Ordre 1

Exercice 2414. Equations différentielles simples n°2

\\ Résoudre les équations différentielles : \\
  1. $y'-2y=e^{3x}$ \\
  2. $y'-2y=e^{2x}$ \\
  3. $y'-2y=2+4e^{2x}+2e^{3x}$ \\
  4. $y'+2y = xe^{-2x}+xe^{3x}$.

Exercice 2415. Variation de la constante n°1

\\ Résoudre les équations différentielles suivantes sur $I$ \\
  1. $y' = y \tan x + \sin x$, $I = \left]-\Frac{\pi}{2}; \Frac{\pi}{2}\right[$.\\
  2. $x y' - 2y = - \ln x$, $I = ]0 \,;\, +\infty[$.\\

Exercice 2416. Equations différentielles simples n°1

\\ Résoudre sur $\R$ les équations différentielles suivantes : \\
  1. $y'+2y=x^2$ \\
  2. $y'+y=2\sin{x}$ \\
  3. $y'-y=(x+1)e^x$ \\
  4. $y'+y=x-e^x+\cos{x}$.

Exercice 2417. Variation de la constante n°2

\\ Résoudre les équations différentielles : \\
  1. $x\ln{x}y'+y=x$ \\
  2. $x(xy'+y-x)=1$ (solutions complexes). \\
  3. $y'+y\tan{x}=\Frac{1}{\sin{x}}$ d'inconnue $y \in \mathcal{D}\parenthese{\left]0,\ps{2}\right[,\R}$. \\
  4. $(1+x)y'+y = 1+\ln(1+x)$ sur $]-1,+\infty[$.

Exercice 2418. Revenir au premier ordre

\\ Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $xy''-(x+1)y'=0$.

Exercice 2419. Problème de Cauchy n°2

\\
  1. Déterminer la solution sur $\R$ de $y'+y\th{x} =0$ prenant la valeur $1$ en $0$. \\
  2. Déterminer la solution sur $\R$ de $y'+y\th{x} = x\th{x}$ prenant la valeur $0$ en $0$.

Exercice 2420. Equations fonctionnelles n°2

\\
  1. Trouver toutes les applications continues $f : \R \longrightarrow \R$ telles que : \[ \forall x \in \R,\; \integrale{0}{x}{f(t)}{t} = f(x) + x \]
  2. Trouver toutes les applications continues $f : \R \longrightarrow \R$ telles que \[ \begin{cases} \forall x \in \R,\;\; 2\integrale{0}{1}{f(tx)}{t} = f(x) \\ f(-1)=0 \\ f(1)=1 \end{cases} \]
  3. Trouver toutes les applications $f : \R \to \R$ dérivables qui vérifient pour tout $x \in \R$, \[ f'(x)+f(x) + \integrale{0}{1}{f(t)}{t} = 0 \]
Exercice 2421. Trouver les fonctions $f : \R \to \R$ continues telles que \[ \forall x \in \R, \quad f(x) - \integrale{0}{x}{tf(t)}{t} = 1 \]

Exercice 2422. Equation fonctionnelle n°1

\\ Trouver toutes les applications continues $f : [0,+\infty[ \longrightarrow \R$ telles que : \[ \forall x \in [0,+\infty[,\;\; \integrale{0}{x}{\parenthese{x-3t}f(t)}{t} = \Frac{x^{2}}{2} \]

Exercice 2423. CCP

\\ On considère les deux équations différentielles \[ (1) \quad 2xy'-3y=0 \quad (2) : 2xy'-3y=\sqrt{x} \]
  1. Résoudre $(1)$ sur $\Rpe$. \\
  2. Résoudre $(2)$ sur $\Rpe$. \\
  3. L'équation $(2)$ admet-elle des solutions sur $\Rp$ ?

Exercice 2424. CCP

\\ Résoudre sur $]1,+\infty[$ l'équation différentielle \[ y' + \Frac{x}{1-x^2}y = 2x \]

Exercice 2425. Problème de Cauchy

\\ Résoudre \[ \begin{cases} \forall x \in \R^{+*}, \;\; x(x+2)y'+ (x+1)y=x+1 \\ y(0)=3 \end{cases} \]
Exercice 2426. Soient $\lambda \in \mathbb{R}$ et $b$ une fonction continue et $1$-périodique de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. L'équation différentielle $y' - \lambda y = b(x)$ admet-elle une solution $1$-périodique ?
Exercice 2427. Trouver toutes les fonctions $f$ dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, \[ (1+x^2)f'(x)+f(x)=0. \] On regardera $\exp(\arctan(x))f(x)$ après avoir justifié sa dérivabilité
Exercice 2428. Résoudre \[ |x|y'+(x-1)y=x^3. \] On étudiera l'existence de solutions définies sur $\mathbb{R}$ tout entier.
Exercice 2429. Soit $f\in\mathcal{C}^1([0,1],\R)$ telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$.\\ Montrer que \[ \int_0^1|f'(t)-f(t)|\,dt\geqslant \frac{1}{e}. \]

Exercice 2430. Avec un raccordement N°4

\\ Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle \[ ty'(t)+y(t)=-\sin{t}\]

Exercice 2431. Avec un raccordement N°5

\\ Montrer que l’équation différentielle \[ 2x\,y'(x)-|y(x)|=x,\qquad y:\R\to\R \;\; dérivable \] n’admet aucune solution sur $\R$.

