Ordre 2
Exercice 1961. Utilisation d'une formule de Taylor
\\ On considère le problème de Cauchy \[ \begin{cases} y''+\abs{y} = 0 \\ y(0)=0 \\ y'(0)=0 \end{cases} \] On admet qu'il possède une unique solution définie sur $\R$ que l'on notera $y$. \\- Montrer que pour tout $x \in \R$, $y(x) \leqslant a$. \\
- Déterminer $y$ lorsque $a \leqslant 0$. On suppose dans la suite que $a > 0$. \\
- Montrer que $y$ s'annule en exactement deux points $b_{-} < 0$ et $b_{+} > 0$. \\
- Achever la résolution de l'exercice.
Exercice 1962. Equation fonctionnelle n°5
\\ Trouver toutes les applications $f : ]0,+\infty[ \longrightarrow \R$ dérivables telles que :\\ \[ \forall x \in ]0,+\infty[, \;\; f'(x) = f\!\parenthese{\Frac{1}{4x}} \]Exercice 1963. Equation fonctionnelle n°3
\\ Déterminer les fonctions dérivables \(f:\R\to\R\) vérifiant \[ \forall x\in\R,\quad f'(x)=f(2-x). \]Exercice 1964. Oral X
\\ Trouver toutes les applications dérivables $f : \R \longrightarrow \R$ telles que :\\ \[ \forall x \in \R,\; f'(x) = f(-x) \]Exercice 1965. Equation fonctionnelle n°7
Déterminer les applications $f:\R\to\R$, continues et telles que \[ \forall x \in \R,\;\; f(x)+\int_{0}^{x}(x-t)f(t)\,dt=1 \]Exercice 1966. Equation fonctionnelle n°4
\\ Soit $\lambda \in \R$. Déterminer les applications $f:\R\to\R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telles que \[ \forall x\in\R,\;\; f'(x)=f(\lambda - x) \]Exercice 1967. Oral CCP
\\ Déterminer les fonctions réelles $f$ dérivables sur $\R$ telles que \[ \forall x \in \R, f'(x) = f(2-x) \]Exercice 1968. Equation fonctionnelle n°6
\\ Trouver toutes les applications $f : \R \to \R$ dérivables qui vérifie pour tout $x \in \R$, \[ f'(x)+f(-x)=e^{x} \]Exercice 1969. Equation fonctionnelle n°2
\\ Trouver toutes les applications $f : \R \longrightarrow \R$ dérivables sur $\R$ telles que :\\ \[ \forall x \in \R,\;\; f'(x) = \Frac{1}{2}\parenthese{f(x) + f(-x)}\]Exercice 1970. Changement de variable n°3
\\ Résoudre $y'''-3y''+y'-3y=0$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=y''(0)=0$.Exercice 1971. Changement de variable n°2
\\ Résoudre l'équation différentielle \[ (E) : \quad x^2y''+xy'-4y+4x^2 = 0 \] en précisant quelles sont les solutions définies sur $\R$ en entier. \\ On pourra utiliser le changement de variable $t = \ln{\abs{x}}$.Exercice 1972. Oral CCP
\\ Soit $\lambda \in \R$. \\- Déterminer les solutions à valeurs réelles de l'équation différentielle \[ y'' -2y' + (1-\lambda)y = 0 \]
- Déterminer une solution à valeurs réelles de l'équation différentielle \[ y''-2y'+(1-\lambda)y = x \]
Exercice 1973. Changement de variable n°5
\\- Soient $(a,b) \in \K^2$, $I$ un intervalle de $\R$ tel que $I \subset \R_+^\ast$ ou $I \subset \R_-^\ast$, et $k : I \longrightarrow \K$ continue. Montrer que l’équation différentielle d’Euler \[ (E)\quad x^2 y'' + a x y' + b y = k \] se ramène, par le changement de variable $t=\ln\abs{x}$, à une équation différentielle linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants.\\
- Exemple : résoudre sur $]0,+\infty[$ l’équation différentielle $(E)\; x^2 y'' + x y' + y = x^2 + x + 1$, d’inconnue $y : ]0,+\infty[ \longrightarrow \R$, supposée deux fois dérivable.\\
Exercice
1974. Déterminer les fonctions $f$ continues sur $\R$ et vérifiant
\[
f(x)=1-\int_0^x(x-t)f(t)\,dt.
\]
Exercice 1975. Résolution simple n°2
\\ Résoudre l’équation différentielle linéaire d’ordre 2 suivante : \\ \[ (E) \quad y'' - 3y' + 2y = x e^x, \] d’inconnue $y : \R \longrightarrow \R$.Exercice 1976. Changement de variable n°4
\\ On considère l'équation $(1-x^2)y''-xy'+y=0$. Intégrer l'équation sur $]-1,1[$ en posant $x = \sin{t}$. Intégrer l'équation sur $]-\infty,1[$ puis sur $]1,+\infty[$. Etudier le problème du recollement.
Exercice
1977. Soit $g\in\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ à support compact et :
\[
(E):y''-y=g.
\]
- Une solution $y$ de $(E)$ est-elle nécessairement à support compact ?\\
- Prouver qu'il existe une unique solution $y$ de $(E)$ telle que $y(t)\xrightarrow[t\to\pm\infty]{}0$. Donner alors une condition nécessaire et suffisante sur $g$ pour que $y$ soit à support compact.
