Anneaux et corps

Exercice 807. Anneau de Boole

\\ Soit $(A,+,\cdot)$ un anneau. On suppose que pour tout $x \in A$, $x^2 =x$. \\
  1. Montrer que $\forall x \in A$, $2x=0$. \\
  2. Montrer que $A$ est commutatif.
Exercice 808. \\
  1. Montrer que l'ensemble $\Q[\sqrt{2}] = \{a+b \sqrt{2} \in \R, \;\; (a,b) \in \Q^2 \}$ est un sous-anneau de $\R$. \\
  2. Déterminer $\Q[\sqrt{2}]^*$. \\
  3. Montrer que l'application $a+b\sqrt{2} \mapsto a-b\sqrt{2}$ est un automorphisme de corps.

Exercice 809. CCP

\\ On considère l’ensemble $E$ défini par $E=\left\{\Frac{p}{q} : p \in \Z,\; q \in \N^*,\; q \;\; impair \;\; \right\}$.\\
  1. Montrer que $(E,+,\times)$ est un anneau.\\
  2. $(E,+,\times)$ est-il un corps ?

Exercice 810. Anneau $\Z[i]$

\\ On pose $\Z[i]= \{a+ib, \;\; (a,b) \in \Z^2 \}$. \\
  1. Montrer que $\Z[i]$ est un sous-anneau de $\C$. \\
  2. En considérant le module, déterminer $\Z[i]^*$. \\
  3. Le nombre $2$ est-il irréductible dans $\Z[i]$ ?

Exercice 811. CCP

\\ Un élément $x$ d’un anneau $A$ est nilpotent lorsqu’il existe $n\in\N^{*}$ tel que $x^{n}=0$. \\
  1. Quels sont les éléments nilpotents de $A$ si $A$ est un corps ? \\
  2. Soient $x$ et $y$ deux éléments de $A$ tels que $x\cdot y$ est nilpotent. Montrer que $y\cdot x$ est nilpotent. \\
  3. On note $1$ l’élément neutre de $A$ pour la multiplication. Soit $x$ un élément nilpotent de $A$. Montrer que $1-x$ est inversible. \\
  4. Soient $x$ et $y$ deux éléments de $A$ nilpotents et qui commutent. Montrer que $x+y$ et $x\cdot y$ sont nilpotents.

Exercice 812. Nilpotence

\\ Soit $A$ un anneau. \\
  1. Soit $(a,b) \in A^2$. Montrer que si $a$ est nilpotent et si $ab=ba$ alors $ab$ est nilpotent. \\
  2. Soit $a \in A$ nilpotent. Montrer que $1-a$ est inversible dans $A$ et exprimer $(1-a)^{-1}$. \\
  3. Soit $(a,b) \in A^2$. Montrer que si $a,b$ sont nilpotents et $ab=ba$ alors $a+b$ est nilpotent.

Exercice 813. L’anneau $\Z[j]$

\\ On note $j$ le nombre complexe $j = e^{\frac{2i\pi}{3}} = -\Frac12 + i \Frac{\sqrt3}{2}$. \\
  1. Vérifier que $1 + j + j^2 = 0$. \\
  2. Soit $A = \{ a + bj : a,b \in \Z \}$. Montrer que $(A,+,\times)$ est un anneau. \\
  3. Montrer que pour tout $x \in A$ on a : $\abs{x}^2 \in \N$. \\
  4. Soit $x \in A$. Montrer que $x$ est inversible dans $A$ $\Longleftrightarrow$ $\abs{x}=1$. \\
  5. Déterminer l’ensemble $A^\ast$ des éléments inversibles de l’anneau $A$.
Exercice 814. Soit $A$ un anneau et $(a,b) \in A^2$. On suppose que $ab$ est inversible à droite et on suppose que $ba$ n'est pas diviseur de zéro à gauche. Montrer que $a$ est inversible dans $A$.
Exercice 815. Soit $(\mathbb{K},+,\times)$ un corps fini. On note $\mathbb{K} \setminus \{0\}$ par $\mathbb{K}^*$.\\ Calculer $ \Prod_{x \in \mathbb{K}^*} x$.
Exercice 816. Soit $A$ un anneau unitaire dont l'élément neutre pour la loi $\cdot$ est noté $1$. \\
  1. Soit $x \in A$ nilpotent. Montrer que $1-x$ est inversible. \\
  2. Si $n \in \N^*$ et $x$ nilpotent, simplifier l'expression \[ U_n = \Prod_{k=0}^{n}(1+x^{2^k}) \]

Exercice 817. Idéaux

\\
  1. Montrer qu’un corps est intègre. Est-ce qu’un anneau intègre est un corps ? \\
  2. Montrer qu’un anneau intègre fini est un corps. \\
  3. Soit $A$ un anneau non nul commutatif. \\
    1. Montrer que $A$ est un corps si et seulement si les seuls idéaux de $A$ sont $A$ et $\{0\}$. \\
    2. On suppose que $A$ est intègre et n’a qu’un nombre fini d’idéaux. Montrer que $A$ est un corps.