Continuité locale et globale

Exercice 2055. \\
  1. Montrer que la fonction $f : \R \longrightarrow \R$ définie par \\ \[ f(x)= \begin{cases} \lfloor x\rfloor & si\;x\in\Q,\\ x & si\;x\in\R\setminus\Q, \end{cases} \] n'admet de limite en aucun point de $\R$. \\
  2. Étudier la continuité de la fonction $g : [0,1] \longrightarrow [0,1]$ définie par \\ \[ g(x)= \begin{cases} x & si\;x\in\Q,\\ 1-x & si\;x\in\R\setminus\Q. \end{cases} \] En déduire qu'il existe une bijection $h : [0,1] \longrightarrow [0,1]$ qui soit discontinue en tout point de $[0,1]$. \\
Exercice 2056. Étudiez en chaque point de $\R_+^*$ l’existence d’une limite à droite, à gauche, et la continuité de la fonction $f$ définie par : $f(x)=x^2\left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor$ et $f(0)=1$.\\ Généralisez à $f_n : x \mapsto x^n\left\lfloor \Frac{1}{x} \right\rfloor$.
Exercice 2057. Étudier la continuité et les prolongements par continuité éventuels de $f$ définie sur $\mathbb{R}_+^\ast$ par :\\ \[ f(x)=1-x\left\lfloor\Frac{1}{x}\right\rfloor. \]
Exercice 2058. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ continue telle que\\ \[ \forall x,y\in\R,\quad f(x+y)=f(x)+f(y). \]
  1. Calculer $f(0)$ et montrer que pour tout $x\in\R$, $f(-x)=-f(x)$.\\
  2. Justifier que pour tout $n\in\Z$ et tout $x\in\R$, $f(nx)=nf(x)$.\\
  3. Établir que pour tout $r\in\Q$, $f(r)=ar$ avec $a=f(1)$.\\
  4. Conclure que pour tout $x\in\R$, $f(x)=ax$.

Exercice 2059. Fonction de Thomae

\\ Soit $T : \R \to \R$ la fonction définie par \[ T(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{q} & \text{si } x = \dfrac{p}{q} \in \Q, \;\; p \wedge q = 1, \\ 1 & si \;\; x = 0, \\ 0 & si \;\; x \notin \Q. \end{cases} \]
  1. Montrer que $T$ est $1$-périodique. \\
  2. Montrer que $T$ est discontinue en tout point rationnel. \\
  3. Montrer que $T$ est continue en tout point irrationnel.
Exercice 2060. Soit $f$ la fonction définie sur $\R_+^*$ par \[ f(x)=\Frac{x}{1+x} \;\; si \;\; x \notin \Q \qquad et \qquad f\!\left(\Frac{p}{q}\right)=\Frac{p}{p+q+1} \;\; si \;\; p\wedge q=1. \]
  1. Montrer que $f$ est discontinue en tout point rationnel de $\R_+^*$.\\
  2. On rappelle que si une suite de rationnels $\left(\Frac{p_n}{q_n}\right)$ tend vers un irrationnel, alors la suite $(q_n)$ tend vers $+\infty$.\\ En déduire que $f$ est continue en tout point irrationnel de $\R_+^*$.
Exercice 2061. Existe-t-il une fonction $f$ continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle que \[ f(\mathbb{Q})\subset \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \quad \mathrm{et} \quad f(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q})\subset \mathbb{Q}\; ? \]
Exercice 2062. Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $\mathscr{C}(I,\R)$ et $h : \R \to \R$ définie par $h(x) = \max(f(x),g(x))$.\\ Montrer que $h \in \mathscr{C}(I,\R)$.
Exercice 2063. Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls.\\ Déterminer la plus petite période $T > 0$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\cos(px)+\cos(qx)$.
Exercice 2064. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ continue telle que pour tout $x\in\R$,\\ \[ f\parenthese{\Frac{x+1}{2}} = f(x). \] Montrer que $f$ est constante.
Exercice 2065. Quelles sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ et telles que : \[ \forall x,y \in \mathbb{R}, \; |f(x)-f(y)|=|x-y| \; ? \]
Exercice 2066. Étudier la continuité de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x)=(-1)^{[x]}\parenthese{x-[x]-\Frac{1}{2}}, \] où $[.]$ désigne la fonction partie entière.
