Fonctions et intégrales

1. Soient $f\in F$ et $u\in E$, calculer la dérivée de $t\mapsto I(f+tu)$ en $t=0$.\\
2. Montrer que $I$ admet un minimum et le calculer.

1. Prouver que $f$ est définie et $\mathcal{C}^3$ sur $\R$.
2. On définit $x_0\in\R$ et, pour tout $n\in\N$, $x_{n+1}=f(x_n)$. Prouver que $x_n\to 0$.
3. Maintenant, $x_0\in\R_+^*$. Déterminer $\alpha\in\R$ tel que la suite $(x_{n+1}^{\alpha}-x_n^{\alpha})_n$ soit convergente vers une limite non nulle.
4. Donner un équivalent de la suite $(x_n)_n$.

1. Soit $\Phi : ]a,b[ \to \mathbb{R}$ de classe $C^2$, croissante, et $h : [a,b[ \to \mathbb{R}$ continue. On suppose \[ -\infty < a < b \leqslant +\infty. \] Soit $\xi\in]a,b[$ tel que \[ h(\xi)\neq0 \] et \[ \Phi'(\xi)\neq0. \] On pose \[ I_n=\integrale{a}{\xi+\frac{\alpha\ln n+\beta}{n}}{h(t)e^{n\Phi(t)}}{t}, \] où $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Trouver un équivalent de $I_n$.\\
2. Soit \[ P_n=\sum_{k=0}^n\frac{X^k}{k!}. \] Pour $n$ impair, on note $-x_n$ l'unique racine réelle de $P_n$. Trouver un développement asymptotique de $x_n$ sous la forme \[ x_n=\xi n+\alpha\ln n+\beta+o(1). \]

1. Montrer que si $f$ est $C^1$ sur $[a,b]$, alors $f$ est à variation bornée sur $[a,b]$, et calculer sa variation. Examiner le cas où $f$ est lipschitzienne ou monotone.\\
2. Comparer \[ V_a^b(f+g) \] à \[ V_a^b(f)+V_a^b(g). \]
3. Pour \[ c\in]a,b[, \] comparer la variation de $f$ sur $[a,b]$ à la somme de ses variations sur $[a,c]$ et $[c,b]$.\\
4. Montrer que $f$ est à variation bornée sur $[a,b]$ si et seulement si $f$ est somme de deux fonctions monotones sur $[a,b]$.\\

1. Montrer que : \[ \forall x > 0,\quad \integrale{0}{x}{f(t)}{t}+\integrale{0}{f(x)}{f^{-1}(t)}{t}=xf(x) \]
2. Montrer que : \[ \forall (a,b)\in (\R_+^*)^2,\quad \integrale{0}{a}{f(t)}{t}+\integrale{0}{b}{f^{-1}(t)}{t}\geqslant ab \] avec égalité si et seulement si \[ f(a)=b \]

1. Prouver que : \[ \forall (x,y)\in \R^2,\quad \integrale{x-y}{x+y}{f}{t}=2yf(x) \]
2. Prouver que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et déterminer les fonctions solutions.

1. Montrer que $F$ est dérivable. Déterminer $F$.\\
2. Montrer : \[ \forall (u,v) \in \mathbb{R}_+ \times f(\mathbb{R}_+),\; \integrale{0}{u}{f(t)}{t}+\integrale{0}{v}{g(t)}{t} \geqslant uv. \] À quelle condition a-t-on égalité ?

Exercice 2624. Lemme de Riemann-Lebesgues

1. Prouver que la suite $(u_n)$ converge et en déterminer la limite.\\
2. Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, \[ (2n+3)u_n=2nu_{n-1}. \]
3. En déduire que \[ \forall n \in \mathbb{N} \quad u_n=2^{2n+2}\frac{n!(n+1)!}{(2n+3)!}. \]

