Bornes supérieures et inferieures

Exercice 1013. Soit $X = \left\{\Frac{1}{p}+\Frac{1}{q}, \; p,q \in \N^*\right\}$. \\
  1. Montrer que $X$ est majoré et minoré. \\
  2. Montrer que $X$ possède une borne inférieure et supérieure.
Exercice 1014. \\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$ et $m \in \N^*$, $0 < \Frac{mn}{(m+n)^2} \leqslant \Frac{1}{4}$. \\
  2. En déduire que $A = \left\{ \Frac{mn}{(m+n)^2}, \; n \in \N^*, m \in \N^* \right\}$ admet une borne inférieur que l'on déterminera.
Exercice 1015. Soit $X = \left\{ \Frac{2p}{2pq+3}, \; p,q \in \N^* \right\}$. \\ Déterminer les bornes supérieures et inférieures de $X$ s'il y en a.
Exercice 1016. Soit $X = \left\{ \Frac{2xy}{x^2+y^2}, x \in \R^*, y \in \R^*\right\}$. \\ Montrer que $X$ admet une borne inférieure et supérieure. Sont-elles des maximum/minimum ?
Exercice 1017. Soit $E = \left\{ \parenthese{\Frac{n+m+1}{n+m}}^{n+m} \;\; : \;\; (n,m) \in \N^* \times \N^* \right\}$. \\ Montrer que $E$ est une partie majorée de $\R$ et calculer $\sup(E)$.
Exercice 1018. Existence et calcul de \[ \sup_{x \in \Rp} \Frac{x}{x^4+1} \]
Exercice 1019. Soit $A \subset \R$ une partie non vide et majorée de $\R$. On suppose que $M$ est un majorant de $A$, et qu'il existe une suite $(a_n)$ d'éléments de $A$ telle que $a_n \to M$. \\ Montrer que $M = \sup(A)$.
Exercice 1020. Soit $A$ une partie bornée non vide de $\R$. Montrer que \[ \sup_{x,y \in A} \abs{x-y} = \sup A - \inf A . \]
Exercice 1021. Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\R$. \\ On note $A+B = \{a+b, \; (a,b) \in A \times B \}$. \\ Montrer que $\sup(A+B) = \sup(A)+\sup(B)$.
Exercice 1022. Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\R$. \\ Montrer que $\sup(A \cup B) = \max(\sup(A), \sup(B))$.
Exercice 1023. En considérant l’ensemble $A = \{ x \in \Q_+ \; ; \; x^2 < 2 \}$, montrer que l’ensemble $\Q$ ne possède pas la propriété de la borne supérieure.
Exercice 1024. Soit $f : \R^2 \longrightarrow \R$ une fonction bornée. Établir \[ \sup_{x\in\R} \parenthese{ \inf_{y\in\R} f(x,y) } \;\; \leqslant \;\; \inf_{y\in\R} \parenthese{ \sup_{x\in\R} f(x,y) } . \]
Exercice 1025. Soit $I$ et $J$ deux ensembles non vides, et $(u_{i,j})_{(i,j)\in I\times J}$ une famille de réels. Montrer que cette famille est majorée si et seulement si, pour tout $i\in I$, la famille $(u_{i,j})_{j\in J}$ est majorée et la famille $\left(\sup_{j\in J} u_{i,j}\right)_{i\in I}$ est majorée. Dans ce cas, montrer que \[ \sup_{(i,j)\in I\times J} u_{i,j} = \sup_{i\in I} \left(\sup_{j\in J} u_{i,j}\right) . \]