Exercices divers

Exercice 1209. ENS

Exercice 1211. X-ENS

1. Déterminer le groupe multiplicatif des éléments inversibles de $\Z[i]$.\\
2. Montrer que $\Z[i]$ est euclidien pour $\varphi$, c’est-à-dire que pour tout $(a,b)\in\Z[i]\times\Z[i]^{*}$, il existe $(q,r)\in\Z[i]^2$ tel que $a=bq+r$ avec $\varphi(r) < \varphi(b)$.\\
3. En déduire que $\Z[i]$ est factoriel.\\
4. Montrer que si $\varphi(a)$ est premier, alors $a$ est irréductible dans $\Z[i]$.\\
5. Soit $p$ un nombre premier. Montrer l’équivalence entre les propriétés suivantes :\\
   1. $p$ est irréductible dans $\Z[i]$.\\
   2. $p\equiv 3\;(\mathrm{mod}\;4)$.\\
   3. Il n’existe pas $a\in\Z[i]$ tel que $p=\varphi(a)$.\\
   On admettra que $-1$ est un carré dans $\Z/p\Z$ si et seulement si $p$ n’est pas congru à $3$ modulo $4$.\\
6. En déduire tous les irréductibles de $\Z[i]$.\\

Exercice 1212. Théorème de Lagrange sur les groupes

1. On définit la relation $\mathcal{R}$ sur $G$ par : $x \mathcal{R} y \iff \exist h \in H, \; x = h \cdot y$. \\ Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence sur $G$. \\
2. En déduire que chaque classe d'équivalence comporte exactement le même nombre d'éléments que $H$. \\
3. Montrer que le cardinal de $H$ divise $n$ (théorème de lagrange) \\
4. Déterminer tous les sous-groupes de $\U_{17}$, pour la loi $\times$.

1. Montrer que $(G, \circ)$ est un groupe. Est-il commutatif ? \\
2. On note $H$ l'ensemble des $f \in G$ telles que $f(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} x$. \\ Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$ et que $H \neq G$.

1. Montrer que $G(f)$ est un sous groupe de $(\R,+)$. \\
2. Déterminer $\inf G \cap \rpe$ lorsque : \\
   • $f : x \mapsto \cos\Frac{\pi x}{12} + \sin \Frac{\pi x}{8}$ \\
   • $f : x \mapsto \cos{x} + \sin(\sqrt{2}x)$ \\
3. L'ensemble des fonctions périodiques sur $\R$ est-il un groupe pour $+$ ?

1. Montrer que $(\R^2,*)$ est un groupe non abélien. \\
2. Trouver toutes les applications $f$ dérivables sur $\R$ telles que $\{(x,f(x)), x \in \R\}$ soit un sous-groupe de $(\R^2,*)$.

1. Soit $n \in \N$, $f \in E$ et $x \in \R$. Montrer que $(\Delta^n f)(x)=\Sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}f(x+k)$.\\
2. Soit $T:E \to E$ l’application définie par $(Tf)(x)=f(x+1)$.\\ Calculer $(T-\mathrm{id}_E)^n$ et retrouver le résultat de la question précédente.

1. Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence.\\
2. Soit $p \leqslant n$ un entier naturel. Montrer que\\ \[ G_p=\{\sigma \in G : \sigma(p)=p\} \] est un sous-groupe de $G$.\\
3. Soient $p \leqslant n$ et $q \leqslant n$ deux entiers naturels tels qu’il existe $\tau \in G$ avec $\tau(p)=q$. Montrer que $G_p$ et $G_q$ sont isomorphes.

1. Montrer que $A$ est un sous-anneau de $\Q$.\\
2. Montrer que $f:\left\{\begin{matrix}\Z^2 &\to& A^{*}\\(k,n)&\mapsto&(2k+1)2^n\end{matrix}\right.$ est bijective.\\
3. Déterminer les unités de l’anneau $A$.