1. Justifier l'existence de $M_4$.\\ On pose :\\ $g : \left\lbrace\begin{array}{ccc} [-1,1] & \to & \R \\ x & \mapsto & f\left(\Frac{\alpha+\beta}{2}+x\Frac{\beta-\alpha}{2}\right) \end{array}\right.$\\
2. Montrer que $g$ est de classe $C^4$ et exprimer $m_4=\max_{[-1,1]}|g^{(4)}|$ en fonction de $M_4$.\\ Soit $k \geqslant 1$.\\ On dit que deux fonctions $f_1$ et $f_2$ $k-1$ fois dérivables en $a$ sont égales en $a$ à l'ordre $k$ si $f_1^{(i)}(a)=f_2^{(i)}(a)$ pour tout $0 \leqslant i \leqslant k-1$.\\
3. Déterminer l'unique polynôme $P$ de degré $\leqslant 2$ égal à $g$ en $-1,0,1$ à l'ordre $1$.\\
4. Montrer que $Q=P+X(1-X^2)(g'(0)-P'(0))$ est l'unique polynôme de degré $\leqslant 3$ égal à $g$ en $-1$ et $1$ à l'ordre $1$ et en $0$ à l'ordre $2$.\\
5. Soit $x \in ]-1,1[\setminus\{0\}$, déterminer à partir de $Q$ l'unique polynôme $R$ de degré $\leqslant 4$ égal à $g$ en $-1,1$ et $x$ à l'ordre $1$ et en $0$ à l'ordre $2$.\\
6. À l'aide du théorème de Rolle, montrer l'existence de $\zeta \in ]-1,1[$ tel que $g^{(4)}(\zeta)=4!\Frac{g(x)-Q(x)}{x^2(x^2-1)}$.\\
7. Montrer que pour tout $x \in [-1,1]$, on a $|g(x)-Q(x)| \leqslant \Frac{m_4}{24}x^2(1-x^2)$.\\
8. Montrer que $\integrale{-1}{1}{P}{x}=\integrale{-1}{1}{Q}{x}$.\\
9. Montrer que $\left|\integrale{-1}{1}{g}{x}-\integrale{-1}{1}{P}{x}\right|\leqslant \Frac{m_4}{90}$.\\
10. En déduire que $\left|\integrale{-1}{1}{g}{x}-\Frac{1}{3}\left(P(-1)+4P(0)+P(1)\right)\right| \leqslant \Frac{m_4}{90}$.\\
11. En déduire que $\left|\integrale{\alpha}{\beta}{f}{x}-\Frac{\beta-\alpha}{6}\left(f(\alpha)+4f\left(\Frac{\alpha+\beta}{2}\right)+f(\beta)\right)\right| \leqslant \Frac{M_4(\beta-\alpha)^5}{2880}$.

1. Montrer que $g$ est bornée.\\
2. Soit $\varepsilon>0$, montrer qu'il existe $\alpha\in]0,1[$ tel que : $\forall n\in\N\quad \left|\integrale{\alpha}{1}{g(x^n)}{x}\right|\leqslant\Frac{\varepsilon}{2}$.\\
3. Montrer que $\sup_{[0,x]}|g|\xrightarrow[x\to0]{}0$.\\
4. Montrer que $\integrale{0}{\alpha}{g(x^n)}{x}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$.\\
5. Conclure.\\
6. Montrer le même résultat à l'aide du découpage variable $\integrale{0}{1}{g(x^n)}{x}=\integrale{0}{1-\Frac{1}{\sqrt{n}}}{g(x^n)}{x}+\integrale{1-\Frac{1}{\sqrt{n}}}{1}{g(x^n)}{x}$.\\
7. Montrer que $\integrale{0}{1}{\Frac{dt}{(1+t^3)^n}}{t}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$ par la même technique du découpage variable.

1. En écrivant $v_n=\integrale{0}{1}{\Frac{x^n}{1+x^n}}{x}=\integrale{0}{1}{\Frac{x^{n-1}}{1+x^n}}{x}$, montrer à l'aide d'une intégration par parties que\\ \[ v_n=\Frac{\ln 2}{n}-\Frac{1}{n}\integrale{0}{1}{\ln(1+x^n)}{x}.\\ \]
2. Montrer que $0\leqslant \integrale{0}{1}{\ln(1+x^n)}{x}\leqslant \Frac{1}{n+1}$ en utilisant la concavité de $\ln$ et en déduire que $v_n\sim\Frac{\ln2}{n}$.\\
3. Montrer que $u_n-f(1)v_n=o\left(\Frac{1}{n}\right)$. En déduire que $u_n\sim \Frac{f(1)\ln(2)}{n}$.

1. Déterminer le domaine de définition de $F$. Montrer que $F$ est de classe $C^1$ et calculer $F'$.\\
2. Déterminer le domaine de définition de $G$ puis exprimer $G(x)$ en fonction de $F(x)$ et de $F\left(\Frac{1}{x}\right)$.\\
3. Montrer que $G$ est dérivable sur son domaine de définition. Calculer $G'$ et $G(1)$. En déduire $G$.

1. Montrer que $G$ est dérivable et calculer $G'$.\\
2. Si $u$ et $v$ sont de classe $C^1$, que dire de $G'$ ?

1. Montrer que $G$ est définie sur $]0,1[ \cup ]1,+\infty[$.\\
2. Montrer que $G(x)\to 0$ quand $x\to 0^+$ en utilisant l’égalité de la moyenne. On pose $G(0)=0$ dans la suite.\\
3. Montrer que $G'(0)=0$.\\
4. Nous allons montrer de deux façons que $G(x)\to \ln(2)$ quand $x\to 1$.\\ Méthode 1 : Remarquer que \[ G(x)=\integrale{x}{x^2}{\Frac{t-1}{\ln(t)}\Frac{1}{t-1}}{t} \] et que $\Frac{y-1}{\ln(y)}\to 1$ quand $y\to 1$ et utiliser l’égalité de la moyenne.\\ Méthode 2 : Remarquer que \[ G(x)=\integrale{x}{x^2}{t\Frac{1}{t\ln(t)}}{t} \] et utiliser l’égalité de la moyenne.\\
5. On pose $G(1)=\ln(2)$. Montrer que $G$ est de classe $C^1$ sur $[0,+\infty[$.\\
6. En déduire la valeur de \[ \integrale{0}{1}{\Frac{x-1}{\ln x}}{x}. \] Question ouverte : Peut-on calculer autrement cette intégrale ?

