Exercices divers
Exercice
1999. En notant $\alpha = \sqrt{\Frac{\pi}{2}}$, résoudre sur $[a,+\infty[$ le problème de Cauchy \[ \begin{cases} ty''-y'+4t^3y = 0 \\ (y(\alpha),y'(\alpha))=(1,1) \end{cases} \]
On pourra effectuer le changement de fonction inconnue $z(t) = y(\sqrt{t})$.
Exercice
2000. Soit $f \in \mathcal{C}^2(\R)$. Montrer qu'il existe au plus une application $g \in \mathcal{C}^2(\R)$ telle que \[ \forall x, g(x) = \integrale{0}{x}{(x-t)g(t)}{t}+f(x) \]
Appliquer alors avec $f=\cos$
Exercice
2001. On considère l'équation $y'=y+x^2y^2$ pour laquelle on admet le théorème suiant :\\
pour tout $(y_0,x_0) \in \R^2$, il existe un unique couple $(I,f)$ appelé solution maximale tel que $f$ soit solution de l'équation sur $I$ avec $f(x_0)=y_0$ et $f$ n'admet pas de prolongement (qui reste solution) à un intervalle qui contient strictement $I$. \\
Donner l'expression des solutions maximales de cette équation.
Exercice 2002. Fonctions de Bessel de première espèce
\\ On pose l'équation différentielle non-linéaire \[ (E_n) : \quad x^2y''+xy'+(x^2-n^2)y = 0\] Soit la suite de fonction $(J_n) \in \mathcal{F}(\R)^{\N}$ telle que $J_0$ soit solution de $(E_0)$ et \[ J_{n+1}(x) = \Frac{nJ_n(x)}{x}-J_n'(x) \]- Montrer que $J_n$ est solution de $(E_n)$. \\
- Montrer que $J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x) = \Frac{2n}{x}J_n(x)$. \\
- En déduire que $J_{n+1}-J_{n-1} = -2J_n'$ puis $\Frac{d}{dx}(x^nJ_n(x)) = x^n J_{n-1}(x)$. \\
- Calculer $J_n(0)(=0)$ pour $n \neq 0$.
Exercice
2003. On cherche à déterminer les applications $f : \R \to \R$ continues, non identiquement nulles, s'annulant en au moins un point telles que \[ \forall (x,y) \in \R^2, \quad f(x+y) +f(x-y) = 2f(x)f(y) \]
- Soit $f$ une solution. Montrer que $f$ est paire, puis qu'elle admet une primitive $F$ impaire. \\
- Montrer qu'il existe $x_0 \in \R$ tel que $\forall y \in \R$, $f(y) = \Frac{F(x_0+y)-F(x_0-y)}{2F(x_0)}$. \\ En déduire que $f$ est $\mathcal{C}^{\infty}$. \\
- Montrer qu'il existe $\mu$ tel que $\forall x \in \R$, $F''(x) = \mu F(x)$. \\
- Achever la résolution de l'exercice.
Exercice
2004. Soit $g$ une fonction continue de $\R$ dans $\R$. \\
On pose $f : x \mapsto \integrale{0}{x}{\sin(x-t)g(t)}{t}$. \\
- Montrer que $f$ est dérivable et que $f'(x) = \integrale{0}{x}{\cos(x-t)g(t)}{t}$. \\
- En déduire que $f$ est solution de l'équation différentielle $y''+y=g(x)$. \\
- Conclure en résolvant l'équation différentielle.
Exercice
2005. Soit $q$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ telle que \[ \exist A \in \R, \; \forall x \geqslant A, \;\; q(x) > 0 \quad \mathrm{et} \quad q'(x) > 0 \]
Montrer que les solutions de $y''+q(x)y=0$ sont bornées au voisinage de $+\infty$. \\
Considérer $z(x)=y^2(x)+\Frac{y'(x)^2}{q(x)}$ pour $x \geqslant A$.
Exercice
2006. Soit $a,b \in \mathcal{C}(\R_+,\R)$ et $y,z \in \mathcal{D}(\R_+,\R)$ tels que \[ \begin{cases} y(0)= z(0) =0 \\ \forall x \in \R, y'(x)=a(x)y(x)+b(x) \\ \forall x \in \R z'(x) \leqslant a(x)z(x)+b(x) \end{cases} \]
Montrer que pour tout $x \in \R_+$, $z(x) \leqslant y(x)$. \\
On pourra poser $w = z-y$ et étudier la fonction $f : x\mapsto \Frac{w(x)}{\exp(\int_{0}^{x}a(t)\mathrm{d}t)}$.
