Groupes et sous groupes

Exercice 1063. Soit $(G,\cdot)$ un groupe. \\
  1. Montrer que si $\forall x \in G$, $x^2=e$, alors $G$ est abélien. \\
  2. Montrer que si $\forall (x,y) \in G^2$, $(x \cdot y)^2 = x^2 \cdot y^2$, alors $G$ est abélien. \\
  3. On suppose qu'il existe $n \in \N^*$ tel que $\forall (x,y) \in G^2$, $(x\cdot y)^n = y \cdot x$. Montrer que $G$ est abélien.

Exercice 1064. Oral X

\\ Montrer que, pour tout $n \geqslant 1$, il existe un unique sous-groupe de $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}, +)$ de cardinal $n$.

Exercice 1065. Oral ENS

\\ Soit $G$ un groupe abélien d'ordre $pq$, où $p$ et $q$ sont deux nombres premiers distincts. Montrer que $G$ est cyclique.
Exercice 1066. Soit $G$ un groupe fini non abélien et $Z = \{ g \in G \mid \forall h \in G \; , \; gh = hg \}$ son centre.\\ Montrer que $\abs{Z} \leqslant \dfrac{\abs{G}}{4}$.

Exercice 1067. Oral ENS

\\ Quels sont les groupes qui ne possèdent qu'un nombre fini de sous-groupes ?

Exercice 1068. Sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$

\\ Soit $G$ un groupe commutatif fini de cardinal $n$ et d’élément neutre $e$.\\
  1. Montrer que $x^n=e$ pour tout $x \in G$. \\
  2. Déterminer tous les sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$.

Exercice 1069. Sous-groupes additifs de $\R$ et de $\R^2$

\\
  • Soit $A$ un sous-groupe additif de $\R$. Montrer que $A$ est soit dense dans $\R$, soit de la forme $a\Z$ avec $a \in A$. \\
  • Soit $A$ un sous-groupe additif de $\R^2$ vérifiant la propriété : \\ \[ B \subset \R^2 \;\; est \;\; bornée \; \Longrightarrow A \cap B \;\; est \;\; finie. \tag{$*$} \] Montrer qu'il existe $(u,v) \in A^2$ tel que $A = u\Z + v\Z$.

    • Exercice 1070. Groupes cycliques

    \\ Montrer que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.

    Exercice 1071. Sous-groupes de $\R_+$

    \\
    1. Montrer que les sous-groupes du groupe $(\R,+)$ sont soit de la forme $a\Z$ avec $a \in \Rpe$, soit denses dans $\R$. \\
    2. Application 1 : Montrer que $\{a+b\sqrt{2},\;(a,b)\in\Z^2\}$ est dense dans $\R$. \\
    3. Application 2 : groupe des périodes d’une fonction. \\
      1. Soit $f : \R \to \R$. Montrer que l’ensemble des périodes de $f$ est un sous-groupe de $(\R,+)$. \\
      2. Montrer qu’une fonction continue sur $\R$ qui admet $1$ et $\sqrt{2}$ pour périodes est constante. \\
      3. Trouver une fonction dont le groupe des périodes est dense dans $\R$ mais n’est pas égal à $\R$.
    Exercice 1072. Pour $n\in\N^*$, on note \[ U_n=\{z\in\C\mid z^n=1\}. \] On pose \[ V=\bigcup_{n\in\N^*}U_n. \] Montrer que $V$ est un groupe multiplicatif.

    Exercice 1073. Plus petit sous-groupe

    \\ Soit $G$ un groupe et soit $A$ une partie de $G$. \\ Montrer qu'il existe un plus petit sous-groupe de $G$ contenant $A$, que l'on notera $\langle A \rangle$ et qu'il peut être décrit des deux manières suivantes : \\
    1. C'est l'intersection des sous-groupes de $G$ contenant $A$.\\
    2. C'est l'ensemble des produits $a_1\hdots a_n \in G$ où $n \geqslant 0$ est entier et pour tout $i \geqslant 1$, $a_i \in A$ ou $a^{-1}_i \in A$. \\ on considère que le produit vide est égal à e et fait partie de cet ensemble.

