Morphismes de groupes

Exercice 1123. \\
  1. Montrer que l’application $f : \C^* \longrightarrow \R_+^*$ définie par $z \longmapsto |z|$ est un morphisme de groupe multiplicatif. Déterminer son noyau et son image.\\
  2. Montrer que l’application $\exp : (\C,+) \longrightarrow (\C^*,\times)$ est un morphisme de groupe. Déterminer son noyau et son image.

Exercice 1124. Oral Mines-Pont

\\
  1. On considère deux entiers $a$ et $b$, et on définit une application $f : \Z^{2}\longrightarrow\Z$ par \\ \[ f(x,y)=ax+by. \] Montrer que $f$ est un morphisme de groupes. \\
  2. Déterminer $\ker(f)$ et $\mathrm{Im}(f)$.
Exercice 1125. Montrer que les groupes $(\Z,+)$ et $(\Z^2,+)$ ne sont pas isomorphes.
Exercice 1126. Soient $G$ un groupe fini et $\varphi : G \to \C^{*}$ un morphisme de groupes. Calculer $\Sum_{x \in G} \varphi(x)$.
Exercice 1127. Soit $\varphi : G_1 \longrightarrow G_2$ un morphisme entre un groupe fini $G_1$ et un groupe $G_2$.\\ Montrer que $\mathrm{Card}(G_1)=\mathrm{Card}(\ker(\varphi)) \times \mathrm{Card}(\mathrm{Im}(\varphi))$.

Exercice 1128. Oral ENS

\\ Soit $G$ un groupe fini et $f$ un morphisme de $G$ dans $G$. Montrer que \[ \ker f = \ker f^2 \iff \mathrm{Im}\,f = \mathrm{Im}\,f^2 \]
Exercice 1129. Soit un anneau $A$.\\
  1. Soit $x \in A$. Montrer que : $\forall n \in \mathbb{Z}$, $(n\cdot 1_A)x = n\cdot x$\\
  2. Montrer que $f : \left\{ \begin{array}{ccc} \mathbb{Z} & \to & A\\ n & \mapsto & n\cdot 1_A \end{array} \right.$ est un morphisme d’anneaux.

Exercice 1130. Sous-groupe distingué

\\ Un sous-groupe $H$ de $G$ est dit distingué ou normal si pour tout $h \in H$ et tout $g \in G$, on a $ghg^{-1} \in H$. On note alors $H \trianglelefteq G$. \\
  1. Montrer que si $f : G \to G'$ est un morphisme de groupe, alors $\ker f$ est un sous-groupe distingué. \\
  2. Soit $G$ un groupe et $H \trianglelefteq G$ un sous-groupe distingué. Montrer que les classes à gauche et à droite modulo $H$ coïncides : $xH = Hx$ pour tout $x \in G$. Montrer réciproquement que si les classes à gauche et à droite coïncides, alors $H$ est distingué.
Exercice 1131. Soit $G$ un groupe et soit $f : \left\{ \begin{aligned} G &\longrightarrow G \\ x &\longmapsto x^{-1} \end{aligned} \right.$. Montrer que $f$ est un morphisme si et seulement si $G$ est abélien.
Exercice 1132. Soit $G$ un groupe dont la loi est notée multiplicativement, de neutre noté $e$. \\
  1. Soit $a \in G$. \\ On définit l’application $\tau_a : \left\{ \begin{aligned} G &\longrightarrow G \\ x &\longmapsto \tau_a(x)=ax \end{aligned} \right.$ appelée translation à gauche par $a$. \\ Montrer que $\tau_a$ est une permutation de $G$, c’est-à-dire une bijection de $G$ dans lui-même. \\
  2. Montrer que l’ensemble $S_G$ des permutations de $G$ est un groupe pour la loi de composition $\circ$ et donner son élément neutre. \\
  3. Montrer que l’application $\varphi : \left\{ \begin{aligned} G &\longrightarrow S_G \\ a &\longmapsto \tau_a \end{aligned} \right.$ est un morphisme injectif de groupe. \\
  4. Donner une CNS sur $a \in G$ pour que $\tau_a$ soit un morphisme de groupes.

Exercice 1133. Automorphisme interieur

\\ Soit $(G,\cdot)$ un groupe. Pour $a \in G$, on note $\tau_a : G \to G$ l'application définie par \[ \tau_a(x) = axa^{-1} \]
  1. Montrer que $\tau_a$ est un automorphisme de $G$, qu'on appelle automorphisme intérieur associé à $a$. \\
  2. Montrer que $\forall (a,b) \in G^2$, $\tau_a \circ \tau_b = \tau_{ab}$.

