Exercices divers

1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ \integrale{0}{x}{f(t)}{t}+\integrale{0}{f(x)}{f^{-1}(t)}{t}=xf(x). \]
2. On suppose $f$ croissante, montrer que pour tous $a,b \in \mathbb{R}_+$, \[ \integrale{0}{a}{f(t)}{t}+\integrale{0}{b}{f^{-1}(t)}{t} \geqslant ab. \]
3. Soient $a,b \in \mathbb{R}_+$, montrer que \[ \integrale{0}{a}{f(t)}{t}+\integrale{0}{b}{f^{-1}(t)}{t}=ab \iff b=f(a). \]

1. Donner un équivalent en $+\infty$ de \[ g(t)=\integrale{0}{1}{\frac{f(x)}{1+tx}}{x}. \]
2. Majorer la différence entre $g$ et cet équivalent quand $f$ est de classe $C^1$.

1. Soit $f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ de classe $C^1$, $\ell > 0$ et $P$ un polynôme de degré $n$. On suppose que \[ f'(x)P(f(x)) \] tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Donner un équivalent de $f$ en $+\infty$.\\
2. Soit $h : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ continue, $\ell > 0$, $n$ un entier naturel. On suppose que \[ h(x)\integrale{0}{x}{h^n(t)}{t} \] tend vers $\ell$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Donner un équivalent de $h$ en $+\infty$.

1. Montrer que la suite $(I_n)$ est strictement positive et strictement décroissante.\\
2. Montrer que \[ (n+2)I_{n+2}=(n+1)I_n. \]
3. Montrer que \[ (n+1)I_nI_{n+1}=\frac{\pi}{2}. \]
4. Montrer que \[ I_n \sim I_{n+1}. \]
5. Trouver un équivalent de $I_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

1. $d$ est-elle définie ?\\
2. En utilisant \[ \psi(t)=\exp\left(\integrale{0}{t}{\Frac{f'(\theta)}{f(\theta)}}{\theta}\right), \] montrer que \[ d(f)\in\mathbb{Z}. \]
3. Montrer que \[ \forall f\in E,\ \exists \varepsilon > 0,\ \forall g\in E,\ \|f-g\|_\infty \leqslant \varepsilon \Longrightarrow d(f)=d(g). \]
4. Soit \[ F=\{f\in C^0(\mathbb{R},\mathbb{C}^*),\ f \ 2\pi\text{-périodique}\}. \] Peut-on prolonger $d$ en une fonction définie et continue sur \[ F \] pour la norme \[ \|\cdot\|_\infty \; ? \]

1. On pose $f(x)=x^2\sin\Frac{1}{x}$ pour $x \in \R^*$. Montrer que $f$ se prolonge en une fonction dérivable sur $\R$, notée encore $f$ dans la suite.\\
2. En calculant la dérivée de $f$, montrer que la fonction $g$ définie par $g(x)=\sin\Frac{1}{x}$ pour $x \in \R^*$ et $g(0)=0$ est une dérivée. Montrer de même que la fonction $h$ définie par $h(x)=\cos\Frac{1}{x}$ pour $x \in \R^*$ et $h(0)=0$ est une dérivée.\\
3. Montrer que $g^2+h^2$ n’est pas une dérivée. Que peut-on en déduire ?\\
4. En considérant $g^2-h^2$, montrer que ni $g^2$, ni $h^2$, ne sont des dérivées.\\
5. Soit $G$ une primitive de $g$ et soit $H$ une primitive de $h$. On pose $F(x)=(G(x),H(x))$. Déterminer $F'(\R)$.

1. On suppose que $\integrale{a}{b}{f(t)}{t}=0$. Montrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f(c)=0$.\\
2. On suppose que $\integrale{a}{b}{f(t)}{t}=\integrale{a}{b}{t f(t)}{t}=0$. On sait donc qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f(c)=0$.\\ Supposons par l'absurde : $\forall t\in]a,c[\cup]c,b[\quad f(t)\neq0$.\\
   • Montrer que $f$ est de signe constant sur $]a,c[$ et sur $]c,b[$.\\
   • Montrer que le signe de $f$ sur $]a,c[$ et celui de $f$ sur $]c,b[$ sont différents.\\
   • Montrer que $\integrale{a}{b}{f(t)(t-c)}{t}=0$, puis conclure par contradiction.\\
3. On suppose que $\integrale{a}{b}{f(t)}{t}=\integrale{a}{b}{t f(t)}{t}=\integrale{a}{b}{t^2 f(t)}{t}=0$.\\ On sait donc qu'il existe $c,d\in]a,b[$ tels que $a Soit $n\in\N$. On suppose que $\forall k\in\llbracket0,n\rrbracket\quad \integrale{a}{b}{t^k f(t)}{t}=0$.\\ Montrer que $f$ admet au moins $n+1$ racines distinctes dans $]a,b[$.

