Exercices divers

Exercice 1604. Trouver toutes les applications $f : \R \to \R$ de classe $C^1$ telles que \[ \forall x \in \R,\quad \big(f(x)\big)^2 = \integrale{0}{x}{\big(f(t)\big)^2 + \big(f'(t)\big)^2}{t} - x + 1. \]

Exercice 1605. Soit, pour tout $n \in \mathbb{N}^\star$, $I_n=\integrale{0}{1}{x^n\tan x}{x}$. \\ Calculer $\limn I_n$ et $\limn nI_n$.

Exercice 1606. Calculer $\lim_{u\to 0}\integrale{u}{3u}{\Frac{\cos x}{x}}{x}$ \\ et $\lim_{u\to 0^+}\integrale{u}{2u}{\Frac{\sin x}{x^2}}{x}$.