Ordre 2
Exercice 2448. Oral X
\\ Trouver toutes les applications dérivables $f : \R \longrightarrow \R$ telles que :\\ \[ \forall x \in \R,\; f'(x) = f(-x) \]Exercice 2449. Equation fonctionnelle n°3
\\ Déterminer les fonctions dérivables \(f:\R\to\R\) vérifiant \[ \forall x\in\R,\quad f'(x)=f(2-x). \]Exercice 2450. Oral CCP
\\ Déterminer les fonctions réelles $f$ dérivables sur $\R$ telles que \[ \forall x \in \R, f'(x) = f(2-x) \]Exercice 2451. Equation fonctionnelle n°2
\\ Trouver toutes les applications $f : \R \longrightarrow \R$ dérivables sur $\R$ telles que :\\ \[ \forall x \in \R,\;\; f'(x) = \Frac{1}{2}\parenthese{f(x) + f(-x)}\]Exercice 2452. Oral CCP
\\ Soit $\lambda \in \R$. \\- Déterminer les solutions à valeurs réelles de l'équation différentielle \[ y'' -2y' + (1-\lambda)y = 0 \]
- Déterminer une solution à valeurs réelles de l'équation différentielle \[ y''-2y'+(1-\lambda)y = x \]
Exercice 2453. Résolution simple n°2
\\ Résoudre l’équation différentielle linéaire d’ordre 2 suivante : \\ \[ (E) \quad y'' - 3y' + 2y = x e^x, \] d’inconnue $y : \R \longrightarrow \R$.
Exercice
2454. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\mathbb{R}_+$, telles que
\[
f(x)=\integrale{0}{x}{g(t)}{t}
\quad \mathrm{et} \quad
g(x)=\integrale{0}{x}{f(t)}{t}.
\]
Montrer que $f=g=0$.
Exercice
2455. Déterminer les $f \in C^1(\R,\R)$ telles que :
\[
\forall x \in \R,\quad f'(x)=f(-x)
\]
Exercice 2456. CCP
\\ Soit $\alpha \in \R$. Résoudre l’équation différentielle :\\ \[ (E)\quad y''(t)-2y'(t)+(1-\alpha^2)y(t)=e^t. \] Déterminer l’unique solution de $(E)$ qui vérifie $y(0)=0$ et $y'(0)=1$.Exercice 2457. Résolution simple n°1
\\ Résoudre l’équation différentielle sur $]0,+\infty[$ : \[ y''+2y'+y=\Frac{e^{-x}}{x}. \]Exercice 2458. Equation fonctionnelle
\\ Trouver toutes les applications $f : \R \longrightarrow \R$ dérivables telles que :\\ \[ \forall x \in \R,\;\; \integrale{0}{x}{f(t)}{t} = f'(x) + 1 \]Exercice 2459. Raccordement
\\- En posant $u=x^2y$, résoudre l'équation \[ x^2y''+4xy'+(2+x^2)y = 0 \] sur $\Rpe$ et sur $\Rme$. \\
- Existe-t-il des solutions de $(1)$ définies sur tout $\R$ ?
Exercice 2460. CCP
\\- Déterminer une primitive de $x \mapsto \cos^4{x}$. \\
- Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $y''+y=\cos^3(x)$ en utilisant la méthode de variation des constantes.
Exercice
2461. On considère l'équation différentielle $(E)$
\[
y''+y=\exp(-\sqrt{x}).
\]
- Démontrer à l'aide de la méthode de variation des constantes que les solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}_+$ sont de la forme \[ y(x)=a\cos(x)+b\sin(x)+\integrale{0}{x}{\sin(x-t)e^{-\sqrt{t}}}{t} \] avec $a$ et $b$ des constantes réelles.\\
- Démontrer que $t\mapsto e^{-\sqrt{t}}$ est intégrable sur $\mathbb{R}_+$.\\
- Soit $a$ et $b$ deux applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que $a(x)\xrightarrow[x\to+\infty]{}\ell_a$ et $b(x)\xrightarrow[x\to+\infty]{}\ell_b$. Démontrer que $f:x\mapsto a(x)\cos(x)+b(x)\sin(x)$ admet une limite en $+\infty$ si et seulement si $\ell_a=\ell_b=0$.\\
- Montrer que $(E)$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}_+$ de limite finie en $+\infty$.
