Exercices divers

Exercice 3060. Règle de L'hospital

1. Montrer que $g(a) \neq g(b)$.\\
2. Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que\\ \[ \Frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \Frac{f'(c)}{g'(c)}. \]

1. Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum sur $I$.
2. Calculer $f(0)$ et en déduire le minimum de $f$ sur $I$.
3. Montrer que $f$ atteint son maximum sur $]0,1[$ et le calculer

1. Soit $f$ bijective de $I$ vers $J$, dérivable, telle que pour tout $x\in I$, \[ f'(x)=\cos^2(f(x))+1. \] Justifier rapidement que $f^{-1}$ est dérivable et donner $(f^{-1})'(y)$ pour tout $y\in J$.
2. Soit $(u_n)$ une suite telle que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ u_{n+1}\leqslant \dfrac{u_n}{3}. \] Justifier que $u_n\to 0$ en montrant que \[ u_n\leqslant \dfrac{u_0}{3^n}. \]
3. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que \[ f(a)=a \quad \text{et} \quad f(b)=b. \] Justifier avec un théorème du cours qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que \[ f'(c)=1. \]

1. Soit $x_0 \in \R$ tel que $f(x_0) > 0$. Montrer que $\sqrt{f}$ est dérivable en $x_0$ puis exprimer $(\sqrt{f})'(x_0)$ en fonction de $f(x_0)$ et $f'(x_0)$. \\
2. Soit $x_0 \in \R$ tel que $f(x_0)=0$. \\ Montrer que $\sqrt{f}$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si $f''(x_0)=0$ et préciser la valeur de $(\sqrt{f})'(x_0)$ dans ce cas.

1. Soit $n\in\N$. Etudier $f_n$ sur $[0,1]$. En déduire qu'il existe une unique $x_n\in[0,1]$ telle que $f_n(x_n)=0$.\\
2. Montrer que $(x_n)$ est croissante.\\
3. En déduire que $(x_n)$ converge et calculer sa limite.

Exercice 3066. Théorème de Darboux

1. Montrer qu'il existe $m > 0$ tel que\\ \[ \forall x \in [0,1],\; f(x) \geqslant m x. \]
2. Le résultat précédent est il encore vrai si l'on remplace l'hypothèse $f$ de classe $C^1$ par $f$ dérivable ?

1. On considère une fonction $f$ dont la dérivée est constante.\\ Montrer qu'il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, \[ f(x)=\alpha x+\beta. \]
2. On considère une fonction dérivable $f$ telle que, pour tous $x,y\in\mathbb{R}$, \[ f(x+y)=f(x)+f(y). \] En fixant $y$ et en dérivant selon $x$, trouver toutes les fonctions possibles.
3. Faire de même si, pour $f$ dérivable encore, \[ f(x+y)=f(x)f(y). \] On vérifiera que si $f$ n'est pas la fonction nulle alors $f$ ne s'annule pas, puis qu'elle est positive, et conclure en utilisant $\ln\circ f$

1. Les fonctions suivantes sont-elles dérivables en $0$ ? \[ f(x)=\dfrac{x}{1+|x|}, \] \[ g(x)= \begin{cases} x\sin(x)\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) & \mathrm{si}\ x\neq 0,\\ 0 & \mathrm{si}\ x=0, \end{cases} \] \[ h(x)=|x|\sin(x). \]
2. Soit $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ dérivable vérifiant $f(0)=f(1)$ avec $f'$ continue en $0$ et en $1$.\\ On définit $g$ sur $[0,1]$ par \[ g(x)= \begin{cases} f(2x) & \mathrm{si}\ 0\leqslant x\leqslant \dfrac{1}{2},\\ f(2x-1) & \mathrm{si}\ \dfrac{1}{2} Démontrer les inégalités suivantes :
   1. Pour tous $x,y\in\mathbb{R}$, \[ |\arctan(x)-\arctan(y)|\leqslant |x-y|. \]
   2. Pour tout $x\geqslant 0$, \[ x\leqslant e^x-1\leqslant xe^x. \]
3. 1. Démontrer que, pour tout $x > 0$, \[ \dfrac{1}{x+1}<\ln(x+1)-\ln(x)<\dfrac{1}{x}. \]
   2. On pose \[ v_n=\dfrac{1}{n+1}+\cdots+\dfrac{1}{2n}. \] Démontrer que \[ \ln(2n+1)-\ln(n+1)