1. Montrer que $(.|.)$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$.\\
2. Soient $n,m \in \mathbb{N}$ tels que $m < n$. Montrer que \[ (P_n|P_m)=0 \] et calculer \[ \|P_n\|^2=(P_n|P_n). \]
3. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $P_n$ possède $n$ racines distinctes dans $]-1,1[$. En déduire que $P_n$ est scindé sur $\mathbb{R}$.

1. Montrer que $E$ et $F$ sont des $\R$-espaces vectoriels.\\
2. Montrer que $\varphi$ est une forme bilinéaire symétrique positive sur $E$.\\
3. Montrer que $\varphi$ induit un produit scalaire sur $F$.

1. Soit $0 < \varepsilon < 1$. On pose \[ I=\integrale{0}{\pi/2}{\frac{\cos x}{\sqrt{\sin^2 x+\varepsilon \cos^2 x}}}{x}. \] Calculer $I$. Donner un équivalent de $I$ quand $\varepsilon$ tend vers $0$.\\
2. On pose \[ J=\integrale{0}{\pi/2}{\frac{1}{\sqrt{\sin^2 x+\varepsilon \cos^2 x}}}{x}. \] Déterminer les deux premiers termes du développement asymptotique de $J$ quand $\varepsilon$ tend vers $0$.

1. Montrer que $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^*$.\\
2. On suppose que \[ \{t \in [0,1]\mid f(t)=0\}=[a,b]\subset [0,1]. \] Calculer \[ g_d'(0). \]

1. Montrer que \[ \forall Q \in \mathbb{R}_{n-1}[X],\quad \integrale{-1}{1}{Q(x)L_n(x)}{x}=0. \]
2. Montrer que $L_n$ admet $n$ racines simples $x_1,\ldots,x_n$ qui se trouvent dans $]-1,1[$.\\
3. Montrer qu’il existe $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb{R}^n$ tel que \[ \forall Q \in \mathbb{R}_{2n-1}[X],\quad \integrale{-1}{1}{Q(x)}{x}=\Sum_{i=1}^{n}\alpha_iQ(x_i). \]

1. Soit $f$ une fonction continue de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$. Déterminer \[ \lim_{n \to +\infty}\Prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\right). \]
2. Soit $(n_i)$ une suite d’entiers pairs, $(\mu_i)$ une suite d’entiers.\\ On suppose que ces deux suites tendent vers $+\infty$, que \[ \mu_i \leqslant n_i \] pour tout $i$, et que \[ \frac{\mu_i-\frac{n_i}{2}}{\sqrt{n_i}} \] a une limite $\lambda > 0$ quand $i \to +\infty$.\\ Trouver un équivalent de \[ C_{n_i}^{\mu_i}. \]

1. Montrer que si $(u_n)_{n \geqslant 1}$ est équirépartie, l’ensemble des $u_n$ est dense dans $[0,1]$. La réciproque est-elle vraie ?\\
2. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose \[ D_n=\sup_{0 \leqslant a < b \leqslant 1}\left|\frac{S_n(a,b)}{n}-(b-a)\right| \] et \[ D_n^*=\sup_{0 < \alpha < 1}\left|\frac{S_n(0,\alpha)}{n}-\alpha\right|. \] Montrer que \[ D_n^* \leqslant D_n \leqslant 2D_n^*. \]
3. Montrer que la suite $(u_n)_{n \geqslant 1}$ est équirépartie si et seulement si la suite $(D_n)_{n \geqslant 1}$ tend vers $0$.

1. pour tout couple $(a,b)$, on a \[ \frac{X_n(a,b)}{n} \to b-a \]
2. pour toute fonction $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ continue, on a \[ \frac{1}{n}\Sum_{k=1}^{n}f(u_k)\to \integrale{0}{1}{f(t)}{t} \]
3. pour tout $p \in \mathbb{N}^*$, on a \[ \frac{1}{n}\Sum_{k=1}^{n}\mathrm{e}^{2i\pi pu_k}\to 0 \]

1. Trouver une relation de récurrence vérifiée par $(I_n)_{n \in \N}$.\\
2. Montrer que $(I_n)$ est décroissante et que $I_{n+1}\sim I_n$.\\
3. Donner une expression explicite de $I_n$ pour tout $n \geqslant 0$ et en déduire un équivalent de $I_n$ lorsque $n \to +\infty$.

