Exercices divers

Exercice 1324. ESCP 2014

\\ Soit $f:\R^+\to\R^+$ une fonction deux fois dérivable et $\alpha$ un réel strictement positif.\\ On suppose que $f$ est majorée et que pour tout $t\in \R^+$, $f''(t)\geqslant \alpha^{2}f(t)$.\\

1. Montrer que $f$ est convexe.\\
2. Montrer que $f'$ est à valeurs dans $\R_{-}$.\\
3. 1. Montrer que $f$ admet une limite finie en $+\infty$.\\
   2. Montrer que $f$ tend vers $0$ en $+\infty$.\\
   3. Montrer que $f'$ tend vers $0$ en $+\infty$.\\
4. 1. Montrer que la fonction $\alpha^{2}f^{2}-f'^{2}$ est croissante.\\
   2. En déduire le signe de $\alpha f+f'$.\\
5. Montrer que pour tout réel positif $t$, on a $f(t)\leqslant f(0)e^{-\alpha t}$.