Racines n-ième

Exercice 916. Calculer la somme et le produit des racines $n$-ièmes de l'unité.
Exercice 917. Soit $n \in \N^*$. Résoudre dans $\C$, $z^n = \bar{z}$.

Exercice 918. CCP

\\ Résoudre dans $\C$ l'équation $(z+i)^n = (z-i)^n$.

Exercice 919. CCP

\\ Calculer, pour $n \geqslant 2$, $\Sum_{\omega \in \U_n} \abs{\omega -1}$.

Exercice 920. Centrale

\\ Montrer que $\sin\parenthese{\Frac{\pi}{5}} = \sqrt{\Frac{5-\sqrt{5}}{8}}$.

Exercice 921. CCP

\\ Soit $n \in \N^*$. Pour $k \in \llbracket 0,n-1\rrbracket$, on pose $z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}$. \\
  1. Montrer que, pour tout $x \in \R \backslash \{1\}$, $\Prod_{k=1}^{n-1} (x-z_k) = \Frac{x^n-1}{x-1}$. \\
  2. En déduire la valeur des produits $C_n = \Prod_{k=1}^{n-1}\cos\parenthese{\frac{k\pi}{n}}$ et $S_n = \Prod_{k=1}^{n-1} \sin\parenthese{\Frac{k\pi}{n}}$.
Exercice 922. Soit $n \in \N \backslash \{0,1\}$. Calculer $\Sum_{k=0}^{n-1} \abs{\omega^{k}-1}^2$ où $\omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}$.
Exercice 923. \\
  1. Calculer $S= \Sum_{\omega_k \in \U_n} \binom n k \omega_k$. \\
  2. Calculer $T =\Sum_{\omega_k \in \U_n} (\omega_k)^p$ pour tout $p \in \N^*$.
Exercice 924. Soient $\omega_0, \hdots, \omega_{n-1}$ les $n$ racines $n$-ième de l'unité. Calculer \[ \Sum_{k=0}^{n-1} \Frac{1}{1-\omega_k} \]
Exercice 925. Calculer pour $n \in \N^*$, la somme $\Sum_{ \omega \in \U_n} (1+\omega)^n$.

Exercice 926. Générateurs de $\U_n$

\\ Soit $n$ un entier naturel non nul. On dit que $\omega \in \U_n$ est une racine primitive $n$-ième de l'unité si $\U_n = \{\omega, \omega^2, \hdots, \omega^n\}$. \\
  1. Déterminer les racines primitives quatrièmes de l'unité. \\
  2. Déterminer une condition générale pour qu'une racine de l'unité soit primitive.
Exercice 927. Soit $n \in \N^*$. On pose $\omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}$. \\ Calculer $\Sum_{p=0}^{n-1}\Sum_{q=p}^{n-1} \binom{q}{p}\omega^{p+q}$.