Bornes supérieures et inferieures

Exercice 1547. Soit $A \subset \R$ et $B = \{y = -x, \; x \in A\}$. \\
  1. Montrer que $B$ est minoré $\iff$ $A$ est majoré. \\
  2. En supposant que $A$ est majoré, montrer que $B$ admet une borne inférieure et $\inf(B) = -\sup(A)$.
Exercice 1548. Soient $A$ et $B$ deux parties non vides de $\R$. \\ On suppose que pour tout $(a,b) \in A \times B$, $a \leqslant b$. \\ Comparer $\sup(A)$ et $\inf(B)$.
Exercice 1549. Soit I un segment non vide de $\R$.\\ Soit $f : I \to \R$ une application continue.\\ Montrer que, pour tout $\lambda \in f(I)$, on a \[ \lambda = f\parenthese{\inf\{ z \in I \mid f(z) = \lambda \}}. \]
Exercice 1550. Soit $(a,b)\in\R^2$ avec $a < b$.\\ Toutes les suites de cet exercice seront à valeurs dans $[a,b]$.\\ Soit $(x_n)$ une suite.\\ On pose $\limsup(x_n)=\lim\limits_{n\to +\infty}\sup\limits_{k\geqslant n} x_k$ et $\liminf(x_n)=\lim\limits_{n\to +\infty}\inf\limits_{k\geqslant n} x_k$.\\ Montrer que ces notions sont bien définies.\\ Soit $(y_n)$ une seconde suite.\\
  1. Montrer que si $\forall n\in\N,\;x_n\leqslant y_n$, alors $\limsup(x_n)\leqslant \limsup(y_n)$ et $\liminf(x_n)\leqslant \liminf(y_n)$.\\
  2. Montrer que $\limsup(x_n+y_n)\leqslant \limsup(x_n)+\limsup(y_n)$ et que $\limsup(x_n)+\liminf(y_n)\leqslant \limsup(x_n+y_n)$.\\
  3. On suppose que $\forall n\in\N,\;x_n\geqslant 0$ et $y_n\geqslant 0$.\\ Montrer que $\limsup(x_n)\;\liminf(y_n)\leqslant \limsup(x_n y_n)\leqslant \limsup(x_n)\;\limsup(y_n)$.
Exercice 1551. Soit $I$ un ensemble quelconque et soit $(A_i)_{i \in I}$ une famille de sous-ensembles de $E$ telle que, pour tout $i \in I$, $A_i$ possède une borne supérieure.\\
  1. Montrer que $\bigcup_{i \in I} A_i$ et $\{\sup(A_i)\; /\; i \in I\}$ ont les mêmes majorants.\\
  2. En déduire que $\bigcup_{i \in I} A_i$ admet une borne supérieure si et seulement si $\{\sup(A_i)\; /\; i \in I\}$ admet une borne supérieure et que dans ce cas,\\ \[ \sup\bigl(\bigcup_{i \in I} A_i\bigr) = \sup\bigl(\{\sup(A_i)\; /\; i \in I\}\bigr). \]
Exercice 1552. Soit $X = \left\{\Frac{(-1)^n}{n}+\Frac{2}{n}, n \in \N^* \right\}$. \\
  1. Montrer que $X$ est minoré et majoré. \\
  2. Montrer que $X$ admet un plus grand élément. \\
  3. Montrer que $X$ admet une borne supérieure et inférieure.
Exercice 1553. Soit $A$ une partie de $\R$ non vide et majorée. Vérifier que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $x \in A$ tel que \[ \sup(A) - \varepsilon < x \leqslant \sup(A) . \]
Exercice 1554. Pour chacun des cas, déterminer s'il y a une borne inférieure, supérieure et si oui les déterminer : \\
  1. $A = \left\{ \Frac{2^n}{2^n-1}, n \in \N^*\right\}$. \\
  2. $B = \left\{ \Frac{1}{1-2^{-n}}, n \in \N^* \right\}$. \\
  3. $C = \left\{ \Frac{x^3}{\abs{x^3-1}}, x \in ]0,1[\cup]1,+\infty[\right\}$.
Exercice 1555. Soit $f : \R \to \R$ et $g : \R \to \R$ deux applications bornées. Comparer $\displaystyle \sup_{x \in \R} \{f(x)+g(x)\}$ et $\displaystyle \sup_{x \in \R}\{f(x)\} + \sup_{x \in \R} \{g(x)\}$.
