Polynômes et équations
Exercice 938. CCP
\\- Résoudre dans $\C$ l'équation $z^n = e^{i\frac{\pi}{3}}$ pour $n \in \N^*$. \\
- Résoudre dans $\C$ l'équation $\parenthese{\Frac{z+1}{z-1}}^n + \parenthese{\Frac{z-1}{z+1}}^n = 1$.
Exercice
939. Soit $\alpha \in \left]-\ps{2},\ps{2}\right[$. Résoudre dans $\C$ l'équation \[ \parenthese{\Frac{1+iz}{1-iz}}^3 = \Frac{1+i\tan(\alpha)}{1-i\tan(\alpha)} \]
Exercice
940. Soient $(x,y,z) \in \R^3$ vérifiant $e^{ix}+e^{iy}+e^{iz} = 0$. \\
Montrer que $e^{2ix}+e^{2iy}+e^{2iz} = 0$.
Exercice
941. Montrer que les solutions de l'équation $1+z+z^2+\hdots+z^{n-1}-nz^{n} = 0$ sont de module inférieur ou égal à $1$.
Exercice 942. Polynômes de Tchebychev de première espèce
\\ Montrer que pour tout $n \in \N$, il existe un polynôme $T_n$ tel que \[ \forall \theta \in \R, \cos(n\theta) = T_n(\cos(\theta)) \]Exercice 943. Polynômes de Tchebychev de seconde espèce
\\ Soit $\theta \in \R$ et $n \in \N$. \\- Calculer $\sin(4\theta)$ sous forme d'un produit de $\sin(\theta)$ par un polynôme en $\cos(\theta)$. \\
- Montrer dans le cas général que $\sin((n+1)\theta)$ s'écrit en fonction de $\sin(\theta)$, $\cos(\theta)$ et $n$ sous la forme $\sin((n+1)\theta) = \sin(\theta) U_n(\cos(\theta))$ avec $U_n$ un polynôme.
Exercice 944. CCP
\\ Soient $a \in ]0,\pi[$ et $n \in \N^*$. Factoriser dans $\C[X]$ le polynôme \[ X^{2n}-2\cos(na)X^{n} + 1 \]Exercice 945. Centrale-Supélec
\\- Trouver trois éléments $a,b,c \in \C$ non tous réels, tels que $a+b+c$, $a^2+b^2+c^2$ et $a^3+b^3+c^3$ soient trois réels. \\
- Montrer que si $a,b,c$ sont trois éléments de $\C$ de modules différents tels que $a+b+c \in \R$, $a^2+b^2+c^2 \in \R$ et $a^3+b^3+c^3 \in \R$, alors $a,b,c$ sont trois réels.
Exercice
946. On considère le polynôme $P$ donné par $P(X) = 1+2X+3X^2+\hdots+nX^{n-1}$. Calculer $P(\omega)$ où $\omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}$.
Exercice
947. Soit $n \in \N^*$ et $P \in \C[X]$ un polynôme de degré $n$, tel que $P(0)=1$ et $P(1)=0$. \\
On note, pour tout $k \in \llbracket 0,n \rrbracket$, $\omega_k = e^{i\frac{2ik\pi}{n+1}}$. \\
- Montrer que $P(\omega_k) = n+1$. \\
- En déduire que $\displaystyle \sup_{\abs{z}=1} \abs{P(z)} \geqslant 1+\Frac{1}{n}$.