Continuité uniforme

Exercice 2153. \\
  1. Soit $f : \R \to \R$. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R$ si et seulement si pour toutes suites $(x_{n})_{n \in \N}$ et $(y_{n})_{n \in \N}$, si $x_{n} - y_{n} \longrightarrow 0$, alors $f(x_{n}) - f(y_{n}) \longrightarrow 0$. \\
  2. Montrer que la fonction $g : x \mapsto \sin(x^{2})$ n’est pas uniformément continue sur $\R$.
Exercice 2154. Soit $f : ]0,1] \to \R$ une application uniformément continue.\\
  1. Montrer que $f$ est bornée.\\
  2. Pour tout $x \in ]0,1]$, on pose $g(x) = \sup_{t \in ]0,x]} f(t)$ et $h(x) = \inf_{t \in ]0,x]} f(t)$. Montrer que $g$ et $h$ possèdent des limites en $0$, notées $\ell^{+}$ et $\ell^{-}$.\\
  3. Démontrer que $f$ se prolonge par continuité en $0$.
Exercice 2155. Soient $a \in \R$, $b \in \overline{\R}$ et $f : [a,b[ \longrightarrow \R$ une fonction continue. \\ On suppose que $f$ admet une limite finie en $b$. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $[a,b[$. \\ Soit $f : \R \longrightarrow \R$ une fonction continue admettant des limites finies en $- \infty$ et $+ \infty$. \\ Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R$.
Exercice 2156. Soit $f : \R \to \R$ une application continue admettant des limites finies $\ell'$ et $\ell$ en $-\infty$ et en $+\infty$.\\ Montrer que $f$ est uniformément continue.
Exercice 2157. La fonction $f : \R \longrightarrow \R$ définie par $x \longmapsto \sin(x^2)$ est-elle uniformément continue ?
Exercice 2158. Soit $f$ une application uniformément continue de $\R$ dans $\R$. Montrer qu’il existe $(a,b) \in \R^2$ tel que, pour tout $x \in \R$, $\abs{f(x)} \leq a \abs{x} + b$. -
Exercice 2159. Fonctions höldériennes.\\ Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ est une fonction höldérienne s'il existe $\lambda$ dans $\mathbb{R}$ et $\alpha$ dans $\mathbb{R}_+^*$ vérifiant : \[ \forall x,y \in I,\; |f(x)-f(y)|\leqslant \lambda |x-y|^\alpha. \]
  1. Clairement toute application lipschitzienne est höldérienne, mais la réciproque est fausse : montrer que $x \mapsto \sqrt{x}$ est une application höldérienne qui n'est pas lipschitzienne.\\
  2. Montrer que si $\alpha > 1$, alors $f$ est constante.\\
  3. Montrer que toute application höldérienne est continue.\\
  4. Montrer que toute application höldérienne est uniformément continue.
Exercice 2160. Soit $f:\R_+^*\to \R$ une fonction continue telle que, pour tout $a > 0$ : \[ f(an)\xrightarrow[n\to+\infty]{}0 \] La fonction $f$ admet-elle $0$ pour limite en $+\infty$ ?
Exercice 2161. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ uniformément continue sur $\mathbb{R}$. \\ Montrer qu'il existe $a$ et $b > 0$ tels que pour tout $x\in \mathbb{R}$, \[ |f(x)|\leqslant a|x|+b. \] La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 2162. Soit $f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ une application continue. On suppose de plus qu'il existe $l\in\mathbb{R}$ tel que $f(x)\to l$ quand $x\to+\infty$.\\ Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}_+$.
Exercice 2163. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction uniformément continue sur $\mathbb{R}$. Montrer que\\ \[ \exists \alpha,\beta\in\mathbb{R}_+ \;\; \mathrm{t.q.}\;\; \forall x\in\mathbb{R}\;\; |f(x)|\leqslant \alpha|x|+\beta \]
Exercice 2164. Soit $f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ telle que pour tout $x > 0$, la suite $(f(nx))_{n\geqslant 1}$ tend vers $0$. \\
  1. Montrer que si $f$ est uniformément continue, alors \[ \lim_{x\to +\infty}f(x)=0. \]
  2. Donner un exemple où $f$ ne tend pas vers $0$ en $+\infty$.
Exercice 2165. Montrer que\\
  1. L’application $x \mapsto \sqrt{x}$ est $\Frac{1}{2}$-lipschitzienne sur $[1,+\infty[$.\\
  2. L’application $x \mapsto \ln x$ est uniformément continue sur tout intervalle $[a,+\infty[$ avec $a>0$ mais n’est pas uniformément continue sur $\R_+^*$.
Exercice 2166. Les fonctions $f:\left\{\begin{array}{ccc} \R_+&\to&\R\\ x&\mapsto&\sqrt{x} \end{array}\right.$, $g:\left\{\begin{array}{ccc} \R&\to&\R\\ x&\mapsto&x\sin x \end{array}\right.$, $h:\left\{\begin{array}{ccc} \R&\to&\R\\ x&\mapsto&\sin(x^2) \end{array}\right.$ et $k:\left\{\begin{array}{ccc} ]0,1]&\to&\R\\ x&\mapsto&\sin\Bigl(\Frac{1}{x}\Bigr) \end{array}\right.$\\ sont-elles lipschitziennes ?\\ Sont-elles uniformément continues ?
Exercice 2167. Montrer que l’application $f:\left\{\begin{array}{ccc} ]0,1]&\to&\R\\ x&\mapsto&x\sin\Bigl(\Frac{1}{x}\Bigr) \end{array}\right.$ se prolonge par continuité en $0$.\\ On note encore $f$ son prolongement par continuité, défini sur $[0,1]$.\\ L’application $f$ est-elle uniformément continue (resp. lipschitzienne) sur $[0,1]$ ?
Exercice 2168. Soit $f : \R_+ \to \R$ uniformément continue telle que pour tout $p \in \N^*$, la suite $\Bigl(f\Bigl(\Frac{n}{p}\Bigr)\Bigr)_{n \in \N}$ soit une suite convergente.\\
  1. Montrer que la limite de la suite précédente est indépendante de $p$.\\
  2. Prouver que $f(x)$ a une limite finie lorsque $x \to +\infty$.
Exercice 2169. Soit $f : \R_+ \to \R_+$ définie par $f(x)=\sqrt{x}$.\\ Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R_+$.