Exercice 2067. Soit $f$ définie et continue sur $\mathbb{R}_+$. On suppose que, pour tout $x \geqslant 0$, la suite $(f(nx))_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante, montrer que $f$ est croissante.
Exercice 2068. \\
  1. Soit $I$ un intervalle et $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$ monotone. Montrer que $f$ est continue si et seulement si $f(I)$ est un intervalle.\\
  2. Est-ce toujours vrai si l'on ne suppose plus que $f$ est monotone ?
Exercice 2069. Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$, à valeurs réelles et admettant $1$ et $\sqrt{2}$ pour périodes.\\
  1. Montrer que pour tout $(a,b)\in \mathbb{Z}^2$, $a+b\sqrt{2}$ est période de $f$. En déduire que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $(\sqrt{2}-1)^n$ est période de $f$.\\
  2. Pour $x$ réel fixé et $n \in \mathbb{N}$, on pose \[ \rho_n=[x(\sqrt{2}-1)^{-n}], \] où $[.]$ désigne la fonction partie entière.\\
    1. Montrer que \[ \lim_{n\to+\infty}\rho_n(\sqrt{2}-1)^n=x. \]
    2. Montrer que \[ f(\rho_n(\sqrt{2}-1)^n)=f(0), \] en déduire que si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, alors $f$ est constante sur $\mathbb{R}$.
Exercice 2070. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue. Montrer qu'il y a équivalence entre les assertions suivantes : (i) \[ \lim_{x\to \pm\infty} |f(x)| = +\infty \] (ii) pour tout compact $K \subset \mathbb{R}$, $f^{-1}(K)$ est compact.
Exercice 2071. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ telle que, pour tout segment $[a,b]$ de $\mathbb{R}$, $f([a,b])$ est un segment et telle que $f^{-1}(\{x\})$ est fermé pour tout $x\in\mathbb{R}$. \\ Montrer que $f$ est continue.
Exercice 2072. Soit la fonction de Weierstrass $f:\R \to \R$ définie par\\ \[ f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} \Frac{1}{q} & \mathrm{si}\; x=\Frac{p}{q}\;\mathrm{en}\;\mathrm{écriture}\;\mathrm{irréductible},\\ 0 & \mathrm{si}\; x \notin \Q. \end{array} \right. \] Démontrer que $f$ est continue en tout irrationnel et discontinue en tout rationnel.
Exercice 2073. Construire une fonction $f$ de $\R$ dans $\R$ discontinue en tout point telle que $|f|$ soit continue en tout point.
Exercice 2074. Soit $f,g:\R \to \R$ $2$ fonctions croissantes.\\ On suppose que $f+g$ est continue.\\ Montrer que $f$ et $g$ sont continues.
Exercice 2075. Soit $A \subset \mathbb{K}$, on définit l’adhérence $\overline{A}$ de $A$ (dans $\mathbb{K}$) comme l’ensemble des points $x \in \mathbb{K}$ tel qu’il existe une suite $(x_n)$ de points de $A$ qui converge vers $x$.\\ Soit $f:\R \to \mathbb{K}$ une fonction continue et $A \subset \R$, montrer que $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$.
Exercice 2076. On se donne $f : D \to \C$ définie au voisinage de $a \in \R$.\\ On note $f=f_1+if_2$ avec $f_1$ et $f_2$ à valeurs dans $\R$.\\ Montrer que $f$ est continue en $a$ ssi $\overline{f}$ est continue en $a$.
Exercice 2077. Soit $f$ une fonction continue sur $\R$ qui s’annule sur $\Q$.\\ Montrer que $f$ est identiquement nulle.
Exercice 2078. Soit $f:\R_+ \to \R_+$ une application telle que : $\forall x,y \in \R_+$, $f(x+y) \leqslant f(x)+f(y)$.\\ Montrer que si $f$ est continue en $0$, alors $f$ est bornée sur tout intervalle $[0,a]$ où $a \in \R_+$.