    Exercice 1074. Stabilisateur

    \\ Soient $x$ un élément d’un ensemble $X$, et $(G,\circ)$ le groupe des bijections de $X$. On appelle stabilisateur de $x$ l’ensemble\\ \[ S_x=\{g \in G : g(x)=x\}. \] Montrer que $S_x$ est un sous-groupe de $G$.
    Exercice 1075. Soit $(G, \cdot)$ un groupe, $e$ son élément neutre, et $a,b \in G$ tels que \[ ba = ab^2 \quad et \quad ab =ba^2 \] Montrer que $a=b=e$.
    Exercice 1076. Sur $]-1,1[$ on définit une loi $*$ par \[ \forall (x,y) \in (]-1,1[)^2, \;\; x*y = \Frac{x+y}{1+xy} \] Montrer que $(]-1,1[,*)$ est un groupe commutatif.
    Exercice 1077. Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes d’un groupe $(G,\ast)$ tels que \[ H\cup K \] soit encore un sous-groupe de $G$.\\ Montrer que \[ H\subset K \qquad \text{ou} \qquad K\subset H. \]
    Exercice 1078. Soient $(G,\ast)$ un groupe et $A$ une partie finie non vide de $G$, stable pour $\ast$.\\
    1. Soient $x\in A$ et \[ \varphi:\N\to G,\qquad \varphi(n)=x^n. \] Montrer que $\varphi$ n’est pas injective.\\
    2. En déduire que \[ x^{-1}\in A \] puis que $A$ est un sous-groupe de $(G,\ast)$.
    Exercice 1079. Pour $a\in\N$, on note \[ a\Z=\{ak\mid k\in\Z\}. \]
    1. Montrer que $a\Z$ est un sous-groupe de $(\Z,+)$.\\
    2. Montrer que réciproquement tout sous-groupe de $(\Z,+)$ est de cette forme.
    Exercice 1080. Soient $\omega\in\C$ et \[ H=\{a+\omega b\mid a,b\in\Z\}. \] Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(\C,+)$.
    Exercice 1081. Pour $a\in\C^*$ et $b\in\C$, on définit \[ f_{a,b}:\C\to\C,\qquad f_{a,b}(z)=az+b. \] Montrer que \[ \{f_{a,b}\mid a\in\C^*,\;b\in\C\} \] muni de la composition est un groupe.

    Exercice 1082. Ordre d'un élément

    \\ Pour tout $x$ un élément d'un groupe $(G, \cdot)$ d'élément neutre $e$, $x$ est dit d'ordre fini si et seulement si il existe $n \in \N^*$ tel que $x^n =e$. L'ordre de $x$ est le plus petit entier $n \in \N^*$ tel que $x^n = e$. \\ Soit $(G, \cdot)$ un groupe et $(a,b) \in G^2$. \\
    1. Montrer que si $a$,$b$ et $ab$ sont d'ordre $2$, alors $ab=ba$. \\
    2. Montrer que si $a$ est d'ordre fini, alors $a^{-1}$ aussi et ont le même ordre. \\
    3. Montrer que si $a$ est d'ordre fini, alors $bab^{-1}$ aussi et ils ont le même ordre. \\
    4. Montrer que si $ab$ est d'ordre fini, alors $ba$ aussi et ont le même ordre.
    Exercice 1083. On considère les applications de \[ E=\R\setminus\{0,1\} \] dans lui-même définies par \[ i(x)=x,\qquad f(x)=1-x,\qquad g(x)=\Frac{1}{x},\qquad h(x)=\Frac{x}{x-1},\qquad k(x)=\Frac{x-1}{x},\qquad \ell(x)=\Frac{1}{1-x}. \]
    1. Montrer que ce sont des permutations de $E$.\\
    2. Construire la table de composition de \[ G=\{i,f,g,h,k,\ell\}. \]
    3. Montrer que $G$ muni de la composition est un groupe non commutatif.

    Exercice 1084. Groupe fini

    \\ Soit $G$ un groupe de cardinal $n$. Soit $g \in G$. \\
    1. Etablir l'existence d'un plus petit entier $p > 0$ tel que $g^p = e$. \\
    2. Montrer que l'ensemble $\{e,g,g^2,\hdots,g^{p-1}\}$ est un sous-groupe de $G$ de cardinal $p$. \\
    3. Montrer que $g^n = e$.

