Théorèmes de continuité

Exercice 2093. Soit $f:[a,b]\to\R$ continue vérifiant $f(a)=f(b)$.\\ Montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que\\ \[ \forall \sigma\in[0,\alpha],\;\exists x\in[a,b-\sigma],\;f(x+\sigma)=f(x). \]
Exercice 2094. Soit $f : \R^{+*} \longrightarrow \R$ une fonction telle que $x\mapsto f(x)$ est croissante et $x\mapsto \Frac{f(x)}{x}$ est décroissante.\\ Montrer que $f$ est continue.
Exercice 2095. Soit $f : [0,1] \to \R$ une fonction continue telle que $f(0)=f(1)=0$ et pour tout $x \in \left[0,\Frac{7}{10}\right]$ : \\ \[ f\parenthese{x+\Frac{3}{10}} \ne f(x). \] Montrer que l’équation $f(x)=0$, d’inconnue $x \in [0,1]$, admet au moins $7$ solutions.
Exercice 2096. Soit $g : [a,b] \to \R$ une fonction continue.\\ Soit $X$ l’ensemble des points "invisibles à droite", c’est-à-dire l’ensemble des $x \in ]a,b[$ tels qu’il existe $y \in ]x,b]$ tel que $g(x) < g(y)$.\\ Montrer que $X$ est une réunion dénombrable d’intervalles $]a_n,b_n[_n$.\\ Montrer que :\\ $\forall n,\; a_n \neq a \Rightarrow g(a_n)=g(b_n)$ et $a_n=a \Rightarrow g(a) \leqslant g(b_n)$.
Exercice 2097. Soit $f$ croissante sur $[a,b]$ telle que $f([a,b]) = [f(a),f(b)]$.\\ Montrer que $f$ est continue sur $[a,b]$.
Exercice 2098. Déterminer les fonctions continues $f : \R \to \R$ vérifiant : $\forall x \in \R,\; f(x) - f\parenthese{\Frac{x}{2}} = \Frac{x}{2}$.
Exercice 2099. Soit $f : \R \to \R$ une fonction périodique, continue et non constante. On se propose de démontrer que $f$ admet une plus petite période, c'est-à-dire qu'il existe $T > 0$ tel que $f$ est $T$-périodique, et pour tout $t < T$, $f$ n'est pas $t$-périodique. On considère l'ensemble des périodes de $f$ : \[ A=\{t>0,\; \forall x \in \R,\; f(x+t)=f(x)\}. \]
  1. Justifier que $A$ admet une borne inférieure. On la note $T$ dans la suite. \\
  2. Montrer que $T>0$. Conclure.
Exercice 2100. Soit $f : \R \longrightarrow \R$ une fonction continue vérifiant $f(0)=1$ et\\ \[ \forall x\in\R,\quad f(2x)=f(x)\cos x. \] Déterminer $f$.
Exercice 2101. Soient $f : I \to \R$ et $g : I \to \R$ deux fonctions continues telles que\\ \[ \forall x \in I,\; \lvert f(x)\rvert=\lvert g(x)\rvert \neq 0 \] Montrer que $f=g$ ou $f=-g$.
Exercice 2102. Soient $f : [a,b] \to \R$ continue et $p,q \in \R^{+}$. \\ Montrer qu’il existe $c \in [a,b]$ tel que $p f(a) + q f(b) = (p+q) f(c)$.
Exercice 2103. Soit $f : \R \to \R$ continue telle que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.\\ Montrer que $f$ admet un minimum global.
Exercice 2104. Soit $f : [0,1] \to \R$ une application continue telle que \[ \forall x \in [0,1], \quad f\parenthese{\Frac{x}{2}} + f \parenthese{\Frac{x+1}{2}} = 3f(x) \] Montrer que $f = 0$.
