Fonctions et intégrales

Exercice 3335. Formule de la moyenne

1. Déterminer le domaine de définition de $F$. Montrer que $F$ est de classe $C^1$ et calculer $F'$.\\
2. Déterminer le domaine de définition de $G$ puis exprimer $G(x)$ en fonction de $F(x)$ et de $F\left(\Frac{1}{x}\right)$.\\
3. Montrer que $G$ est dérivable sur son domaine de définition. Calculer $G'$ et $G(1)$. En déduire $G$.

1. Trouver une relation simple entre $\integrale{a}{b}{t f(t)}{t}$ et $\integrale{a}{b}{f(t)}{t}$. \\
2. En déduire la valeur de : $\integrale{0}{\pi}{\Frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}}{x}$.

1. \[ g(x)=\integrale{2x}{x^2}{f(t)}{t}. \]
2. \[ g(x)=\integrale{0}{x}{x f(t)}{t}. \]
3. \[ g(x)=\integrale{0}{x}{f(t+x)}{t}. \]

1. Montrer que \[ \limn \left(\integrale{a}{b}{f(t)^n}{t}\right)^{\frac{1}{n}}=M \quad \text{où} \quad M=\sup_{t\in[a,b]} f(t). \]
2. Soit $g:[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction continue prenant des valeurs strictement positives sur $[a,b]$.\\ Montrer que \[ \limn \left(\integrale{a}{b}{f(t)^ng(t)}{t}\right)^{\frac{1}{n}}=M \quad \text{où} \quad M=\sup_{t\in[a,b]} f(t). \]

1. Montrer que $S=C$ par un changement de variable puis calculer $S$ et $C$ de manière astucieuse.
2. En déduire $\integrale{0}{1}{\frac{1}{t+\sqrt{1-t^2}}}{t}$.

1. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on pose \[ u_n=\Sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}. \]
   1. Montrer que pour tout entier $k \geqslant 1$, \[ \frac{1}{k+1}\leqslant \integrale{k}{k+1}{\frac{1}{t}}{t}\leqslant \frac{1}{k}. \]
   2. En déduire que pour tout entier $n \geqslant 1$, \[ \ln(n+1)\leqslant u_n\leqslant \ln(n)+1. \]
   3. En déduire $\limn u_n$ puis $\limn \frac{u_n}{\ln(n)}$.
2. Montrer que pour tout entier $k \geqslant 1$, \[ \ln(k)\leqslant \integrale{k}{k+1}{\ln(t)}{t}\leqslant \ln(k+1). \] En déduire que pour tout entier $n \geqslant 1$, \[ \integrale{1}{n}{\ln(t)}{t}\leqslant \ln(n!)\leqslant \integrale{1}{n+1}{\ln(t)}{t}. \]

1. Pour tout entier naturel $n$, calculer la valeur de $u_{n+2}+u_n$.
2. Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.
3. Montrer que $(u_n)$ est convergente, puis déterminer sa limite.

1. Montrer que si \[ \integrale{0}{1}{f(t)}{t}=0, \] alors $f$ s'annule au moins une fois.
2. Montrer que si \[ \integrale{0}{1}{f(t)}{t}=\frac{1}{2}, \] alors $f$ possède un point fixe.

1. $\integrale{0}{1}{\frac{t^n}{e^t+1}}{t}$.
2. $\integrale{0}{1}{t^nf(t)}{t}$.

1. Calculer $\integrale{0}{1}{\arctan(x)}{x}$. \\
2. Soient $a < b$ et $g \in \mathcal{F}([a,b],\R)$. Donner la définition de $g$ uniformément continue sur $[a,b]$. \\
3. Montrer que si $g$ est lipschitzienne sur $[a,b]$, alors $g$ est uniformément continue sur $[a,b]$. \\
4. Montrer que la fonction $x \mapsto \sin(x)$ est $1$-lipschitzienne. \\
5. Soit $f \in C([a,b],\R)$. Montrer que la fonction $h : x \mapsto \integrale{a}{b}{f(t)\sin(tx)}{t}$ est uniformément continue sur $\R$ à l'aide des questions précédentes.

1. Montrer que : \[ \forall x > 0,\quad \integrale{0}{x}{f(t)}{t}+\integrale{0}{f(x)}{f^{-1}(t)}{t}=xf(x) \]
2. Montrer que : \[ \forall (a,b)\in (\R_+^*)^2,\quad \integrale{0}{a}{f(t)}{t}+\integrale{0}{b}{f^{-1}(t)}{t}\geqslant ab \] avec égalité si et seulement si \[ f(a)=b \]

1. Montrer que $F$ est dérivable. Déterminer $F$.\\
2. Montrer : \[ \forall (u,v) \in \mathbb{R}_+ \times f(\mathbb{R}_+),\; \integrale{0}{u}{f(t)}{t}+\integrale{0}{v}{g(t)}{t} \geqslant uv. \] À quelle condition a-t-on égalité ?

