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Exercice 1003. Soient $x$ et $y$ deux réels. \\
  1. Calculer $\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor$. \\
  2. Montrer que $\lfloor x+y \rfloor - \lfloor x \rfloor - \lfloor y \rfloor \in \{0,1\}$. \\
  3. Soit $n \in \N^*$, à quelle condition sur $x$ a-t-on $\lfloor nx \rfloor = n \lfloor x \rfloor$ ?
Exercice 1004. Soit $x \in \R$ et $n \in \N^*$. Montrer que \[ \left\lfloor \Frac{\lfloor nx\rfloor}{n}\right\rfloor = \lfloor x\rfloor \]
Exercice 1005. Montrer que pour tout réels $x,y$ on a \[ \lfloor x \rfloor + \lfloor x +y \rfloor + \lfloor y \rfloor \leqslant \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor \]
Exercice 1006. Montrer que $\lfloor \sqrt{x} \rfloor = \lfloor \sqrt{ \lfloor x \rfloor} \rfloor$.
Exercice 1007. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[ f(x) = \lfloor 2x \rfloor - \lfloor x \rfloor - \left\lfloor x + \Frac{1}{2} \right\rfloor \quad \text{pour tout } x \in \R . \]
  1. Démontrer que $f$ est périodique. \\
  2. Démontrer que $f$ est nulle sur $[0,1[$. \\
  3. En déduire que pour tout $x \in \R$, \[ \lfloor 2x \rfloor - \lfloor x \rfloor = \left\lfloor x + \Frac{1}{2} \right\rfloor . \] \\
  4. Montrer que \[ \lim_{n \to +\infty} \Sum_{k=0}^{n} \left\lfloor \Frac{x + 2^k}{2^{k+1}} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor . \]
Exercice 1008. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ définie par \[ f(t) = \Sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor \Frac{t+k}{n} \right\rfloor . \]
  1. Calculer $f(t)$ pour $0 \leqslant t < 1$. \\
  2. Pour $t \in \R$, exprimer $f(t+1)$ en fonction de $f(t)$ et reconnaître $f$. \\
  3. En déduire tout réel $x$, \[ \Sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \Frac{k}{n} \right\rfloor \]
Exercice 1009. Vérifier que pour tout entier naturel $n$ on a \[ \left\lfloor \sqrt{n} + \sqrt{n+1} \right\rfloor = \left\lfloor \sqrt{4n+2} \right\rfloor . \]
Exercice 1010. Calculer pour $n \in \N^*$, $S_n = \Sum_{k=1}^{n^2} \lfloor \sqrt{k} \rfloor$.
Exercice 1011. Pour $x \in ]0,1]$ on pose $f(x) = x\left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor$. \\
  1. Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en $0$. \\
  2. Déterminer les points fixes de $f$. \\
  3. Montrer que $f \circ f = f$.
Exercice 1012. Soit $a \leqslant b \in \R$. Etablir \[ \mathrm{Card}([a,b]\cap \Z) = \lfloor b \rfloor + \lfloor 1-a \rfloor \]