1. pour tous $a < b$, toute $\varphi \in C^2([a,b],\mathbb{R})$ vérifiant $|\varphi'| \geqslant 1$ et $\varphi'$ monotone, et tout $\lambda > 0$, \[ \left|\integrale{a}{b}{\mathrm{e}^{i\lambda \varphi(x)}}{x}\right| \leqslant \frac{c_1}{\lambda} \]
2. pour tous $a < b$, tout $k \in \mathbb{N}^*$ avec $k \geqslant 2$, toute fonction $\varphi \in C^{k+1}([a,b],\mathbb{R})$ vérifiant $|\varphi^{(k)}| \geqslant 1$, et tout $\lambda > 0$, \[ \left|\integrale{a}{b}{\mathrm{e}^{i\lambda \varphi(x)}}{x}\right| \leqslant \frac{c_k}{\lambda^{1/k}} \]

1. Soit $f \in E$. Montrer que \[ I_1=\integrale{0}{1}{f(t)f'(t)\cotan(\pi t)}{t} \] et \[ I_2=\integrale{0}{1}{\frac{f(t)^2}{\tan^2(\pi t)}(1+\tan^2(\pi t))}{t} \] existent. Comparer $I_1$ et $I_2$.\\
2. Montrer que pour tout $f \in E$, on a \[ \integrale{0}{1}{f'(t)^2}{t} \geqslant \pi^2\integrale{0}{1}{f(t)^2}{t}. \]
3. Quels sont les cas d’égalité ?

1. Comparer $f(n)$, $\integrale{n}{n+1}{f(t)}{t}$ et $\integrale{n-1}{n}{f(t)}{t}$. \\
2. Montrer que la suite $\left(\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k^\alpha}\right)_{n\in\N^*}$ est convergente si et seulement si $\alpha > 1$. \\
3. Déterminer la nature des suites $\left(\Sum_{k=2}^{n}\Frac{1}{k\ln k}\right)_{n\geqslant 2}$ et $\left(\Sum_{k=2}^{n}\Frac{1}{k\ln^2 k}\right)_{n\geqslant 2}$.

1. Calculer $a_0$ et $a_1$. \\
2. Montrer que la suite $(a_n)_{n\in\N}$ est monotone puis convergente et calculer sa limite. \\
3. Montrer que \[ a_{n+2}=\Frac{n+1}{n+4}\,a_n. \]
4. En déduire un équivalent de $a_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

1. Montrer que pour tous $k$ et $n$ dans $\N$, $P_n^{(k)}(0)$ et $P_n^{(k)}(\pi)$ sont des entiers. \\
2. Montrer que \[ I_n=\integrale{0}{\pi}{P_n(t)\sin t}{t}\in\Z. \]
3. Montrer que $I_n>0$. \\
4. Trouver une constante $\xi>0$ telle que \[ I_n\leqslant \pi\,\Frac{\xi^n}{n!}. \]
5. En déduire une contradiction. Qu’a-t-on montré ?

1. Calculer $a_0$, $a_1$, puis montrer que tous les $a_n$ sont strictement positifs. \\
2. Déterminer une relation entre $a_{n+2}$ et $a_n$. \\ On pose pour tout $n\in\N$, \[ b_n=\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{t^2\cos^{2n}t}{t}. \]
3. Montrer que pour tout $n\in\N$, \[ 0 < b_n \le \Frac{\pi^2}{4}\left(a_{2n}-a_{2n+2}\right), \] en comparant la courbe $y=\sin x$ à l’une de ses cordes. \\
4. Montrer que \[ \lim_{n\to+\infty}\Frac{b_n}{a_{2n}}=0. \]
5. Montrer les formules suivantes : \[ a_{2n+2}=(2n+2)\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{t\sin t\,\cos^{2n+1}t}{t}, \] \[ \Frac{a_{2n+2}}{n+1}=(2n+1)b_n-(2n+2)b_{n+1}, \] \[ 2\left(\Frac{b_n}{a_{2n}}-\Frac{b_{n+1}}{a_{2n+2}}\right)=\Frac{1}{(n+1)^2}. \]
6. Montrer que la série \[ \Sum_{k=1}^{+\infty}\Frac{1}{k^2} \] est convergente et calculer sa somme.

Exercice 2762. X ENS

1. Montrer que la suite $(I_n)$ est monotone.\\
2. Calculer $\limn I_n$.\\
3. Montrer que lorsque $n \to +\infty$, \[ I_n \sim \Frac{\pi}{2}\ln n. \]

1. Calculer : \[ \lim_{x\to 0}\integrale{x}{3x}{\Frac{\cos(t^2)}{\sin t}}{t}. \]
2. Calculer \[ \lim_{(\varepsilon,M)\to(0^+,+\infty)}\integrale{\varepsilon}{M}{\Frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}}{x}. \]
3. Tracer la courbe \[ y=\integrale{x}{x^2}{\Frac{1}{\ln t}}{t}. \]

1. Factoriser dans $\C[X]$ le polynôme $X^2-2X\cos t+1$, avec $t$ dans $\R$. \\
2. On pose $f(t)=\ln(1-2\theta\cos t+\theta^2)$. \\
   1. Montrer que $f$ est continue sur $[0,2\pi]$. \\
   2. Calculer $\Sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(\Frac{2k\pi}{n}\right)$. \\
   3. En déduire la valeur de $\integrale{0}{2\pi}{\ln(1-2\theta\cos t+\theta^2)}{t}$.