Exercice 2432. Avec un raccordement N°2

\\ Résoudre $(1-x^2)y'-2xy=x^2$.
Exercice 2433. Montrer que l’ensemble $S$ des applications $f : ]-\infty, 1[ \longrightarrow \R$ dérivables telles que :\\ \[ \forall x \in ]-\infty, 1[, \;\; x(x-1)f'(x) - (x-2)f(x) = 0\] est un $\R$-espace vectoriel, et en donner une base et la dimension.\\
Exercice 2434. Soit $f$ une fonction réelle dérivable sur $\R$ telle que $f^2=f'$. Montrer que $f=0$.

Exercice 2435. Avec un raccordement N°1

\\ Résoudre les équations différentielles suivantes sur tout intervalle ouvert $I$ de $\R$ \\
  1. $(x^3-x)y'-(x^2-x+1)y=0$ \\
  2. $xy'+(1-x)y=e^{2x}$ \\
  3. $(1-x^2)y'-2xy=x^2$.

Exercice 2436. Centrale PC

\\ Soient $f$ et $g$ de classe $\mathcal{C}^1$ avec $f' = g \circ f$. Montrer que $f$ est monotone.

Exercice 2437. Avec des valeurs absolues

\\ Résoudre les équations différentielles suivantes \\
  1. $y'-y=\abs{x}$ sur $\R$. \\
  2. $\abs{x}y'+(x-1)y=x^3$ sur $\R$.
Exercice 2438. Soit $\alpha \in \mathcal{C}(\mathbb{R}_+^*,\mathbb{R})$ bornée. Considérons $(E)$ : \[ xy'-y+\alpha(x)=0. \]
  1. Déterminer une solution $Y$ de $(E)$ telle que $\lim_{x\to+\infty}Y'=0$.\\
  2. Supposons que $\alpha(x)\xrightarrow[x\to+\infty]{}\ell \in \mathbb{R}$. Calculer la limite de $Y$ en $+\infty$.
Exercice 2439. Soit $a$ et $b$ deux fonctions continues et $1$-périodiques et $(E)$ : \[ y'+ay=b. \] À quelle condition sur $a$ et $b$ les solutions de $(E)$ sont-elles $1$-périodiques ?
Exercice 2440. On considère l'équation différentielle $xy' + y = \tan(x)$. Existe-t-il une solution sur $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$?
Exercice 2441. On considère l'équation différentielle \[ ty'(t)-2y(t)=t^3 \] sur $\mathbb{R}$.\\
  1. Résoudre l'équation différentielle sur $\mathbb{R}_+^*$ et $\mathbb{R}_-^*$.
  2. Soit $y$ une solution de l'équation différentielle sur $\mathbb{R}$. Déterminer $y(0)$ et la forme de $y$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et $\mathbb{R}_-^*$.
  3. Étudier la continuité et la dérivabilité d'une telle fonction sur $\mathbb{R}$.
  4. Conclure en donnant toutes les solutions de l'équation
Exercice 2442. On considère les deux équations suivantes : \[ (H):\quad 2xy'-3y=0 \] et \[ (E):\quad 2xy'-3y=\sqrt{x}. \]
  1. Résoudre $(H)$ sur $]0,+\infty[$.
  2. Résoudre $(E)$ sur $]0,+\infty[$.
  3. L'équation $(E)$ admet-elle une solution de classe $C^1$ sur $[0,+\infty[$ ?

Exercice 2443. Avec un raccordement N°3

\\ Intégrer l'équation différentielle $x^2+y^2=2xyy'$.

Exercice 2444. Oral X

\\ Soit $f$ une fonction réelle dérivable sur $\R$ telle que $f^2 = f'$. Montrer que $f=0$.
Exercice 2445. Soit $(E)$ l'équation différentielle $y'^2=4y$.\\
  1. Montrer que si $f(a)=f(b)=0$, alors $f=0$ sur $[a,b]$.\\
  2. Résoudre $(E)$ sur un intervalle où $y$ ne s'annule pas.\\
  3. Décrire toutes les solutions de classe $C^1$.
Exercice 2446. Soit $f:]0,+\infty[\to\mathbb{R}$ une fonction continue et bornée. On considère l'équation différentielle suivante : \[ (E):xy'-y+f(x)=0. \]
  1. Déterminer, à l'aide d'une intégrale impliquant $f$, l'unique solution $y_0$ de $(E)$ sur $\mathbb{R}_+^*$ vérifiant $\limn y_0'=0$ ; montrer que cette solution est bornée.\\
  2. On suppose à partir de maintenant que $f$ est positive et de carré intégrable sur $\mathbb{R}_+^*$. Montrer qu'au voisinage de $+\infty$ : \[ y_0(x)=o\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right). \]
  3. Montrer que $y_0^2$ et $y_0f$ sont intégrables sur $\mathbb{R}_+^*$ et que : \[ \integrale{0}{+\infty}{y_0^2(t)}{t}=\frac{2}{3}\integrale{0}{+\infty}{y_0(t)f(t)}{t}. \]
Exercice 2447. Soit $f : ]0,+\infty[ \to \mathbb{R}$ continue et bornée. On considère l'équation $(E) : xy' - y + f(x) = 0$.\\
  1. Résoudre $(E)$ sur $\mathbb{R}_+^*$. Déterminer l'unique solution $g$ telle que $\lim_{x\to+\infty} g'(x) = 0$. Montrer que $g$ est bornée sur $\mathbb{R}_+^*$.\\
  2. On suppose désormais que $f^2$ est intégrable sur $]0,+\infty[$. Montrer que $g(x) = o\!\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ quand $x \to +\infty$.\\
  3. Montrer que $g^2$ et $gf$ sont intégrables sur $]0,+\infty[$.