1. Déterminer la nature de $S$ et sa dimension.
2. Pour $y=(y_0,\dots,y_n)\in\mathbb{R}^{n+1}$ on pose \[ T(y)=\{\varphi \in S \mid \forall i\in[0,n],\; \varphi(x_i)=y_i\}. \] Déterminer la nature de $T(y)$ et sa dimension.
3. Pour $(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2$, montrer l'existence et l'unicité d'une fonction $\varphi \in T(y)$ telle que \[ \varphi'(a)=\lambda \quad \text{et} \quad \varphi'(b)=\mu. \]

1. Montrer que l'application $g : x\mapsto \dfrac{f(x)}{x}$ se prolonge en une application de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$.\\
2. On suppose de plus que $f''(0)\neq0$ et que $f(x) > 0$ pour $x\neq0$. Montrer qu'il existe $g\in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ telle que $g^2=f$.

1. Calculer $f(0)$ et montrer que $\forall t \in \R_+$, $f(t)\geqslant 0$.
2. Supposons qu'il existe $a \in \R_+$ tel que $f(a)=0$. Démontrer que : \[ \forall n \in \N,\quad f\left(\Frac{a}{2^n}\right)=0 \] En déduire que $f(0)=0$. Conclure.
3. Soit $F$ la primitive de $f$ s'annulant en $0$. Démontrer que : \[ \forall (x,y)\in \R_+^2,\quad F(x+y)-F(x)=F(y)f(x) \] Démontrer que : \[ \forall y \in \R_+^*,\quad F(y) > 0 \] En déduire que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R_+^*$.
4. Démontrer que : \[ \forall x \in \R_+^*,\quad f'(x)=f'(0)f(x) \] En déduire toutes les fonctions vérifiant l'équation fonctionnelle.

1. Montrer que $c$ est l'unique point fixe de $\varphi$.\\
2. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $b$. Montrer que le point d'annulation $x_1$ de cette tangente vaut $x_1=\varphi(b)$.\\
3. Montrer que le segment $[c,b]$ est stable par $\varphi$ et que $\forall x \in [c,b],\; \varphi(x)\leqslant x$.\\
4. On pose $x_0=b$ et pour tout $n \geqslant 0$, $x_{n+1}=\varphi(x_n)$. Montrer que $(x_n)$ est décroissante et converge vers $c$.\\
5. Posons $M_2=\sup_{[a,b]}|f''|=\max_{[a,b]}|f''|$ et $m_1=\inf_{[a,b]}|f'|=\min_{[a,b]}|f'|$. Justifier l'existence de $M_2$ et $m_1$ ainsi que l'inégalité stricte $m_1>0$.\\
6. On pose $x_n=c+u_n$. Montrer que $u_{n+1}=\Frac{u_nf'(c+u_n)-f(c+u_n)}{f'(c+u_n)}$.\\
7. On pose $K=\Frac{M_2}{2m_1}$. En utilisant l'égalité de Taylor-Lagrange en posant $a=c+u_n$ et $b=c$, montrer que $0\leqslant u_{n+1}\leqslant Ku_n^2$.

1. $\lim_{x\to 0}\Frac{f(\alpha x)-f(x)}{x}$, où $\alpha$ est un réel fixé.\\
2. $\lim_{n\to+\infty}\Sum_{k=1}^{n} f\parenthese{\Frac{1}{k+n}}$.\\
3. $\lim_{n\to+\infty}\Sum_{k=1}^{n} f\parenthese{\Frac{k}{n^2}}$.