Exercice
2007. Déterminer les morphismes de groupe dérivables de $(\R,+) \to (\C^*, \times)$.
Exercice
2008. \\
- Déterminer toutes les fonctions $f : \R \to \R$ dérivables telles que \[ \forall x,y \in \R, \quad f(x+y)=f(x)f(y) \]
- En déduire l'ensemble des fonctions $f : \R^{*+} \to \R$ dérivables telles que \[ \forall x,y \in \R^{*+}, \quad f(xy)=f(x)f(y) \]
Exercice
2009. Déterminer les fonctions dérivables $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ telles que :
\[
f^2+(1+f')^2 \leqslant 1.
\]
Exercice
2010. Soient $K\in\R^+$, $f,g:[a,b]\to\R$ deux fonctions continues, $g$ est positive. On suppose que
\[
\forall t\in[a,b],\;f(t)\leqslant K+\int_a^t f(s)g(s)\,ds.
\]
Prouver que
\[
\forall t\in[a,b],\;f(t)\leqslant K\exp\parenthese{\int_a^t g(s)\,ds}.
\]
Exercice
2011. Soit $f : \R \to \R$ une application deux fois dérivable telle que \\
$\forall x \in \R,\; f''(x)-2f'(x)+f(x)=2e^x$. \\
- Montrer que si $f'\geqslant 0$, alors $f\geqslant 0$. \\
- La réciproque est-elle vraie ?
Exercice
2012. On considère l'équation différentielle
\[
(E):y''+y=\frac{1}{x}
\]
ainsi que
\[
F:x\mapsto \integrale{0}{+\infty}{\frac{e^{-tx}}{1+t^2}}{t}
\quad\mathrm{et}\quad
G:x\mapsto \integrale{0}{+\infty}{\frac{\sin(t)}{t+x}}{t}.
\]
- Montrer que $F$ est définie et continue sur $\mathbb{R}_+^*$, de limite nulle en $+\infty$. Montrer que $G$ est définie sur $\mathbb{R}_+^*$.\\
- Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on note \[ G_n:x\mapsto \integrale{0}{n}{\frac{\sin(t)}{t+x}}{t}. \] Montrer que $G_n$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$, de limite nulle en $+\infty$. En déduire des propriétés analogues pour $G$.\\
- Montrer que $F$ et $G$ sont solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}_+^*$.\\
- Montrer que : \[ \forall x\in\mathbb{R}_+^*,\quad F(x)=G(x). \] En déduire la valeur de \[ \integrale{0}{+\infty}{\frac{\sin(t)}{t}}{t}. \]
Exercice
2013. Soient $n \geqslant 2$ et $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Montrer l'équivalence entre :\\
\[
\mathrm{(i)}\quad \; \; \; \; \mathrm{toutes}\; \mathrm{les}\; \mathrm{solutions}\; \mathrm{du}\; \mathrm{syst\grave{e}me}\; \mathrm{diff\acute{e}rentiel}\; (S):X'(t)=AX(t)\; \mathrm{sont}\; \mathrm{born\acute{e}es}\; \mathrm{sur}\; \mathbb{R},
\]
\[
\mathrm{(ii)}\quad A\; \mathrm{est}\; \mathrm{diagonalisable}\; \mathrm{et}\; \mathrm{Sp}(A)\subset i\mathbb{R}.
\]
Exercice
2014. Soient $n \geqslant 1$ et $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On note $\|\cdot\|$ la norme euclidienne usuelle sur $\mathbb{R}^n$.\\
Montrer que sont équivalents :\\
\[
\mathrm{(i)}\quad A\; \mathrm{est}\; \mathrm{antisym\acute{e}trique},
\]
\[
\mathrm{(ii)}\quad \mathrm{si}\; t\mapsto X(t)\; \mathrm{est}\; \mathrm{une}\; \mathrm{solution}\; \mathrm{de}\; X'(t)=AX(t),\; \mathrm{alors}\; t\mapsto \|X(t)\|\; \mathrm{est}\; \mathrm{constante}\; \mathrm{sur}\; \mathbb{R}.
\]
Exercice
2015. Soit $p\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ une application non nulle et $y$ une solution non nulle de
\[
(E):y''+p(x)y=0.
