Exercices divers

Exercice 1264. Soit $f$ un endomorphisme non nul d’un espace vectoriel $E$ de dimension $3$ vérifiant $f^3 + f = 0$.\\
  1. Montrer que $E = \ker(f) \oplus \ker(f^2 + \mathrm{id})$.\\
  2. Montrer que $\dim(\ker(f^2 + \mathrm{id})) \geqslant 1$ et montrer que si $x \in \ker(f^2 + \mathrm{id}) \setminus \{0\}$ alors $(x, f(x))$ est une famille libre de $\ker(f^2 + \mathrm{id})$.\\
  3. Supposons que $\dim(\ker(f^2 + \mathrm{id})) = 2$, déterminer une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est\\ \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]
Exercice 1265. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $3$ et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^3 + f = 0$ et $f \neq 0$. Supposons que $f$ n’est pas injective.\\
  1. Montrer que $E = \ker(f) \oplus \ker(f^2 + \mathrm{id})$.\\
  2. Montrer que $\ker(f^2 + \mathrm{id})$ est distinct de $\{0\}$.\\ Soit $x$ tel que $f^2(x) \neq 0$. Montrer l’existence d’un tel vecteur $x$ et montrer que $(f(x), f^2(x))$ est une famille libre de $\ker(f^2 + \mathrm{id})$.\\
  3. Montrer que $\dim(\ker(f^2 + \mathrm{id})) = 2$.\\
  4. Écrire la matrice de $f$ dans une base bien choisie.
Exercice 1266. Soit $u \in \mathcal{L}(\R^4)$ une application linéaire vérifiant $u^2 + u + \mathrm{id} = 0$.\\
  1. Montrer que $u$ est bijectif et déterminer $u^{-1}$ en fonction de $u$.\\
  2. Montrer que pour tout vecteur non nul $x$, $\mathrm{Vect}(x, u(x))$ est de dimension $2$.\\
  3. Prouver l’existence d’une base dans laquelle la matrice de $u$ est\\ \[ \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \]
Exercice 1267. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n \in \N \setminus \{0,1\}$ et $f$ un endomorphisme de $E$ tel que\\ \[ f^2 - 2f + \mathrm{id}_E = 0 \]\\
  1. Montrer que $f$ est bijectif et calculer $f^{-1}$.\\
  2. Montrer que $\mathrm{Im}(f - \mathrm{id}_E) \subset \ker(f - \mathrm{id}_E)$.\\
  3. Dans cette question, on suppose que $\dim(\ker(f - \mathrm{id}_E)) = n - 1$.\\
    1. Justifier l’existence d’un $x \in \mathrm{Im}(f - \mathrm{id}_E)$ non nul.\\ On se donne alors $a \in E$ tel que $f(a) - a = x$.\\
    2. Montrer qu’il existe des vecteurs $e_2, \dots, e_{n-1}$ tels que la famille $(x, e_2, \dots, e_{n-1})$ soit une base de $\ker(f - \mathrm{id}_E)$.\\
    3. Montrer que $\mathcal{B} = (x, e_2, \dots, e_{n-1}, a)$ est une base de $E$ et donner $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$.\\
Exercice 1268. Soit $f \in \mathcal{L}(\R^3)$ tel que $f \neq 0$ et $f^2 = 0$.\\
  1. Démontrer que $\dim(\ker(f)) = 2$.\\
  2. En déduire qu’il existe une base $\mathcal{B}$ de $\R^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est\\ \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Exercice 1269. Soit $A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n+1}$ définie par $a_{i,j} = 0$ si $i > j$ et $a_{i,j} = \binom{i-1}{j-1}$ si $i \leqslant j$.\\ Montrer que $A$ est inversible et déterminer son inverse.\\ Indication : Considérer l’endomorphisme de $\R_n[X]$ qui à un polynôme $P$ associe le polynôme $P(X+1)$.
Exercice 1270. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ et $f$ l’endomorphisme sur $\mathcal{M}_2(\R)$ défini par $f(M) = AM$.\\
  1. Déterminer $\ker(f)$.\\
  2. $f$ est-il surjectif ?\\
  3. Trouver une base de $\ker(f)$ et une base de $\mathrm{Im}\,(f)$.
Exercice 1271. On considère la fonction $f : \R^3 \to \R^3$ définie par\\ \[ f(x, y, z) = (-3x - y + z, \; 8x + 3y - 2z, \; -4x - y + 2z) \]\\
  1. Déterminer une base de $\ker(f)$ et calculer sa dimension.\\
  2. L’application $f$ est-elle injective ?\\
  3. Donner le rang de $f$. L’application $f$ est-elle surjective ?\\
  4. Déterminer une base de $\mathrm{Im}\,(f)$.
Exercice 1272. Soit $E = \R_3[X]$. On définit $f$ l’application linéaire de $E$ dans $E$ par\\ \[ f(P) = P + (1 - X)P' \]\\
  1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$ et déterminer sa matrice dans la base canonique de $E$.\\
  2. Déterminer une base de $\ker(f)$ et une base de $\mathrm{Im}\,(f)$.\\
  3. Montrer que $\ker(f)$ et $\mathrm{Im}\,(f)$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$.
Exercice 1273. Soit $f$ l’application linéaire de $\R^4$ dans $\R^3$ canoniquement associée à la matrice\\ \[ A = \begin{pmatrix} -11 & 7 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 11 & 2\\ 1 & 0 & 7 & 1 \end{pmatrix} \]\\ Déterminer le rang de $f$, ainsi qu’une base de son noyau et de son image. Donner une équation de l’image.
