dots,f^{p-1}(x)\bigr) \] soit libre.\\
- En déduire que \[ f^n=0. \]
Exercice
4158. Soit $E$ un plan vectoriel.\\
- Montrer qu'un endomorphisme non nul $f$ est nilpotent si, et seulement si, \[ \ker f=\mathrm{Im}\,f. \]
- Montrer que $f$ ne peut pas s'écrire \[ f=u\circ v \] avec $u$ et $v$ nilpotents non nuls.
Exercice
4159. Soient $a_0,a_1,\dots,a_n$ des éléments deux à deux distincts de $K$.\\
Montrer que l'application
\[
\varphi : K_n[X]\to K^{n+1}
\]
définie par
\[
\varphi(P)=\bigl(P(a_0),P(a_1),\dots,P(a_n)\bigr)
\]
est un isomorphisme de $K$-espace vectoriel.
Exercice
4160. Soient $a_0,\dots,a_n$ des réels distincts et
\[
\varphi : \mathbb{R}_{2n+1}[X]\to \mathbb{R}^{2n+2}
\]
définie par
\[
\varphi(P)=\bigl(P(a_0),P'(a_0),\dots,P(a_n),P'(a_n)\bigr).
\]
Montrer que $\varphi$ est bijective.
Exercice
4161. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f,g\in \mathcal{L}(E)$.\\
Montrer que
\[
\mathrm{rg}(f+g)\leqslant \mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)
\]
puis que
\[
|\mathrm{rg}(f)-\mathrm{rg}(g)|\leqslant \mathrm{rg}(f-g).
\]
Exercice
4162. Soient $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels de dimensions finies et
\[
f\in \mathcal{L}(F,E),\quad g\in \mathcal{L}(E,F)
\]
telles que
\[
g\circ f\circ g=f
\quad \text{et} \quad
g\circ f\circ g=g.
\]
Montrer que $f$, $g$, $f\circ g$ et $g\circ f$ ont même rang.
Exercice
4163. Soient $f,g\in \mathcal{L}(E)$ où $E$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie. Montrer
\[
|\mathrm{rg}(f)-\mathrm{rg}(g)|\leqslant \mathrm{rg}(f+g)\leqslant \mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g).
\]
Exercice
4164. Soient $E$ et $F$ des $K$-espaces vectoriels de dimensions finies et
\[
f\in \mathcal{L}(F,E).
\]
Exprimer la dimension de
\[
\{g\in \mathcal{L}(E,F)\mid f\circ g\circ f=0\}
\]
en fonction du rang de $f$ et des dimensions de $E$ et $F$.
Exercice
4165. Soit
\[
\varphi : K_{n+1}[X]\to K_n[X]
\]
définie par
\[
\varphi(P)=(n+1)P-XP'.
\]
- Justifier que $\varphi$ est bien définie et que c'est une application linéaire.\\
- Déterminer le noyau de $\varphi$.\\
- En déduire que $\varphi$ est surjective.
Exercice
4166.
- Montrer que \[ \varphi : \mathbb{R}_n[X]\to \mathbb{R}_n[X] \] définie par \[ \varphi(P)=P(X)+P(X+1) \] est bijective.\\ On en déduit qu'il existe un unique \[ P_n\in \mathbb{R}_n[X] \] tel que \[ P_n(X)+P_n(X+1)=2X^n. \]
- Justifier qu'on peut exprimer \[ P_n(X+1) \] en fonction de \[ P_0,\dots,P_n. \]
- En calculant de deux façons \[ P_n(X+2)+P_n(X+1), \] déterminer une relation donnant \[ P_n \] en fonction de \[ P_0,\dots,P_{n-1}. \]
Exercice
4167. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f,g\in \mathcal{L}(E)$.\\
Montrer
\[
\mathrm{Im}(g)\subset \mathrm{Im}(f)
\iff
\exists h\in \mathcal{L}(E),\ g=f\circ h.
\]
Exercice
4168. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f,g\in \mathcal{L}(E)$.\\
Montrer
\[
\ker(f)\subset \ker(g)
\iff
\exists h\in \mathcal{L}(E),\ g=h\circ f.
\]
Exercice
4169. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ défini par : pour tout $P \in \mathbb{R}_n[X]$, $f(P)=XP'$.\\
- Déterminer $\ker(f)$ et $\mathrm{Im}(f)$.\\
- Déterminer $\ker(f^2)$ et $\mathrm{Im}(f^2)$.\\
- L'endomorphisme $f$ est-il un projecteur de $\mathbb{R}_n[X]$ ?
Exercice
4170. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $f \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme tel que
\[
\forall x \in E,\quad \exists n_x \in \mathbb{N},\quad f^{n_x}(x)=0.
\]
Montrer qu'il existe un entier $n \in \mathbb{N}$ tel que
\[
f^n=0.
\]
Exercice
4171. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$. Montrer que :
\[
f \; \mathrm{est\ un\ projecteur} \iff \mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(\mathrm{id}-f)=n
\]
Exercice
4172. Soit $f\in \mathcal{L}(E)$ tel que
\[
f^2=0
\]
avec $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie.\\
Montrer que
\[
\exists g\in \mathcal{L}(E),\ f\circ g+g\circ f=\mathrm{Id}_E
\iff
\mathrm{Im}(f)=\ker(f).