Exercice 1556. Les parties de $\R$ suivantes sont-elles minorées, majorées, bornées ? Admettent-elles un plus grand élément ? Une borne inférieure ? Supérieure ?\\
  1. $A = [0,2[$. \\
  2. $B = \{n^2, n \in \Z\}$. \\
  3. $C = \{ \frac{1}{n+1}, \; n \in \N\}$. \\
  4. $D = \{\arctan{n}, \; n \in \N\}$. \\
  5. $E = \{\frac{(-1)^n}{n+1}, \;\; n \in \N\}$.\\
  6. $F = \{ \sin{n}, \; n \in \N\}$.
Exercice 1557. Soit $X = \left\{\Frac{x+1}{x+2}, \; x \in \R, x \leqslant 3\right\}$. \\ Montrer que $X$ admet une borne inférieure et une borne supérieure.
Exercice 1558. Soient $A,B$ deux parties non vides de $\R$. On note \[ A+B=\{a+b \mid a \in A, b \in B\}. \] On suppose $A$ et $B$ majorées. \\
  1. Montrer que $A,B,A+B$ admettent des bornes supérieures dans $\R$. \\
  2. Montrer que $\sup(A+B) \le \sup A + \sup B$. \\
  3. Montrer que $\sup(A+B) \ge \sup A + \sup B$. \\
  4. Retrouver le résultat avec la caractérisation séquentielle de la borne supérieure.
Exercice 1559. Soit $A$ une partie non vide et bornée de $\R$. \\
  1. Justifier l'existence de $s=\sup A$ et $i=\inf A$. \\
  2. Soit $D=\{x-y \mid x,y \in A\}$. \\ Montrer que $\sup D=s-i$ et $\inf D=i-s$. \\
  3. Soit $E=\{|x-y| \mid x,y \in A\}$. \\ Déterminer $\sup E$ et $\inf E$.
Exercice 1560. Soit \[ f:[0,1] \to \R, \quad f(x)=(1-x)\sin\Frac{\pi}{x}. \]
  1. Montrer que $\forall x \in (0,1], |f(x)| < 1$. \\
  2. Résoudre dans $\R^*$ \[ \sin\Frac{\pi}{x}=1 \quad \text{et} \quad \sin\Frac{\pi}{x}=-1. \]
  3. Construire deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ dans $(0,1]$ telles que \[ f(x_n) \to 1 \quad \text{et} \quad f(y_n) \to -1. \]
  4. En déduire $\sup f$ et $\inf f$.
Exercice 1561. Soit $A,B$ deux parties non vides de $\R$. \\ On pose \[ d(x,A)=\inf\{|x-a| \mid a \in A\} \] \[ d(A,B)=\inf\{|a-b| \mid a \in A,b \in B\} \] \[ \delta(A)=\sup\{|x-y| \mid x,y \in A\}. \]
  1. Montrer que $d(x,A),d(A,B) \in \R_+$ et $\delta(A) \in [0,+\infty]$. \\
  2. Montrer que $f(x)=d(x,A)$ est $1$-lipschitzienne. \\
  3. Montrer \[ |x-y| \le \delta(A)+|a-b|+\delta(B). \]
Exercice 1562. Soit $A$ une partie non vide de $\R$ incluse dans un segment $S$. \\ Montrer que $A$ admet une borne supérieure $s$ dans $\R$ et que $s\in S$.
Exercice 1563. Déterminer, si elles ou ils existent, les borne supérieure, borne inférieure, plus grand élément, plus petit élément de : \\ $A=\left\{\Frac{1}{n}+\Frac{1}{p}\;\mathrm{t.q.}\;(n,p)\in\N^{*2}\right\}$ ; \\ $B=\left\{\Frac{n-\Frac{1}{n}}{n+\Frac{1}{n}}\;\mathrm{t.q.}\;n\in\N^*\right\}$ ; \\ $C=\left\{\Frac{1}{n}+(-1)^n,\;n\in\N^*\right\}$ ; \\ $D=\left\{\Frac{1}{n}-\Frac{1}{m}\;|\;n,m\in\N^*\right\}$.