1. On suppose que $f'(t)\to 0$ quand $t\to +\infty$.\\
   1. Montrer que $\Frac{1}{x}\integrale{a}{x}{f'(t)}{t}\to 0$ quand $x\to +\infty$.\\
   2. En déduire que $\Frac{f(x)}{x}\to 0$ quand $x\to +\infty$.\\
2. Soit $\ell \in \K$. On suppose que $f'(x)\to \ell$, montrer que $\Frac{f(x)}{x}\to \ell$ quand $x\to +\infty$.

1. Montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $C > 0$ tel que pour tout $f \in E$ et tout $x \in [a,b]$, \[ |f(x)^2-f(a)^2| \leqslant C \integrale{a}{b}{f(t)^2}{t}+\varepsilon \integrale{a}{b}{f'(t)^2}{t}. \]
2. Montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $D > 0$ tel que, pour tout $f \in E$, \[ \sup_{x \in [a,b]} f(x)^2 \leqslant D \integrale{a}{b}{f(t)^2}{t}+\varepsilon \integrale{a}{b}{f'(t)^2}{t}. \]

1. Si $\varphi$ est de classe $C^1$, montrer que $u_n \to 0$ lorsque $n \to +\infty$.\\
2. Si $\varphi$ est en escalier, montrer que $u_n \to 0$ lorsque $n \to +\infty$. Que se passe-t-il si $\varphi$ est continue par morceaux ?

1. Montrer que, pour tout $a \geqslant 0$, \[ a f(a)=\integrale{0}{a}{f(t)}{t}+\integrale{0}{f(a)}{f^{-1}(t)}{t}. \]
2. En déduire que, pour tous $a \geqslant 0$ et $b \geqslant 0$, \[ ab \leqslant \integrale{0}{a}{f(t)}{t}+\integrale{0}{b}{f^{-1}(t)}{t}. \]
3. Établir que l’inégalité précédente reste valable si l’on suppose seulement $f$ continue strictement croissante, avec $f(0)=0$ et \[ \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty. \]

1. Existence, dérivabilité, dérivée, variations de $f$. \\
2. Calculer $\integrale{x}{x^2}{\Frac{1}{t\ln t}}{t}$. \\ En déduire un encadrement, puis les limites en $0$, $1$ et $+\infty$ de $f$. \\
3. On prolonge $f$ par continuité en $0$ et $1$. \\ Montrer que la fonction obtenue $g$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}_+$.

1. Montrer qu'il existe $\theta \in [a,b]$ tel que \[ f(\theta)\cdot \integrale{\theta}{b}{g(t)}{t} = g(\theta)\cdot \integrale{a}{\theta}{f(t)}{t}. \]

1. Montrer que $I_n$ tend vers $0$. \\
2. Montrer que pour tout $n$, $P_n$ et ses dérivées successives prennent des valeurs entières en $0$ et en $\Frac{a}{b}$. \\
3. On veut montrer que $\pi$ est irrationnel. \\ On raisonne par l’absurde. \\ On peut alors choisir dans la question précédente $(a,b)$ tels que $\pi=\Frac{a}{b}$. \\ Montrer que pour tout $n$, $I_n$ est entier. \\ En déduire une contradiction.

Exercice 2671. CCP PSI

1. Soient $a,b \in \R$ tels que $a < b$ et $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ telle que $\forall x \in [a,b]$, $f(x)=f(a+b-x)$. Montrer, en posant $u=a+b-x$, que \[ \integrale{a}{b}{x f(x)}{x}=\Frac{a+b}{2}\integrale{a}{b}{f(x)}{x}. \]
2. En déduire la valeur de $\integrale{-\pi}{\pi}{\Frac{x\,e^{ix}}{1+\cos^2(x)}}{x}$.

1. Montrer que $\forall x \in [a;b],\; |f(x)| \leqslant F(x)$. \\
2. En déduire que \[ \integrale{a}{b}{|f(x) f'(x)|}{x} \leqslant \Frac{b-a}{2} \integrale{a}{b}{\big(f'(x)\big)^2}{x}. \]

1. Trouver une relation simple entre $\integrale{a}{b}{t f(t)}{t}$ et $\integrale{a}{b}{f(t)}{t}$. \\
2. En déduire la valeur de : $\integrale{0}{\pi}{\Frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}}{x}$.

1. Calculer $I_0$, $I_1$, $I_n+I_{n+2}$, puis $I_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. \\ Déterminer la limite de $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$. \\
2. En déduire $\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{(-1)^n}{2n+1}$ et $\Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{(-1)^n}{n}$.

1. Montrer que la fonction $x\mapsto \integrale{x}{x+T}{f(t)}{t}$ est constante. \\
2. Calculer $\lim_{x\to +\infty}\Frac{1}{x}\integrale{0}{x}{f(t)}{t}$.