Réels et inégalités

Exercice 1465. Soit un entier $n\geqslant 2$, les $x_i$ sont des réels non nuls $>-1$ et tous de même signe $(1\leqslant i\leqslant n)$ ; prouver l’inégalité \\ \[ (1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)>1+x_1+x_2+\cdots+x_n. \]
Exercice 1466. Soit $(a_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ une famille de nombres réels appartenant à $[0,1]$. \\ Montrer que l’un des nombres $X=\Prod_{k=1}^n a_k$ ou $Y=\Prod_{k=1}^n(1-a_k)$ est inférieur ou égal à $\Frac{1}{2^n}$. \\ (On pourra calculer le produit $XY$)
Exercice 1467. Soit $n\in\N^*$, $a_1,a_2,\dots,a_n\in\R$, $b_1,b_2,\dots,b_n\in\R_+^*$. \\ Montrer : $\min\parenthese{\Frac{a_1}{b_1},\Frac{a_2}{b_2},\dots,\Frac{a_n}{b_n}}\leqslant \Frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}\leqslant \max\parenthese{\Frac{a_1}{b_1},\Frac{a_2}{b_2},\dots,\Frac{a_n}{b_n}}$.
Exercice 1468. Soient $a,b,c,d \in \R_+^*$. Montrer que : \[ \Frac{a}{b}=\Frac{c}{d} \quad \Longleftrightarrow \quad \forall m,n \in \N^*, \; ma < nb \Longleftrightarrow cm < nd . \]
Exercice 1469. Soit $x_1,\dots,x_n\in\R$. \\ On suppose que $\Sum_{i=1}^n x_i=n$ et $\Sum_{i=1}^n x_i^2=n$. \\ Montrer que $x_i=1$ pour tout $i\in\llbracket1,n\rrbracket$.
Exercice 1470. Soit $x,y,z\in\R$. \\ On suppose que $1\leqslant x\leqslant 5$ et $4\leqslant y\leqslant 7$ et $2\leqslant z\leqslant 3$. \\ Encadrer $\Frac{z-y}{x}$ et $\Frac{|x-y|}{z}$.
Exercice 1471. Soit $x,y\in\R$. \\ Montrer que : $x^2+y^2+xy\geqslant 0$ et $x^2+y^2+xy=0\Rightarrow x=y=0$.
Exercice 1472. Montrer que pour tous réels $x_1,\dots,x_n > 0$, on a \[ (x_1+\cdots+x_n)\parenthese{\Frac{1}{x_1}+\cdots+\Frac{1}{x_n}} \geqslant n^2 . \] Préciser les cas d’égalité.
Exercice 1473. Soit $x,y > 1$, montrer qu’il existe $n\in\N$ tel que $x^n > y$.\\ Que dire de la suite $(x^n)_{n\in\N}$ ?
Exercice 1474. Soit $x > 1$ et $N\in\N^*$, montrer qu’il existe $y\in\Q$ tel que $1 < y^N < x$.
Exercice 1475. On considère la fonction $f : \Rps \to \R$ définie par $f(x)=\Frac{\ln x}{x}$. \\
  1. Étudier et représenter graphiquement la fonction $x \mapsto \Frac{\ln x}{x}$. \\
  2. En déduire que s’il existe des entiers distincts $a,b \in \N^*$ tels que $a^b=b^a$ et $a \leqslant b$, alors $(a,b)=(2,4)$. \\
  3. Discuter l’équation définie sur $\Rps$ par : $x^\lambda=\lambda^x$ où $\lambda$ est un réel strictement positif donné.
Exercice 1476. Soit $f:\R_+ \to \R_+$. \\ On dit que $f$ est sous-additive si $\forall (x,y)\in \R_+^2,\; f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)$. \\
  1. Montrer que la composée de deux fonctions sous-additives et croissantes est sous-additive et croissante. \\
  2. Montrer que si $g:\R_+^* \to \R_+$ définie par $g(x)=\Frac{f(x)}{x}$ est décroissante, alors $f$ est sous-additive. \\
  3. Montrer que les fonctions $f_1:x \mapsto \sqrt{x}$ et $f_2:x \mapsto \Frac{x}{1+x}$ sont sous-additives et croissantes (sans dériver).
Exercice 1477. Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ telle que : $\forall x,y\in[0,1],\; |f(x)-f(y)|\geqslant |x-y|$. \\
  1. Montrer que $\{f(0),f(1)\}=\{0,1\}$. \\
  2. Déterminer toutes les fonctions $f$ possibles.
Exercice 1478. Soit $x,y,z\geqslant 0$, montrer que : $(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)\geqslant 8xyz$ et $(x+y+z)(xy+yz+zx)\geqslant 9xyz$ \\ Chercher les cas d’égalités.