\]
Exercice
4173. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer qu’il existe $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\ker(u)=\mathrm{Im}(u)$ si et seulement si $n$ est pair.
Exercice
4174. Soient $n\in\N^*$ et $A,B,C\in \mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que
\[
\mathrm{Rg}(AB)+\mathrm{Rg}(BC)\leqslant \mathrm{Rg}(ABC)+\mathrm{Rg}(B).
\]
Exercice
4175. Soient $E_0,\ldots,E_n$ des espaces vectoriels de dimensions finies respectives $a_0,\ldots,a_n \in \mathbb{N}^*$. On suppose qu’il existe des applications $f_0,\ldots,f_{n-1}$ telles que :\\
- Pour tout $k \in \{0,\ldots,n-1\}$, $f_k \in \mathcal{L}(E_k,E_{k+1})$.\\
- $f_0$ est injective et $f_{n-1}$ est surjective.\\
- Pour tout $k \in \{1,\ldots,n-1\}$, $\ker(f_k)=\mathrm{Im}(f_{k-1})$.\\
Exercice
4176. Soient $u,v\in \mathcal{L}(K^n)$ tels que
\[
u+v=\mathrm{Id}
\quad \text{et} \quad
\mathrm{rg}(u)+\mathrm{rg}(v)\leqslant n.
\]
Montrer que $u$ et $v$ sont des projecteurs.
Exercice
4177. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n\geqslant 1$ et $f$ un endomorphisme nilpotent de $E$.\\
Pour tout $p\in \mathbb{N}$, on pose
\[
I_p=\mathrm{Im}(f^p)
\quad \text{et} \quad
N_p=\ker(f^p).
\]
- Montrer que $(I_p)_{p\geqslant 0}$ est décroissante tandis que $(N_p)_{p\geqslant 0}$ est croissante.\\
- Montrer qu'il existe $s\in \mathbb{N}$ tel que \[ I_{s+1}=I_s \quad \text{et} \quad N_{s+1}=N_s. \]
- Soit $r$ le plus petit des entiers $s$ ci-dessus considérés. Montrer que \[ \forall s\geqslant r,\ I_s=I_r \quad \text{et} \quad N_s=N_r. \]
- Montrer que $I_r$ et $N_r$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice
4178. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f,g\in \mathcal{L}(E)$.\\
Soit $H$ un supplémentaire de $\ker f$ dans $E$.\\
On considère $h : H\to E$ la restriction de $g\circ f$ à $H$.\\
- Montrer que $\ker(g\circ f)=\ker h+\ker f$. \\
- Observer que $\mathrm{rg}(h)\geqslant \mathrm{rg}(f)-\dim \ker g$. \\
- En déduire que $\dim \ker(g\circ f)\leqslant \dim \ker g+\dim \ker f$.
Exercice
4179. Soit $f$ un endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie.\\
Montrer que l'ensemble des endomorphismes $g$ de $E$ tels que
\[
f\circ g=0
\]
est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ de dimension
\[
\dim E\times \dim \ker(f).
\]
Exercice
4180. Soient $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels de dimensions finies.\\
Soit $W$ un sous-espace vectoriel de $E$.\\
Soit $A$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$ s'annulant sur $W$.\\
- Montrer que $A$ est un espace vectoriel.\\
- Trouver la dimension de $A$.
Exercice
4181. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $p$.\\
On note
\[
A_F=\{f\in \mathcal{L}(E)\mid \mathrm{Im}(f)\subset F\}
\quad \text{et} \quad
B_F=\{f\in \mathcal{L}(E)\mid F\subset \ker(f)\}.
\]
- Montrer que $A_F$ et $B_F$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{L}(E)$ et calculer leurs dimensions.\\
- Soit $u$ un endomorphisme de $E$ et \[ \varphi : \mathcal{L}(E)\to \mathcal{L}(E),\quad f\mapsto u\circ f. \] Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $\mathcal{L}(E)$. Déterminer \[ \dim \ker(\varphi). \]
- Soit \[ v\in \mathrm{Im}(\varphi). \] Établir \[ \mathrm{Im}(v)\subset \mathrm{Im}(u). \] Réciproque ? Déterminer \[ \mathrm{rg}(\varphi). \]
Exercice
4182. On note $\mathcal{E}$ l’espace des endomorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ qui commutent avec la transposition.\\
Déterminer la dimension de $\mathcal{E}$.
Exercice
4183. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice fixée. On considère l’endomorphisme
\[
f_A : M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \longmapsto AM
\]
- Exprimer la matrice de $f_A$ dans la base canonique raisonnablement ordonnée puis calculer le déterminant de $f_A$.\\
- Calculer le déterminant de l’endomorphisme \[ M \longmapsto M^{\top} \]
- Calculer le déterminant de l’endomorphisme \[ M \longmapsto P^{-1}MP \] pour $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$.