1. Justifier que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\R$ et montrer que $\forall x \in \R,\;f^{(n)}(x)=(n-1)!\cos^n(f(x))\sin\left(nf(x)+\Frac{n\pi}{2}\right)$.\\
2. En déduire les zéros de $f^{(n)}$.

Exercice 3084. X MP

Exercice 3085. Théorème de Darboux

Exercice 3086. X PSI

1. Soit $h:\R^d\to \R$ une fonction minorée. Montrer que la fonction $T_\varepsilon h$ est bien définie sur $\R^d$ et que $\forall x\in \R^d,\ (T_\varepsilon h)(x)\leqslant h(x)$.\\
2. Soient $h_1$ et $h_2$ deux fonctions de $\R^d$ dans $\R$ minorées. On pose $H=\min(h_1,h_2)$. Montrer que $T_\varepsilon H$ est bien définie sur $\R^d$ et que $T_\varepsilon H=\min(T_\varepsilon h_1,T_\varepsilon h_2)$.\\
3. On suppose ici uniquement que $\alpha=1$. Soit $h:\R^d\to \R$ une fonction minorée.\\ \startletters
4. a Montrer que $T_\varepsilon h$ est $\Frac{1}{\varepsilon}$-Lipschitzienne.\\
5. a Montrer que $T_\varepsilon h=h$ si et seulement si $h$ est $\Frac{1}{\varepsilon}$-Lipschitzienne.\\
6. a On se place dans le cas où $h(x)=\|x\|$ pour tout $x\in \R^d$. Montrer que $\forall x\in \R^d,\ (T_\varepsilon h)(x)=\min\left(1,\Frac{1}{\varepsilon}\right)\|x\|$.\\
7. a Soit $\ell:\R^d\to \R$ la fonction définie par $\ell(x)=\min(1,\|x\|)$ pour $x\in \R^d$. Exprimer $(T_\varepsilon \ell)(x)$ en fonction de $\varepsilon$ et $x$ pour tout $x\in \R^d$.\\
8. On revient désormais au cas général où $\alpha \geqslant 1$. Dans toute la suite, $f\in \mathcal{B}(\R^d,\R)$ est une fonction fixée. Montrer que $T_\varepsilon f\in \mathcal{B}(\R^d,\R)$ et que $|T_\varepsilon f|_\infty \leqslant |f|_\infty$.\\
9. Soit $x\in \R^d$. On pose \[ A(x)=\left\{y\in \R^d\mid f(y)+\Frac{1}{\varepsilon}\|y-x\|^\alpha\leqslant f(x)\right\}. \] Montrer que $A(x)\neq \varnothing$, que $\forall y\in A(x),\ \|y-x\|\leqslant (2\varepsilon |f|_\infty)^{1/\alpha}$, et que \[ (T_\varepsilon f)(x)=\inf_{y\in A(x)}\left(f(y)+\Frac{1}{\varepsilon}\|y-x\|^\alpha\right). \]

Exercice 3087. Centrale PC 2019

1. Exprimer les dérivées $f'$, $f''$ et $f^{(3)}$ à l’aide des fonctions usuelles. \\
2. Montrer qu’il existe une suite de polynômes $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ à coefficients réels telle que \\ \[ \forall n \in \mathbb{N},\;\forall x \in I,\quad f^{(n)}(x)=\frac{P_n(\sin x)}{(\cos x)^{n+1}}. \] On explicitera les polynômes $P_0$, $P_1$, $P_2$, $P_3$ et, pour tout entier naturel $n$, on exprimera $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$ et $P_n'$. \\
3. Justifier que, pour tout entier $n \geqslant 1$, le polynôme $P_n$ est unitaire, de degré $n$ et que ses coefficients sont des entiers naturels. \\
4. Montrer \\ \[ \forall x \in I,\quad 2f'(x)=f(x)^2+1. \] Pour tout entier naturel $n$, on pose $\alpha_n=f^{(n)}(0)=P_n(0)$. \\
5. Montrer $2\alpha_1=\alpha_0^2+1$ et \\ \[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\quad 2\alpha_{n+1}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\alpha_k\alpha_{n-k}. \]