Exercice 1479. Déterminer les $(x_1,\dots,x_n) \in \R^n$ tels que : \[ \begin{cases} x_1+\cdots+x_n=n\\ x_1^2+\cdots+x_n^2=n \end{cases} \]
Exercice 1480. \\
  1. Soient $a,b,c$ trois réels dans $[0;1]$. Prouver que l'un au moins des nombres suivants est inférieur ou égal à $\Frac{1}{4}$ : $a(1-b), \quad b(1-c) \; \; et \; \; c(1-a)$. \\
  2. Soient $a,b,c$ trois réels strictement positifs. Justifier que parmi les trois nombres $a+\Frac{1}{b}$, $b+\Frac{1}{c}$ et $c+\Frac{1}{a}$, il existe au moins un nombre supérieur à $2$.
Exercice 1481. Montrer que pour tout $a,b,c \in \R$, $(a+b+c)^2 \leqslant 4a^2+4b^2+2c^2$.
Exercice 1482. Soit $n \in \N^*$ et $a_1, \hdots, a_n,b_1,\hdots,b_n \in \R$. Montrer que \[ \parenthese{\Sum_{k=1}^{n} a_k}^2 +\parenthese{\Sum_{k=1}^{n} b_k}^2 \leqslant \parenthese{\Sum_{k=1}^{n}\sqrt{a_k^2+b_k^2}}^2 \]
Exercice 1483. Soit $n \in \N^*$ et $a_1, \hdots, a_n \in [1,+\infty[$. Montrer que \[ \Prod_{i=1}^{n} (1+a_i) \leqslant 2^{n-1} \parenthese{1+\Prod_{i=1}^{n} a_k} \]
Exercice 1484. Montrer que pour tous réels strictement positifs $(a,b)$ et que pour tout entier $n$, \[ \parenthese{1+\Frac{a}{b}}^n + \parenthese{1+\Frac{b}{a}}^{n} \geqslant 2^{n+1} \]
Exercice 1485. Soit $n \in \N^*$. On définit pour tout $x=(x_1,\hdots,x_n) \in \R^n$, \[ \norm{x}_{1} = \Sum_{i=1}^{n} \abs{x_i} \quad et \quad \norm{x}_{\infty} = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} \abs{x_i} \] Montrer que pour tout $x \in \R^n$ et $y \in \R^n$, \[ \norm{x+y}_{1} \leqslant \norm{x}_{1} + \norm{y}_{1} \quad et \quad \norm{x+y}_{\infty} \leqslant \norm{x}_{\infty} + \norm{y}_{\infty} \]
Exercice 1486. Montrer que pour tout $x,y \in [0,1]$, on a $x^2+y^2-xy \leqslant 1$.
Exercice 1487. Soient $x,y \in [0,1]$. Montrer que \[ \min\{xy, (1-x)(1-y) \} \leqslant \Frac{1}{4} \]
Exercice 1488. Soient $a,b, \alpha, \beta \in \Rpe$. Montrer que \[ \alpha a^{\frac{1}{\alpha}} + \beta b^{\frac{1}{\beta}} \geqslant (\alpha+\beta)(ab)^{\frac{1}{\alpha+\beta}} \] et étudier le cas d'égalité. \\ Exemple : en déduire que pour tout $a,b \in \Rpe$, $2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b} \geqslant 5 \sqrt[5]{ab}$.
Exercice 1489. Soient $x_0$, $x_1$ et $x_2$ trois réels de l'intervalle $[0;1]$ tels que : $x_0 \leqslant x_1 \leqslant x_2$. \\ Montrer qu'au moins une des quantités $x_1-x_0$ et $x_2-x_1$ est inférieure ou égale à $\Frac{1}{2}$.
Exercice 1490. Soit $a \in \R^{+}$. Montrer que $(\forall \varepsilon > 0,\; a \leqslant \varepsilon) \iff a = 0$.
Exercice 1491. \\
  1. Montrer que pour tout $(a,b) \in (\R^{+*})^2$, $\Frac{a^2}{a+b} \geqslant \Frac{3a-b}{4}$. \\
  2. En déduire que pour tout $(a,b,c) \in (\R^{+*})$, $\Frac{a^2}{a+b}+\Frac{b^2}{b+c}+\Frac{c^2}{c+a} \geqslant \Frac{a+b+c}{2}$.