Exercices divers

Exercice 2449. \\
  1. Déterminer toutes les fonctions $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\R$ telles que \[ \forall(x,y)\in\R^2,\quad f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y). \]
  2. Reprendre la question précédente dans le cas où $f$ n'est que continue sur $\R$.
Exercice 2450. Soit $f$ une fonction dérivable de $\R$ dans $\R$. On suppose \[ \exists k\in\R^{+*},\;\forall x\in\R,\;|f'(x)|\leqslant k|f(x)|. \] Montrer \[ \exists M\in\R^{+*},\;\forall x\in\R,\;|f(x)|\leqslant Me^{k|x|}. \]
Exercice 2451. Soit $I$ un intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}$ et $f:I\to\mathbb{R}$ continue sur $I$, telle que \[ \widetilde{f}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \] existe pour tout $x\in I$. \\ Montrer que si \[ \widetilde{f}\geqslant 0, \] alors $f$ est croissante sur $I$.
Exercice 2452. Soit $f\in C^n(\mathbb{R},\mathbb{C})$. Pour tout $k\in[0,n]$, on pose \[ M_k=\sup_{x\in\mathbb{R}}|f^{(k)}(x)|. \] On suppose que $M_0$ et $M_n$ sont finis. Montrer que pour tout $k\in[0,n]$, $M_k$ est fini et \[ M_k\leqslant 2^{\Frac{k(n-k)}{2}}M_0^{1-\Frac{k}{n}}M_n^{\Frac{k}{n}}. \]
Exercice 2453. Soit $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continue et croissante. On pose \[ F(x)=\integrale{0}{x}{f(t)}{t}. \]
  1. On suppose qu'il existe \[ \alpha > 0 \] tel que \[ F(x)\sim \frac{x^\alpha}{\alpha} \] en $+\infty$. Montrer que \[ f(x)\sim x^{\alpha-1}. \]
  2. On suppose, toujours en $+\infty$, que \[ F(x)=\frac{x^2}{2}+o(x). \] Montrer que \[ f(x)=x+o(\sqrt{x}). \]
Exercice 2454. Soit $[a,b]$ un segment de $\mathbb{R}$ et $\sigma = \{x_0=a < x_1 < \dots < x_n=b\}$ une subdivision de $[a,b]$. On considère l'ensemble $S$ des applications de classe $C^2$ de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ dont la restriction à chaque segment $[x_i,x_{i+1}]$ est un polynôme de degré au plus $3$. Un élément de $S$ est appelé fonction spline cubique.
  1. Déterminer la nature de $S$ et sa dimension.
  2. Pour $y=(y_0,\dots,y_n)\in\mathbb{R}^{n+1}$ on pose \[ T(y)=\{\varphi \in S \mid \forall i\in[0,n],\; \varphi(x_i)=y_i\}. \] Déterminer la nature de $T(y)$ et sa dimension.
  3. Pour $(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2$, montrer l'existence et l'unicité d'une fonction $\varphi \in T(y)$ telle que \[ \varphi'(a)=\lambda \quad \text{et} \quad \varphi'(b)=\mu. \]
Exercice 2455. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de classe $C^\infty$ telle que \[ f(0)=0. \]
  1. Montrer que l'application \[ g : x\mapsto \frac{f(x)}{x} \] se prolonge en une application de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$. \\
  2. On suppose de plus que \[ f''(0)\neq0 \] et que \[ f(x) > 0 \] pour $x\neq0$. Montrer qu'il existe $g\in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ telle que \[ g^2=f. \]
Exercice 2456. Soit $f : \R \to \R_+$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$. \\
  1. Soit $x_0 \in \R$ tel que $f(x_0) > 0$. Montrer que $\sqrt{f}$ est dérivable en $x_0$ puis exprimer $(\sqrt{f})'(x_0)$ en fonction de $f(x_0)$ et $f'(x_0)$. \\
  2. Soit $x_0 \in \R$ tel que $f(x_0)=0$. \\ Montrer que $\sqrt{f}$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si $f''(x_0)=0$ et préciser la valeur de $(\sqrt{f})'(x_0)$ dans ce cas.