Exercice
1978. Résoudre
\[
xy''-y'+4x^3y=0
\]
sur $\mathbb{R}_+^*$, $\mathbb{R}_-^*$, puis sur $\mathbb{R}$.
Exercice
1979. Résoudre l'équation
\[
(E):x^2y''+xy'-y=\frac{x^2}{1-x^2},
\]
on commencera par chercher une solution développable en série entière.
Exercice
1980. Soit $f$ la solution de l'équation différentielle :
\[
(E):y''-(x^4+1)y=0
\]
telle que $f(0)=f'(0)=1$.\\
- Montrer que $g=f^2$ est convexe.\\
- Montrer que : \[ \forall t \geqslant 0,\quad f(t)\geqslant 1. \]
- La fonction $\frac{1}{g}$ est-elle intégrable sur $\mathbb{R}_+^*$ ?\\
- Montrer que la fonction \[ h:x\mapsto f(x)\integrale{x}{+\infty}{\frac{dt}{g(t)}}{t} \] est solution sur $\mathbb{R}_+^*$ de l'équation différentielle donnée. En déduire une expression des solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}_+^*$ en fonction de $f$.
Exercice
1981. Trouver les solutions de l'équation différentielle :
\[
(E):y''+4y'+4y=\frac{e^{-2t}}{\sqrt{1+t^2}},
\]
on utilisera la fonction $\argsh$ définie à l'exercice précédent.
Exercice
1982. Résoudre l'équation différentielle :
\[
(E):y''-5y'+6y=\frac{e^x}{\ch^2(x)}.
\]
Exercice
1983. Déterminer les fonctions $f \in C^2(\R,\R)$ telles que :
\[
f''+|f|=0,\quad f(0)=0,\quad f'(0)=1
\]
Exercice
1984. Résoudre $y''+y=|t|$.
Exercice
1985. Soit $f\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R}_+^*,\mathbb{R})$ une fonction intégrable et :
\[
(E):y''+f(x)y=0.
\]
- Soit $y$ une solution bornée de $(E)$. Montrer que $y'(x)\xrightarrow[x\to+\infty]{}0$.\\
- On appelle système fondamental toute base de l'ensemble des solutions de $(E)$. Montrer que tout système fondamental contient au moins une solution non bornée sur $\mathbb{R}_+^*$.
Exercice
1986. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue vérifiant : $\forall x \in \mathbb{R}$,
\[
f(x)+\integrale{0}{x}{(x-t)f(t)}{t}=1.
\]
- Montrer que $f$ est dérivable. Que vaut $f'(0)$ ?\\
- Montrer que $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Calculer $f''$ en fonction de $f$.\\
- Déterminer $f$.
Exercice
1987. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\mathbb{R}_+$, telles que
\[
f(x)=\integrale{0}{x}{g(t)}{t}
\quad \mathrm{et} \quad
g(x)=\integrale{0}{x}{f(t)}{t}.
\]
Montrer que $f=g=0$.
Exercice
1988. Déterminer les $f \in C^1(\R,\R)$ telles que :
\[
\forall x \in \R,\quad f'(x)=f(-x)
\]
Exercice
1989. \\
Résoudre $(E)$ : $f''(x)+f(-x)=x+\cos x$. \\
Exercice 1990. CCP
\\ Soit $\alpha \in \R$. Résoudre l’équation différentielle :\\ \[ (E)\quad y''(t)-2y'(t)+(1-\alpha^2)y(t)=e^t. \] Déterminer l’unique solution de $(E)$ qui vérifie $y(0)=0$ et $y'(0)=1$.Exercice 1991. Oral ENS
\\ Déterminer les fonctions $f \in \mathcal{C}^2(\R,\R)$ telles que \[ f'' + \abs{f} = 0, \quad f(0)=0, \quad f'(0)=1 \]
Exercice
1992. Déterminer toutes les fonctions $y : \R \to \R$ dérivables telles que \[ \forall x \in \R, \quad y'(x)+y(x) = \integrale{0}{1}{y(t)}{t}\]
Exercice 1993. Résolution simple n°1
\\ Résoudre l’équation différentielle sur $]0,+\infty[$ : \[ y''+2y'+y=\Frac{e^{-x}}{x}. \]Exercice 1994. Changement de variable
\\ Soit $q \in \R_+^*$. \\ Résoudre l'équation différentielle $(E)$ : $(t^2+1)y''+t\,y'-q^2y=0$ à l'aide du changement de variable $t=\sh(x)$.Exercice 1995. Oral X
\\ Résoudre $y''+y = \abs{t}$.Exercice 1996. Equation fonctionnelle
\\ Trouver toutes les applications $f : \R \longrightarrow \R$ dérivables telles que :\\ \[ \forall x \in \R,\;\; \integrale{0}{x}{f(t)}{t} = f'(x) + 1 \]Exercice 1997. Raccordement
\\- En posant $u=x^2y$, résoudre l'équation \[ x^2y''+4xy'+(2+x^2)y = 0 \] sur $\Rpe$ et sur $\Rme$. \\
- Existe-t-il des solutions de $(1)$ définies sur tout $\R$ ?
Exercice 1998. CCP
\\- Déterminer une primitive de $x \mapsto \cos^4{x}$. \\
- Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $y''+y=\cos^3(x)$ en utilisant la méthode de variation des constantes.