Exercice 3379. Lemme de Riemann-Lebesgues

1. Montrer que $g$ est bornée.\\
2. Soit $\varepsilon>0$, montrer qu'il existe $\alpha\in]0,1[$ tel que : $\forall n\in\N\quad \left|\integrale{\alpha}{1}{g(x^n)}{x}\right|\leqslant\Frac{\varepsilon}{2}$.\\
3. Montrer que $\sup_{[0,x]}|g|\xrightarrow[x\to0]{}0$.\\
4. Montrer que $\integrale{0}{\alpha}{g(x^n)}{x}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$.\\
5. Conclure.\\
6. Montrer le même résultat à l'aide du découpage variable $\integrale{0}{1}{g(x^n)}{x}=\integrale{0}{1-\Frac{1}{\sqrt{n}}}{g(x^n)}{x}+\integrale{1-\Frac{1}{\sqrt{n}}}{1}{g(x^n)}{x}$.\\
7. Montrer que $\integrale{0}{1}{\Frac{dt}{(1+t^3)^n}}{t}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$ par la même technique du découpage variable.

1. En écrivant $v_n=\integrale{0}{1}{\Frac{x^n}{1+x^n}}{x}=\integrale{0}{1}{\Frac{x^{n-1}}{1+x^n}}{x}$, montrer à l'aide d'une intégration par parties que\\ \[ v_n=\Frac{\ln 2}{n}-\Frac{1}{n}\integrale{0}{1}{\ln(1+x^n)}{x}.\\ \]
2. Montrer que $0\leqslant \integrale{0}{1}{\ln(1+x^n)}{x}\leqslant \Frac{1}{n+1}$ en utilisant la concavité de $\ln$ et en déduire que $v_n\sim\Frac{\ln2}{n}$.\\
3. Montrer que $u_n-f(1)v_n=o\left(\Frac{1}{n}\right)$. En déduire que $u_n\sim \Frac{f(1)\ln(2)}{n}$.

1. Montrer que $G$ est dérivable et calculer $G'$.\\
2. Si $u$ et $v$ sont de classe $C^1$, que dire de $G'$ ?

Exercice 3391. Lemme de Riemann-Lebesgues

1. Si $\varphi$ est de classe $C^1$, montrer que $u_n \to 0$ lorsque $n \to +\infty$.\\
2. Si $\varphi$ est en escalier, montrer que $u_n \to 0$ lorsque $n \to +\infty$. Que se passe-t-il si $\varphi$ est continue par morceaux ?

Exercice 3397. CCP PSI

1. Soient $a,b \in \R$ tels que $a < b$ et $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ telle que $\forall x \in [a,b]$, $f(x)=f(a+b-x)$. Montrer, en posant $u=a+b-x$, que \[ \integrale{a}{b}{x f(x)}{x}=\Frac{a+b}{2}\integrale{a}{b}{f(x)}{x}. \]
2. En déduire la valeur de $\integrale{-\pi}{\pi}{\Frac{x\,e^{ix}}{1+\cos^2(x)}}{x}$.

1. Montrer que $\forall x \in [a;b],\; |f(x)| \leqslant F(x)$. \\
2. En déduire que \[ \integrale{a}{b}{|f(x) f'(x)|}{x} \leqslant \Frac{b-a}{2} \integrale{a}{b}{\big(f'(x)\big)^2}{x}. \]

1. Calculer $I_0$, $I_1$, $I_n+I_{n+2}$, puis $I_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. \\ Déterminer la limite de $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$. \\
2. En déduire $\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{(-1)^n}{2n+1}$ et $\Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{(-1)^n}{n}$.

1. Montrer que la fonction $x\mapsto \integrale{x}{x+T}{f(t)}{t}$ est constante. \\
2. Calculer $\lim_{x\to +\infty}\Frac{1}{x}\integrale{0}{x}{f(t)}{t}$.

1. Exprimer \[ \integrale{a}{b}{f(t)}{t} \] en fonction de \[ \integrale{a}{b}{f''(t)P(t)}{t} \]
2. En déduire que \[ \left|\integrale{a}{b}{f(t)}{t}\right| \leqslant \frac{(b-a)^3}{12}\|f''\|_\infty \]

1. Montrer que $f_n$ est intégrable sur $\R_+^*$. On pose \[ u_n=\integrale{0}{+\infty}{f_n(x)}{x} \]
2. Déterminer la limite de $(u_n)$.