1. Soit $g$ une fonction définie pour tout $x\in\left]0,\dfrac{1}{e}\right[\cup\left]\dfrac{1}{e},+\infty\right[$ par \[ g(x)=\dfrac{1}{x(1+\ln(x))}. \]
   1. Justifier que $\left]0,\dfrac{1}{e}\right[\cup\left]\dfrac{1}{e},+\infty\right[$ est bien l'ensemble de définition de $g$.
   2. Étudier les variations de $g$, ainsi que ses limites aux bornes.
   3. Montrer que $g$ est une bijection de $\left]\dfrac{1}{e},+\infty\right[$ vers un intervalle $I$ que l'on déterminera. On note alors $h$ sa bijection réciproque.
   4. Justifier que $h$ est dérivable sur $I$ et calculer $h'\left(\dfrac{1}{2e}\right)$.
2. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0\in\mathbb{R}$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ u_{n+1}=\cos(u_n). \]
   1. Justifier que, pour tout $n\geqslant 2$, $u_n\in[0,1]$.
   2. Justifier que $x\mapsto x-\cos(x)$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
   3. Montrer que l'équation $x=\cos(x)$ admet une unique solution $\ell$. Montrer que $\ell\in[0,1]$.
   4. Montrer que, pour tout $n\geqslant 2$, \[ |u_{n+1}-\ell|\leqslant \sin(1)|u_n-\ell|. \]
   5. Conclure sur la nature de la suite $(u_n)$.
3. Soient $a,b\in\mathbb{R}$ tels que $a < b$.\\ Soit $f$ une fonction de classe $C^2([a,b])$ telle que \[ f(a)=f'(a) \quad \mathrm{et} \quad f(b)=f'(b). \] On pose \[ g:x\mapsto (f'(x)-f(x))e^x. \]
   1. Montrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que \[ g'(c)=0. \]
   2. Montrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que \[ f''(c)=f(c). \]

1. 1. Soit $I=[c,d]$ un segment inclus dans $[a,b]$. Montrer que la restriction $f_{|I}$ de $f$ à $I$ est à variation bornée.\\ On définit alors \[ V_c^df=\sup_{\sigma\in\mathrm{sub}([c,d])}\mathrm{Var}_\sigma(f_{|I}). \]
   2. Si $a\leqslant x < y < z\leqslant b$, montrer la relation de Chasles \[ V_x^zf=V_x^yf+V_y^zf. \]
   3. Si $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ est de classe $\mathcal{C}^1$, montrer que $g$ est à variation bornée et que \[ V_a^bg=\integrale{a}{b}{|g'(t)|}{t}. \]
2. On considère une application $f:[a,b]\to\mathbb{R}$.\\
   1. Montrer que $f$ est à variation bornée si et seulement s'il existe deux fonctions croissantes $g,h:[a,b]\to\mathbb{R}$ telles que \[ f=g-h. \]
   2. Montrer que si $f$ est à variation bornée, alors $f$ est une fonction réglée.\\
3. Montrer que l'application \[ f:[0,1]\to\mathbb{R},\quad f(x)=x\cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \] si $x\neq 0$ et $f(0)=0$ n'est pas à variation bornée

1. Déterminer toutes les fonctions $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\R$ telles que \[ \forall(x,y)\in\R^2,\quad f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y). \]
2. Reprendre la question précédente dans le cas où $f$ n'est que continue sur $\R$.

1. On suppose qu'il existe $\alpha > 0$ tel que $F(x)\sim \dfrac{x^\alpha}{\alpha}$ en $+\infty$. Montrer que $f(x)\sim x^{\alpha-1}$.\\
2. On suppose, toujours en $+\infty$, que $F(x)=\dfrac{x^2}{2}+o(x)$. Montrer que $f(x)=x+o(\sqrt{x})$.