Exercice 2105. Soit $f$ définie sur $[0,+\infty[$ à valeurs dans $[0,+\infty[$, continue sur $[0,+\infty[$ telle que $\Frac{f(x)}{x}$ a une limite réelle $\ell \in [0,1[$ quand $x$ tend vers $+\infty$. \\ Montrer que $f$ a un point fixe.
Exercice 2106. Soit $f : \R \to \R$ une fonction continue et $T$-périodique avec $T > 0$.\\
  1. Montrer que $f$ est bornée.\\
  2. Justifier l’existence de $x \in \R$ tel que \[ f([x , x + T/2]) = \mathrm{Im}\, f \]
Exercice 2107. Soit $f : \R \to \R$ continue. On suppose que $f$ n'a pas de point fixe. Montrer que $f \circ f$ n'a pas de point fixe.
Exercice 2108. Soit $f:\R\to\R$ une fonction continue telle qu'il existe $a\in\R$ tel que $f\circ f(a)=a$.\\ Montrer qu'il existe $c\in\R$ tel que $f(c)=c$.
Exercice 2109. Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction continue et strictement décroissante.\\
  1. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, il existe un unique réel $u_n\in[0,1]$ tel que $f(u_n)=(u_n)^n$.\\
  2. Démontrer que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est croissante et majorée.\\
  3. En déduire que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est convergente et préciser sa limite.
Exercice 2110. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues, définies sur $[0,1]$ et à valeurs dans $[0,1]$, telles que $f \circ g=g \circ f$.\\ L'objectif de l'exercice est de démontrer qu'il existe $c\in[0,1]$ tel que $f(c)=g(c)$.\\
  1. On raisonne par l'absurde et on suppose que $\forall x\in[0,1]$, $f(x) > g(x)$.\\
    1. Justifier qu'il existe $\alpha > 0$ tel que $\forall x\in[0,1]$, $f(x)\geqslant g(x)+\alpha$.\\
    2. Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on note $f^n=f\circ\cdots\circ f$ et de même pour $g^n$.\\ Démontrer que $\forall n\in\mathbb{N}^*$, $\forall x\in[0,1]$, $f^n(x)\geqslant g^n(x)+\alpha n$.\\
  2. Identifier une contradiction puis démontrer qu'il existe $c\in[0,1]$ tel que $f(c)=g(c)$.
Exercice 2111. Soit $f : \R \to \R$ une fonction continue et périodique, et $t \in \R$. Montrer qu'il existe $x \in \R$ tel que \[ f(x+t)=f(x) \]
Exercice 2112. Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\mathbb{R}$, avec $f \circ g$ décroissante.\\
  1. Démontrer que $f \circ g$ et $g \circ f$ admettent chacune un unique point fixe.
Exercice 2113. Soit une fonction $f: ]0,+\infty[ \to \mathbb{R}$ croissante sur $]0,+\infty[$.\\ On suppose que la fonction $g:x \mapsto \Frac{f(x)}{x}$ est décroissante sur $]0,+\infty[$.\\
  1. Soit $a > 0$ : démontrer que, pour tout $x > 0$, $|f(x)-f(a)| \leqslant \left|\Frac{f(a)}{a}\right||x-a|$.\\
  2. En déduire que $f$ est continue sur $]0,+\infty[$.
Exercice 2114. Soit $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ une application continue, $n \in \mathbb{N}^*$ et $x_1,\dots,x_n \in [0,1]$.\\ Montrer qu'il existe $x \in [0,1]$ tel que \[ f(x)=\frac{1}{n}\Sum_{k=1}^{n} f(x_k). \]
Exercice 2115. Un randonneur a parcouru une distance de $20$ km en exactement $4$ heures. Montrer qu'il y a eu une période d'une heure durant laquelle il a parcouru exactement $5$ km.
Exercice 2116. La terre étant assimilée à une sphère parfaite, montrer qu'à tout instant il existe deux points de l'équateur diamétralement opposés et qui sont à la même température.