1. Montrer qu'il existe $m,M \in \mathbb{R}$ tels que \[ G([a,b])=[m,M]. \]
2. Montrer que \[ \integrale{a}{b}{f(t)g(t)}{t} = f(b)G(b)-\integrale{a}{b}{f'(t)G(t)}{t}. \]
3. En déduire qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que \[ \integrale{a}{b}{f(t)g(t)}{t} = f(a)\integrale{a}{c}{g(t)}{t}. \]

1. Montrer que si \[ \integrale{0}{\pi}{f(t)\sin t}{t}=0, \] alors il existe $a \in ]0,\pi[$ tel que $f(a)=0$.
2. Montrer que si \[ \integrale{0}{\pi}{f(t)\sin t}{t} = \integrale{0}{\pi}{f(t)\cos t}{t} = 0, \] alors $f$ s'annule au moins $2$ fois sur $]0,\pi[$.

1. Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^2$ et calculer $F''(x)$.
2. En déduire \[ F(x)=\integrale{0}{x}{\integrale{u}{1}{f(t)}{t}}{u}. \]

1. Montrer que $F$ peut être prolongée par continuité en $0$. On effectue ce prolongement.
2. Montrer que $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et exprimer $F'(x)$ à l'aide d'une intégrale.
3. Montrer que $F$ est dérivable en $0$ et observer que $F'(0)=0$.

1. Montrer que \[ \integrale{0}{1}{f^2(t)}{t} \leqslant \dfrac{1}{2}\integrale{0}{1}{(f'(t))^2}{t}. \]
2. Si $f(1)=0$, améliorer l'inégalité obtenue en première question.

1. Pour quelles valeurs de $(\alpha,\beta)$ l'intégrale $I_1$ est-elle convergente ?
2. Même question avec $I_2$.

1. Pour $x > -1$, calculer $\varphi(x) = \displaystyle\int_0^\pi \frac{dt}{1 + x(\sin t)^2}$ à l'aide du changement de variable $u = \tan t$.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha, \beta > 0$ pour que $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x^\alpha}{1+x^\beta(\sin x)^2}\,dx$ converge.

1. Étudier le comportement en $+\infty$ de $F$ si $f$ admet une limite finie en $+\infty$, puis si $f$ est périodique.
2. On suppose que $f$ est monotone et que $F$ admet une limite finie en $+\infty$. Que dire de $f$ ?

1. Donner une expression explicite de $I_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.\\
2. Déduire la formule de Wallis \[ \lim_{p \to +\infty} \frac{1}{p}\left[\frac{2p(2p-2)\cdots 2}{(2p-1)(2p-3)\cdots 1}\right]^2=\pi, \] puis montrer que, lorsque $n \to +\infty$, $I_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$.

1. Montrer que \[ \left|\integrale{a}{b}{f(t)}{t}\right|\leqslant \frac{(b-a)^2}{4}M. \]
2. Dans quels cas l'inégalité précédente est-elle une égalité ?

1. Pour tout $x > 0$, montrer que \[ \integrale{0}{x}{f(t)}{t}+\integrale{0}{f(x)}{f^{-1}(t)}{t}=xf(x). \]
2. Déduire que \[ \forall a,b > 0,\quad \integrale{0}{a}{f(t)}{t}+\integrale{0}{b}{f^{-1}(t)}{t}\geqslant ab, \] et que l'égalité se produit si et seulement si $b=f(a)$.

1. Calculer $I_1$.
2. 1. Étudier le sens de variation de la suite $(I_n)_{n\geqslant 1}$.
   2. Montrer que la suite $(I_n)_{n\geqslant 1}$ est convergente.
   3. Montrer que pour tout $x \in [1,e]$, \[ 0\leqslant \ln(x)\leqslant \frac{x}{e}. \]
   4. En déduire un encadrement de $I_n$ puis $\limn I_n$.
3. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[ I_{n+1}=\frac{e^3}{3}-\frac{n+1}{3}I_n. \]
   2. En déduire $\limn nI_n$.