Exercice
2462. Résoudre le système différentiel
\[
\begin{cases}
x'(t)=-x(t)+y(t)\\
y'(t)=-y(t)+z(t)\\
z'(t)=-z(t)+e^{-t}
\end{cases}
\]
Exercice
2463. Résoudre
\[
(1-x^2)y''-xy'+y=0.
\]
Exercice
2464. Résoudre l'équation différentielle
\[
(1+t^2)x''-2x=0.
\]
Exercice 2465. Equation fonctionnelle n°5
\\ Trouver toutes les applications $f : ]0,+\infty[ \longrightarrow \R$ dérivables telles que :\\ \[ \forall x \in ]0,+\infty[, \;\; f'(x) = f\!\parenthese{\Frac{1}{4x}} \]Exercice 2466. Equation fonctionnelle n°7
Déterminer les applications $f:\R\to\R$, continues et telles que \[ \forall x \in \R,\;\; f(x)+\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,dt=1 \]Exercice 2467. Equation fonctionnelle n°4
\\ Soit $\lambda \in \R$. Déterminer les applications $f:\R\to\R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telles que \[ \forall x\in\R,\;\; f'(x)=f(\lambda - x) \]Exercice 2468. Equation fonctionnelle n°6
\\ Trouver toutes les applications $f : \R \to \R$ dérivables qui vérifie pour tout $x \in \R$, \[ f'(x)+f(-x)=e^{x} \]Exercice 2469. Changement de variable n°3
\\ Résoudre $y'''-3y''+y'-3y=0$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=y''(0)=0$.Exercice 2470. Changement de variable n°2
\\ Résoudre l'équation différentielle \[ (E) : \quad x^2y''+xy'-4y+4x^2 = 0 \] en précisant quelles sont les solutions définies sur $\R$ en entier. \\ On pourra utiliser le changement de variable $t = \ln{\abs{x}}$.Exercice 2471. Changement de variable n°5
\\- Soient $(a,b) \in \K^2$, $I$ un intervalle de $\R$ tel que $I \subset \R_+^\ast$ ou $I \subset \R_-^\ast$, et $k : I \longrightarrow \K$ continue. Montrer que l’équation différentielle d’Euler \[ (E)\quad x^2 y'' + a x y' + b y = k \] se ramène, par le changement de variable $t=\ln\abs{x}$, à une équation différentielle linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants.\\
- Exemple : résoudre sur $]0,+\infty[$ l’équation différentielle $(E)\; x^2 y'' + x y' + y = x^2 + x + 1$, d’inconnue $y : ]0,+\infty[ \longrightarrow \R$, supposée deux fois dérivable.\\
Exercice
2472. Déterminer les fonctions $f$ continues sur $\R$ et vérifiant
\[
f(x)=1-\int_0^x(x-t)f(t)\,dt.
\]
Exercice
2473. Trouver les solutions de l'équation différentielle :
\[
(E):y''+4y'+4y=\frac{e^{-2t}}{\sqrt{1+t^2}},
\]
on utilisera la fonction $\argsh$ définie à l'exercice précédent.
Exercice
2474. Résoudre $y''+y=|t|$.
Exercice
2475. Soit $f\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R}_+^*,\mathbb{R})$ une fonction intégrable et :
\[
(E):y''+f(x)y=0.
\]
- Soit $y$ une solution bornée de $(E)$. Montrer que $y'(x)\xrightarrow[x\to+\infty]{}0$.\\
- On appelle système fondamental toute base de l'ensemble des solutions de $(E)$. Montrer que tout système fondamental contient au moins une solution non bornée sur $\mathbb{R}_+^*$.
Exercice
2476. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue vérifiant : $\forall x \in \mathbb{R}$,
\[
f(x)+\integrale{0}{x}{(x-t)f(t)}{t}=1.
