Anneaux et corps

Exercice 1147. \\
  1. Montrer que tout anneau intègre et fini est un corps.\\
  2. Trouver tous les sous-corps de $\Q$.\\
  3. Existe-t-il un corps $\mathbb{K}$ pour lequel $(\mathbb{K},+)$ est isomorphe à $(\mathbb{K}^*,\times)$ ?

Exercice 1148. Oral Mines-Pont

\\ Soit $(A,+,\times)$ un anneau intègre. \\ Montrer que toute partie finie non vide $\mathscr{P}$ de $A \backslash \{0_A\}$ stable par multiplication est un sous-groupe du groupe multiplicatif $A^{\times}$ des éléments inversibles de $A$.

Exercice 1149. Nilpotence

\\ Soit $A$ un anneau. \\
  1. Soit $(a,b) \in A^2$. Montrer que si $a$ est nilpotent et si $ab=ba$ alors $ab$ est nilpotent. \\
  2. Soit $a \in A$ nilpotent. Montrer que $1-a$ est inversible dans $A$ et exprimer $(1-a)^{-1}$. \\
  3. Soit $(a,b) \in A^2$. Montrer que si $a,b$ sont nilpotents et $ab=ba$ alors $a+b$ est nilpotent.

Exercice 1150. CCP

\\ On considère l’ensemble $E$ défini par $E=\left\{\Frac{p}{q} : p \in \Z,\; q \in \N^*,\; q \;\; impair \;\; \right\}$.\\
  1. Montrer que $(E,+,\times)$ est un anneau.\\
  2. $(E,+,\times)$ est-il un corps ?

Exercice 1151. Idéaux

\\
  1. Montrer qu’un corps est intègre. Est-ce qu’un anneau intègre est un corps ? \\
  2. Montrer qu’un anneau intègre fini est un corps. \\
  3. Soit $A$ un anneau non nul commutatif. \\
    1. Montrer que $A$ est un corps si et seulement si les seuls idéaux de $A$ sont $A$ et $\{0\}$. \\
    2. On suppose que $A$ est intègre et n’a qu’un nombre fini d’idéaux. Montrer que $A$ est un corps.
Exercice 1152. Soit $(\mathbb{K},+,\times)$ un corps fini. On note $\mathbb{K} \setminus \{0\}$ par $\mathbb{K}^*$.\\ Calculer $ \Prod_{x \in \mathbb{K}^*} x$.

Exercice 1153. L’anneau $\Z[j]$

\\ On note $j$ le nombre complexe $j = e^{\frac{2i\pi}{3}} = -\Frac12 + i \Frac{\sqrt3}{2}$. \\
  1. Vérifier que $1 + j + j^2 = 0$. \\
  2. Soit $A = \{ a + bj : a,b \in \Z \}$. Montrer que $(A,+,\times)$ est un anneau. \\
  3. Montrer que pour tout $x \in A$ on a : $\abs{x}^2 \in \N$. \\
  4. Soit $x \in A$. Montrer que $x$ est inversible dans $A$ $\Longleftrightarrow$ $\abs{x}=1$. \\
  5. Déterminer l’ensemble $A^\ast$ des éléments inversibles de l’anneau $A$.

Exercice 1154. CCP

\\ Un élément $x$ d’un anneau $A$ est nilpotent lorsqu’il existe $n\in\N^{*}$ tel que $x^{n}=0$. \\
  1. Quels sont les éléments nilpotents de $A$ si $A$ est un corps ? \\
  2. Soient $x$ et $y$ deux éléments de $A$ tels que $x\cdot y$ est nilpotent. Montrer que $y\cdot x$ est nilpotent. \\
  3. On note $1$ l’élément neutre de $A$ pour la multiplication. Soit $x$ un élément nilpotent de $A$. Montrer que $1-x$ est inversible. \\
  4. Soient $x$ et $y$ deux éléments de $A$ nilpotents et qui commutent. Montrer que $x+y$ et $x\cdot y$ sont nilpotents.