Exercice 2117. Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$, à valeurs réelles et telle que : \[ \forall x \in \left[0,\Frac{7}{10}\right],\; f\parenthese{x+\Frac{3}{10}}\neq f(x) \qquad ; \qquad f(0)=f(1)=0. \] Que peut-on dire de la fonction $g$ définie sur \[ \left[0,\Frac{7}{10}\right] \] par \[ g(x)=f\parenthese{x+\Frac{3}{10}}-f(x)\; ? \] En déduire que $f$ s'annule au moins $7$ fois sur $[0,1]$.
Exercice 2118. Soit $f : \mathbb{R}^+ \mapsto \mathbb{R}$ une fonction continue et surjective et $y \in \mathbb{R}$. Montrer que $y$ admet une infinité d'antécédents par $f$.
Exercice 2119. Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles continues sur un intervalle $[a,b]$, vérifiant $f(a)=g(b)$ et $f(b)=g(a)$. Montrer qu'il existe $c$ dans $[a,b]$ tel que $f(c)=g(c)$.
Exercice 2120. Soit $f$ et $g$ deux applications de $[0,1]$ dans $[0,1]$ telles que $g \circ f=f \circ g$.\\
  1. Montrer que $f$ admet au moins un point fixe.\\
  2. On note $F$ l'ensemble des points fixes de $f$. Montrer que $F$ admet un plus grand et un plus petit élément.\\
  3. Montrer que $F$ est stable par $g$.\\
  4. Montrer qu'il existe $x \in [0,1]$ tel que $f(x)=g(x)$.
Exercice 2121. \\
  1. Soit $I$ un segment de $\mathbb{R}$ et $f:I\to\mathbb{R}$ une fonction continue. \\ Montrer que si $f(I)\subset I$ ou si $I\subset f(I)$, alors $f$ admet un point fixe dans $I$. \\
  2. Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction croissante. \\ Montrer que $f$ admet un point fixe. \\
  3. Soient $f,g:[0,1]\to[0,1]$ deux fonctions continues vérifiant \[ f\circ g=g\circ f. \] Montrer qu'il existe $x\in[0,1]$ tel que \[ f(x)=g(x). \]
Exercice 2122. Soit \[ E=\left\{f\in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R}),\ f(0)=f(1)\right\}. \] Pour $f\in E$, on pose \[ A(f)=\left\{\sigma\in\mathbb{R}_+,\ \exists x\in[0,1],\ f(x+\sigma)=f(x)\right\}. \]
  1. Montrer que \[ \bigcap_{f\in E}A(f) \] est compact et que \[ \{0\}\cup \left\{\frac{1}{p},\ p\in\mathbb{N}^*\right\}\subset \bigcap_{f\in E}A(f). \]
  2. Montrer que pour tout $f\in E$, il existe $\varepsilon > 0$ tel que \[ [0,\varepsilon]\cup \left\{\frac{1}{p},\ p\in\mathbb{N}^*\right\}\subset A(f). \]
  3. Montrer que \[ \bigcap_{f\in E}A(f)=\{0\}\cup \left\{\frac{1}{p},\ p\in\mathbb{N}^*\right\}. \]
Exercice 2123. Montrer qu’il n’existe pas de fonction continue $f:\R\to\R$ telle que l’image de tout rationnel soit irrationnelle et que l’image de tout irrationnel soit rationnelle.\\ Considérer $g(x)=f(x)+x$.
Exercice 2124. Soit $I$ un intervalle de $\R$.\\ Trouver les fonctions $f:I\to\R$ continues sur $I$ dont l’image $f(I)$ est un ensemble fini.
Exercice 2125. Liens entre injectivité, continuité et monotonie d'une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.\\ Soit $f$ une application définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.\\
  1. Montrer que si $f$ est strictement monotone alors $f$ est injective.\\
  2. Montrer que si $f(I)$ est un intervalle et si $f$ est strictement monotone, alors $f$ est continue.\\
  3. Supposons $f$ injective et continue.\\
    1. Soit $\varphi$ définie sur $T=\{(x,y)\in I^2 \mid x < y\}$ par $\varphi(x,y)=f(x)-f(y)$. Montrer que $\varphi$ garde un signe constant sur $I$.\\
    2. En déduire que $f$ est strictement monotone.
Exercice 2126. Montrer que toute fonction polynomiale à coefficients réels de degré impair admet au moins un zéro sur $\R$.