Exercice 2079. Soient $g,h : I \to \K$ et $a \in I$.\\ On suppose que $g$ et $h$ sont continues en $a$ et que $g(a)=h(a)$.\\ Soit $f : I \to \K$ telle que pour tout $x \in I$, $f(x) \in \{g(x),h(x)\}$.\\ Montrer que $f$ est continue en $a$.
Exercice 2080. Soit $f : \R \to \R$ définie par\\ \[ f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} x & \mathrm{si}\; x \in \Q,\\ x^3 & \mathrm{si}\; x \notin \Q. \end{array} \right. \] Le but de cet exercice est de démontrer que l’ensemble des points où $f$ est continue est $\{-1,0,1\}$.\\
  1. Tracer les courbes des fonctions $x$ et $x^3$ sur le même graphe et résoudre l’équation $x=x^3$.\\
  2. En utilisant le lemme précédent, montrer que si $a \in \{-1,1,0\}$, alors $f$ est continue en $a$.\\
  3. On suppose que $a \notin \{-1,1,0\}$.\\ Construire une suite $(r_n)$ de rationnels et une suite $(\alpha_n)$ d’irrationnels qui convergent toutes les deux vers $a$.\\
  4. En considérant les suites $(f(r_n))$ et $(f(\alpha_n))$, en déduire que $f$ n’est pas continue en $a$ et conclure.
Exercice 2081. Soit $f: ]0,+\infty[ \to \R$ une fonction décroissante, telle que $g: ]0,+\infty[ \to \R$ définie par $g(x)=\Frac{f(x)}{x}$ soit croissante, montrer que $f$ est continue.
Exercice 2082. Soit $a,b \in \R$ tels que $a < b$ et $f:]a,b[ \to \R$ une fonction lipschitzienne.\\ Montrer que $f$ possède une limite finie en $a^+$ et en $b^-$.
Exercice 2083. Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\R_+$ par\\ \[ f(x)=\sin\!\left(\Frac{1}{\sqrt{x}}\right)\;\mathrm{si}\;x \neq 0\;\mathrm{et}\;f(0)=0\quad\mathrm{et}\quad g(x)=\sqrt{x}\sin\!\left(\Frac{1}{x}\right)\;\mathrm{si}\;x \neq 0\;\mathrm{et}\;g(0)=0. \] Étudier la continuité des deux fonctions sur $\R_+$.
Exercice 2084. Soit $f:I \to J$ une bijection croissante d’un intervalle $I$ sur une partie $J$ de $\R$.\\ Montrer que $f^{-1}$ est continue.
Exercice 2085. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ définie par\\ \[ f(x)= \begin{cases} 1 & si\;x\in\Q,\\ 0 & sinon. \end{cases} \] Montrer que $f$ est totalement discontinue.\\
Exercice 2086. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ continue en $0$ telle que\\ \[ \forall x\in\R,\quad f(2x)=f(x). \] Montrer que $f$ est une fonction constante.
Exercice 2087. Etudier la continuité sur $\R$ de l'application $f : x \mapsto \lfloor x \rfloor + \sqrt{x-\lfloor x \rfloor}$.
Exercice 2088. Soit $f$ : $\R \to \R$ définie par $f(x) = x$ si $x \in \Q$ et $f(x) = 0$ sinon. \\ Montrer que $f$ est continue en $0$.
Exercice 2089. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ une fonction continue en $0$ et en $1$ telle que\\ \[ \forall x\in\R,\quad f(x)=f(x^{2}). \] Montrer que $f$ est constante.
Exercice 2090. Soit $f$ : $\R \to \R$ définie par $f(x) = x$ si $x \in \Q$ et $f(x) = 0$ sinon. \\ Pour tout $a \in \R^*$, montrer que $f$ n'est pas continue en $a$.
Exercice 2091. Soient $A$ une partie de $\R$, $a \in A$ et $f : A \to \R$ une fonction. Montrer que $f$ est continue au point $a$ si et seulement si pour toute suite $(a_{n})_{n} \in A^{\N}$ convergeant vers $a$, on a $f(a_{n}) \longrightarrow f(a)$.
Exercice 2092. Étudier la continuité de la fonction définie sur $\R^{+}$ par\\ \[ f(x)=\sup_{n\in\N}\,\Frac{x^{n}}{n!}. \]