Exercice 1155. Anneau $\Z[i]$

\\ On pose $\Z[i]= \{a+ib, \;\; (a,b) \in \Z^2 \}$. \\
  1. Montrer que $\Z[i]$ est un sous-anneau de $\C$. \\
  2. En considérant le module, déterminer $\Z[i]^*$. \\
  3. Le nombre $2$ est-il irréductible dans $\Z[i]$ ?
Exercice 1156. \\
  1. Montrer que l'ensemble $\Q[\sqrt{2}] = \{a+b \sqrt{2} \in \R, \;\; (a,b) \in \Q^2 \}$ est un sous-anneau de $\R$. \\
  2. Déterminer $\Q[\sqrt{2}]^*$. \\
  3. Montrer que l'application $a+b\sqrt{2} \mapsto a-b\sqrt{2}$ est un automorphisme de corps.

Exercice 1157. Anneau de Boole n°2

\\ Soit $A$ un anneau tel que $x^2=x$ pour tout $x \in A$. \\ Montrer que $A$ est intègre si et seulement si il contient exactement deux éléments.
Exercice 1158. Soit $\varphi : \mathbb{K} \longrightarrow \mathbb{L}$ un morphisme de corps.\\ Montrer que $\varphi$ est injectif.
Exercice 1159. Soit $(A,+,\cdot)$ un anneau. On définit le centre $C$ de $A$ par \[ C = \{x \in A \; ; \; \forall a \in A, \;\; ax=xa \} \] Montrer que $C$ est un sous-anneau de $A$.
Exercice 1160. Soit $A$ un anneau tel que $x^{3}=x, \quad \forall x \in A$. \\ Montrer que $A$ est commutatif.
Exercice 1161. Soit $K$ un anneau commutatif fini. Montrer que $K$ est un corps si, et seulement si, il possède un seul élément nilpotent et exactement deux éléments idempotents (c’est-à-dire tels que $a^2=a$).
Exercice 1162. Soit $B$ un anneau. On note $\mathrm{Inv}(B)$ l’ensemble des éléments inversibles de $B$.\\ Soient $E$ un ensemble et $A$ un anneau. Montrer que \[ \mathrm{Inv}\!\parenthese{\mathcal{F}(E,A)}=\mathcal{F}(E,\mathrm{Inv}(A)). \]
Exercice 1163. Vérifier que le seul sous-anneau de $\mathbb{Z}$ est $\mathbb{Z}$.
Exercice 1164. Soit un anneau $A$.\\
  1. Soit $x$ un élément nilpotent de $A$ et soit $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $x^n = 0$. Montrer que $x$ n’est pas inversible.\\ Montrer que $1-x$ est inversible et d’inverse $1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}$.\\
  2. Soit $x$ et $y$ deux éléments nilpotents et permutables $(xy = yx)$, montrer que $xy$ est nilpotent, ainsi que $x+y$.
Exercice 1165. Soit $A$ un anneau unitaire tel que $x^6 = x, \; \forall x \in A$. \\
  1. Montrer que $x^2 = x$ pour tout $x \in A$. \\
  2. En déduire que $A$ est commutatif.
Exercice 1166. \\
  1. Déterminer tous les morphismes d’anneaux de $\Z$ dans $\Z$, de $\Q$ dans $\Q$, de $\Q$ dans $\Z$ et de $\R$ dans $\Q$.\\
  2. Déterminer tous les automorphismes de corps de $\R$, et tous les automorphismes de corps continus de $\C$.
Exercice 1167. \\
  1. Soit $E=\{a+b\sqrt{2} : (a,b) \in \Q^2\}$. Montrer que $(E,+,\times)$ est un corps commutatif.\\
  2. Montrer que $F=\{a+ib\sqrt{3} : (a,b) \in \Q^2\}$ est un corps.
Exercice 1168. Soit un corps $K$, $a \in K \setminus \{1\}$ et $n \in \mathbb{N}$, montrer que $1+a+\cdots+a^n = \dfrac{1-a^{n+1}}{1-a}$.
Exercice 1169. Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à $2$. On considère l'ensemble \[ A_p = \{x \in \Q, \; \exist(a,b) \in \Z \times \N^*, \; x = \Frac{a}{b} \;\; et \;\; p \nmid b \} \]
  1. Montrer que $A_p$ est un sous-anneau de $\Q$ pour les lois usuelles. \\
  2. Est-ce que $A_p$ est un sous-corps de $\Q$ pour les lois usuelles ?
Exercice 1170. Soit $A$ un anneau, $a,b \in A$ tels que $1-ab$ est inversible. \\ Montrer que $1-ba$ est inversible.