    Exercice 1085. Centre d'un groupe

    \\ Soit $(G,*)$ un groupe. On appelle centre de $G$ l’ensemble\\ \[ Z(G)=\{x \in G : \forall y \in G, \; xy = yx\}. \] Montrer que $(Z(G),*)$ est un sous-groupe de $G$ abélien. \\ Z(G) est le centre du groupe G.
    Exercice 1086. Soit $n \in \N^*$. \\
    1. Montrer que l’ensemble $\U_n$ est un groupe multiplicatif : \\ \[ U_n = \{z \in \C \; : \; z^n = 1\} \]
    2. Montrer que l’ensemble $V$ suivant est un groupe multiplicatif : \[ V = \{z \in \C \quad \mathrm{tels} \; \mathrm{que} \quad \exists n \in \N^*, \; z^n = 1\} \]
    3. Soient $p$ et $q$ deux entiers premiers entre eux. Déterminer $\U_p \cap \U_q$.\\
    4. Montrer que l’application $\varphi : \U_p \times \U_q \to \U_{pq}$ définie par $\varphi(x,y)=xy$ est un isomorphisme de groupe.
    Exercice 1087. On considère l’ensemble\\ \[ E=\left\{\Frac{1}{n!} : n \in \N^*\right\}. \] Déterminer tous les sous-groupes du groupe $(\Q,+)$ contenant $E$.
    Exercice 1088. Munissons $E=\mathbb{R}^*\times\mathbb{R}$ de la loi $*$ définie par :\\ $\forall (x,y)\in E,\forall (u,v)\in E,\quad (x,y)*(u,v)=\left(xu,\Frac{v}{x}+yu\right)$.\\
    1. Démontrer que $(E,*)$ est un groupe.\\
    2. Pour toute application $f:\mathbb{R}^*\to\mathbb{R}$, on pose $G_f=\{(x,f(x))\ /\ x\in\mathbb{R}^*\}$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $f$ pour que $G_f$ soit un sous-groupe de $E$.
    Exercice 1089. Soit $G$ un groupe noté multiplicativement.\\ On note $D(G)=\mathrm{Gr}\{xyx^{-1}y^{-1}\;;\;(x,y)\in G^2\}$.\\
    1. Montrer que $D(G)$ est un sous-groupe distingué de $G$.\\
    2. On suppose que $H$ est un sous-groupe distingué de $G$.\\ Montrer que $G/H$ est abélien si et seulement si $D(G)\subset H$.
    Exercice 1090. Soit $E$ un ensemble fini muni d'une loi de composition interne $*$ associative pour laquelle tous les éléments de $E$ sont réguliers. Etablir que $(E,*)$ est un groupe.
    Exercice 1091. Soit $(G,\cdot)$ un groupe. On suppose que l’application $f:x\mapsto x^3$ est un endomorphisme surjectif de $G$. L’objectif est de démontrer que $G$ est commutatif.\\
    1. Démontrer que : $\forall (x,y)\in G^2,\ x^3y^3(x^{-1})^3=xy^3x^{-1}$.\\
    2. Démontrer que : $\forall (x,y)\in G^2,\ x^2y^3=y^3x^2$.\\
    3. Démontrer que : $\forall (x,y)\in G^2,\ x^2y=yx^2$.\\
    4. Démontrer que : $\forall (x,y)\in G^2,\ x^2y^2=yxyx$.\\
    5. Conclure.
    Exercice 1092. Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini commutatif. Pour $y\in G$, on note $o(y)$ l’ordre de $y$.\\
    1. Soit $x\in G$ tel que $o(x)=pq$, où $(p,q)\in\N^{2}$. Déterminer $o(x^{p})$.\\
    2. Soit $(x,y)\in G^{2}$. On pose $o(x)=p$ et $o(y)=q$. On suppose que $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Déterminer $o(xy)$.\\
    3. Montrer qu’il existe un $x\in G$ tel que $o(x)$ soit égal au plus petit commun multiple des ordres des éléments de $G$.
    Exercice 1093. Soit $a\in\C^*$ et \[ H=\{a^n\mid n\in\Z\}. \] Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(\C^*,\times)$.
    Exercice 1094. Soit $a$ un élément d’un ensemble $E$.\\ On pose \[ H=\{f\in\mathfrak{S}_E\mid f(a)=a\}. \] Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(\mathfrak{S}_E,\circ)$.
    Exercice 1095. Soit $(G,\times)$ un groupe, $H$ un sous-groupe de $G$ et $a\in G$.\\
    1. Montrer que \[ aHa^{-1}=\{axa^{-1}\mid x\in H\} \] est un sous-groupe de $G$.\\
    2. À quelle condition simple \[ aH=\{ax\mid x\in H\} \] est-il un sous-groupe de $G$ ?
