Exercices divers

Exercice 1992. Montrer que $A = \Frac{\sqrt[3]{54\sqrt{3}+41\sqrt{5}}}{\sqrt{3}}+\Frac{\sqrt[3]{54\sqrt{3}-41\sqrt{5}}}{\sqrt{3}}$ est un entier et le calculer.

Exercice 1993. Lemme de Knaster-Tarski

\\ Soit $(E, \leqslant)$ un treillis complet. \\ Soit $f$ une application croissante de $E$ dans $E$. \\ On pose $A = \{x \in E, \;\; x \leqslant f(x)\}$. \\
  1. Montrer que $f(\alpha)$ est un majorant de $A$ avec $\alpha$ la borne supérieur de $A$. \\
  2. Montrer que $\alpha$ est le plus grand point fixe de $f$. \\
  3. Montrer également que l'ensemble des points fixes de $f$ possède un minimum.
Exercice 1994. Soient $n \in \N^*$ impair, $\sigma \in \mathfrak{S}_n$.\\ Montrer que $\Prod_{k=1}^{n}\parenthese{\sigma(k)-k}$ est un entier pair.
Exercice 1995. Soient $n \in \N$, tel que $n \geqslant 2$, $(i,j) \in \{1,\ldots,n\}^2$ tel que $i \neq j$, et $\sigma \in \mathfrak{S}_n$.\\
  1. Montrer que $\sigma$ et $\tau_{i,j}$ commutent si et seulement si $\{i,j\}$ est stable par $\sigma$.\\
  2. Soient $n \in \N$, tel que $n \geqslant 3$, et $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ telle que : $\forall \rho \in \mathfrak{S}_n$, $\sigma \circ \rho = \rho \circ \sigma$.\\ Démontrer : $\sigma = \mathrm{id}$.
Exercice 1996. Soit $f$ une fonction croissante de $[0,1]$ dans $[0,1]$. \\ Montrer que, s’il existe $x\in [0,1]$ et $k\in \mathbb{N}^*$ tels que $f^k(x)=x$, alors $x$ est un point fixe de $f$. \\ Montrer que $f$ admet un point fixe.

Exercice 1997. Treillis

\\ On dit qu'un ensemble ordonné $(E, \leqslant)$ est un treillis complet si et seulement si toute partie de $E$ possède une borne supérieure et une borne inférieure dans $E$. \\
  1. Soit $a,b \in \R$ avec $a < b$. Montrer que $[a,b]$, muni de l'ordre usuel entre réels, est un treillis complet. \\
  2. Soit $F$ un ensemble. Montrer que $(\mathcal{P}(F), \subset)$ est un treillis complet.
Exercice 1998. On note $G$ l'ensemble des applications $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ de $[0 \; ; \; 1]$ dans $\R$ telles que $f(0)=0$ et $f(1)=1$. \\ Déterminer \[ \inf_{f \in G} \int_{0}^{1} \lvert f'(x)-f(x)\rvert \; dx \]
Exercice 1999. Soit $K \subset \mathbb{R}^2$ un convexe fermé non vide.\\
  1. On suppose $K$ borné. Montrer que $K$ s'écrit comme intersection de carrés fermés. \\
  2. On suppose $K$ non borné et $K \neq \mathbb{R}^2$. Donner des exemples de tels convexes. Montrer que si $K$ contient deux droites, celles-ci sont parallèles. \\
  3. On suppose toujours $K$ non borné. Montrer que $K$ contient une demi-droite.
Exercice 2000. Si $A$ est une partie de $\mathbb{N}$, on pose \[ d(A)=\inf_{n > 0}\frac{|A \cap \{1,\ldots,n\}|}{n}. \]
  1. Soit $A$ une partie de $\mathbb{N}$ contenant $0$ et telle que $d(A)\geqslant \frac12$. Montrer que tout élément de $\mathbb{N}$ s'écrit comme somme de deux éléments de $A$.
  2. Si $A$ et $B$ sont deux parties de $\mathbb{N}$ contenant $0$, montrer que \[ 1-d(A+B)\leqslant (1-d(A))(1-d(B)). \]
  3. Si $A$ est une partie de $\mathbb{N}$ contenant $0$ et telle que $d(A) > 0$, montrer qu'il existe $r \in \mathbb{N}^*$ tel que $\mathbb{N}$ soit égal à $A+\cdots+A$, avec $r$ termes.
Exercice 2001. Soit $A$ une partie de $\mathbb{N}^*$ telle qu'il existe $d > 0$ tel que \[ F(n)=\mathrm{Card}(A \cap \{1,\ldots,n\})\sim n^d. \] On pose \[ Q=\left\{\frac ab\mid (a,b)\in A^2\right\}. \]
  1. Montrer que $Q$ est dense dans $\mathbb{R}_+$. \\
  2. On suppose que $d=1$. Montrer que $Q=\mathbb{Q}_+^*$. \\
  3. Soit $\varepsilon > 0$. Montrer qu'il existe $A \subset \mathbb{N}^*$ telle que $Q \neq \mathbb{Q}_+^*$ et \[ \frac{F(n)}{n}\to d\geqslant 1-\varepsilon. \]