Exercice 1171. On pose $C=\left\{\begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix}\;\middle|\;a,b\in\R\right\}$ et $f:\left\{\begin{array}{ccc} \C &\to& C\\ z=a+ib &\mapsto& \begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix} \end{array}\right)$.\\
  1. Montrer que pour tous $z,z'\in\C$, on a $f(z+z')=f(z)+f(z')$ et $f(zz')=f(z)f(z')$.\\
  2. En déduire que $C$ est un corps isomorphe à $\C$.
Exercice 1172. Un anneau de Boole est un anneau $(A,+,\times)$ non nul tel que pour tout $x \in A$, $x^2 = x$.\\
  1. Soit $A$ un tel anneau. Montrer que $2 \cdot x = 0$ pour tout $x \in A$ et montrer que $A$ est commutatif.\\
  2. On définit une addition et une multiplication sur $\Z/2\Z = \{\overline{0},\overline{1}\}$ en posant :\\ $\overline{0}+\overline{0}=\overline{1}+\overline{1}=\overline{0},\quad \overline{0}+\overline{1}=\overline{1}+\overline{0}=\overline{1},\quad \overline{0}\cdot \overline{0}=\overline{0}\cdot \overline{1}=\overline{1}\cdot \overline{0}=\overline{0}\quad \mathrm{et}\quad \overline{1}\cdot \overline{1}=\overline{1}$.\\ Montrer que ces opérations confèrent à $\Z/2\Z$ une structure d’anneau de Boole.\\
  3. Soit $E$ un ensemble non vide et $\Delta$ la loi de composition sur $\mathcal{P}(E)$ définie par $A \Delta B = (A \cup B)\backslash(A \cap B)$.\\ Montrer que $(\mathcal{P}(E),\Delta,\cap)$ et $((\Z/2\Z)^E,+,\times)$ sont des anneaux de Boole isomorphes.\\
  4. Soit $A$ un anneau de Boole intègre, montrer que $A=\{0_A,1_A\}$ est isomorphe à $\Z/2\Z$.
Exercice 1173. Soit $A$ un anneau et $(a,b) \in A^2$. On note $1$ le neutre de la deuxième loi de $A$. On suppose que $a,b,ab-1$ sont inversibles dans $A$. \\
  1. On note $c = ab-1$. Montrer que $a-b^{-1}$ est inversible dans $A$ et que $(a-b^{-1})^{-1} = bc^{-1}$. \\
  2. On note $d = a^{-1}-(a-b^{-1})^{-1}$. Montrer que $d$ est inversible dans $A$ et que $d^{-1} = -ca$.
Exercice 1174. \\
  1. Montrer que si $f : A \to A'$ est un morphisme d'anneaux, alors $\ker f$ est un idéal de $A$.\\
  2. Montrer qu'un morphisme d'anneaux d'un corps $K$ vers un anneau $A \neq \{0\}$ est injectif.
Exercice 1175. Soit $f : \C \to \C$ un morphisme de corps tel que $f(\R) \subset \R$. \\
  1. Calculer les valeurs possibles de $f(i)$. \\
  2. Montrer que $f$ est croissante sur $\R$. \\
  3. En déduire $f$.
Exercice 1176. Soit $A$ un anneau commutatif. On note $N$ l’ensemble des éléments nilpotents de $A$ et $B=\{\,1+x, \;\; x\in N\,\}$. \\ Montrer que $(B,\times)$ est un groupe.
Exercice 1177. Soit $A$ et $B$ deux anneaux et $f : A \to B$ un morphisme d’anneaux.\\
  1. Soit $a$ une unité de $A$. Montrer que $f(a)$ est une unité de $B$.\\
  2. On suppose que $f$ est bijective. Soit $b$ une unité de $B$. Montrer qu’il existe une unité $a$ de $A$ telle que $f(a)=b$.
Exercice 1178. \\
  1. $(\mathbb{Z}/36\mathbb{Z},+,\times)$ est-il un anneau intègre ? Un corps ?\\
  2. Résoudre dans $\mathbb{Z}/36\mathbb{Z}$ l’équation $x^2-31x+18=0$.
Exercice 1179. Soit $A$ un anneau unitaire dont l'élément neutre pour la loi $\cdot$ est noté $1$. \\
  1. Soit $x \in A$ nilpotent. Montrer que $1-x$ est inversible. \\
  2. Si $n \in \N^*$ et $x$ nilpotent, simplifier l'expression \[ U_n = \Prod_{k=0}^{n}(1+x^{2^k}) \]