1. Pourquoi $m$ et $M$ sont bien définies ?
2. Démontrer que \[ m\integrale{a}{b}{g(t)}{t} \leqslant \integrale{a}{b}{f(t)g(t)}{t} \leqslant M\integrale{a}{b}{g(t)}{t}. \]
3. En déduire l'existence de $c \in [a,b]$ tel que \[ \integrale{a}{b}{f(t)g(t)}{t} = f(c)\integrale{a}{b}{g(t)}{t}. \]
4. Justifier que pour toute fonction continue $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, \[ \lim_{x\to 0^+}\integrale{x}{2x}{\frac{f(t)}{t}}{t}=f(0)\ln(2). \]

1. Montrer que $F$ est bien définie et décroissante.
2. Justifier que pour tout $t \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]$, \[ \frac{2t}{\pi}\leqslant \sin(t). \]
3. En déduire que pour tout réel $x > 0$, \[ 0\leqslant F(x)\leqslant \frac{\pi}{2x}. \] En déduire la limite de $F$ en $+\infty$.
4. 1. Pour tous réels positifs $a,b$, montrer que \[ |e^{-a}-e^{-b}|\leqslant |a-b|. \]
   2. En déduire que pour tous réels positifs $x,y$, \[ |F(x)-F(y)|\leqslant |x-y|. \]
   3. Justifier alors la continuité de $F$ sur $\mathbb{R}_+$.

1. Montrer que $H$ est $C^1$ sur $]1,+\infty[$ et calculer sa dérivée.
2. Montrer que la fonction $u$ définie par \[ u(x)=\frac{1}{\ln(x)}-\frac{1}{x-1} \] admet une limite finie en $x=1$.

1. Étudier le domaine de définition de $F$.
2. Étudier la parité de $F$.
3. Calculer la dérivée de $F$ et dresser son tableau de variation.
4. Calculer les limites de $F$ en $0$ et $+\infty$.

1. Justifier que $F$ est bien définie, $C^1$ sur $\mathbb{R}$ et donner $F'$. En déduire les variations de $F$, sa parité et ses limites.
2. Montrer qu'il existe une fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x\in\mathbb{R}$, \[ \integrale{x}{u(x)}{e^{t^2}}{t}=1. \] Montrer que $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et étudier sa monotonie.
3. Étudier les branches infinies de $u$.

1. Justifier que $F$ est définie sur $\R$. \\
2. Justifier proprement que $F$ est impaire. On limite son étude à l'intervalle $[0,+\infty[$. \\
3. Justifier que $F$ est dérivable et donner sa dérivée puis la tangente à la courbe de $F$ en $0$. \\
4. En écrivant $x=\integrale{0}{x}{1}{t}$, montrer que la courbe de $F$ est toujours au-dessous de sa tangente en $0$ sur $[0,+\infty[$. Qu'en est-il sur $]-\infty,0]$ ? \\
5. Déterminer les variations de $F$ sur $[0,+\infty[$. \\
6. 1. Démontrer que pour tout $x > 0$, \[ F(x)=F(1)+\integrale{1}{x^2}{\Frac{\cos(u)}{2\sqrt{u}}}{u} \]
   2. Calculer pour tout $X \geqslant 1$ l'intégrale $\integrale{1}{X}{u^{-3/2}}{u}$. \\
   3. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $F$ est bornée sur $[0,+\infty[$.
7. On admet que $F$ admet une limite en $+\infty$ et que cette limite vaut $\sqrt{\Frac{\pi}{8}}$. Tracer une allure de la courbe représentative de $F$ sur $[-3,3]$ en donnant tous les éléments permettant le tracé.

1. Étudier la monotonie de $(u_n)_n$. \\
2. Simplifier $u_{n+1}+u_n$ pour tout $n \in \N$. \\
3. Montrer que pour tout $n \in \N$, \[ S_n=\Frac{\pi}{4}+(-1)^n u_n \]
4. Montrer que $u_n \sim \Frac{1}{4n}$ et calculer $\limn S_n$.

1. Montrer que pour tout $f \in E$, $x \mapsto \integrale{0}{x}{(f(t))^2}{t}$ est croissante. \\
2. Justifier que $\varphi(f)(x)$ est bien définie pour tout $x \geqslant 0$. Montrer que pour tout $x > 0$, \[ \varphi(f)(x)=\Frac{\integrale{0}{x}{f(u)}{u}}{x} \]
3. Déduire que la fonction $\varphi(f)$ est continue et dérivable sur $\R_+^*$ et est prolongeable par continuité en $0$. On notera aussi $\varphi(f)$ son prolongement par continuité. Dans la suite, on sera prudent sur le fait que $\varphi(f)$ est aussi définie en $0$. \\
4. Montrer que l'application $\varphi$ est un endomorphisme injectif de $E$. \\
5. Montrer que pour tout $f,g \in E$, $f \leqslant g \Rightarrow \varphi(f) \leqslant \varphi(g)$. \\
6. Montrer que si $f \in E$ est croissante alors $\varphi(f) \leqslant f$. On admet que si $f$ est décroissante, alors $\varphi(f) \leqslant f$. \\
7. Montrer que si $f \in E$ est croissante alors $\varphi(f)$ aussi. On admet que si $f$ est décroissante, alors $\varphi(f)$ est décroissante.

