Racines n-ième

Exercice 1346. Soit $\omega = e^{\frac{i2\pi}{7}}$. \\ Calculer les nombres $A = \omega + \omega^2 + \omega^4$ et $B = \omega^3 + \omega^5 + \omega^6$.
Exercice 1347. On pose $\omega = e^{\frac{2i\pi}{5}}$. \\
  1. Montrer que $1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4 = 0$. \\
  2. On pose $z = \omega + \omega^{-1}$. \\ Déterminer une équation du second degré vérifiée par $z$. \\
  3. En déduire les valeurs de $\cos\parenthese{\Frac{2\pi}{5}}$, $\sin\parenthese{\Frac{2\pi}{5}}$ et $\tan\parenthese{\Frac{2\pi}{5}}$.
Exercice 1348. \\
  1. Montrer que $1+2\cos\parenthese{\Frac{2\pi}{5}}+2\cos\parenthese{\Frac{4\pi}{5}} = 0$. \\
  2. Montrer que $\cos\parenthese{\Frac{2\pi}{5}}$ est solution d'une équation du second degré, puis en déduire les valeurs de $\cos\parenthese{\Frac{2\pi}{5}}$ et $\sin\parenthese{\Frac{2\pi}{5}}$.
Exercice 1349. Soit $\omega \in \U_n \backslash \{1\}$ et soit $S = \Sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\omega^k$. \\ Calculer $(1-\omega)S$ puis déterminer $S$.
Exercice 1350. Soit $\omega \neq 1$ une racine $n$-ème de l'unité avec $n \geqslant 3$. \\
    1. Montrer que $(\omega-1)\left[\omega^{n-2}+2\omega^{n-3}+\hdots+(n-2)\omega+(n-1)\right] = - n$. \\
    2. Montrer que $\abs{1-\omega} > \Frac{2}{n-1}$. \\
  2. Montrer que si $k \in \N^*$ tel que $n \nmid k$, alors $\abs{\sin\Frac{k\pi}{n}} > \Frac{1}{n-1}$.
Exercice 1351. Montrer que $z = \Frac{2+i}{2-i}$ n'est pas une racine $n$-ième de l'unité.
Exercice 1352. Montrer l'équivalence \[ \exists \omega \in \U_n, \;\; 1+ \omega \in \U_n \iff \exists \eta \in \U_n, \;\; 1-\eta \in \U_n \iff 6 \mid n \]
Exercice 1353. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. On considère l’ensemble $U_n$ des racines $n$-ièmes de l’unité. Pour quelles valeurs de $n\in\mathbb{N}^*$ l’application $f:U_n\to U_n$ définie par $f(z)=z^2$ est-elle bijective ?

Exercice 1354. Générateurs de $\U_n$

\\ Soit $n$ un entier naturel non nul. On dit que $\omega \in \U_n$ est une racine primitive $n$-ième de l'unité si $\U_n = \{\omega, \omega^2, \hdots, \omega^n\}$. \\
  1. Déterminer les racines primitives quatrièmes de l'unité. \\
  2. Déterminer une condition générale pour qu'une racine de l'unité soit primitive.
Exercice 1355. Soit $n \in \N^*$. Résoudre dans $\C$, $z^n = \bar{z}$.
Exercice 1356. Soit $n \in \N \backslash \{0,1\}$. Calculer $\Sum_{k=0}^{n-1} \abs{\omega^{k}-1}^2$ où $\omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}$.

Exercice 1357. Centrale

\\ Montrer que $\sin\parenthese{\Frac{\pi}{5}} = \sqrt{\Frac{5-\sqrt{5}}{8}}$.
Exercice 1358. Soit $n \in \N^*$. On pose $\omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}$. \\ Calculer $\Sum_{p=0}^{n-1}\Sum_{q=p}^{n-1} \binom{q}{p}\omega^{p+q}$.

Exercice 1359. CCP

\\ Soit $n \in \N^*$. Pour $k \in \llbracket 0,n-1\rrbracket$, on pose $z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}$. \\
  1. Montrer que, pour tout $x \in \R \backslash \{1\}$, $\Prod_{k=1}^{n-1} (x-z_k) = \Frac{x^n-1}{x-1}$. \\
  2. En déduire la valeur des produits $C_n = \Prod_{k=1}^{n-1}\cos\parenthese{\frac{k\pi}{n}}$ et $S_n = \Prod_{k=1}^{n-1} \sin\parenthese{\Frac{k\pi}{n}}$.
Exercice 1360. Calculer la somme et le produit des racines $n$-ièmes de l'unité.

Exercice 1361. CCP

\\ Calculer, pour $n \geqslant 2$, $\Sum_{\omega \in \U_n} \abs{\omega -1}$.
Exercice 1362. \\
  1. Calculer $S= \Sum_{\omega_k \in \U_n} \binom n k \omega_k$. \\
  2. Calculer $T =\Sum_{\omega_k \in \U_n} (\omega_k)^p$ pour tout $p \in \N^*$.

Exercice 1363. CCP

\\ Résoudre dans $\C$ l'équation $(z+i)^n = (z-i)^n$.
Exercice 1364. Calculer pour $n \in \N^*$, la somme $\Sum_{ \omega \in \U_n} (1+\omega)^n$.
Exercice 1365. Soient $\omega_0, \hdots, \omega_{n-1}$ les $n$ racines $n$-ième de l'unité. Calculer \[ \Sum_{k=0}^{n-1} \Frac{1}{1-\omega_k} \]
Exercice 1366. \\
  1. Résoudre dans $\C$ l'équation $z^3 = 4\sqrt{2}(1+i)$. \\
  2. Soit $n \in \N^*$. Résoudre dans $\C$ l'équation $z^n +1 = 0$.
Exercice 1367. Soit $n \in \N$ tel que $n \geqslant 2$. \\ On note $\ell_n$ la longueur du polygone régulier formé par les racines $n$-ième de l'unité. \\ Déterminer une expression de $\ell_n$ en fonction de $n$ puis montrer que $\limn \ell_n = 2 \pi$.
Exercice 1368. Soit $n \geqslant 1$. On pose \[ \omega=e^{\Frac{2i\pi}{n}} \quad \text{et} \quad G_n=\Sum_{k=0}^{n-1}\omega^{k^2} \]
  1. Calculer $G_n$ pour $n \in \{1,2,3,4\}$.
  2. Pour $p \in \Z$, déterminer \[ \Sum_{k=0}^{n-1}\omega^{pk} \]
  3. Créer une fonction Python Gauss qui prend en entrée la valeur $n$ et renvoie $G_n$. Vérifier à partir d’elle le résultat de la question 1.
  4. Vérifier la validité de la formule \[ G_n=\Sum_{k=0}^{n-1}\omega^{(k+p)^2} \] pour tout $p \in \Z$.
  5. Montrer que \[ G_5=\sqrt{5} \]
Exercice 1369. Soit \[ P=(X+1)^n-1 \] avec $n \in \N^*$.
  1. Déterminer les racines de $P$ et factoriser $P$ dans $\C[X]$.
  2. Calculer \[ \Prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\Frac{k\pi}{n}\right) \]