Exercice 1134. Groupe produit

\\ Soient $H$ et $K$ deux groupes multiplicatifs.\\
  1. Montrer que $H \times K$ muni de la loi $\perp$ définie par\\ \[ \forall (x_1,x_2) \in H^2, \;\forall (y_1,y_2) \in K^2, \quad (x_1,y_1)\perp(x_2,y_2) = (x_1 \cdot x_2, y_1 \cdot y_2) \] est un groupe.\\
  2. Montrer que $H \times \{0\}$ et $\{0\} \times K$ sont des sous-groupes de $H \times K$ isomorphes à $H$ et $K$.
Exercice 1135. Soit $(G,\cdot)$ un groupe cyclique d’ordre $n$, engendré par $a$. Considérons $f$ l’application de $G$ dans $G$ définie par $f(x)=x^r$, pour $r$ entier naturel fixé. Notons $d=\mathrm{pgcd}(n,r)$.\\
  1. Démontrer que $f$ est un endomorphisme de $G$.\\
  2. Déterminer $\ker(f)$.\\
  3. Démontrer que $\mathrm{Im}(f)$ est le sous-groupe de $G$ engendré par $a^d$.\\
  4. Soit $y$ dans $G$. Quel est le nombre de solutions de l’équation $x^r=y$ ?
Exercice 1136. \\
  1. Montrer que les groupes $(\R^*,\times)$ et $(\C^*, \times)$ ne sont pas isomorphes. \\
  2. Montrer que les groupes $(\Q,+)$ et $(\Q^*_+, \times)$ ne sont pas isomorphes.
Exercice 1137. Déterminer tous les morphismes de $(\Z,+)$ dans lui-même. Lesquels sont injectifs ? Lesquels sont surjectifs ?
Exercice 1138. Montrer qu'un morphisme de groupe $f : G \to G'$ est injective si et seulement si $\ker f = \{e\}$.

Exercice 1139. Oral ENS

\\ Déterminer tous les morphismes de groupes de $(\Q,+)$ dans $(\Z,+)$.
Exercice 1140. Soit $n$ un entier naturel non nul, on note $U_n$ le groupe des racines $n$-ièmes de l’unité dans $\C$. Pour $k \in [0,n-1]$, on pose $\omega = e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ et on considère l’application\\ \[ \varphi : \Z \longrightarrow U_n,\qquad m \longmapsto \omega^m. \]
  1. Montrer que $\varphi$ est un morphisme du groupe $(\Z,+)$ dans $(U_n,\times)$. Déterminer $\ker(\varphi)$ et $\mathrm{Im}(\varphi)$.\\
  2. On dit qu’une racine $n$-ième de l’unité $\omega$ est primitive si $U_n$ est égal à l’ensemble des puissances de $\omega$. Donner une description des racines primitives, et en donner la liste pour $n=6$, $n=7$ et $n=12$.\\
  3. Montrer qu’une racine est primitive si, et seulement si, sa conjuguée l’est aussi.\\
  4. Donner une interprétation géométrique du fait que $e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ est une racine primitive.
Exercice 1141. Soit $(G,\cdot)$ un groupe et $E$ un ensemble. Soit $f : E \to G$ une application bijective de bijection réciproque $f^{-1}$. On note $*$ la loi interne dans $E$ définie par \[ \forall x,y \in E, \;\; x * y = f^{-1}(f(x)f(y)) \]
  1. Montrer que $(E,*)$ est un groupe et que $f$ est un isomorphisme de $(E,*)$ dans $(G,\cdot)$. \\
  2. Exemple : soit $*$ la loi interne définie dans $\R$ par \[ \forall x,y \in \R, \;\; x * y = \sqrt[3]{x^3+y^3} \] Montrer que $(\R,*)$ est un groupe, isomorphe à $(\R,+)$.
Exercice 1142. $p$ et $q$ sont deux entiers non nuls premiers entre eux. On pose $n=pq$.\\ Soit $G$ un groupe fini commutatif d’élément neutre $e$ tel que, pour tout $x\in G$, $x^{n}=e$.\\ On définit \[ M=\{x\in G\;;\;x^{p}=e\},\qquad N=\{x\in G\;;\;x^{q}=e\}. \]
  1. Montrer que $M$ et $N$ sont des sous-groupes de $G$.\\
  2. Montrer que $M\cap N=\{e\}$.\\
  3. Montrer que l’application $f:M\times N\to G$, $(x,y)\mapsto xy$, est un isomorphisme de groupes.
Exercice 1143. Soient $G$ un groupe fini et $f : G \to G$ un morphisme de groupes.\\ On suppose que \[ \Card\{x \in G \;;\; f(x) = x^{-1}\} > \Frac{\Card(G)}{2}. \] Montrer que $f$ est involutif, c'est-à-dire que $f \circ f = \mathrm{id}_G$.
Exercice 1144. Quels sont les morphismes de $(\Q,+)$ dans $(\Q^*,\times)$ ?
Exercice 1145. Soit $f$ un morphisme d'un groupe fini $(G,\ast)$ dans $(\mathcal{O}(\R^n),\circ)$, et posons \[ \pi=\frac{1}{|G|}\Sum_{g \in G} f(g). \]
  1. Montrer que $\pi$ est un projecteur d'image \[ \bigcap_{g \in G}\ker(f(g)-\mathrm{Id}_{\R^n}). \]
  2. En déduire le nombre moyen de points fixes d'un élément du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$.\\
  3. Retrouver directement le résultat de la question précédente.
Exercice 1146.
  1. Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}(E)$, de cardinal noté \[ |G|. \] On pose \[ E^G=\{x \in E,\; \forall g \in G,\; g(x)=x\}. \] Montrer que \[ \dim(E^G)=\frac{1}{|G|}\Sum_{g \in G}\mathrm{tr}(g). \]
  2. Soient \[ n \in \N^* \] et \[ \widetilde{G} \] un sous-groupe de \[ \mathfrak{S}_n. \] Pour \[ \widetilde{g}\in \widetilde{G}, \] on note \[ F(\widetilde{g}) \] le nombre de points fixes de \[ \widetilde{g}. \] Soit \[ r \] le nombre d'orbites pour l'action de \[ \widetilde{G} \] sur \[ [1,n]. \] Déduire de ce qui précède que \[ r=\frac{1}{|\widetilde{G}|}\Sum_{\widetilde{g}\in \widetilde{G}}F(\widetilde{g}). \]