Exercice 2127. Soit $f:\R\to\R$ continue telle que $f\circ f$ possède un point fixe.\\ Montrer que $f$ en possède un.\\ Le résultat est-il encore vrai si $f$ n’est pas supposée continue ?
Exercice 2128. Soit $f:[a,b]\to\R$ une application continue.\\ On considère \[ A=\{x\in[a,b]\;\mathrm{t.q.}\; f\;\mathrm{est\;bornée\;sur}\;[a,x]\}. \]
  1. Montrer que $A$ est non vide et majorée.\\ On pose $c=\sup A$.\\
  2. Montrer que $c\in A$.\\
  3. Montrer que $c=b$.\\
  4. Conclure.
Exercice 2129. Un cycliste parcourt $20$ km en $1$ h de façon continue.\\ Démontrer qu’il existe un intervalle de $15$ minutes pendant lequel il parcourt exactement $5$ km.
Exercice 2130. Soit $f$ et $g$ continues de $[0,1]$ dans lui-même.\\ Montrer que si $f\circ g=g\circ f$, alors il existe un réel $x\in[0,1]$ tel que $f(x)=g(x)$.\\ Montrer que le résultat tombe en défaut si on remplace $[0,1]$ par $\mathbb{R}$.
Exercice 2131. On se donne $f:[a,b]\to\R$ continue telle que $f(a) < 0 < f(b)$.\\ On considère \[ A=\{x\in[a,b]\mid f(x) < 0\}. \]
  1. Montrer que $A$ est non vide et majorée.\\ On pose $c=\sup A$.\\
  2. Rappeler la caractérisation de $c=\sup A$ avec un $\varepsilon > 0$.\\
  3. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, il existe $x_n \in A$ tel que $x_n > c-\Frac{1}{n}$.\\ En déduire que $f(c)\leqslant 0$.\\
  4. Montrer que $c < b$ et construire une suite $(y_n)$ de l’intervalle $]c,b]$ telle que $y_n \to c$.\\ En déduire que $f(c)\geqslant 0$ et conclure qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=0$.
Exercice 2132. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue admettant un minimum local et un maximum local. Montrer qu'il existe deux points $a$ et $b$ distincts tels que : $f\left(\Frac{a+b}{2}\right)=\Frac{1}{2}\left(f(a)+f(b)\right)$.\\ Montrer que toute fonction continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui prend la même valeur en trois points distincts vérifie la question précédente.
Exercice 2133. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $\forall x,y \in \mathbb{R}$, $f\left(\Frac{x+y}{2}\right)=\Frac{1}{2}\left(f(x)+f(y)\right)$.\\ Montrer que si $f(0)=f(1)=0$, alors $f$ est la fonction nulle.\\ Montrer que l'on peut se ramener au cas précédent par soustraction d'une fonction affine et en déduire que $f$ est affine.
Exercice 2134. Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ continue non injective.\\ Montrer que pour tout $\varepsilon>0$, il existe $x$ et $y$ dans $[a,b]$ vérifiant : $0 < y-x < \varepsilon$ et $f(x)=f(y)$.
Exercice 2135. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue et telle que $\lim_{x \to +\infty} f(x)=l \in \mathbb{R}$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)=l' \in \mathbb{R}$.\\ Montrer que $f$ est bornée.
Exercice 2136. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue et telle que $\limplus f(x) = \limoins f(x) = +\infty$.\\ Montrer que $f$ a un minimum sur $\mathbb{R}$.
