Ordre 2
Exercice 1148. Résolution simple n°1
\\ Résoudre l’équation différentielle sur $]0,+\infty[$ : \[ y''+2y'+y=\Frac{e^{-x}}{x}. \]Exercice 1149. Raccordement
\\- En posant $u=x^2y$, résoudre l'équation \[ x^2y''+4xy'+(2+x^2)y = 0 \] sur $\Rpe$ et sur $\Rme$. \\
- Existe-t-il des solutions de $(1)$ définies sur tout $\R$ ?
Exercice 1150. CCP
\\- Déterminer une primitive de $x \mapsto \cos^4{x}$. \\
- Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $y''+y=\cos^3(x)$ en utilisant la méthode de variation des constantes.
Exercice 1151. CCP
\\ Soit $\alpha \in \R$. Résoudre l’équation différentielle :\\ \[ (E)\quad y''(t)-2y'(t)+(1-\alpha^2)y(t)=e^t. \] Déterminer l’unique solution de $(E)$ qui vérifie $y(0)=0$ et $y'(0)=1$.Exercice 1152. Changement de variable
\\ Soit $q \in \R_+^*$. \\ Résoudre l'équation différentielle $(E)$ : $(t^2+1)y''+t\,y'-q^2y=0$ à l'aide du changement de variable $t=\sh(x)$.
Exercice
1153. \\
Résoudre $(E)$ : $f''(x)+f(-x)=x+\cos x$. \\
Exercice 1154. Equation fonctionnelle
\\ Trouver toutes les applications $f : \R \longrightarrow \R$ dérivables telles que :\\ \[ \forall x \in \R,\;\; \integrale{0}{x}{f(t)}{t} = f'(x) + 1 \]
Exercice
1155. Déterminer toutes les fonctions $y : \R \to \R$ dérivables telles que \[ \forall x \in \R, \quad y'(x)+y(x) = \integrale{0}{1}{y(t)}{t}\]