    Exercice 1096. On appelle centre d’un groupe $(G,\ast)$ la partie \[ C=\{x\in G\mid \forall y\in G,\;x\ast y=y\ast x\}. \] Montrer que $C$ est un sous-groupe de $(G,\ast)$.
    Exercice 1097. Soit $G$ un groupe, et $H \subsetneq G$ un sous-groupe de $G$. Montrer que le groupe engendré par $G \setminus H$ est $G$ tout entier.
    Exercice 1098. Soit $G$ un groupe multiplicatif et $H$ une partie finie non vide de $G$, telle que pour tous $x,y \in H$, $xy \in H$.\\ Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$.
    Exercice 1099. Soit $(G,+)$ un groupe commutatif additif.\\ Soit $x \in G$ et $n \in \mathbb{Z}$. Montrer que : $(n+1)\cdot x = n \cdot x + x$ et $(n-1)\cdot x = n \cdot x - x$.
    Exercice 1100. Soit $(G,+)$ un groupe commutatif additif d'élément neutre noté $0$ avec l'application \[ \left\{ \begin{array}{ccc} \mathbb{Z}\times G & \to & G\\ (n,x) & \mapsto & n\cdot x \end{array} \right. \] On se donne $x,y \in G$ et $n,p \in \mathbb{Z}$. Montrer que :\\
    1. $1\cdot x = x$\\
    2. $(n+p)\cdot x = n\cdot x + p\cdot x$\\
    3. $n\cdot(x+y) = n\cdot x + n\cdot y$\\
    4. $n\cdot(p\cdot x) = (np)\cdot x$\\
    On dit que ces propriétés confèrent à $G$ une structure de $\mathbb{Z}$-module.
    Exercice 1101. Vérifier que $(x,y) \mapsto \max(x,y)$ est une loi de composition commutative et associative sur $\mathbb{N}$. Admet-elle un élément neutre ? Quels sont les éléments inversibles ? Quels sont les sous-monoïdes de $\mathbb{N}$ ?
    Exercice 1102. Soit $E$ un ensemble fini non vide muni d’une loi de composition associative pour laquelle tous les éléments de $E$ sont réguliers, c’est-à-dire que pour tous $y,z \in E$, $xy = xz$ implique $y=z$, et $yx = zx$ implique $y=z$.\\ Montrer que $E$ est un groupe.
    Exercice 1103. Soit $G$ un groupe abélien fini de cardinal $n \in \N^*$. Soit $x \in G$. Montrer que $x^n=e$.
    Exercice 1104. Vérifier que $(x,y) \mapsto \max(x,y)$ est une loi de composition commutative et associative sur $\mathbb{N}$. Admet-elle un élément neutre ? Quels sont les éléments inversibles ? Quels sont les sous-monoïdes de $\mathbb{N}$ ?
    Exercice 1105. Soit $G = ]-1,1[$. On pose $x \ast y = \dfrac{x+y}{1+xy}$. Montrer que $(G,\ast)$ est un groupe abélien.\\ Indication : La formule de $x \ast y$ évoque la tangente hyperbolique.
    Exercice 1106. Soit un groupe $(G,\ast)$ de neutre $e$. L'inverse de $x$ est noté $x^{-1}$. \\ Soit $a \in G$ un élément fixé. \\ On définit une loi $T$ sur $G$ par : $\forall x,y \in G \;\; xTy = x \ast a \ast y$. \\ Montrer que $(G,T)$ est un groupe. On notera $e'$ le neutre de $G$ et $x'$ l'inverse de $x$ pour la loi $T$.
    Exercice 1107. Soit $G$ un groupe multiplicatif de neutre noté $e$. Soit $a,b \in G$ et soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $(ab)^n=e \Rightarrow (ba)^n=e$.
    Exercice 1108. Soit $G$ un groupe fini, dont la loi est notée multiplicativement, de neutre noté $e$. \\ On suppose que pour tout $x \in G$, $x^2=e$. \\
    1. Montrer que $G$ est commutatif. \\
    2. Soit $H$ un sous-groupe de $G$ et $a \in G \setminus H$. On pose $aH=\{ax \mid x \in H\}$. \\
      1. Montrer que $H \cap aH$ est vide et construire une bijection entre $H$ et $aH$. En déduire que $|H \cup aH|=2|H|$. \\
      2. Montrer que $H \cup aH$ est un sous-groupe de $G$. \\
    3. Montrer qu’il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que le cardinal de $G$ est égal à $2^n$.
    Exercice 1109. Soit $G$ un groupe fini d’ordre $n$. Soit $\{g_1,\ldots,g_k\}$ un système générateur minimal pour l’inclusion de $G$. Montrer que $n \geqslant 2^k$.