1. Soit un groupe $G$ et $A$ une partie de $G$, le centralisateur de $A$ est l’ensemble des éléments qui commutent avec tout élément de $A$, i.e. $C_A=\{x \in G \mid \forall a \in A \;\; ax=xa\}$. Vérifier qu’il s’agit d’un sous-groupe. \\
2. Soit un anneau $B$ et $A$ une partie de $B$. On définit de même le centralisateur de $A$. Montrer qu’il s’agit d’un sous-anneau de $B$.

1. Calculer $J^2$. En déduire que $J$ n'est pas inversible.\\ On pose $E=\{aI+bJ\mid (a,b)\in\R^2\}$.\\
2. Montrer que $E$ est un sous-anneau de $M_3(\R)$.\\
3. Quelles sont les unités de $E$ ?\\
4. Résoudre dans $E$ les équations : $(1)\;X^2=I$ et $(2)\;X^2=X$.

Exercice 1222. Crochet de Lie, relation de Jacobi

1. Montrer que pour tout $(x,y,z) \in A^3$ :\\ \[ [x,y+z]=[x,y]+[x,z]. \]\\
2. Pour tout $(x,y,z) \in A^3$, montrer la relation de Jacobi :\\ \[ [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0. \]

1. Montrer que pour toute transposition $(a,b)$ de $S_n$, il existe $\sigma \in S_n$ telle que \[ (a\; b) = \sigma^{-1}(1\;2)\sigma. \]
2. Déterminer tous les morphismes de groupes de $S_n$ dans $\{-1,1\}$.

Exercice 1224. Oral X

Exercice 1225. Oral Centrale

1. Justifier qu'il existe $r \in \N^*$ et $x_1,\hdots,x_r$ dans $G$ tels que \[ G = \langle \{x_1,\hdots,x_r\} \rangle \] la notation $\langle \cdot \rangle$ désigne le sous-groupe engendré par une partie. \\
2. Conclure en utilisant l'application \[ \varphi : \begin{array}{ccc} \left\langle x_1 \right\rangle \times \cdots \times \left\langle x_r \right\rangle & \longrightarrow & G \\ \\ (x_1^{k_1},\,\ldots,\,x_r^{k_r}) & \longmapsto & x_1^{k_1} \ast \cdots \ast x_r^{k_r} \end{array} \]

Exercice 1226. Théorème de Lagrange sur les groupes

1. Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence dans $G$. \\
2. Montrer que les classes d'équivalence modulo $\mathcal{R}$ ont toutes le même cardinal. \\
3. En déduire $\abs{G} = \abs{H} \times \abs{G \backslash \mathcal{R}}$.

Exercice 1227. Sous-groupe de $(\R,+)$

1. Montrer que l’ensemble $G \cap \R_+^*$ admet une borne inférieure (on la note $a$).\\
2. On suppose, dans cette question, $a > 0$. Montrer que $G = a\Z$.\\
3. On suppose, dans cette question, $a = 0$. Montrer que $G$ est dense dans $\R$.\\
4. Soit $\alpha \in \R \setminus \Q$. Montrer que l’ensemble $\Z + \alpha \Z$ est dense dans $\R$.\\
5. Montrer que l’ensemble des périodes d’une fonction $f : \R \longrightarrow \R$ est un sous-groupe de $\R$. Que dire d’une fonction continue qui admet $1$ et $\sqrt{2}$ pour période ?

