Nombres complexes

Exercice 900. \\
  1. Montrer que si $z \in \U \backslash \{1\}$, alors $i \Frac{1+z}{1-z} \in \R$. \\
  2. Soit $z \in \U \backslash \{-1\}$. Montrer qu'il existe $a \in \R$ tel que $z = \Frac{1+ia}{1-ia}$.
Exercice 901. Résoudre dans $\C$ l'équation $\abs{z+1} = \abs{z} + 1$.
Exercice 902. \\
  1. Montrer que pour tout complexe non nuls $a,b,c$ tels que $\abs{a}=\abs{b}=\abs{c} =1$, $a+b+c = 0 \iff ab+bc+ac = 0$. \\
  2. Montrer que pour tout $a,b,c \in \U$, $\abs{a+b+c} = \abs{ab+bc+ca}$.
Exercice 903. Déterminer $z \in \C$ tels que $z$, $\Frac{1}{z}$ et $1+z$ ont le même module.

Exercice 904. Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire

\\ Soient $z \in \C^*$ et $z' \in \C$. Montrer que $\abs{z+z'} = \abs{z} + \abs{z'} \iff \exist \lambda \in \Rp, z' = \lambda z$.
Exercice 905. Montrer que pour tout $(z,z') \in \C$, $\abs{z} + \abs{z'} \leqslant \abs{z+z'} + \abs{z-z'}$. \\ Etudier le cas d'égalité.
Exercice 906. \\
  1. Montrer que pour tout complexes $a,b$, $\abs{a+b}^2 + \abs{a-b}^2 = 2\abs{a}^2+2\abs{b}^2$. \\
  2. Montrer que, si $\abs{a} \leqslant 1$ et $\abs{b} \leqslant 1$, alors il existe $\varepsilon = 1$ ou $-1$ tel que \[ \abs{a+\varepsilon b} \leqslant \sqrt{2} \]
Exercice 907. Soit $z,z' \in \C$. \\
  1. Montrer que $\abs{z}^2+\abs{z'}^2 = \Frac{1}{2}(\abs{z+z'}^2+\abs{z-z'}^2)$. \\
  2. En déduire que pour tout $z,z',u \in \C^3$ tels que $u^2=zz'$, \[ \abs{z} +\abs{z'} = \abs{\Frac{z+z'}{2}+u} + \abs{\Frac{z+z'}{2}-u} \]
Exercice 908. Soit $z \neq 1$ tel que $\abs{z} \leqslant 1$. Montrer que $\Re\parenthese{\Frac{1}{1-z}} \geqslant \Frac{1}{2}$.
Exercice 909. Soit $n \in \N^*$. \\
  1. Montrer que pour $\alpha = 2^n$, on a pour tout $z,z' \in \C$, $\abs{z+z'}^n \leqslant \alpha(\abs{z}^n+\abs{z'}^n)$. \\
  2. Montrer que pour $n \in \{1,2,3\}$, la constante $\alpha=2^n$ n'est pas optimale.
Exercice 910. Soit $z \in \C$. Montrer que $\abs{z^2-1} \leqslant 8 \implies \abs{z-2} \leqslant 5$.
Exercice 911. Montrer que pour tout $z \in \C$, $\abs{z} \leqslant \abs{z}^2 + \abs{z-1}$.
Exercice 912. Déterminer $\displaystyle \sup_{\abs{z} \leqslant 1} \abs{z^3+2iz}$.
Exercice 913. Soient $n \in \N^*$ et $z_1, \hdots, z_n \in \C$ tels que $\Sum_{k=1}^{n} z_k =0$ et il existe $M \in \R_+$ tel que $\Sum_{k=1}^{n} \abs{z_k}^2 \leqslant M$. \\ Montrer que $\forall k \in \llbracket 1,n \rrbracket, \;\; \abs{z_k} \leqslant \sqrt{\Frac{n-1}{n}}M$.
Exercice 914. Soit $n \geqslant 1$ et Soit $a_1, \hdots, a_n$ et $b_1, \hdots, b_n$ des complexes de module inférieur ou égal à $1$. Montrer que \[ \abs{\Prod_{k=1}^{n} a_k - \Prod_{k=1}^{n} b_k} \leqslant \Sum_{k=1}^{n} \abs{a_k-b_k} \]
Exercice 915. On considère une suite de complexes $(z_n)$ vérifiant la relation de récurrence \\ \[ z_{n+1} = \Frac{1}{2} (z_n + |z_n|). \] Déterminer la limite de $z_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ en fonction de $z_0$.