\]
- Montrer que $f$ est dérivable. Que vaut $f'(0)$ ?\\
- Montrer que $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Calculer $f''$ en fonction de $f$.\\
- Déterminer $f$.
Exercice
2477. \\
Résoudre $(E)$ : $f''(x)+f(-x)=x+\cos x$. \\
Exercice
2478. Déterminer toutes les fonctions $y : \R \to \R$ dérivables telles que \[ \forall x \in \R, \quad y'(x)+y(x) = \integrale{0}{1}{y(t)}{t}\]
Exercice 2479. Changement de variable
\\ Soit $q \in \R_+^*$. \\ Résoudre l'équation différentielle $(E)$ : $(t^2+1)y''+t\,y'-q^2y=0$ à l'aide du changement de variable $t=\sh(x)$.
Exercice
2480. Déterminer les $f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}_+^*,\mathbb{R})$ telles que
\[
f'(x)=f\left(\frac{1}{x}\right)
\]
pour $x > 0$.
Exercice
2481. Résoudre
\[
y''+6y'+9y=\frac{t}{e^{3t}}.
\]
Exercice
2482. Résoudre
\[
f''(x)+f(x)=\frac{1}{\sin^2 x}.
\]
Exercice
2483. Déterminer les fonctions vérifiant
\[
y''+3y'+2y=\frac{x-1}{x^2}e^{-x}.
\]
Exercice
2484. Notons $(E)$ :
\[
xy''+y'+xy=0.
\]
Démontrer qu'il existe une unique solution développable en série entière au voisinage de $0$ telle que $y(0)=1$.
Exercice
2485. Trouver les fonctions $f\in\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ telles que
\[
f(x)=1-\integrale{0}{x}{(x+t)f(x-t)}{t}
\]
pour tout $x\in\mathbb{R}$.
Exercice
2486. On note $\mathcal{F}$ l'ensemble des fonctions de classe $C^2$, ne s'annulant pas, et vérifiant :
\[ (F) : \forall x, y \in \mathbb{R},\quad f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y). \]
- Soit $f \in \mathcal{F}$. Montrer que $f$ vérifie une équation différentielle $(E) : y'' + ky = 0$.
- Déterminer les solutions de $(E)$.
- Déterminer $\mathcal{F}$.
Exercice
2487. \\
- Résoudre sur $\mathbb{R}_+^*$ l'équation différentielle $(E) : y'' + y = \dfrac{1}{x}$.
- Montrer que $F : x \mapsto \displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-tx}}{1+t^2}\,dt$ est définie sur $\mathbb{R}_+^*$ et est solution de $(E)$.
- Prouver que $F$ est l'unique solution de $(E)$ admettant une limite finie en $+\infty$.
Exercice
2488. On se donne l'équation différentielle $(E) : 4x^2y'' - 8xy' + 9y = x^2 + 1$.\\
- Trouver une solution polynomiale de degré $2$ de $(E)$.\\
- Résoudre $(E)$ sur $\mathbb{R}_+^*$. On pourra poser $x = e^t$.\\
- Résoudre $(E)$ sur $\mathbb{R}_-^*$.
Exercice 2489. Utilisation d'une formule de Taylor
\\ On considère le problème de Cauchy \[ \begin{cases} y''+\abs{y} = 0 \\ y(0)=0 \\ y'(0)=0 \end{cases} \] On admet qu'il possède une unique solution définie sur $\R$ que l'on notera $y$. \\- Montrer que pour tout $x \in \R$, $y(x) \leqslant a$. \\
- Déterminer $y$ lorsque $a \leqslant 0$. On suppose dans la suite que $a > 0$. \\
- Montrer que $y$ s'annule en exactement deux points $b_{-} < 0$ et $b_{+} > 0$. \\
- Achever la résolution de l'exercice.
Exercice 2490. Changement de variable n°4
\\ On considère l'équation $(1-x^2)y''-xy'+y=0$. Intégrer l'équation sur $]-1,1[$ en posant $x = \sin{t}$. Intégrer l'équation sur $]-\infty,1[$ puis sur $]1,+\infty[$. Etudier le problème du recollement.