1. Prouver que, pour tout $(g,g',x,y)\in G^2 \times E^2$, on a $(g' \cdot x)\cdot g = (g \ast g') \cdot x$ et \[ g \cdot x = y \Longleftrightarrow x = g^{-1} \cdot y. \]
2. Démontrer que, pour tous $x,y \in E$, $\Omega(x)\cap \Omega(y)=\varnothing$ ou $\Omega(x)=\Omega(y)$.\\
3. Soit $x \in E$, démontrer que $\mathrm{Stab}(x)$ est un sous-groupe de $G$.\\
4. On suppose ici que $G$ est fini. Prouver que \[ \mathrm{card}(\Omega(x)) \times \mathrm{card}(\mathrm{Stab}(x))=\mathrm{card}(G). \]
5. On suppose ici que $G$ et $E$ sont finis. On définit le fixateur de $g \in G$ par \[ \mathrm{Fix}(g)=\{x \in E,\; g \cdot x = x\}. \] Soit $p$ le nombre d'orbites distinctes sous l'action de $G$. Prouver la formule de Burnside : \[ p=\frac{1}{\mathrm{card}(G)}\Sum_{g \in G}\mathrm{card}(\mathrm{Fix}(g)). \]
6. Prouver que l'application $\theta : g \longmapsto (x \longmapsto g \ast x \ast g^{-1})$ définit une action de groupe de $G$ sur lui-même, appelée action par conjugaison.\\
7. Soit $S_n$ l'ensemble des permutations de $[1;n]$. Décrire l'orbite d'une permutation de $S_n$ pour l'action de $S_n$ sur lui-même par conjugaison.\\
8. On note $n=\mathrm{card}(G)$. Prouver le théorème de Cayley : $(G,\ast)$ est isomorphe à un sous-groupe de $S_n$.

1. Montrer que la relation \[ x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow y^{-1} \ast x \in H \] est une relation d'équivalence sur $G$, et que $xH$ est la classe de $x$. On notera $G/H=\{xH,\; x \in G\}$ l'ensemble des classes d'équivalence.\\
2. Prouver le théorème de Lagrange : si $G$ est fini, alors \[ \mathrm{card}(G/H)\times \mathrm{card}(H)=\mathrm{card}(G). \]
3. Montrer que le centre de $G$, défini par \[ Z(G)=\{y \in G,\; \forall x \in G,\; x \ast y = y \ast x\}, \] est un sous-groupe distingué.\\
4. Soit $f : (G,\ast)\to (G',\bullet)$ un morphisme de groupes. Montrer que $\mathrm{Ker}(f)$ est un sous-groupe distingué de $G$.\\
5. On suppose désormais que $H$ est distingué. Montrer que la loi \[ (xH)\ast (yH)=(x \ast y)H \] est bien définie sur $G/H$.\\
6. Montrer que $(G/H,\ast)$ est un groupe.\\
7. On suppose que $(G/Z(G),\ast)$ est monogène. Prouver que $(G,\ast)$ est abélien.\\
8. Soit $f : (G,\ast)\to (G',\bullet)$ un morphisme de groupes. On définit \[ \widetilde{f} : (G/\mathrm{Ker}(f),\ast)\longrightarrow (\mathrm{Im}(f),\bullet),\quad x\mathrm{Ker}(f)\longmapsto f(x). \] Montrer que $\widetilde{f}$ est bien définie et que c'est un isomorphisme. En déduire que, si $G$ est fini, \[ \mathrm{card}(G)=\mathrm{card}(\mathrm{Ker}(f))\,\mathrm{card}(\mathrm{Im}(f)). \]

1. Montrer que le polynôme \[ P=X^3-X-1 \] admet une unique racine réelle $a \notin \Q$.\\
2. Donner une base de \[ V=\mathrm{Vect}_{\Q}(\{a^k,\; k \in \N\}). \]
3. L'espace $V$ est-il un corps pour les lois usuelles ?

1. Prouver que \[ X^n-1=\Prod_{d \mid n} \Phi_d(X). \]
2. Montrer que \[ \Phi_n(X)\in \Z[X] \] pour tout \[ n \in \N^*. \]
3. Prouver, pour tout \[ n \in \N^*, \] l'égalité \[ \Phi_n(X)=\Prod_{d \mid n}(X^d-1)^{\mu(n/d)}. \]

1. Montrer que tous les éléments de $\mathcal{G}$ ont un rang commun, noté $r$.\\
2. Montrer qu'il existe une matrice $P \in \mathrm{GL}_n(\R)$ telle que \[ \forall M \in \mathcal{G},\; \exists A \in \mathrm{GL}_r(\R),\quad M=P\begin{pmatrix}A&0\\0&0\end{pmatrix}P^{-1}. \]