\]
- Montrer que $y$ et $y'$ ne peuvent s'annuler en un même réel.\\
- Montrer que les zéros éventuels de $y$ sont isolés, c'est-à-dire que si $y(t)=0$, alors il existe $\alpha > 0$ tel que $t$ soit l'unique zéro de $y$ sur $]t-\alpha,t+\alpha[$.\\
- Ici seulement, $p\geqslant 0$. Montrer que $y$ admet au moins un zéro sur $\mathbb{R}$.\\
- Ici seulement, $p\leqslant 0$. Montrer que $y$ admet au plus un zéro sur $\mathbb{R}$.\\
- Soient $q\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ telle que $p\leqslant q$, et $z$ une solution de \[ z''+q(x)z=0. \] Montrer que $z$ admet un zéro entre deux zéros consécutifs de $y$. En déduire que $z$ admet une infinité de zéros si $q\geqslant 1$.
Exercice
2016. Résoudre le système différentiel linéaire
\[
(S):\left\{
\begin{array}{rcl}
(1+t^2)x'&=&tx+y\\
(1+t^2)y'&=&-x+ty
\end{array}
\right.
\]
Exercice
2017. Soit $(a,b)\in\mathbb{R}^2$, $a < b$ et $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^n$ sur $[a,b]$.\\
Montrer qu'il existe $g$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $[a,+\infty[$, bornée, telle que $g_{|[a,b]}=f$.
Exercice
2018. Prouver que $\sh:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est une bijection dont on déterminera la réciproque, notée $\argsh:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. En déduire les $y\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$ telles que :
\[
(E):(y')^2=y^2+1.
\]
Exercice
2019. Déterminer les fonctions $y:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, deux fois dérivables, telles que :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
y''+|y|=0\\
y(0)=1\\
y'(0)=0
\end{array}
\right.
\]
Exercice
2020. Trouver toutes les applications $f:\R\to\R$ deux fois dérivables sur $\R$ telles que \\
\[
f f''-f'^2=1
\]
Exercice
2021. Déterminer les applications $f : \R \to \R$, continues, telles que, pour tout $x \in \R$, \[ f(x)=x^2+\integrale{0}{x}{tf(x-t)}{t} \]
Exercice
2022. Déterminer toutes les fonctions $f \in C^1(\R,\R)$ telles que :
\[
\forall x \in \R,\quad f'(f(x))f'(x)=1,\quad f(0)=0,\quad f'(0) > 0
\]
Exercice 2023. Oral Mines-Pont PC
\\ Trouver toutes les applications $f : \R \to \R$ dérivables en $0$ qui vérifie pour tout $x,y \in \R$, \[ f(x+y)=e^xf(y)+e^yf(x) \]
Exercice
2024. Soit $y : [0,+\infty[ \longrightarrow \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $y' = e^{-y} - e^{-3y} + e^{-5y}$.\\
Déterminer $\limplus y(x)$ et $\limplus y'(x)$.\\
Exercice
2025. Soit $a \in ]0,+\infty[$ et $f : [0,+\infty[ \longrightarrow \R$ dérivable telle que $f'(x)+a f(x)$ soit bornée sur $[0,+\infty[$.\\
Montrer que $f$ est bornée sur $[0,+\infty[$.
Exercice
2026. Soit $a,b \in \mathcal{C}(\R,\R)$ et $x_0 \in \R$. Montrer que les tangentes en $x_0$ aux solutions de l'équation différentielle $y'+a(x)y=b(x)$ sont soit toutes parallèles, soit toutes concourantes.
Exercice
2027. Déterminer toutes les fonctions $f \in \mathcal{C}^{0}(\R,\R)$ telles que \[ \forall s,t \in \R, \quad f(st)=sf(t)+tf(s) \]
On pourra d'abord supposer qu'une solution $f$ est dérivable, puis montrer que c'est effectivement le cas en intégrant $f$ entre $0$ et $st$.
Exercice
2028. Soit $a,b \in \mathcal{C}(\R,\R)$. On suppose que $a \geqslant 1$ sur $\R$ et $\limplus b(x) = 0$. \\
Montrer que toute solution de l'équation différentielle $y'+a(x)y=b(x)$ vérifie $\limplus y(x) =0$.
Exercice
2029. Soit $a \in \R^*$. Soit $f$ continue sur $\R$ périodique de période $T \neq 0$. Montrer que l'équation différentielle $y'+ay = f$ admet une et une seule solution sur $\R$, de période $T$.