Exercice
2491. Soit $g\in\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ à support compact et :
\[
(E):y''-y=g.
\]
- Une solution $y$ de $(E)$ est-elle nécessairement à support compact ?\\
- Prouver qu'il existe une unique solution $y$ de $(E)$ telle que $y(t)\xrightarrow[t\to\pm\infty]{}0$. Donner alors une condition nécessaire et suffisante sur $g$ pour que $y$ soit à support compact.
Exercice
2492. Résoudre
\[
xy''-y'+4x^3y=0
\]
sur $\mathbb{R}_+^*$, $\mathbb{R}_-^*$, puis sur $\mathbb{R}$.
Exercice
2493. Soit $f$ la solution de l'équation différentielle :
\[
(E):y''-(x^4+1)y=0
\]
telle que $f(0)=f'(0)=1$.\\
- Montrer que $g=f^2$ est convexe.\\
- Montrer que : \[ \forall t \geqslant 0,\quad f(t)\geqslant 1. \]
- La fonction $\frac{1}{g}$ est-elle intégrable sur $\mathbb{R}_+^*$ ?\\
- Montrer que la fonction \[ h:x\mapsto f(x)\integrale{x}{+\infty}{\frac{dt}{g(t)}}{t} \] est solution sur $\mathbb{R}_+^*$ de l'équation différentielle donnée. En déduire une expression des solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}_+^*$ en fonction de $f$.
Exercice
2494. Résoudre l'équation différentielle :
\[
(E):y''-5y'+6y=\frac{e^x}{\ch^2(x)}.
\]
Exercice 2495. Oral X
\\ Résoudre $y''+y = \abs{t}$.Exercice 2496. X PSI
\\ On étudie le problème aux limites \[ \left\{ \begin{array}{l} -u''(x)+c(x)u(x)=f(x),\quad x\in [0,1],\\ u(0)=u(1)=0, \end{array} \right. \] où $c\in C([0,1],\R)$, $f\in C([0,1],\R)$ et $c$ est positive.\\- Soit $\lambda\in \R$. Montrer que le problème \[ \left\{ \begin{array}{l} -v_\lambda''(x)+c(x)v_\lambda(x)=f(x),\quad x\in [0,1],\\ v_\lambda(0)=0,\\ v_\lambda'(0)=\lambda \end{array} \right. \] admet une unique solution $v_\lambda\in C^2([0,1],\R)$.\\
- Montrer que pour tout $\lambda\in \R$, $v_\lambda$ peut s'exprimer sous la forme \[ v_\lambda=\lambda w_1+w_2 \] avec $w_1\in C^2([0,1],\R)$ l'unique solution du système \[ \left\{ \begin{array}{l} -w_1''(x)+c(x)w_1(x)=0,\quad x\in [0,1],\\ w_1(0)=0,\\ w_1'(0)=1 \end{array} \right. \] et $w_2$ une fonction indépendante de $\lambda$ à caractériser.\\
- Montrer que $w_1(1)\neq 0$.\\
- En déduire qu'il existe une solution $u\in C^2([0,1],\R)$ du problème initial. Montrer que cette solution est unique.\\
- Montrer que si $f$ est positive, alors $u$ est également positive.
Exercice
2497. Considérons l'équation
\[
xy''+2y'+\omega^2xy=0,
\]
où $\omega\in\mathbb{R}^*$ est une constante.\\
- Déterminer les solutions développables en série entière.\\
- Déterminer la solution générale.
Exercice
2498. Soit $(E)$ l'équation différentielle
\[
x(x+1)y''+(3x+1)y'+y=0.
\]
- Résoudre $xu''+u=0$ sur tout intervalle $I$ ne contenant pas $0$.\\
- Résoudre $xu''+u=0$ sur tout intervalle $I$ contenant $0$.\\
- Résoudre $(E)$ sachant que $y_0:x\mapsto \frac{1}{1+x}$ est une solution de $(E)$.
