Calcul de primitives

1. $\integrale{}{}{\cos{t}\sin{t}}{t}$ \\
2. $\integrale{}{}{\tan{t}}{t}$ \\
3. $\integrale{}{}{\cos^3{t}}{t}$

1. $\integrale{}{}{te^{t^2}}{t}$ \\
2. $\integrale{}{}{\Frac{\ln{t}}{t}}{t}$ \\
3. $\integrale{}{}{\Frac{1}{t\ln{t}}}{t}$.

1. \[ \integrale{}{}{(t^2-t+1)e^{-t}}{t}. \]
2. \[ \integrale{}{}{(t-1)\sin t}{t}. \]
3. \[ \integrale{}{}{(t+1)\ch t}{t}. \]

1. $f(x)=x^2-3+\dfrac{1}{x}$.
2. $f(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{4}{x^3}$.
3. $f(x)=\dfrac{4}{x^n}+e^{-3x}$ avec $n\geqslant 2$.
4. $f(x)=\dfrac{3}{e^{2x}}+\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.
5. $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}+\dfrac{2x}{1+x^2}$.
6. $f(x)=\sin(e^x)e^x+\dfrac{\cos(\ln(x))}{x}$.
7. $f(x)=\cos(x^2+x+1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$.
8. $f(x)=\ln(x+\ln(x))\dfrac{x+1}{x}$.
9. $f(x)=\dfrac{1}{(2x-3)^4}$.
10. $f(x)=(1+\tan^2(\cos(x)))\sin(x)$

1. Calculer $\integrale{}{}{\Frac{\sin^3{x}}{\cos^2{x}}}{x}$. \\
2. Calculer $\integrale{}{}{\Frac{1}{\cos{x}}}{x}$. \\
3. Calculer $\integrale{}{}{\Frac{1}{3+\cos^2{x}}}{x}$.

1. $\integrale{}{}{\cos^4{x}}{x}$. \\
2. $\integrale{}{}{\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)}{x}$. \\
3. $\integrale{}{}{\sin^2{x}\cos^2{x}}{x}$.

1. $\integrale{}{}{\Frac{1}{it+1}}{t}$ \\
2. $\integrale{}{}{e^t\cos{t}}{t}$ \\
3. $\integrale{}{}{t\sin{t}e^t}{t}$

1. \[ \integrale{}{}{t\ln t}{t}. \]
2. \[ \integrale{}{}{t\arctan t}{t}. \]
3. \[ \integrale{}{}{t\sin^3 t}{t}. \]

1. \[ \integrale{}{}{\dfrac{1}{\sqrt{t+\sqrt{t^3}}}}{t}. \]
2. \[ \integrale{}{}{\dfrac{\ln t}{t+t(\ln t)^2}}{t}. \]
3. \[ \integrale{}{}{\dfrac{e^{2t}}{e^t+1}}{t}. \]

1. Donner une primitive de $f$ dans les cas suivants :
   1. $f$ définie par $f(x)=x^3-\dfrac{4}{x^3}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
   2. $f$ définie par $f(x)=e^{4x-3}+\dfrac{1}{x}$ pour tout $x\in\mathbb{R}^*$.
   3. $f$ définie par $f(x)=x\sin(x^2+1)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
   4. $f$ définie par $f(x)=\dfrac{xe^{x^2}}{e^{x^2}+1}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
2. 1. Calculer la dérivée de la fonction $g$ définie par \[ g(x)=(1+x^2)\arctan(x) \] pour tout $x\in\mathbb{R}$.
   2. En déduire une primitive de $x\mapsto 2x\arctan(x)$.
   3. En déduire une primitive de $x\mapsto 2e^x(e^x+1)\arctan(e^x+1)$.

1. $\displaystyle \int \Frac{1}{x}\,\sqrt{\Frac{1-x}{1+x}}\;dx$.\\
2. $\displaystyle \int \Frac{x-1}{\sqrt{x^2+1}}\;dx$.\\
3. $\displaystyle \int \Frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}}\;$.\\

1. $\integrale{1/a}{a}{\Frac{\arctan{x}}{x}}{x}$ pour $a > 1$. \\
2. $\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\ln(1+\tan{x})}{x}$ \\
3. $\integrale{0}{1}{\Frac{\ln(1+x)}{1+x^2}}{x}$ \\
4. $\integrale{0}{1}{\Frac{\arctan{x}}{1+x}}{x}$

Exercice 2395. Primitives en $\sh$ et $\ch$

1. $\integrale{}{}{\sh^4{x}}{x}$ \\
2. $\integrale{}{}{\ch{x}\ch{3x}}{x}$ \\
3. $\integrale{}{}{\Frac{1}{\sh{x}\ch^3{x}}}{x}$.

Exercice 2396. Changements de variables

1. $\integrale{}{}{\Frac{3+\ln{x}}{(4+\ln{x})^2}}{x}$ \\
2. $\integrale{}{}{\Frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x+1}}}{x}$ \\
3. $\integrale{}{}{\sqrt{x^2\sqrt{x}+x}}{x}$

Exercice 2397. IPP et changement de variables

1. $\integrale{}{}{\Frac{\arcsin(\sqrt{x})}{(1-x)^{\frac{3}{2}}}}{x}$ \\
2. $\integrale{}{}{\Frac{\arctan(x)}{x^2}}{x}$ \\
3. $\integrale{}{}{\Frac{\arctan{x}}{x^3}}{x}$.

Exercice 2398. Règles de Bioches n°2

1. Calculer $\integrale{}{}{\Frac{\sin^3{x}}{\cos^{8}{x}}}{x}$. \\
2. Calculer $\integrale{}{}{\Frac{\cos^3{x}}{(2+\sin{x})^2}}{x}$. \\
3. Calculer l'intégrale $\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\Frac{\sin{x}}{\sin{x}+\cos{x}}}{x}$. \\
4. Calculer l'intégrale $\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\Frac{1}{3+\cos{x}}}{x}$.

Exercice 2399. Avec radicaux

1. Calculer une primitive de $\displaystyle \int \Frac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}$ en indiquant l’ensemble de validité.\\
2. Calculer une primitive de $\int \Frac{dx}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1+x^2}}$ et indiquer l’ensemble de validité.