1. Montrer que $\varphi$ est bien définie et que cette fonction se prolonge par continuité en $0$ et en $1$.
2. En déduire la valeur de \[ \integrale{0}{1}{\dfrac{x-1}{\ln x}}{x}. \]

1. Montrer que si $f$ est $C^1$ sur $[a,b]$, alors $f$ est à variation bornée sur $[a,b]$, et calculer sa variation. Examiner le cas où $f$ est lipschitzienne ou monotone.\\
2. Comparer \[ V_a^b(f+g) \] à \[ V_a^b(f)+V_a^b(g). \]
3. Pour \[ c\in]a,b[, \] comparer la variation de $f$ sur $[a,b]$ à la somme de ses variations sur $[a,c]$ et $[c,b]$.\\
4. Montrer que $f$ est à variation bornée sur $[a,b]$ si et seulement si $f$ est somme de deux fonctions monotones sur $[a,b]$.\\

1. Prouver que : \[ \forall (x,y)\in \R^2,\quad \integrale{x-y}{x+y}{f}{t}=2yf(x) \]
2. Prouver que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et déterminer les fonctions solutions.

1. Prouver que la suite $(u_n)$ converge et en déterminer la limite.\\
2. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, \[ (2n+3)u_n=2nu_{n-1}. \]
3. En déduire que \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad u_n=2^{2n+2}\frac{n!(n+1)!}{(2n+3)!}. \]

1. Montrer que $G$ est définie sur $]0,1[ \cup ]1,+\infty[$.\\
2. Montrer que $G(x)\to 0$ quand $x\to 0^+$ en utilisant l’égalité de la moyenne. On pose $G(0)=0$ dans la suite.\\
3. Montrer que $G'(0)=0$.\\
4. Nous allons montrer de deux façons que $G(x)\to \ln(2)$ quand $x\to 1$.\\ Méthode 1 : Remarquer que \[ G(x)=\integrale{x}{x^2}{\Frac{t-1}{\ln(t)}\Frac{1}{t-1}}{t} \] et que $\Frac{y-1}{\ln(y)}\to 1$ quand $y\to 1$ et utiliser l’égalité de la moyenne.\\ Méthode 2 : Remarquer que \[ G(x)=\integrale{x}{x^2}{t\Frac{1}{t\ln(t)}}{t} \] et utiliser l’égalité de la moyenne.\\
5. On pose $G(1)=\ln(2)$. Montrer que $G$ est de classe $C^1$ sur $[0,+\infty[$.\\
6. En déduire la valeur de \[ \integrale{0}{1}{\Frac{x-1}{\ln x}}{x}. \] Question ouverte : Peut-on calculer autrement cette intégrale ?

1. On suppose que $f'(t)\to 0$ quand $t\to +\infty$.\\
   1. Montrer que $\Frac{1}{x}\integrale{a}{x}{f'(t)}{t}\to 0$ quand $x\to +\infty$.\\
   2. En déduire que $\Frac{f(x)}{x}\to 0$ quand $x\to +\infty$.\\
2. Soit $\ell \in \K$. On suppose que $f'(x)\to \ell$, montrer que $\Frac{f(x)}{x}\to \ell$ quand $x\to +\infty$.

1. Montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $C > 0$ tel que pour tout $f \in E$ et tout $x \in [a,b]$, \[ |f(x)^2-f(a)^2| \leqslant C \integrale{a}{b}{f(t)^2}{t}+\varepsilon \integrale{a}{b}{f'(t)^2}{t}. \]
2. Montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $D > 0$ tel que, pour tout $f \in E$, \[ \sup_{x \in [a,b]} f(x)^2 \leqslant D \integrale{a}{b}{f(t)^2}{t}+\varepsilon \integrale{a}{b}{f'(t)^2}{t}. \]

1. Existence, dérivabilité, dérivée, variations de $f$. \\
2. Calculer $\integrale{x}{x^2}{\Frac{1}{t\ln t}}{t}$. \\ En déduire un encadrement, puis les limites en $0$, $1$ et $+\infty$ de $f$. \\
3. On prolonge $f$ par continuité en $0$ et $1$. \\ Montrer que la fonction obtenue $g$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}_+$.

1. Montrer que $I_n$ tend vers $0$. \\
2. Montrer que pour tout $n$, $P_n$ et ses dérivées successives prennent des valeurs entières en $0$ et en $\Frac{a}{b}$. \\
3. On veut montrer que $\pi$ est irrationnel. \\ On raisonne par l’absurde. \\ On peut alors choisir dans la question précédente $(a,b)$ tels que $\pi=\Frac{a}{b}$. \\ Montrer que pour tout $n$, $I_n$ est entier. \\ En déduire une contradiction.

