Géométrie et complexes

Exercice 949. Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan d'affixes respectives $a$ et $b$. Donner l'équation complexe de la droite $(AB)$.

Exercice 950. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que \[ \arg\parenthese{\Frac{z+i}{z-i}} \equiv \ps{4} \modulo{\pi} \]

Exercice 951. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z+\bar{z} = \abs{z}$.

Exercice 952. Déterminer l'ensemble des $z \in \C$ tels que les points d'affixes $1+i$, $z+i$ et $1+iz$ soient alignés.

Exercice 953. Transformations du plan

\\ Donner l'écriture complexe des transformations géométriques suivantes : \\

1. Translation de vecteur d'affixe $2-4i$. \\
2. Homothétie de centre d'affixe $2i$ et de rapport $\Frac{1}{3}$. \\
3. Rotation de centre d'affixe $-1$ et d'angle $\Frac{3\pi}{4}$. \\
4. Similitude directe de centre d'affixe $2$, de rapport $4$ et d'angle $\ps{4}$.

Exercice 954. Caractériser géométriquement la similitude définie par $z \mapsto (-1-\sqrt{3}i)z+2-\sqrt{3}+(2+\sqrt{3})i$.

Exercice 955. Soit $ABCD$ un quadrilatère. On construit, à l'extérieur du quadrilatère, sur les côtés $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, quatre carrés et on nomme $M$, $N$, $P$, $Q$ leurs centres respectifs. \\ Montrer que $MP = NQ$ et que $(MP) \perp (NQ)$.

Exercice 956. \\

1. Montrer qu'un triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $a+jb+j^2c=0$. \\
2. En déduire qu'un triangle $ABC$ est équilatéral si et seulement si $a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc)=0$.

Exercice 957. Soit $ABC$ un triangle du plan. On construit les points $D$, $E$, $F$ extérieurs au triangle $ABC$ tels que les triangles $ABD$, $BCE$, $CAF$ soient rectangles isocèles en $D$, $E$ et $F$ respectivement. \\ Montrer que les triangles $ABC$ et $DEF$ ont le même centre de gravité.

Exercice 958. Soit $ABC$ un triangle direct. Soit $D$ le centre d'un carré de côté $AB$, de sorte que $D$ et $C$ soient du même côté de la droite $(AB)$ et soit $E$ le centre d'un carré de côté $BC$, de sorte que $E$ et $A$ ne soient pas du même côté de la droite $(BC)$. \\ Déterminer l'angle formé entre la droite $(AC)$ et la droite $(DE)$.

Exercice 959. Soit $n \in \N$ avec $n \geqslant 3$ et $(\alpha,\beta,\gamma) \in \U^3$ tel que $\alpha^n = \beta^n = \gamma^n = 1$ et $\alpha+\beta+\gamma=0$. Montrer que $n$ est un multiple de $3$.

Exercice 960. Soit $ABC$ un triangle direct. On coupe chaque côté en trois parts égales et on construit sur le tiers du milieu un triangle équilatéral extérieur au triangle $ABC$, de sommets respectifs $D$, $E$ et $F$ ($D$ est construit à partir du segment $[AB]$, $E$ à partir de $[BC]$ et $F$ à partir de $[AC]$). \\ Montrer que les deux triangles $ABC$ et $DEF$ ont le même centre de gravité. \\ Montrer que $DEF$ est équilatéral.