Z/nZ

Exercice 1189. Soit $p$ un nombre premier et $k \in \N^*$ tel que $k \wedge (p-1) = 1$.\\ Montrer que l'application \[ f : \Z/p\Z \to \Z/p\Z \quad x \mapsto x^k \] est une bijection.
Exercice 1190. \\
  1. Soient $(G,\cdot)$ et $(G',\cdot)$ deux groupes et $f : G \to G'$ un morphisme de groupes. Soit $x \in G$. Supposons que $x$ est d'ordre fini $n$. Montrer que $f(x)$ est aussi d'ordre fini et que cet ordre divise $n$.\\
  2. Déterminer tous les morphismes de groupes de $\Z / 7\Z$ dans $\Z / 13\Z$, et de $\Z / 3\Z$ dans $\Z / 12\Z$.

Exercice 1191. Sous-groupes de $Z/n\Z$

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  1. Montrer que tout sous-groupe cyclique d'ordre $n$ est isomorphe à $\Z/n\Z$. \\
  2. Montrer que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique. \\
  3. Montrer que pour $d \mid n$, il existe un unique sous-groupe d'ordre $d$ de $\Z/n\Z$. \\
  4. Donner le cardinal du sous-groupe engendré par $k$ dans $\Z/n\Z$. \\
  5. Montrer que \[ n = \Sum_{d \mid n} \varphi(d) \] où $\varphi(d)$ est l'indicatrice d'Euler, c'est-à-dire le nombre de générateurs de $\Z/d\Z$. \\
  6. Montrer que tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif est cyclique.
Exercice 1192. Soit $p \in \N$ avec $p \geqslant 2$.\\ Montrer que $(p-1)! \equiv -1 [p]$ si et seulement si $p$ est premier.
Exercice 1193. Soit $p$ un nombre premier.\\ Montrer que pour tout $k \in \N$, on a \[ \Sum_{x \in \Z/p\Z} x^k \in \{0,-1\}. \]
Exercice 1194. Soit $n \geqslant 2$ un entier. On rappelle que la relation définie sur $\mathbb{Z}$ par $a \equiv b \;[n]$ si $n \mid a-b$ est une relation d’équivalence dont l’ensemble quotient est noté $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Si $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \overline{a}$, on dit que $b$ est un représentant de $\overline{a}$ et on a alors $\overline{b} = \overline{a}$. Par division euclidienne, pour tout $a \in \mathbb{Z}$, il existe un unique $r \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket$ tel que $a \equiv r \;[n]$.\\ L'application \[ \left\{ \begin{array}{ccc} \llbracket 0,n-1 \rrbracket & \to & \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\\ r & \mapsto & \overline{r} \end{array} \right. \] est donc bijective. L'ensemble $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ possède donc $n$ éléments.\\ Soit $x,y \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Soit $a \in \mathbb{Z}$ un représentant de $x$. Soit $b \in \mathbb{Z}$ un représentant de $y$. On pose $x+y = \overline{a+b}$ et $xy = \overline{ab}$.\\
  1. Montrer que ces opérations sont bien définies sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Autrement dit, on montrera que $x+y$ et $xy$ ne dépendent pas des représentants choisis.\\
  2. Montrer que $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)$ est un anneau commutatif dont on donnera les éléments neutres.\\
Exercice 1195. Soit $n \geqslant 2$ un entier. Montrer que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est intègre ssi $n$ est un nombre premier.
Exercice 1196. Soit $n \geqslant 2$ et $x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Montrer que $x$ est inversible ssi il existe $a \in \mathbb{Z}$ tel que $a \wedge n = 1$ et $x = \overline{a}$.
Exercice 1197. Soit $p$ un nombre premier, montrer que $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps.

Exercice 1198. Petit théorème de Fermat

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  1. Montrer que l'anneau $(\Z/n\Z,+,\cdot)$ est un corps si et seulement si $n$ est premier. \\ On pourra utiliser l'exercice précédent \\
  2. Montrer le petit théorème de Fermat : soit $a \in \Z$ et $p$ un nombre premier. Montrer que $a^p \equiv a \modulo{p}$.
Exercice 1199. Soit $n \in \Z$ et $p$ premier. Montrer que $n^p \equiv n \;[p]$.
Exercice 1200. Résoudre dans $\Z/13\Z$ l'équation $x^2+2x+\overline{10}=0$.
Exercice 1201. Les groupes $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z},+)$ et $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+)$ sont-ils isomorphes ?
Exercice 1202. Soit $p$ un nombre premier.\\ Résoudre l'équation $x^2 = x$ dans $\Z/p\Z$.\\ Résoudre l'équation $x^2 = x$ dans $\Z/34\Z$.\\ Résoudre l'équation $x^2 = x$ dans $\Z/30\Z$.
Exercice 1203. Fixons $n\geqslant 3$ et considérons le groupe $(G,\times)$ des éléments inversibles de l’anneau $\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}$.\\
  1. Calculer le cardinal de $G$.\\
  2. Démontrer que $5^{2^{k-3}}\equiv 2^{k-1}+1\ [2^k]$ pour tout entier naturel $k\geqslant 3$.\\
  3. En déduire l’ordre de $5$ dans $G$.
Exercice 1204. \\
  1. Déterminer le groupe $U$ des inversibles de l’anneau $\mathbb{Z}/20\mathbb{Z}$ et son cardinal.\\
  2. Démontrer que le groupe multiplicatif $U(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ est isomorphe au groupe additif $(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z},+)$, pour tout $p$ premier.\\
  3. En déduire un groupe additif isomorphe à $U$.

Exercice 1205. Définition de $\Z/n\Z$

\\ On note $\bar{x} = \{y \in \Z, \; y \equiv x\modulo{n}\}$ la classe d'équivalence de $x$ pour la relation de congruence modulo $n$. \\
  1. Montrer que si $x \equiv x'\modulo{n}$, alors $\bar{x} = \bar{x}'$. \\
  2. Montrer que l'ensemble $\{\bar{x}, \; x \in \Z\}$ est fini, de cardinal $n$. On note cet ensemble \[ \Z/n\Z \]

Exercice 1206. Quelques propriétés de $\Z/n\Z$

\\ On note $\bar{x} = \{y \in \Z, \; y \equiv x\modulo{n}\}$ la classe d'équivalence de $x$ pour la relation de congruence modulo $n$. \\ On définit les lois d'addition et de multiplication sur $\Z/n\Z$ : \[ \forall \bar{x},\bar{y} \in \Z/n\Z, \;\; \bar{x}+\bar{y} = \bar{x+y} \] \[ \forall \bar{x},\bar{y} \in Z/n\Z, \;\; \bar{x}\cdot \bar{y} = \bar{xy} \] Montrer que ces opérations sont bien définies puis qu'elles confèrent à $\Z/n\Z$ une structure d'anneau commutatif.
Exercice 1207. Montrer que si $n$ est composé (non premier) alors l'anneau $(\Z/n\Z,+,\codt)$ n'est pas intègre.
Exercice 1208. Soit $\alpha \in \N^*$.\\
  1. Résoudre dans \[ (\Z/2^\alpha\Z,+) \] l'équation \[ x^2=\overline{1}. \]
  2. En déduire les \[ \alpha \] pour lesquels le groupe multiplicatif des inversibles \[ (\Z/2^\alpha\Z)^\times \] est cyclique.