1. Soit $f \in \mathcal{C}^1([0,1],\R)$. Montrer que \[ \integrale{0}{1}{\cos(2\pi nt)f(t)}{t}\xrightarrow[n \to +\infty]{}0 \]
2. Montrer que cela reste vrai si $f$ est supposée lipschitzienne sur $[0,1]$.

1. Justifier l’existence de $I_n$.
2. Déterminer la limite de la suite $(I_n)$.
3. Justifier l’existence de réels $a_k$ tels que \[ \forall t \in \R_+,\quad \frac{1}{(1+t)(2+t)\cdots(n+t)}=\Sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{t+k} \]
4. Établir \[ \forall n \geqslant 2,\quad I_n=-\Sum_{k=1}^{n}a_k\ln(k) \]
5. Calculer les $a_k$.

1. Déterminer la limite de la suite $(I_n)$.
2. Déterminer un équivalent $K_n$ de $I_n$ quand $n \to +\infty$.
3. Déterminer un équivalent de $I_n-K_n$ quand $n \to +\infty$.

1. Soient $(x_1,\dots,x_n)$ et $(y_1,\dots,y_n)$ deux suites monotones de même sens. Montrer que $$ \Frac{1}{n}\Sum x_i \cdot \Frac{1}{n}\Sum y_i \leqslant \Frac{1}{n}\Sum x_i y_i. $$
2. Soient $f,g$ monotones continues sur $[a,b]$. Comparer $\integrale{a}{b}{f(x)}{x}\cdot\integrale{a}{b}{g(x)}{x}$ et $(b-a)\integrale{a}{b}{fg}{x}$.

1. Montrer que \[ S_n \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} \integrale{a}{b}{f(t)g(t)}{t}. \]
2. On introduit $G$ la primitive de $g$ s'annulant en $a$.\\ Montrer que \[ f(a)\min_{[a,b]}G \leqslant S_n \leqslant f(a)\max_{[a,b]}G. \]
3. En déduire qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que \[ \integrale{a}{b}{f(t)g(t)}{t} = f(a)\integrale{a}{c}{g(t)}{t}. \]
4. Soient $f,g : [a,b] \to \mathbb{R}$ continues avec $f$ monotone.\\ Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que \[ \integrale{a}{b}{f(t)g(t)}{t} = f(a)\integrale{a}{c}{g(t)}{t} + f(b)\integrale{c}{b}{g(t)}{t}. \]

1. Déterminer le domaine de définition $\Delta$ de $f$.
2. Déterminer la limite puis un équivalent simple de $f(x)$ lorsque $x \to +\infty$.
3. Étudier les variations de $f$ sur $\Delta$.

1. Justifier la convergence de $G(x,y)$.
2. Montrer que $y \mapsto G(x,y)$ admet une limite finie $G(x)$ quand $y \to +\infty$.
3. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ G(n,y) = \frac{1}{n}\int_0^y \frac{t-\lfloor t\rfloor}{t}\,dt - \frac{1}{n}\int_n^{y+n}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t}\,dt. \]
4. Pour tout $n \geq 1$, on note $H_n = nG(n)$. Montrer que la série $\displaystyle\sum_{n \geq 2}\left(H_n - H_{n-1} - \frac{1}{2n}\right)$ converge et en déduire un équivalent de $G(n)$.

1. Montrer que $f$ est intégrable sur $[0,1]$.
2. Calculer $\integrale{0}{1}{x^x}{x}$.

1. 1. Factoriser $X^2-2X\cos(\theta)+1$ pour tout $\theta \in \mathbb{R}$.
   2. Justifier que l'on peut poser \[ I(x)=\integrale{0}{2\pi}{\ln(x^2-2x\cos(\theta)+1)}{\theta} \] pour tout $x \in \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$.
2. 1. Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$, déterminer la factorisation irréductible sur $\mathbb{R}$ de \[ X^4-2X^2\cos(\theta)+1. \]
   2. En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$, \[ I(x^2)=2I(x). \]
3. 1. Montrer que pour tout $x \in ]-1,1[$, \[ 4\pi\ln(1-|x|)\leqslant I(x)\leqslant 4\pi\ln(1+|x|). \]
   2. En déduire que $I$ est nulle sur $]-1,1[$.
4. Après avoir calculé $I\left(\frac{1}{x}\right)$, calculer $I(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}\setminus[-1,1]$.