Exercice
2499. Considérons l'équation différentielle $(E)$
\[
x^2y''(x)+4xy'(x)+2y(x)=\frac{1}{1-x}
\]
ainsi que son équation homogène associée $(H)$.\\
- Déterminer les solutions de $(H)$ de la forme $x\mapsto x^\alpha$ avec $\alpha\in\mathbb{R}$. Que peut-on dire de l'ensemble des solutions de $(H)$ ?\\
- Déterminer les solutions de $(E)$ développables en série entière. Calculer leur rayon de convergence $R$.\\
- Déterminer l'expression de $f$ sur $]-R,R[$.\\
- Résoudre $(E)$ sur $]0,1[$. Peut-on la résoudre sur $[0,1[$ ?
Exercice
2500. Soit $(E)$ :
\[
(x^2+1)^2y''-y=0.
\]
- Que peut-on dire de l'ensemble des solutions de $(E)$ ?\\
- Montrer qu'il existe deux solutions $u$ et $v$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ telles que \[ \forall x\in\mathbb{R}, \quad \begin{vmatrix} u(x)&v(x)\\ u'(x)&v'(x) \end{vmatrix} =1. \]
- Considérons $u:x\mapsto \sqrt{x^2+1}$. \startletters
- a Démontrer que $u$ est solution de $(E)$.\\
- a Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$.
Exercice
2501. Soit $a$ et $b$ deux fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Notons $(E)$ :
\[
y''+ay'+by=0.
\]
Démontrer qu'il existe deux solutions non nulles de $(E)$, l'une paire et l'autre impaire, si et seulement si $a$ est impaire et $b$ est paire.
Exercice
2502. Résoudre l'équation
\[
(E):x^2y''+xy'-y=\frac{x^2}{1-x^2},
\]
on commencera par chercher une solution développable en série entière.
Exercice
2503. Déterminer les fonctions $f \in C^2(\R,\R)$ telles que :
\[
f''+|f|=0,\quad f(0)=0,\quad f'(0)=1
\]
Exercice 2504. Oral ENS
\\ Déterminer les fonctions $f \in \mathcal{C}^2(\R,\R)$ telles que \[ f'' + \abs{f} = 0, \quad f(0)=0, \quad f'(0)=1 \]
Exercice
2505. On se propose de déterminer toutes les fonctions $f\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$, dites solutions de $(E)$, pour lesquelles, pour tous $x,y\in\mathbb{R}$,
\[
f(x)^2-f(y)^2=f(x+y)f(x-y).
\]
- Soit $f$ une solution de $(E)$. On fait l'hypothèse supplémentaire que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et n'est pas identiquement nulle.
- Que vaut $f(0)$ ?
- En dérivant par rapport à $x$, puis par rapport à $y$, montrer que, pour tous $x,y\in\mathbb{R}$, \[ f''(x+y)f(x-y)=f(x+y)f''(x-y). \]
- En déduire que, pour tous $x,y\in\mathbb{R}$, \[ f''(x)f(y)=f(x)f''(y). \]
- En déduire que, pour un certain $\alpha\in\mathbb{R}$, \[ f''+\alpha f=0, \] puis déterminer, en fonction de $\alpha$, une expression explicite de $f$.
- Vérifier que les fonctions trouvées en $1$d sont bel et bien solutions de $(E)$.
- Soit $f$ une solution de $(E)$ non identiquement nulle.
- Montrer qu'il existe $\tau\in\mathbb{R}$ tel que \[ \integrale{0}{\tau}{f(t)}{t}\neq 0. \]
- Montrer que, pour tous $x,y\in\mathbb{R}$, \[ f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2-f\left(\dfrac{x-y}{2}\right)^2=f(x)f(y). \]
- Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, \[ \integrale{x}{x+\tau}{f\left(\dfrac{t}{2}\right)^2}{t} + \integrale{x}{x-\tau}{f\left(\dfrac{t}{2}\right)^2}{t} = f(x)\integrale{0}{\tau}{f(t)}{t}. \]
- En déduire que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ puis que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
- Quelles sont finalement toutes les solutions de $(E)$ ?