Sommes et complexes
Exercice
928. Montrer que \[ \forall n \in \N^*, \quad \Sum_{k=0}^{n-1} \cos\parenthese{\Frac{(2k+1)\pi}{2n+1}} = \Frac{1}{2} \]
Exercice
929. Pour $n \in \N$ et $(a,b) \in \R^2$, calculer \[ C_n = \Sum_{k=0}^{n} \cos(a+kb) \quad et \quad S_n = \Sum_{k=0}^{n} \sin(a+kb) \]
Exercice
930. Calculer pour tout $\theta \in \R$ et $n \in \N$, \[ S_n = \Sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos{k\theta} \quad et \quad T_n = \Sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\sin(k\theta) \]
Exercice
931. Linéariser $\sin^{n}(\theta)$ pour $n \in \N^*$.
Exercice 932. Oral X PC
\\ Montrer que pour tout $n \in \N^*$, \[ \sum_{k=1}^{n} \abs{\cos(k)} \geqslant \Frac{n}{4} \]
Exercice
933. Soit $n \in \N^*$ et $\theta \in \R$. \\
- Etablir $\Sum_{k=n+1}^{2n} \binom{2n}{k} e^{2i(n-k)\theta} = \Sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n}{k} e^{-2i(n-k)\theta}$. \\
- Montrer que $\cos^{2n}(\theta) = \Frac{1}{2^{2n}}\parenthese{\binom{2n}{n}+2\Sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n}{k}\cos(2(n-k)\theta)}$.
Exercice
934. Soit $n \in \N^*$. Calculer les trois sommes \[ A_n = \Sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \equiv 0 \modulo{3}}} \binom{n}{k}, \quad B_n = \Sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \equiv 1 \modulo{3}}} \binom{n}{k}, \quad C_n = \Sum_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \equiv 2 \modulo{3}}} \binom{n}{k} \]
Exercice
935. Calculer pour $n \in \N$ \[ S_n = \Sum_{k=0}^{n} \displaystyle \binom{2n}{2k}(-1)^{k}2^{k} \]
Exercice 936. Noyaux de Dirichlet et de Fejér
\\ Pour $x\in\R$, $n\in\N$ et $N\in\N$, calculer \[ D_n(x)=\sum_{k=-n}^{n} e^{ikx}, \quad F_N(x)=\frac{1}{N+1}\sum_{n=0}^{N} D_n(x). \]
Exercice
937. Soit $q \in \R$. Calculer les sommes \[ A = \Sum_{k=1}^{n} q^k \cos(kx) \quad et \quad B = \Sum_{k=1}^{n} q^k \sin(kx) \]