1. Montrer que $|f|$ est majorée sur $[0,1]$.
2. Montrer que $(\gamma_n)$ converge vers $0$.
3. Montrer que $f$ est lipschitzienne sur $[0,1]$.
4. Montrer que \[ \left|\gamma_n-\frac{f(1)}{n+1}\right| \leqslant \frac{K}{(n+1)(n+2)}. \]
5. En déduire que \[ \gamma_n\sim \frac{f(1)}{n}. \]
6. On note \[ \alpha_n=\Sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}. \] Montrer que \[ \alpha_n=\frac{\pi}{4}-\integrale{0}{1}{\frac{(-x^2)^{n+1}}{1+x^2}}{x}. \]
7. En déduire que $(\alpha_n)$ converge vers $\frac{\pi}{4}$ et trouver un équivalent simple de $\alpha_n-\frac{\pi}{4}$.

1. Calculer les valeurs de $J_0$, $J_1$ et $J_2$. \\
2. Quel est le signe de $J_n$ ? Et la monotonie de la suite $(J_n)_n$ ? \\
3. Montrer que la suite $(J_n)_n$ est convergente. \\
4. En utilisant au moins une IPP, déterminer une relation entre $J_{n+2}$ et $J_n$. On ne cherchera pas ensuite à donner une expression explicite de $J_n$. \\
5. En déduire les valeurs de $J_3$ et $J_4$. \\
6. On souhaite prouver que $\limn J_n=0$ à l'aide de la définition de la limite. \\
   1. Rappeler la définition de $\limn J_n=0$. \\
   2. Montrer que pour tout $n \in \N$, $0 \leqslant J_n \leqslant \integrale{0}{\pi/2}{\sin^n(t)}{t}$. \\
   3. Montrer rigoureusement que $\integrale{0}{\pi/2}{\sin^n(t)}{t}=\integrale{\pi/2}{\pi}{\sin^n(t)}{t}$ par un changement de variable. \\
   4. Montrer que pour tout $x \in ]0,\pi/2[$, on a \[ \integrale{0}{\pi/2}{\sin^n(t)}{t}\leqslant x\sin^n(x)+\Frac{\pi}{2}-x \]
   5. Soit $\varepsilon > 0$, et $x \in ]\pi/2-\varepsilon/2,\pi/2[$, montrer que $\exists n_0 \in \N,\ \forall n \geqslant n_0,\ 0 < x\sin^n(x) < \varepsilon/2$. \\
   6. Conclure.

1. Soient $f\in F$ et $u\in E$, calculer la dérivée de $t\mapsto I(f+tu)$ en $t=0$.\\
2. Montrer que $I$ admet un minimum et le calculer.

1. Soit $\Phi : ]a,b[ \to \mathbb{R}$ de classe $C^2$, croissante, et $h : [a,b[ \to \mathbb{R}$ continue. On suppose \[ -\infty < a < b \leqslant +\infty. \] Soit $\xi\in]a,b[$ tel que \[ h(\xi)\neq0 \] et \[ \Phi'(\xi)\neq0. \] On pose \[ I_n=\integrale{a}{\xi+\frac{\alpha\ln n+\beta}{n}}{h(t)e^{n\Phi(t)}}{t}, \] où $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Trouver un équivalent de $I_n$.\\
2. Soit \[ P_n=\sum_{k=0}^n\frac{X^k}{k!}. \] Pour $n$ impair, on note $-x_n$ l'unique racine réelle de $P_n$. Trouver un développement asymptotique de $x_n$ sous la forme \[ x_n=\xi n+\alpha\ln n+\beta+o(1). \]

1. Justifier l'existence de $M_4$.\\ On pose :\\ $g : \left\lbrace\begin{array}{ccc} [-1,1] & \to & \R \\ x & \mapsto & f\left(\Frac{\alpha+\beta}{2}+x\Frac{\beta-\alpha}{2}\right) \end{array}\right.$\\
2. Montrer que $g$ est de classe $C^4$ et exprimer $m_4=\max_{[-1,1]}|g^{(4)}|$ en fonction de $M_4$.\\ Soit $k \geqslant 1$.\\ On dit que deux fonctions $f_1$ et $f_2$ $k-1$ fois dérivables en $a$ sont égales en $a$ à l'ordre $k$ si $f_1^{(i)}(a)=f_2^{(i)}(a)$ pour tout $0 \leqslant i \leqslant k-1$.\\
3. Déterminer l'unique polynôme $P$ de degré $\leqslant 2$ égal à $g$ en $-1,0,1$ à l'ordre $1$.\\
4. Montrer que $Q=P+X(1-X^2)(g'(0)-P'(0))$ est l'unique polynôme de degré $\leqslant 3$ égal à $g$ en $-1$ et $1$ à l'ordre $1$ et en $0$ à l'ordre $2$.\\
5. Soit $x \in ]-1,1[\setminus\{0\}$, déterminer à partir de $Q$ l'unique polynôme $R$ de degré $\leqslant 4$ égal à $g$ en $-1,1$ et $x$ à l'ordre $1$ et en $0$ à l'ordre $2$.\\
6. À l'aide du théorème de Rolle, montrer l'existence de $\zeta \in ]-1,1[$ tel que $g^{(4)}(\zeta)=4!\Frac{g(x)-Q(x)}{x^2(x^2-1)}$.\\
7. Montrer que pour tout $x \in [-1,1]$, on a $|g(x)-Q(x)| \leqslant \Frac{m_4}{24}x^2(1-x^2)$.\\
8. Montrer que $\integrale{-1}{1}{P}{x}=\integrale{-1}{1}{Q}{x}$.\\
9. Montrer que $\left|\integrale{-1}{1}{g}{x}-\integrale{-1}{1}{P}{x}\right|\leqslant \Frac{m_4}{90}$.\\
10. En déduire que $\left|\integrale{-1}{1}{g}{x}-\Frac{1}{3}\left(P(-1)+4P(0)+P(1)\right)\right| \leqslant \Frac{m_4}{90}$.\\
11. En déduire que $\left|\integrale{\alpha}{\beta}{f}{x}-\Frac{\beta-\alpha}{6}\left(f(\alpha)+4f\left(\Frac{\alpha+\beta}{2}\right)+f(\beta)\right)\right| \leqslant \Frac{M_4(\beta-\alpha)^5}{2880}$.

