Exercices divers

Exercice 961. Inégalité triangulaire généralisée

\\ Soit $n \in \N$. Montrer que pour tout complexes $(z_1,\hdots,z_n) \in (\C^*)^n$, \[ \abs{\Sum_{k=1}^{n}z_k} = \Sum_{k=1}^{n} \abs{z_k} \iff \exist \theta \in ]-\pi,\pi[, \;\; \forall k \in \llbracket1,n \rrbracket, \;\; z_k = \abs{z_k}e^{i\theta} \]
Exercice 962. Soit $f : \C\backslash\{2\} \to \C$ telle que $f(z) = \Frac{z}{z-2}$. \\ Trouver $p \in \C$ tel que $f$ induise une bijection $\varphi : \C\backslash\{2\} \to \C\backslash \{p\}$, et exprimer la réciproque $\varphi^{-1}$.
Exercice 963. Montrer que $f : z \mapsto -z \Frac{1-\bar{z}}{1-z}$ est une involution de $\mathscr{D}_{O, 1}$.
Exercice 964. Déterminer l'image par l'application $f : z \mapsto \Frac{z+1}{z-1}$ du quart de plan $P = \{z \in \C, \;\; \Re(z) > 0, \;\; \Im(z) > 0 \}$.
Exercice 965. Soient $P = \{z \in \C / \mathrm{Im}\,(z) > 0\}$, $D = \{ z \in \C / \abs{z} < 1\}$ et $f : \C \backslash \{i\} \to \C$ définie par \[ f(z) = \Frac{z-i}{z+i} \]
  1. Montrer que $f(P) \subset D$.\\
  2. Montrer que $f$ est bijective de $P$ dans $D$.
Exercice 966. \\
  1. On pose $A = \{ n^2+m^2, \;\; (n,m) \in \Z^2 \}$. \\ Montrer que $A$ est stable par produit. \\
  2. On pose $A' = \{ n^2+m^2+p^2, \;\; (n,m,p) \in \Z^3 \}$. \\ Montrer que $15 \notin A'$ et que $A'$ n'est pas stable par produit.
Exercice 967. Déterminer $a,b,c,d \in \C$ tels que, pour tout $z \in \C$, $az+b = (cz+d)\bar{z}$.
Exercice 968. Soit $m \in \N$. Calculer $\integrale{0}{\pi}{\sin^{2m}(t)\cos(2mt)}{t}$.
Exercice 969. Montrer que pour tout $z \in \C$, \[ \parenthese{1+\Frac{z}{n}}^{n} \to \exp(z) \]
Exercice 970. Soient $z_1, \hdots, z_n$ des nombres complexes tels que $\abs{z_1} + \abs{z_2} + \hdots + \abs{z_n} = 1$. Montrer qu'il existe un sous-ensemble $S$ de $\{z_1,\hdots,z_n\}$ tel que $\abs{\Sum_{z \in S} z} \geqslant \Frac{1}{4}$.