Exercice 1180. Anneau de Boole

\\ Soit $(A,+,\cdot)$ un anneau. On suppose que pour tout $x \in A$, $x^2 =x$. \\
  1. Montrer que $\forall x \in A$, $2x=0$. \\
  2. Montrer que $A$ est commutatif.
Exercice 1181. Montrer que tout anneau intègre fini est un corps. \\ La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 1182. Soit $A$ un anneau et $(a,b) \in A^2$. On suppose que $ab$ est inversible à droite et on suppose que $ba$ n'est pas diviseur de zéro à gauche. Montrer que $a$ est inversible dans $A$.

Exercice 1183. Idéaux n°2

\\
  1. Soient $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de $A$. \\ On dit que l’idéal $I$ est premier si $I\neq A$ et $\forall x,y\in A$, $xy\in I \Rightarrow x\in I \;\text{ou}\; y\in I$. \\
    1. Montrer que $I$ est premier si et seulement si l’anneau quotient $A/I$ est intègre. \\
    2. On suppose que tout idéal de $A$ est premier. Montrer que $A$ est un corps. \\
  2. On dit que l’idéal $I$ est maximal si pour tout idéal $J$ tel que $I\subset J$, on a $J=I$ ou $J=A$. Montrer que $I$ est maximal si et seulement si $A/I$ est un corps. \\
  3. Quels sont les idéaux premiers de $\Z$ ? Les idéaux maximaux ?
Exercice 1184. Soit $n \geqslant 3$. On note $\mathcal{A}_n$ l'ensemble des permutations de $S_n$ dont la signature vaut $1$.\\
  1. Montrer que $\mathcal{A}_n$ est engendré par les cycles de longueur $3$.\\
  2. Montrer que $\mathcal{A}_n$ est engendré par les cycles $(1,2,k)$ où $k \in \{3,\ldots,n\}$.
Exercice 1185. Soit $(A,+,\times)$ un anneau intègre. Montrer que toute partie finie non vide $\mathcal{P}$ de $A \setminus \{0_A\}$ stable par multiplication est un sous-groupe du groupe multiplicatif $A^\times$ des éléments inversibles de $A$.
Exercice 1186. Soit $(A,+,\times)$ un anneau. Un idéal $I$ est dit maximal lorsqu'il est distinct de $A$ et que, si $J$ est un idéal tel que $I \subset J$, alors $J=I$ ou $J=A$.\\
  1. Déterminer ces idéaux quand $A=\Z$.\\
  2. Ici, $A$ est l'anneau des fonctions continues de $\R$ dans $\R$ muni des lois usuelles. Montrer que \[ I=\{f \in \mathcal{C}^0(\R,\R),\; f(0)=0\} \] est un idéal maximal.
Exercice 1187. Soit $A$ une $\R$-algèbre commutative intègre de dimension finie $n \geqslant 2$.\\
  1. Montrer que $A$ est un corps.\\
  2. Montrer que, pour tout $a \in A$, l'ensemble \[ I_a=\{P \in \R[X],\; P(a)=0\} \] est un idéal engendré par un polynôme irréductible.\\
  3. Montrer que $A$ est isomorphe à $\C$.
Exercice 1188. Soit $(A,+,\times)$ un anneau commutatif. On note \[ C=\{a^2+b^2,\; (a,b) \in A^2\}. \]
  1. Montrer que $C$ est stable par produit. L'est-il par addition ?\\
  2. Soit $P \in \R[X]$ un polynôme dont la fonction polynomiale associée est positive sur $\R$. Est-il somme de deux carrés de polynômes à coefficients réels ?