    Exercice 1110. Théorème de Lagrange

    \\ Soit un groupe fini $G$ et soit $H$ un sous-groupe de $G$. On note $n$ l’ordre de $G$, c’est-à-dire son cardinal. \\ On note $d$ l’ordre de $H$. On veut montrer que $d$ divise $n$. Ce résultat est appelé théorème de Lagrange. \\ Pour $x \in G$, on appelle classe à gauche de $x$ suivant $H$ l’ensemble $xH$ défini par : $xH=\{xh \;\; t.q. \;\; h \in H\}$. \\ On définit une relation binaire sur $G$ en posant : $y \sim x$ si $yH=xH$. \\
    1. Montrer que $\sim$ est une relation d’équivalence sur $G$. On rappelle que les classes d’équivalence pour une relation d’équivalence sur un ensemble $E$ constituent une partition de $E$. \\
    2. Soit $x,y \in G$, montrer que $y \sim x \Leftrightarrow \exists h \in H \;\; t.q. \;\; y=xh$. \\
    3. Soit $x \in G$, montrer que la classe d’équivalence de $x$ pour la relation $\sim$ est $xH$. \\ Construire une bijection entre $xH$ et $H$ et conclure.
    Exercice 1111. Soit $G$ un groupe. \\ Le centre de $G$ est l’ensemble $Z(G)$ des éléments qui commutent avec tous les éléments de $G$. \\
    1. Décrire $Z(G)$ à l’aide de quantificateurs et montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe de $G$. \\
    2. Que vaut $Z(G)$ lorsque $G$ est abélien ? \\
    3. Si $a,b \in \mathbb{R}$, on pose $f_{a,b} : \left\{ \begin{aligned} \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto ax+b \end{aligned} \right.$. \\ Montrer que $G=\{f_{a,b} \mid a \in \mathbb{R}^*,\; b \in \mathbb{R}\}$ est un groupe pour $\circ$ et déterminer son centre. \\

    Exercice 1112. Sous-groupes de $\Z$

    \\ Soit $n \in \Z$. On désigne par $n\Z$ l'ensemble des multiples de $n$. \\ Montrer que les sous-groupes de $(\Z,+)$ sont de la forme $n\Z$.

    Exercice 1113. Sous-groupe engendré

    \\ Soit $(G,\cdot)$ un groupe et $g\in G$ d'ordre $n$. \\ Montrer que $\langle g \rangle = \{1,g,g^2,\hdots,g^{n-1}\}$ et $\mathrm{Card}\langle g\rangle = n$.

