Exercices divers
Exercice
1158. Soit $y : [0,+\infty[ \longrightarrow \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $y' = e^{-y} - e^{-3y} + e^{-5y}$.\\
Déterminer $\limplus y(x)$ et $\limplus y'(x)$.\\
Exercice
1159. Soit $a \in ]0,+\infty[$ et $f : [0,+\infty[ \longrightarrow \R$ dérivable telle que $f'(x)+a f(x)$ soit bornée sur $[0,+\infty[$.\\
Montrer que $f$ est bornée sur $[0,+\infty[$.
Exercice
1160. Soit $a \in \R^*$. Soit $f$ continue sur $\R$ périodique de période $T \neq 0$. Montrer que l'équation différentielle $y'+ay = f$ admet une et une seule solution sur $\R$, de période $T$.
Exercice
1161. Soit $a,b \in \mathcal{C}(\R,\R)$ et $x_0 \in \R$. Montrer que les tangentes en $x_0$ aux solutions de l'équation différentielle $y'+a(x)y=b(x)$ sont soit toutes parallèles, soit toutes concourantes.
Exercice
1162. Trouver toutes les applications $f:\R\to\R$ deux fois dérivables sur $\R$ telles que \\
\[
f f''-f'^2=1
\]
Exercice
1163. Soit $a,b \in \mathcal{C}(\R,\R)$. On suppose que $a \geqslant 1$ sur $\R$ et $\limplus b(x) = 0$. \\
Montrer que toute solution de l'équation différentielle $y'+a(x)y=b(x)$ vérifie $\limplus y(x) =0$.
Exercice
1164. Déterminer toutes les fonctions $f \in \mathcal{C}^{0}(\R,\R)$ telles que \[ \forall s,t \in \R, \quad f(st)=sf(t)+tf(s) \]
On pourra d'abord supposer qu'une solution $f$ est dérivable, puis montrer que c'est effectivement le cas en intégrant $f$ entre $0$ et $st$.
Exercice 1165. Oral Mines-Pont PC
\\ Trouver toutes les applications $f : \R \to \R$ dérivables en $0$ qui vérifie pour tout $x,y \in \R$, \[ f(x+y)=e^xf(y)+e^yf(x) \]Exercice 1166. Oral X
Trouver toutes les fonctions continues de $\R$ dans $\R$ telles que pour tout $(x,y) \in \R^2$ on ait \[ \integrale{x-y}{x+y}{f(t)}{t} = f(x)f(y) \]
Exercice
1167. Déterminer les applications $f : \R \to \R$, continues, telles que, pour tout $x \in \R$, \[ f(x)=x^2+\integrale{0}{x}{tf(x-t)}{t} \]