Groupes et sous groupes

Exercice 782. Stabilisateur

\\ Soient $x$ un élément d’un ensemble $X$, et $(G,\circ)$ le groupe des bijections de $X$. On appelle stabilisateur de $x$ l’ensemble\\ \[ S_x=\{g \in G : g(x)=x\}. \] Montrer que $S_x$ est un sous-groupe de $G$.

Exercice 783. Intersection et union de sous-groupe

\\ Soient $G_1$ et $G_2$ deux sous-groupes d’un groupe $(G,\perp)$.\\
  1. Montrer que $G_1 \cap G_2$ est un sous-groupe de $G$.\\
  2. Montrer que $G_1 \cup G_2$ est sous-groupe de $G$ $\iff$ $G_1 \subset G_2$ ou $G_2 \subset G_1$.
Exercice 784. On considère l’ensemble\\ \[ E=\left\{\Frac{1}{n!} : n \in \N^*\right\}. \] Déterminer tous les sous-groupes du groupe $(\Q,+)$ contenant $E$.

Exercice 785. Plus petit sous-groupe

\\ Soit $G$ un groupe et soit $A$ une partie de $G$. \\ Montrer qu'il existe un plus petit sous-groupe de $G$ contenant $A$, que l'on notera $\langle A \rangle$ et qu'il peut être décrit des deux manières suivantes : \\
  1. C'est l'intersection des sous-groupes de $G$ contenant $A$.\\
  2. C'est l'ensemble des produits $a_1\hdots a_n \in G$ où $n \geqslant 0$ est entier et pour tout $i \geqslant 1$, $a_i \in A$ ou $a^{-1}_i \in A$. \\ on considère que le produit vide est égal à e et fait partie de cet ensemble.

Exercice 786. Sous-groupes de $\Z$

\\ Soit $n \in \Z$. On désigne par $n\Z$ l'ensemble des multiples de $n$. \\ Montrer que les sous-groupes de $(\Z,+)$ sont de la forme $n\Z$.

Exercice 787. Sous-groupe engendré

\\ Soit $(G,\cdot)$ un groupe et $g\in G$ d'ordre $n$. \\ Montrer que $\langle g \rangle = \{1,g,g^2,\hdots,g^{n-1}\}$ et $\mathrm{Card}\langle g\rangle = n$.

Exercice 788. Groupe fini

\\ Soit $G$ un groupe de cardinal $n$. Soit $g \in G$. \\
  1. Etablir l'existence d'un plus petit entier $p > 0$ tel que $g^p = e$. \\
  2. Montrer que l'ensemble $\{e,g,g^2,\hdots,g^{p-1}\}$ est un sous-groupe de $G$ de cardinal $p$. \\
  3. Montrer que $g^n = e$.

Exercice 789. Groupes cycliques

\\ Montrer que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.

Exercice 790. Sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$

\\ Soit $G$ un groupe commutatif fini de cardinal $n$ et d’élément neutre $e$.\\
  1. Montrer que $x^n=e$ pour tout $x \in G$. \\
  2. Déterminer tous les sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$.

Exercice 791. Oral ENS

\\ Quels sont les groupes qui ne possèdent qu'un nombre fini de sous-groupes ?

Exercice 792. Sous-groupes additifs de $\R$ et de $\R^2$

\\
  • Soit $A$ un sous-groupe additif de $\R$. Montrer que $A$ est soit dense dans $\R$, soit de la forme $a\Z$ avec $a \in A$. \\
  • Soit $A$ un sous-groupe additif de $\R^2$ vérifiant la propriété : \\ \[ B \subset \R^2 \;\; est \;\; bornée \; \Longrightarrow A \cap B \;\; est \;\; finie. \tag{$*$} \] Montrer qu'il existe $(u,v) \in A^2$ tel que $A = u\Z + v\Z$.

    • Exercice 793. Sous-groupes de $\R_+$

    \\
    1. Montrer que les sous-groupes du groupe $(\R,+)$ sont soit de la forme $a\Z$ avec $a \in \Rpe$, soit denses dans $\R$. \\
    2. Application 1 : Montrer que $\{a+b\sqrt{2},\;(a,b)\in\Z^2\}$ est dense dans $\R$. \\
    3. Application 2 : groupe des périodes d’une fonction. \\
      1. Soit $f : \R \to \R$. Montrer que l’ensemble des périodes de $f$ est un sous-groupe de $(\R,+)$. \\
      2. Montrer qu’une fonction continue sur $\R$ qui admet $1$ et $\sqrt{2}$ pour périodes est constante. \\
      3. Trouver une fonction dont le groupe des périodes est dense dans $\R$ mais n’est pas égal à $\R$.