Exercice 2457. Soit $f$ une fonction continue de $\R_+$ dans $\R$. Supposons que $f$ vérifie : \[ \forall (x,y)\in \R_+^2,\quad f(x+y)=f(x)f(y) \]
  1. Calculer $f(0)$ et montrer que $\forall t \in \R_+$, $f(t)\geqslant 0$.
  2. Supposons qu'il existe $a \in \R_+$ tel que $f(a)=0$. Démontrer que : \[ \forall n \in \N,\quad f\left(\Frac{a}{2^n}\right)=0 \] En déduire que $f(0)=0$. Conclure.
  3. Soit $F$ la primitive de $f$ s'annulant en $0$. Démontrer que : \[ \forall (x,y)\in \R_+^2,\quad F(x+y)-F(x)=F(y)f(x) \] Démontrer que : \[ \forall y \in \R_+^*,\quad F(y) > 0 \] En déduire que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R_+^*$.
  4. Démontrer que : \[ \forall x \in \R_+^*,\quad f'(x)=f'(0)f(x) \] En déduire toutes les fonctions vérifiant l'équation fonctionnelle.
Exercice 2458. Calculer $\lim_{x\to 1}\Frac{x^3-2x^2-x+2}{x^3-7x+6}$ et $\lim_{x\to 0}(1-\cos x)\cotan x$.
Exercice 2459. Pour tout $n\in\N$, posons $f_n:\R\to\R$ définie par $f_n(x)=x^n+x-1$.\\
  1. Soit $n\in\N$. Etudier $f_n$ sur $[0,1]$. En déduire qu'il existe une unique $x_n\in[0,1]$ telle que $f_n(x_n)=0$.\\
  2. Montrer que $(x_n)$ est croissante.\\
  3. En déduire que $(x_n)$ converge et calculer sa limite.
Exercice 2460. À l’aide du théorème des accroissements finis déterminer\\ \[ \lim_{x \to +\infty} \Bigl((x+1)\,e^{1/(x+1)} - x\,e^{1/x}\Bigr). \]
Exercice 2461. Montrer que\\ \[ \forall x > 0,\;\Frac{1}{1+x} < \ln(1+x) - \ln(x) < \Frac{1}{x}. \]\\ En déduire, pour $k \in \N \setminus \{0,1\}$,\\ \[ \lim_{n \to +\infty} \Sum_{p=n+1}^{kn} \Frac{1}{p}. \]
Exercice 2462. Soit $f:[a,b]\to\R$. On suppose que :\\ (i) $\exists !\,c \in ]a,b[$ tel que $f(c)=0$.\\ (ii) $f$ est de classe $C^2$ sur $[a,b]$.\\ (iii) $f(a) < 0$ et $f(b) > 0$.\\ (iv) $\forall x \in [a,b],\; f'(x) > 0$.\\ (v) $\forall x \in [a,b],\; f''(x) \geqslant 0$.\\ On définit $\varphi:[a,b]\to\R$ par $\varphi(x)=x-\Frac{f(x)}{f'(x)}$.\\
  1. Montrer que $c$ est l'unique point fixe de $\varphi$.\\
  2. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $b$. Montrer que le point d'annulation $x_1$ de cette tangente vaut $x_1=\varphi(b)$.\\
  3. Montrer que le segment $[c,b]$ est stable par $\varphi$ et que $\forall x \in [c,b],\; \varphi(x)\leqslant x$.\\
  4. On pose $x_0=b$ et pour tout $n \geqslant 0$, $x_{n+1}=\varphi(x_n)$. Montrer que $(x_n)$ est décroissante et converge vers $c$.\\
  5. Posons $M_2=\sup_{[a,b]}|f''|=\max_{[a,b]}|f''|$ et $m_1=\inf_{[a,b]}|f'|=\min_{[a,b]}|f'|$. Justifier l'existence de $M_2$ et $m_1$ ainsi que l'inégalité stricte $m_1>0$.\\
  6. On pose $x_n=c+u_n$. Montrer que $u_{n+1}=\Frac{u_nf'(c+u_n)-f(c+u_n)}{f'(c+u_n)}$.\\
  7. On pose $K=\Frac{M_2}{2m_1}$. En utilisant l'égalité de Taylor-Lagrange en posant $a=c+u_n$ et $b=c$, montrer que $0\leqslant u_{n+1}\leqslant Ku_n^2$.
Exercice 2463. Soit $f$ une fonction dérivable en $0$ avec $f(0)=0$.\\ Déterminer\\
  1. $\lim_{x\to 0}\Frac{f(\alpha x)-f(x)}{x}$, où $\alpha$ est un réel fixé.\\
  2. $\lim_{n\to+\infty}\Sum_{k=1}^{n} f\parenthese{\Frac{1}{k+n}}$.\\
  3. $\lim_{n\to+\infty}\Sum_{k=1}^{n} f\parenthese{\Frac{k}{n^2}}$.
Exercice 2464. Soit $f\in\R^{[a,b]}$ trois fois dérivable sur $[a,b]$ avec $\forall x\in[a,b],\;f'(x)>0$.\\ On pose $\forall x\in[a,b],\;u(x)=(f'(x))^{-1/2}$ et $v(x)=u(x)f(x)$.\\ Montrer que $\Frac{u''}{u}=\Frac{v''}{v}$.