    Exercice 1114. Intersection et union de sous-groupe

    \\ Soient $G_1$ et $G_2$ deux sous-groupes d’un groupe $(G,\perp)$.\\
    1. Montrer que $G_1 \cap G_2$ est un sous-groupe de $G$.\\
    2. Montrer que $G_1 \cup G_2$ est sous-groupe de $G$ $\iff$ $G_1 \subset G_2$ ou $G_2 \subset G_1$.
    Exercice 1115. Soit $n \geqslant 1$. Montrer à chaque fois que $S_n$ est engendré par :\\
    1. Les transpositions de $S_n$. \\
    2. Les transpositions de la forme $(1\; i)$ pour $i \in \llbracket 2,n \rrbracket$. \\
    3. Les transpositions de la forme $(i\; i+1)$ pour $i \in \llbracket 1,n-1 \rrbracket$. \\
    4. Les permutations $(1\;2)$ et $(1\;2\ldots n)$.
    Exercice 1116. Soit $n \geqslant 1$. On note $A_n$ le groupe alterné.
    1. Montrer que si $n \geqslant 4$, alors $Z(A_n)=\{id\}$. \\
    2. Montrer que si $n \geqslant 5$, alors $A_n$ est engendré par les $3$-cycles, et que les $3$-cycles sont conjugués dans $A_n$.
    Exercice 1117. On veut montrer le résultat suivant : si $(G,\ast)$ est un groupe fini abélien et si $p$ est un facteur premier de $\mathrm{card}(G)$, alors il existe dans $G$ un élément d'ordre $p$.\\
    1. Justifier qu'il existe $r \in \mathbb{N}^*$ et $x_1,\ldots,x_r \in G$ tels que \[ G=\langle x_1,\ldots,x_r \rangle. \]
    2. Conclure en utilisant l'application \[ \varphi : \langle x_1 \rangle \times \cdots \times \langle x_r \rangle \longrightarrow G,\quad (x_1^{k_1},\ldots,x_r^{k_r}) \longmapsto x_1^{k_1}\ast \cdots \ast x_r^{k_r}. \]
    Exercice 1118. Soit $(G,\ast)$ un groupe cyclique.\\
    1. Montrer que tous les sous-groupes de $G$ sont cycliques.\\
    2. On suppose que $\mathrm{card}(G)=n$ et que $d \in \N^*$ divise $n$. Montrer que $G$ possède un unique sous-groupe de cardinal $d$.\\
    3. En déduire que \[ n=\Sum_{d \mid n}\varphi(d), \] où $\varphi$ désigne l'indicatrice d'Euler. \]
    Exercice 1119. Soit $H$ un sous-groupe du groupe $(\R,+)$. Montrer qu'on a l'alternative suivante :\\
    1. il existe $a \in \R$ tel que \[ H=a\Z \] (on parle de sous-groupe discret) ;\\
    2. ou alors $H$ est dense dans $\R$.\\
    Application : en déduire que, pour $\alpha \in \R$ donné, la suite $(\cos(n\alpha))_{n \in \N}$ est périodique ou dense dans $[-1,1]$.
    Exercice 1120. Soient $A$ et $B$ deux parties d'un groupe fini $(G,\ast)$ telles que \[ \mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)>\mathrm{card}(G). \] Montrer que \[ \forall g \in G,\quad \exists (a,b)\in A \times B,\quad g=a \ast b. \]
    Exercice 1121. Soit $(G,\times)$ un groupe fini, de neutre $e$, tel que \[ \forall x \in G,\quad x^2=e. \]
    1. Montrer que $G$ est abélien et que son cardinal est pair si \[ G \neq \{e\}. \]
    2. Prouver que le cardinal de \[ G \] est une puissance de \[ 2. \]
    Exercice 1122. Soit $(G,\ast)$ un groupe. On définit son centre par \[ Z(G)=\{x \in G,\; \forall y \in G,\; y \ast x=x \ast y\}. \]
    1. Démontrer que \[ Z(G) \] est un sous-groupe de \[ (G,\ast). \]
    2. Soit \[ p \] un nombre premier. On appelle \[ p\text{-groupe} \] tout groupe fini \[ (G,\ast) \] tel qu'il existe \[ k \in \N \] vérifiant \[ |G|=p^k. \] En utilisant l'action de \[ G \] sur lui-même par conjugaison, montrer que \[ |Z(G)| \] est de la forme \[ p^r \] avec \[ r \in [1,k]. \]
    3. Montrer que sont équivalents :\\ (i) \[ G \] est un \[ p\text{-groupe}, \] (ii) tout élément de \[ G \] est d'ordre \[ p^r \] pour un certain \[ r \in \N. \]
    4. Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes de cardinal \[ p^2. \]