Exercice 1274. Soit $(e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $\R^3$ et\\ $f_1 = (1, -2, 0),\; f_2 = (-1, 2, 0),\; f_3 = (0, 0, 2)$\\ Soit $u$ l’endomorphisme de $\R^3$ tel que $\forall i \in \llbracket 1,3 \rrbracket,\; u(e_i) = f_i$.\\
  1. Déterminer la matrice de $u$ dans la base canonique.\\
  2. Trouver une base de $\ker(u)$ et une base de $\mathrm{Im}\,(u)$.\\
  3. Montrer que $u - \mathrm{id}$ est un automorphisme de $\R^3$.
Exercice 1275. Soit $\varphi$ défini sur $\R_2[X]$ par $P \mapsto (X^2 + 2)P'' + (X + 1)P' + P$.\\
  1. Vérifier que $\varphi$ est un endomorphisme de $\R_2[X]$.\\
  2. Déterminer la matrice $\varphi$ dans la base canonique de $\R_2[X]$.\\
  3. Déterminer $\ker(\varphi - 5\mathrm{id})$. Calculer $\varphi(1)$ et $\varphi(X + 1)$.\\
  4. En déduire une base de $\R_2[X]$ dans laquelle la matrice de $\varphi$ est diagonale.
Exercice 1276. On considère l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice\\ \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & -2 & -1 \end{pmatrix} \]\\
  1. Soit $u_1 = (1, 0, -2)$. Montrer que $u_1 \in \ker(f)$.\\
  2. Déterminer une base $(u_2, u_3)$ de $\ker(f - \mathrm{id}_{\R^3})$.\\
  3. Montrer que $\mathcal{B} = (u_1, u_2, u_3)$ est une base de $\R^3$.\\
  4. Déterminer la matrice $D$ de $f$ dans la base $\mathcal{B}$.\\
  5. Calculer $D^2$. Que peut-on en déduire sur $f \circ f$ ? Sur $A^2$ ?
Exercice 1277. Soit $f$ l’application de $\R_n[X]$ dans $\R_n[X]$ définie par $f : P \mapsto P(X + 1) + P(X - 1) - 2P(X)$.\\
  1. Justifier que $f$ est un endomorphisme de $\R_n[X]$.\\
  2. Dans le cas $n = 3$, donner la matrice de $f$ dans la base canonique de $\R_3[X]$. Généraliser dans le cas $n$ quelconque.\\
  3. Déterminer le noyau et l’image de $f$. Calculer leurs dimensions respectives.\\
  4. Soit $Q$ un élément de l’image de $f$. Montrer qu’il existe un unique polynôme $P \in \R_n[X]$ tel que $f(P) = Q$ et $P(0) = P'(0) = 0$.
Exercice 1278. Soit $E$ un espace vectoriel muni d’une base $\mathcal{B} = (i, j, k)$. Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans $\mathcal{B}$ est\\ \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \]\\
  1. Calculer $A^2$. Qu’en déduire sur $f$ ?\\
  2. Déterminer une base de $\mathrm{Im}\,(f)$ et $\ker(f)$.\\
  3. Quelle est la matrice de $f$ relativement à une base adaptée à la supplémentarité de $\mathrm{Im}\,(f)$ et $\ker(f)$ ?
Exercice 1279. Considérons l’endomorphisme de $\R_3[X]$, $\varphi : P \mapsto P + P'$.\\
  1. Donner la matrice de l’endomorphisme de $\varphi$ dans la base canonique de $\R_3[X]$.\\
  2. En déduire le rang de l’endomorphisme. Existe-t-il un endomorphisme $\psi$ de $\R_3[X]$ tel que $\varphi \circ \psi = \mathrm{id}$ ? L’expliciter dans la base canonique de $\R_3[X]$ et calculer $\varphi^{-1}(X^3 + X + 2)$.\\
  3. En observant $\varphi^2, \varphi^3, \dots$ trouver une expression polynomiale annulant $\varphi$ et retrouver les résultats ci-dessus.\\
  4. Donner l’expression de la matrice de $\varphi$ dans la base $(1, X - 1, (X - 1)^2, (X - 1)^3)$.
Exercice 1280. Soit $(P_k)_{k \in \N}$ une suite de polynômes définie par $P_0 = 1$ et pour $k \geqslant 1$, $P_k(X) = \Prod_{i = 1}^{k} (X - i)$.\\
  1. Montrer que $\mathcal{B} = (P_0, \dots, P_n)$ est une base de $\R_n[X]$.\\
    1. Montrer que pour $k \geqslant 1$, $P_k'(X) = P_{k - 1}(X - 1)$.\\
    2. Montrer que pour $0 \leqslant n \leqslant k$, $P_k^{(n)}(X) = P_{k - n}(X - n)$.\\
  3. Notons $u_n$ l’application définie pour $Q \in \R_n[X]$ par $\forall n \in \N^*, u_n(Q) = Q - Q'$.\\
    1. Montrer que $u_n$ est un endomorphisme de $\R_n[X]$ et préciser la matrice de $u_n$ dans $\mathcal{B}$.\\
    2. Montrer que $u_n$ est un automorphisme de $\R_n[X]$.\\
    3. Déterminer $u_n^{-1}$.