Exercice 2465. X PC

\\ Soit $f \in C^{2}(\R^{+},\R)$ telle que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = a \in \R$.\\
  1. Si $f''$ est bornée, que dire de $f'(x)$ quand $x \to +\infty$ ?\\
  2. Le résultat subsiste-t-il sans l’hypothèse du 1 ?

Exercice 2466. Théorème de Darboux

\\ Montrer que toute fonction dérivée sur un intervalle $I$ vérifie la propriété des valeurs intermédaires.
Exercice 2467. Soit $f:x\mapsto \arctan(x)$.\\
  1. Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\R$ et montrer que $\forall x \in \R,\;f^{(n)}(x)=(n-1)!\cos^n(f(x))\sin\left(nf(x)+\Frac{n\pi}{2}\right)$.\\
  2. En déduire les zéros de $f^{(n)}$.
Exercice 2468. Soit $f : \R^+ \to \R$ de classe $\C^2$ telle que $f'(0)=0$. \\ Montrer qu'il existe $g : \R^+ \to \R$ de classe $\C^1$ telle que \\ $\forall x \in \R^+,\, f(x)=g(x^2)$.
Exercice 2469. Soit $f \in C^2([a,b],\R)$ et la suite $(u_n)$ définie pour $n$ non nul par\\ \[ u_n=\Frac{b-a}{n}\Sum_{k=0}^{n-1}f'\parenthese{a+\Frac{k}{n}(b-a)}. \] Montrer que $\limn u_n=f(b)-f(a)$.
Exercice 2470. Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $[a,b] \to \R$ continues. On pose pour $t \in \R$, \[ h(t) = \underset{x \in [a,b]}{\sup} \{f(x)+tg(x)\} \] Montrer que $h$ est Lipschitzienne.
Exercice 2471. Soit $n \in \N$, $p,q \in \N$ et soit $f : x \mapsto \Frac{(x-p)^n(x-q)^n}{n!}$.\\ Montrer que les dérivées successives de $f$ en $p$ et $q$ sont toutes entières.

Exercice 2472. Règle de L'hospital

\\ Soient $f,g : [a,b] \to \R$ deux fonctions dérivables.\\ On suppose que pour tout $x \in [a,b]$, on a $g'(x) \neq 0$.\\
  1. Montrer que $g(a) \neq g(b)$.\\
  2. Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que\\ \[ \Frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \Frac{f'(c)}{g'(c)}. \]

Exercice 2473. X MP

\\ Soit $f : ]0,1] \to \R$ dérivable. On suppose de $f(x) \to \ell$ et $x f'(x) \to \ell'$ quand $x \to 0$.\\ Que dire de $\ell'$ ?

Exercice 2474. Théorème de Darboux

\\ Soient $I$ un intervalle de $\R$ et $f : I \to \R$ dérivable sur $I$. Montrer que $f'(I)$ est un intervalle de $\R$. Pour cela, soient $(a,b)\in I^{2}$ tels que $a < b$ et $f'(a) < f'(b)$, et soit $c \in ]f'(a)\,;\,f'(b)[$. On pourra considérer l'application \[ g : [a,b] \to \R,\quad g(x)=f(x)-cx. \]
Exercice 2475. Démontrer que la fonction $f$ définie sur $(\R_+^*)^2$ par $f(x,y)=\Frac{xy}{(1+x)(1+y)(x+y)}$ a un unique extremum local.
Exercice 2476. Soit $f : [0,1] \to \R$ une fonction de classe $C^1$.\\ On suppose $f(0)=0$ et pour tout $x \in [0,1]$, $f'(x) > 0$.\\
  1. Montrer qu'il existe $m > 0$ tel que\\ \[ \forall x \in [0,1],\; f(x) \geqslant m x. \]
  2. Le résultat précédent est il encore vrai si l'on remplace l'hypothèse $f$ de classe $C^1$ par $f$ dérivable ?
Exercice 2477. Soient $a \in ]0,+\infty[$ et $f : [0,a] \to \R$ de classe $C^{1}$ telle que $f(0)=0$. Montrer qu'il existe $c \in ]0,a]$ tel que \[ f'(c)=\Frac{2f(a)+a f'(a)}{3a}. \]