Exercices divers

Exercice 829. Soit $n \geqslant 2$ un entier, $G$ un groupe de cardinal $2n$ et $A$, $B$ deux sous-groupes de $G$ de cardinal $n$ tels que $A \cap B = \{1_G\}$. Montrer que $n \leqslant 2$.

Exercice 830. Théorème de Lagrange sur les groupes

\\ Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini, $H$ un sous-groupe de $G$, $\mathcal{R}$ une relation définie dans $G$ par \[ x \mathcal{R} y \iff xy^{-1} \in H \]
  1. Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence dans $G$. \\
  2. Montrer que les classes d'équivalence modulo $\mathcal{R}$ ont toutes le même cardinal. \\
  3. En déduire $\abs{G} = \abs{H} \times \abs{G \backslash \mathcal{R}}$.

Exercice 831. Crochet de Lie, relation de Jacobi

\\ Soit $(A,+,\cdot)$ un anneau. Pour $(x,y) \in A^2$, on considère le crochet de Lie défini par\\ \[ [x,y]=xy-yx. \]
  1. Montrer que pour tout $(x,y,z) \in A^3$ :\\ \[ [x,y+z]=[x,y]+[x,z]. \]\\
  2. Pour tout $(x,y,z) \in A^3$, montrer la relation de Jacobi :\\ \[ [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0. \]

Exercice 832. Sous-groupe de $(\R,+)$

\\ Soit $G$ un sous-groupe de $(\R,+)$ non réduit à $0$.\\
  1. Montrer que l’ensemble $G \cap \R_+^*$ admet une borne inférieure (on la note $a$).\\
  2. On suppose, dans cette question, $a > 0$. Montrer que $G = a\Z$.\\
  3. On suppose, dans cette question, $a = 0$. Montrer que $G$ est dense dans $\R$.\\
  4. Soit $\alpha \in \R \setminus \Q$. Montrer que l’ensemble $\Z + \alpha \Z$ est dense dans $\R$.\\
  5. Montrer que l’ensemble des périodes d’une fonction $f : \R \longrightarrow \R$ est un sous-groupe de $\R$. Que dire d’une fonction continue qui admet $1$ et $\sqrt{2}$ pour période ?
Exercice 833. Sur $\R^2$ on définit une loi $*$ par \[ \forall (x,y),(x',y') \in (\R^2)^2, \;\; (x,y)*(x',y') = \parenthese{x+x',ye^{x'}+y'e^{-x} } \]
  1. Montrer que $(\R^2,*)$ est un groupe non abélien. \\
  2. Trouver toutes les applications $f$ dérivables sur $\R$ telles que $\{(x,f(x)), x \in \R\}$ soit un sous-groupe de $(\R^2,*)$.

Exercice 834. Oral X

\\ Soit $G$ un groupe multiplicatif de cardinal $p^{\alpha}$ avec $p$ premier et $\alpha \in \N^*$. \\ Montrer que $Z(G) \neq 1$.

Exercice 835. Oral Centrale

\\ On veut montrer le résultat suivant : si $(G,*)$ est un groupe fini abélien et $p$ un facteur premier de $\mathrm{Card}(G)$, alors il existe un élément d'ordre $p$. \\
  1. Justifier qu'il existe $r \in \N^*$ et $x_1,\hdots,x_r$ dans $G$ tels que \[ G = \langle \{x_1,\hdots,x_r\} \rangle \] la notation $\langle \cdot \rangle$ désigne le sous-groupe engendré par une partie. \\
  2. Conclure en utilisant l'application \[ \varphi : \begin{array}{ccc} \left\langle x_1 \right\rangle \times \cdots \times \left\langle x_r \right\rangle & \longrightarrow & G \\ \\ (x_1^{k_1},\,\ldots,\,x_r^{k_r}) & \longmapsto & x_1^{k_1} \ast \cdots \ast x_r^{k_r} \end{array} \]