Exercice 2137. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction prenant des valeurs $> 0$ et $< 0$, continue sur $\mathbb{R}$.\\ Montrer qu'il existe trois points distincts $a,b,c$ en progression arithmétique vérifiant : $f(a)+f(b)+f(c)=0$.\\ Remarque : autrement dit, on montrera qu'il existe $x \in \mathbb{R}$ et $\eta \in \mathbb{R}_+^*$ tels que $f(x-\eta)+f(x)+f(x+\eta)=0$.
Exercice 2138. Déterminer les fonctions $f$ continues de $[-1,1]$ dans $\R$ telles que pour tout $x\in[-1,1]$, $f(x)^2-2xf(x)-1=0$.
Exercice 2139.
  • Soit $f$ une fonction continue de $\R_+$ dans $\R$. On pose $M(x)=\sup_{[0,x]} f$.\\ Montrer que pour tout $x \geqslant 0$, $M(x)$ est bien définie, et que $M$ est une fonction croissante et continue.
    • Exercice 2140. Soit $f : [0,1] \to ]0,1[$ une fonction continue.\\ On se donne une suite $(x_n)$ à valeurs dans $[0,1]$ et l'on pose $a_n=f(x_n)$, montrer que\\
    1. $a_n^n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$\\
    2. $n a_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty$
    Exercice 2141. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue et périodique, montrer que $f$ est bornée et atteint ses bornes.
    Exercice 2142. Soit $I$ un intervalle de $\R$ et soit $f,g:I\to\R$ des applications continues.\\ On suppose que $|f|=|g|$ et que $g$ ne s’annule pas sur $I$. Montrer que $f=g$ ou $f=-g$.
    Exercice 2143. Soit $I$ un intervalle de $\R$ et soit $f : I \to \R$ continue telle que $f(I) \subset \Z$. Montrer que $f$ est constante.
    Exercice 2144. Soit $f$ : $[a,b] \to [a,b]$ continue. Montrer que $\exist x \in [a,b]$ tel que $f(x)=x$.
    Exercice 2145. Soit $f : [0,1] \to \R$ une fonction continue telle que $\integrale{0}{1}{f(t)}{t} = \Frac{1}{2}$. Montrer que $f$ admet un point fixe.
    Exercice 2146. Soit $f:\R\to\R$ continue et décroissante. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.
    Exercice 2147. Soit $f : [a,b] \to \R$ continue.\\
    1. Montrer que si $f([a,b]) \subset [a,b]$ alors $f$ admet un point fixe.\\
    2. Montrer que si $[a,b] \subset f([a,b])$ alors $f$ admet un point fixe.
    Exercice 2148. Soit $f : [0,1] \to \R$ continue telle que $f(0)=f(1)$.\\ Montrer que pour tout $n \in \N^{*}$, il existe $\alpha \in \left[0,1-\Frac{1}{n}\right]$ tel que\\ \[ f(\alpha + 1/n)=f(\alpha). \]
    Exercice 2149. Soit $f : \R^+ \to \R$ continue telle que $f$ admet une limite finie en $+\infty$. \\ Montrer que $f$ est bornée.
    Exercice 2150. \\
    1. Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction continue telle que $f\circ f=f$.\\ Soit $E_f=\{x\in[0,1],\;f(x)=x\}$.\\ Montrer que $E_f$ est un intervalle.\\
    2. Décrire les applications $f:[0,1]\to[0,1]$ continues telles que $f\circ f=f$.

    Exercice 2151. Oral Mines-Pont

    \\ Soit $f$ une fonction croissante de $[0,1]$ dans $[0,1]$.\\
    1. Montrer que s'il existe $x\in[0,1]$ et $k\in\N^{*}$ tels que $f^{k}(x)=x$ alors $x$ est un point fixe pour $f$.\\
    2. Montrer que $f$ admet un point fixe.
    Exercice 2152. Soit $f : \R \to \Z$ une fonction continue. Montrer que $f$ est constante.