Rationnels et irrationnels

Exercice 1878. Montrer que $\Frac{\ln{2}}{\ln{3}}$ est un nombre irrationnel.
Exercice 1879. Soit $x \in \R$. Montrer que : $x \notin \Q \implies x+1 \notin \Q$.
Exercice 1880. Montrer que pour tout $a,b \in \Z$, $a+b\sqrt{2} \notin \Q$.
Exercice 1881. Montrer que la racine carrée d’un nombre irrationnel positif est un nombre irrationnel.
Exercice 1882. Montrer que pour tout $(x,y) \in (\Q_+)^2$ tels que $\sqrt{x}$ et $\sqrt{y}$ soient irrationnels, alors $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ est irrationnel.
Exercice 1883. Montrer que si $n$ n'est pas le carré d'un entier alors $\sqrt{n} \notin \Q$.
Exercice 1884. Montrer que \[ \Frac{\ln{2}+\ln{3}}{\ln{5}+\ln{7}} \notin \Q \]
Exercice 1885. Montrez que si $\alpha,\beta,\gamma$ sont trois rationnels tels que $\alpha + \beta\sqrt{2} + \gamma\sqrt{3} = 0$ alors ils sont tous trois nuls.
Exercice 1886. \\ Montrer que $\sqrt{2} \notin \Q$.
Exercice 1887. \\
  1. Montrer que $\forall (a,b) \in \Z^2$, $a+b\sqrt{2}=0 \implies a=b=0$. \\
  2. En déduire que l'écriture $x=a+b\sqrt{2}$ est unique.
Exercice 1888. Soit $x \in [0,1[$. Montrer que $x$ est rationnel si, et seulement si, le développement décimal propre de $x$ est périodique à partir d’un certain rang.
Exercice 1889. Soient $n \in \N^{*}$ et $x$ un nombre irrationnel. Montrer que \[ I = \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)^{1/n} + \left( x - \sqrt{x^2 - 1} \right)^{1/n} \] est un nombre irrationnel.
Exercice 1890. Montrer qu’il existe deux nombres irrationnels $a>0$ et $b>0$ tels que $a^b$ soit rationnel.
Exercice 1891. En exprimant $\cos(3\theta)$ et $\cos(4\theta)$ en fonction de $\cos(\theta)$, montrer que $\cos\left(\Frac{2\pi}{7}\right)$ n’est pas rationnel.
Exercice 1892. On se propose de montrer que $\alpha=\Frac{\arccos(1/3)}{\pi}\notin \mathbb{Q}$.\\
  1. Calculer $e^{i\pi\alpha}$.
  2. Montrer que $\alpha \in \mathbb{Q}$ si et seulement s’il existe un entier naturel non nul $n$ tel que $(1+2i\sqrt{2})^n=3^n$.
  3. Montrer que $(1+2i\sqrt{2})^n=a_n+i b_n\sqrt{2}$, où $a_n$ et $b_n$ sont des entiers vérifiant $a_n-b_n\not\equiv 0 \pmod{3}$. Conclure.
Exercice 1893. Soit $x \in ]0,1]$. 1. Montrer qu’il existe une unique suite croissante d’entiers $(u_n)_{n\geqslant 0}$ telle que $u_0 \geqslant 2$ et $$ x=\Sum_{n=0}^{+\infty} \Frac{1}{u_0 u_1 \cdots u_n}. $$ 2. Montrer que $x$ est rationnel si et seulement si $(u_n)$ est stationnaire.
Exercice 1894.
  1. Montrer que $e$ est irrationnel.
  2. Montrer que la famille $(1,e,e^2)$ est $\mathbb{Q}$-libre.
Exercice 1895. À tout polynôme $f \in \mathbb{R}[X]$, on associe $$ F=\Sum_{k\geqslant 0}(-1)^k f^{(2k)}. $$
  1. Calculer $\integrale{0}{\pi}{f(t)\sin t}{t}$ en fonction de $F(0)$ et $F(\pi)$.
  2. Supposons $\pi=\Frac{a}{b}$ avec $a,b \in \mathbb{N}^*$ et on pose $$ f_n(x)=\Frac{x^n(a-bx)^n}{n!}. $$ Tracer le graphe de $f_n$ sur $[0,\pi]$.
  3. Prouver que $\integrale{0}{\pi}{f_n(t)\sin t}{t}$ est entier et en déduire que $\pi$ est irrationnel.
Exercice 1896.
  1. Soit $P \in \mathbb{Z}[X]$, de degré $m \geqslant 1$, et $x$ une racine réelle de $P$. Montrer qu’il existe $K > 0$ tel que, pour tout rationnel $\Frac{a}{b}$ de $[x-1,x+1]$ vérifiant $P\left(\Frac{a}{b}\right)\neq 0$, on ait $$ \left|x-\Frac{a}{b}\right| \geqslant \Frac{K}{b^m}. $$
  2. Soit $(u_n)_{n\geqslant 1}$ une suite strictement positive à partir d’un certain rang. On pose $$ \alpha=\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{u_n}{10^{n!}}. $$ On suppose que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \leqslant u_n \leqslant 9$. En déduire que $\alpha$ est transcendant sur $\mathbb{Q}$.