Exercice 1564. Soient $f,g:\R \to \R$ deux applications bornées. \\ Montrer que $f+g$ est bornée et que \[ |\sup f-\sup g| \le \sup(f+g) \le \sup f + \sup g. \]
Exercice 1565. Soit $X \ne \varnothing$ et $f,g$ deux fonctions définies sur $X$. \\ On suppose $f$ majorée et $g$ bornée. \\ Montrer \[ \sup_X f + \inf_X g \le \sup_X (f+g). \]
Exercice 1566. Soit $I$ et $J$ deux ensembles non vides, et $(u_{i,j})_{(i,j)\in I\times J}$ une famille de réels. Montrer que cette famille est majorée si et seulement si, pour tout $i\in I$, la famille $(u_{i,j})_{j\in J}$ est majorée et la famille $\left(\sup_{j\in J} u_{i,j}\right)_{i\in I}$ est majorée. Dans ce cas, montrer que \[ \sup_{(i,j)\in I\times J} u_{i,j} = \sup_{i\in I} \left(\sup_{j\in J} u_{i,j}\right) . \]
Exercice 1567. Existence et calcul de \[ \sup_{x \in \Rp} \Frac{x}{x^4+1} \]
Exercice 1568. En considérant l’ensemble $A = \{ x \in \Q_+ \; ; \; x^2 < 2 \}$, montrer que l’ensemble $\Q$ ne possède pas la propriété de la borne supérieure.
Exercice 1569. Soit $X = \left\{ \Frac{2p}{2pq+3}, \; p,q \in \N^* \right\}$. \\ Déterminer les bornes supérieures et inférieures de $X$ s'il y en a.
Exercice 1570. Soit $X = \left\{\Frac{1}{p}+\Frac{1}{q}, \; p,q \in \N^*\right\}$. \\
  1. Montrer que $X$ est majoré et minoré. \\
  2. Montrer que $X$ possède une borne inférieure et supérieure.
Exercice 1571. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$ et $m \in \N^*$, $0 < \Frac{mn}{(m+n)^2} \leqslant \Frac{1}{4}$. \\
  2. En déduire que $A = \left\{ \Frac{mn}{(m+n)^2}, \; n \in \N^*, m \in \N^* \right\}$ admet une borne inférieur que l'on déterminera.
Exercice 1572. Soit $X = \left\{ \Frac{2xy}{x^2+y^2}, x \in \R^*, y \in \R^*\right\}$. \\ Montrer que $X$ admet une borne inférieure et supérieure. Sont-elles des maximum/minimum ?
Exercice 1573. Soit $E = \left\{ \parenthese{\Frac{n+m+1}{n+m}}^{n+m} \;\; : \;\; (n,m) \in \N^* \times \N^* \right\}$. \\ Montrer que $E$ est une partie majorée de $\R$ et calculer $\sup(E)$.
Exercice 1574. Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\R$. \\ On note $A+B = \{a+b, \; (a,b) \in A \times B \}$. \\ Montrer que $\sup(A+B) = \sup(A)+\sup(B)$.
Exercice 1575. Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\R$. \\ Montrer que $\sup(A \cup B) = \max(\sup(A), \sup(B))$.
Exercice 1576. Soit $A$ une partie bornée non vide de $\R$. Montrer que \[ \sup_{x,y \in A} \abs{x-y} = \sup A - \inf A . \]
Exercice 1577. Soit $f : \R^2 \longrightarrow \R$ une fonction bornée. Établir \[ \sup_{x\in\R} \parenthese{ \inf_{y\in\R} f(x,y) } \;\; \leqslant \;\; \inf_{y\in\R} \parenthese{ \sup_{x\in\R} f(x,y) } . \]
Exercice 1578. Soit $A \subset \R$ une partie non vide et majorée de $\R$. On suppose que $M$ est un majorant de $A$, et qu'il existe une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ telle que $a_n \to M$. \\ Montrer que $M = \sup(A)$.
Exercice 1579. Démontrer la proposition suivante en suivant les étapes suivantes :\\
  1. Montrer l'unicité.\\
  2. Montrer que $\{x \in \R_+^{\ast} \mid x^N < a\}$ est non vide et majoré.\\ Posons $b=\sup\{x \in \R_+^{\ast} \mid x^N < a\}$.\\
  3. Montrer que $b^N=a$ par l'absurde en supposant $b^N < a$ puis $b^N > a$.
Exercice 1580. Soit $f$ une fonction croissante de $[0,1]$ dans $[0,1]$. On pose \[ A=\{x \in [0,1] \mid f(x) \ge x\}. \]
  1. Montrer que $A$ possède une borne supérieure $s$ dans $\R$ et que $s \in [0,1]$. \\
  2. Si $f(s) > s$, aboutir à une contradiction. \\
  3. Si $f(s) < s$, obtenir de même une contradiction. \\
  4. Énoncer le résultat démontré. \\
  5. Ce résultat demeure-t-il pour une fonction décroissante de $[0,1]$ dans lui-même ?