1. Montrer que, pour tout $a \geqslant 0$, \[ a f(a)=\integrale{0}{a}{f(t)}{t}+\integrale{0}{f(a)}{f^{-1}(t)}{t}. \]
2. En déduire que, pour tous $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$, \[ ab \leqslant \integrale{0}{a}{f(t)}{t}+\integrale{0}{b}{f^{-1}(t)}{t}. \]
3. Établir que l’inégalité précédente reste valable si l’on suppose seulement $f$ continue strictement croissante, avec $f(0)=0$ et \[ \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty. \]

1. Montrer que \[ \forall x \in [0,2],\quad \exists c \in [0,2],\quad g(x)=\frac{1}{6}x(x-1)(x-2)g^{(3)}(c) \]
2. Montrer que \[ \integrale{0}{2}{|g(x)|}{x}\leqslant \frac{1}{12}\|g^{(3)}\|_\infty \]
3. Montrer que \[ \left|\integrale{0}{2}{g(x)}{x}\right| \leqslant \frac{1}{24}\Big(\sup g^{(3)}-\inf g^{(3)}\Big) \]

1. Montrer que \[ \forall x \in [0,2],\quad \exists c \in [0,2],\quad g(x)=\frac{1}{6}x(x-1)(x-2)g^{(3)}(c) \]
2. Montrer que \[ \integrale{0}{2}{|g(x)|}{x}\leqslant \frac{1}{12}\|g^{(3)}\|_\infty \]
3. Montrer que \[ \left|\integrale{0}{2}{g(x)}{x}\right| \leqslant \frac{1}{24}\Big(\sup g^{(3)}-\inf g^{(3)}\Big) \]

1. Montrer que $E$ est un espace vectoriel.
2. Donner l’ensemble de définition $D$ de \[ x \mapsto \cotan(\pi x):=\frac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)} \]
3. Donner des équivalents de $x \mapsto \cotan(\pi x)$ en $0$ et en $1$.
4. Soit $f \in E$.
   1. Justifier que \[ I=\integrale{0}{1}{f(x)f'(x)\cotan(\pi x)}{x} \] converge.
   2. Démontrer l’égalité \[ 2\pi I=\pi^2\integrale{0}{1}{f^2(x)\big(1+\cotan^2(\pi x)\big)}{x} \]
   3. En déduire qu’il existe une constante $\alpha \in \R$ telle que \[ \forall f \in E,\quad \integrale{0}{1}{f^2}\leqslant \alpha \integrale{0}{1}{(f')^2} \] Indication : considérer \[ \integrale{0}{1}{\big(f'(x)-\pi f(x)\cotan(\pi x)\big)^2}{x} \]
   4. Étudier le cas d’égalité.

1. Soit $y \in \mathbb{R}$. Déterminer le nombre de solutions de $\varphi(x) = y$ et calculer leur somme.
2. Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ intégrable sur $\mathbb{R}$. On pose $a_0 = -\infty$ et $a_{n+1} = +\infty$.
   1. Montrer que $\displaystyle\int_{a_k}^{a_{k+1}} f(\varphi(t))\,dt$ converge pour tout $k \in \{0,\ldots,n\}$.
   2. Montrer que $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f = \sum_{k=0}^n \int_{a_k}^{a_{k+1}} f(\varphi(t))\,dt$.