Exercice 3095. X PC

1. Si $f''$ est bornée, que dire de $f'(x)$ quand $x \to +\infty$ ?\\
2. Le résultat subsiste-t-il sans l’hypothèse du 1 ?

1. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si, pour tout couple $(u,v)$ d'éléments de $\mathbb{R}^n$, la fonction \[ t \mapsto f(u+tv) \] est convexe sur $\mathbb{R}$.
2. On suppose que $f$ est convexe.\\ Soit $x \in \mathbb{R}^n$ tel que toutes les dérivées partielles $\partial_i f(x)$, pour $1 \leqslant i \leqslant n$, existent.\\ Montrer que $f$ est différentiable en $x$.

1. Trouver un élément $f$ de $E$ de la forme $x\mapsto \alpha x^\beta$, avec $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$.\\
2. Si $f\in E$, déterminer la limite en $0$ de $f$ et de $f^{-1}$.\\
3. Montrer que si $f\in E$, alors $f$ est un $\mathcal{C}^{\infty}$-difféomorphisme de $]0,+\infty[$ dans $]0,+\infty[$.\\
4. Montrer que toute fonction $f\in E$ admet un unique point fixe.\\
5. Soit $f$ et $g$ deux éléments de $E$. Montrer que $f$ et $g$ admettent le même point fixe

1. Pour tout segment $K$ inclus dans $f(I)$, montrer qu'il existe un segment $J$ inclus dans $I$ tel que $K=f(J)$.\\
2. Si $S_1$ et $S_2$ sont deux segments de $I$ tels que $S_2\subset f(S_1)$, on note $S_1\to S_2$.\\ Supposons qu'il existe $n\in\mathbb{N}^*$ segments $I_0,\dots,I_{n-1}$ de $I$ tels que \[ I_0\to I_1\to\cdots\to I_{n-1}\to I_0. \] Montrer que la fonction $f^n=f\circ\cdots\circ f$ admet un point fixe $x_0$ tel que \[ f^k(x_0)\in I_k \] pour tout $k\in\{0,\dots,n-1\}$.\\
3. Pour $n\in\mathbb{N}^*$, si $x\in I$ vérifie $f^n(x)=x$ et $f^k(x)\neq x$ pour $1\leqslant k\leqslant n-1$, on dit que $x$ est un point $n$-périodique.\\ S'il existe un point $3$-périodique pour $f$, montrer qu'il existe des points $n$-périodiques pour tout $n\in\mathbb{N}^*$

1. Montrer l'existence et la continuité de $F$.\\
2. Montrer que $F$ est une surjection de $[0,1]$ sur $[0,1]^2$.\\
3. Existe-t-il une fonction $F:[0,1]\to\mathbb{R}^2$ de classe $\mathcal{C}^1$ vérifiant la propriété de la question précédente ?\\
4. Existe-t-il une fonction $F:[0,1]\to\mathbb{R}^2$ continue et bijective de $[0,1]$ sur $[0,1]^2$ ?

1. Donner une classe de fonctions classique incluse dans $\mathcal{P}$.\\
2. Si $f\in\mathcal{P}$, montrer que $f$ est bornée et uniformément continue sur $\mathbb{R}$.\\
3. On note $\mathcal{B}$ le sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}$ constitué des fonctions continues et bornées, que l'on munit de la norme $\|\cdot\|_\infty$.\\ Pour tout $f\in\mathcal{B}$, on note \[ A(f)=\{f_a,\ a\in\mathbb{R}\}. \] Si $f\in\mathcal{B}$, montrer l'équivalence \[ f\in\mathcal{P}\Longleftrightarrow A(f)\ \text{est précompact dans }\mathcal{B}. \]
4. Soient $f,g\in\mathcal{P}$. Montrer que $f+g\in\mathcal{P}$ et que $fg\in\mathcal{P}$ si $E$ est une algèbre normée.\\
5. Montrer que $\mathcal{P}$ est une partie fermée de $\mathcal{B}$