Relations
Exercice
766. On définit sur $\R$ la relation binaire $R$ par $xRy \iff \cos^2 x + \sin^2 y = 1$.\\
- Montrer que $R$ est une relation d'équivalence.\\
- Déterminer la classe d'équivalence de $x \in \R$.
Exercice
767. On considère la relation $\preceq$ sur $\N$ définie par $\forall n,m \in \N^{2}$, $(n \preceq m) \iff \exists p \in \N ,\; m = n^{p}$.\\
- Vérifier que $\preceq$ est une relation d’ordre.\\
- Est-ce un ordre total ?
Exercice
768. Soit $\mathcal{R}$ la relation définie sur $\R$ par :\\
\[
\forall (x,y) \in \R^2,\;\; x\mathcal{R}y \Longleftrightarrow (x=y=0)\;\;\lor\;\;xy>0.\\
\]
- Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence. Décrire les classes d’équivalence associées.\\
- Montrer que $\mathcal{R}$ est une congruence sur $(\R,\times)$.
Exercice 769. Démonstration
\\ Soit $E$ un ensemble et $\sim$ une relation d’équivalence sur $E$.\\ Pour tout $x \in E$, on note $\mathrm{cl}(x) = \{y \in E \mid y \sim x\}$.\\- Montrer que pour tous $x,y \in E$ on a \[ \mathrm{cl}(x)=\mathrm{cl}(y) \Longleftrightarrow \mathrm{cl}(x)\cap\mathrm{cl}(y)\neq\varnothing \Longleftrightarrow x\sim y. \]
- En déduire que les classes d’équivalence de $\sim$ forment une partition de $E$.
Exercice
770. Étudier la relation définie sur $\N$ par : $x\mathcal{R}y \Longleftrightarrow \exists n \in \N^*,\;\; y=x^n$.
Exercice
771. Si $(u_n)_{n \in \N}$ et $(v_n)_{n \in \N}$ sont deux suites de réels, on convient que $(u_n)\;R\;(v_n)$ si et seulement si, pour tout $n \in \N$, il existe $p,q \geqslant n$ tels que\\
\[
u_p \leqslant v_n \;\; et \;\; v_q \leqslant u_n.
\]
- $R$ est-elle une relation d’ordre ? Est-elle une relation d’équivalence ?\\
- Notons $c$ une suite constante. Déterminer les suites $u$ telles que $u\;R\;c$.
Exercice
772. \\
- Montrer que la relation $\sim$ définie sur $\N \times \N$ par\\ \[ (a,b)\sim(c,d)\Longleftrightarrow a+d=b+c\\ \] est une relation d’équivalence.\\
- Expliquer en quoi l’ensemble quotient (l’ensemble des classes d’équivalence) pour cette relation définit $\Z$.\\
- Montrer que la loi d’addition sur $\N^2$ est compatible avec la relation $\sim$, et qu’elle coïncide, par passage au quotient, avec l’addition de $\Z$.
Exercice
773. Soit I un ensemble ordonné et $(E_i)_{i \in I}$ une famille d’ensembles ordonnés.\\
Toutes les relations d’ordre utilisées seront notées $\leqslant$.\\
On pose $E=\{(i,x) \mid i \in I \;\; \text{et} \;\; x \in E_i\}$ et on le munit de l’ordre suivant :\\
\[
(i,x) \leqslant (j,y) \iff (i < j \;\; \text{ou} \;\; (i=j \;\; \text{et} \;\; x \leqslant y)).
\]
Vérifier que c’est bien un ordre sur $E$.\\
On dit qu’un ensemble $(F,\leqslant)$ est bien ordonné lorsque toute partie non vide de $F$ possède un minimum.\\
Montrer que si $I$ et les $E_i$ sont tous bien ordonnés, alors $E$ est aussi bien ordonné.
Exercice
774. Soit $E$ un ensemble fini et $O_E$ l’ensemble des ordres sur $E$.\\
Si $\leqslant_1$ et $\leqslant_2$ sont deux ordres sur $E$, on dit que $\leqslant_1$ implique $\leqslant_2$ si pour tout $(x,y) \in E^2$, on a\\
\[
x \leqslant_1 y \Rightarrow x \leqslant_2 y.
\]
- Montrer que cela définit une relation d’ordre sur $O_E$.\\
- Montrer que $O_E$ admet un minimum pour cette relation.\\
- Quels sont les éléments maximaux de $O_E$ ?
Exercice
775. Soit $(E,\leqslant)$ un ensemble ordonné.\\
On dit qu’une partie $X$ de $E$ est libre si ses éléments sont deux à deux non comparables.\\
On note $L(E)$ l’ensemble des parties libres de $E$.\\
On définit sur $L(E)$ la relation $R$ par\\
\[
X \;R\; Y \iff \forall x \in X,\;\exists y \in Y,\; x \leqslant y.
\]
- Montrer que $R$ est une relation d’ordre.\\
- Montrer que la fonction $\mathrm{Id}_{L(E)}$ est croissante de $(L(E),\subset)$ dans $(L(E),R)$.\\
- Sa réciproque est-elle croissante ?
Exercice
776. Soit $(E,\leqslant)$ un ensemble ordonné fini.\\
On appelle chaîne de $E$ tout sous-ensemble de $E$ totalement ordonné, et cochaîne de $E$ tout sous-ensemble de $E$ formé d’éléments deux à deux incomparables.\\
Montrer que la longueur maximale d’une chaîne de $E$ est égale au minimum du nombre de parties d’une partition de $E$ dont toutes les parties sont des cochaînes de $E$.