Loi interne

Exercice 1056. On pose $E = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ muni de la loi de composition $\circ$.\\ Soit $f \in E$.\\ Montrer que $f$ est injective ssi $f$ est régulière à gauche.\\ Montrer que $f$ est surjective ssi $f$ est régulière à droite.
Exercice 1057. Soit un groupe $G$ et soit $A$ une partie de $G$. Soit $K$ l’ensemble des produits finis d’éléments de $A$ ou d’inverses d’éléments de $A$. Montrer que $K$ est le sous-groupe engendré par $A$.
Exercice 1058. Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.\\ On munit le produit cartésien $E \times E$ de l’addition \[ (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y') \] et de la multiplication externe par les complexes définie par \[ (a+ib)\cdot(x,y)=(ax-by,ay+bx). \] Montrer que $E\times E$ est un $\mathbb{C}$-espace vectoriel.\\ On l’appelle le complexifié de $E$.
Exercice 1059. Soit $*$ la loi interne définie dans $\R$ par \[ \forall (x,y) \in \R^2, \; x * y = x+y+x^2y^2 \]
  1. Montrer que $*$ est commutative. \\
  2. La loi $*$ est-elle associative ? \\
  3. Montrer que $\R$ admet un élément neutre pour $*$ et le calculer. \\
  4. Résoudre les équations $1 * x = 0$ et $1 * x = 1$.
Exercice 1060. Soit $E$ un ensemble muni d'une loi interne notée multiplicativement, associative et telle qu'il existe $a \in E$ tel que \[ \forall y \in E, \; \exist x \in E, \; y = axa \]
  1. Montrer que $(E, \cdot)$ admet un neutre, notré $e$. \\
  2. Montrer que $a$ est symétrisable et exprimer le symétrique $a^{-1}$ de $a$.

Exercice 1061. Oral X

\\ Soit $E$ un ensemble fini muni d'une loi de composition interne associative. Montrer l'existence d'un élément $u \in E$ tel que $u^2 = u$.
Exercice 1062. Soit $E$ un ensemble non vide. Pour toutes parties $A$ et $B$ de $E$, on appelle différence symétrique de $A$ et $B$ la partie de $E$ notée $A \Delta B$ définie par \\ \[ A \Delta B = (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) = (A \cup B) \setminus (A \cap B) \] \\
  1. Justifier l’égalité affirmée par la définition ci-dessus. \\
  2. Montrer que l’opération $\Delta$ est commutative et associative. \\
  3. Soit $n \in \N$ avec $n \geqslant 2$. Soit $A_1 , \ldots , A_n$ des parties de $E$. Montrer que $x \in A_1 \Delta A_2 \Delta \cdots \Delta A_n$ si et seulement si le cardinal de $\{ i \in \{ 1 , \ldots , n \} \;/\; x \in A_i \}$ est impair.