Densité, intervalles

Exercice 1581. Soit $G$ un sous-groupe de $(\R,+)$. On suppose que $G\neq\{0\}$.\\
  1. Montrer que $G\cap\R_+^\star$ est une partie non vide et minorée de $\R$. Posons $a=\inf(G\cap\R_+^\star)$. Montrer que $a\in\R_+$.\\
  2. On suppose que $a\in\R_+^\star$.\\
    1. On suppose par l’absurde que $a\notin G$. Montrer qu’il existe $x\in G$ tel que $a On a donc montré que $a\in G$. Montrer que $G=a\Z$ en utilisant la division euclidienne.\\
  3. On suppose que $a=0$. Montrer que $G$ est dense dans $\R$.\\
  4. Soit $\alpha\in\R\setminus\Q$. On pose $E=\Z+\Z\alpha=\{a+b\alpha\;:\;a,b\in\Z\}$. Montrer que $E$ est dense dans $\R$.\\
  5. On pose, pour tout $n\in\N$, $a_n=\integrale{0}{1}{t^n e^t}{t}$. On pose $G=\Z+\Z e$. Montrer que pour tout $n\in\N$, $a_n\in G\cap\R_+^\star$. Montrer que $a_n\to 0$. En déduire que $G$ est dense dans $\R$ et que $e$ est irrationnel.\\
  6. On admet que $\pi\notin\Q$. Montrer que $\Z+2\pi\Z$ est dense dans $\R$ et que $\{\cos(n),\,n\in\N\}$ est dense dans $[-1,1]$.
Exercice 1582. Montrer que $A = \{q^2, q\in \Q\}$ est dense dans $\R_+$.
Exercice 1583. Soit $f:\R\to\R$ une application monotone.\\ Montrer que $I=f^{-1}(\{0\})$ est un intervalle de $\R$.
Exercice 1584. Soit $f:\R\to\R$ une fonction convexe.\\ Montrer que $I=f^{-1}(]-\infty,0])$ est un intervalle de $\R$.
Exercice 1585. Soit $x\in\R$.\\
  1. Soit $\alpha>0$. Montrer qu’il existe un unique $k\in\Z$ tel que $k\alpha\leqslant x < (k+1)\alpha$ et exprimer cet entier $k$ en fonction de $x$ et $\alpha$ avec la partie entière.\\
  2. Soit $(\alpha_n)_{n\geqslant 0}$ une suite de réels $>0$ telle que $\alpha_n\to 0$. Montrer que $u_n=\alpha_n\left\lfloor\Frac{x}{\alpha_n}\right\rfloor\to x$.\\
  3. En posant $\alpha_n=\Frac{1}{n}$ dans la question précédente, montrer que $\Q$ est dense dans $\R$.\\
  4. On pose $A=\Z[\sqrt{2}]$ le sous-anneau de $\R$ engendré par $\sqrt{2}$.\\
    1. Montrer que $A=\Z+\Z\sqrt{2}=\{a+b\sqrt{2}\;\mathrm{t.q.}\;a,b\in\Z\}$.\\
    2. Montrer que $\alpha_n=(\sqrt{2}-1)^n\in A$ pour tout $n\in\N$.\\
    3. Montrer que $A$ est dense dans $\R$.\\
    4. Soit $r\in\Q$. On pose $B=\Z+\Z r=\{a+br\;\mathrm{t.q.}\;a,b\in\Z\}$. Montrer que $B$ n’est pas dense dans $\R$.\\
    5. En déduire une démonstration de l’irrationalité de $\sqrt{2}$.\\
  5. On suppose que $\alpha\in\R\setminus\Q$ et on pose $E=\Z+\Z\alpha=\{a+b\alpha\;\mathrm{t.q.}\;a,b\in\Z\}$.\\
    1. Soit $N\in\N^*$. Posons $u_i=i\alpha-\lfloor i\alpha\rfloor$ pour tout $i\in\llbracket 0,N\rrbracket$.\\ Pour tout $i\in\llbracket 0,N\rrbracket$, on a $u_i\in[0,1[=\displaystyle\bigcup_{k\in\llbracket 0,N-1\rrbracket}\left[\Frac{k}{N},\Frac{k+1}{N}\right[$.\\ D’après le principe des tiroirs, il existe $i,j\in\llbracket 0,N\rrbracket$ et $k\in\llbracket 0,N-1\rrbracket$ tels que $i\neq j$ et $u_i,u_j\in\left[\Frac{k}{N},\Frac{k+1}{N}\right[$.\\ Supposons $u_i\geqslant u_j$. Montrer que $u_i-u_j\in E\cap]0,\Frac{1}{N}[$.\\
    2. Construire une suite $(y_n)$ de $E$ telle que $y_n>0$ et $y_n\to 0$. En déduire que $E$ est dense dans $\R$.
Exercice 1586. Montrer que $\{\sqrt{m} - \sqrt{n} \;;\; (n,m) \in \N^{2}\}$ est dense dans $\R$.\\

Exercice 1587. Nombres dyadiques et irrationnels

\\
  1. Montrer que l'ensemble des nombres dyadiques \[ \left\{ \Frac{k}{2^n} \in \Q, \;\; k \in \Z, \;\; n \in \N \right\} \] est dense dans $\R$. \\
  2. Montrer que l'ensemble des irrationnels $\R \backslash \Q$ est dense dans $\R$.
Exercice 1588. Soit $\alpha$ un nombre irrationnel et soit $E=\{a+b\alpha \mid (a,b)\in\Z^2\}$.\\
  1. Soit $\varepsilon=\inf(E\cap\R_{+}^{*})$. Montrer que si $\varepsilon > 0$, alors $E=\Z\varepsilon=\{n\varepsilon \mid n\in\Z\}$.\\
  2. Montrer que $E$ est dense dans $\R$.
Exercice 1589. Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $I_1,\ldots,I_n$ des intervalles de $\R$ tels que $\bigcup_{k=1}^{n} I_k = I$.\\ Montrer qu’il existe $i\in[1,n]$ tel que $\bigcup_{k\neq i} I_k$ soit un intervalle. Que se passe-t-il si la famille est infinie ?
Exercice 1590. Montrer que l'ensemble $\{\cos(\ln(n)) \;;\; n \in \N,\; n \geqslant 2\}$ est dense dans $[-1,1]$.
Exercice 1591. Soit $A$ un sous-ensemble non majoré de $\R_+$. Soit \[ B = \bigcup_{ n \in \N^*} \Frac{1}{n} A \quad avec \quad \Frac{1}{n} A = \left \{ \Frac{a}{n}, \; a \in A \right\} \] Montrer que $B$ est dense dans $\R_+$.

Exercice 1592. Densité de $\Q$ dans $\R$

\\ On va montrer que $\Q$ est dense dans $\R$. \\ Soit $a,b \in \R$ tels que $a < b$. On cherche à prouver l'existence d'un rationnel $r$ entre $a$ et $b$ : \[ a < r < b \]
  1. On suppose que $b-a>1$. Déterminer un $r \in \Q$ qui convient. \\
  2. On suppose maintenant que $b-a<1$. Déterminer $q \in \N^*$ tel que $q(b-a)>1$ puis conclure.

Exercice 1593. Parties convexes de $\R$

\\ On rappelle qu'un ensemble $E$ est convexe si pour tout $x,y \in E$ et pour tout $\lambda \in [0,1]$, $\lambda x + (1-\lambda)y \in E$. \\
  1. Montrer que si $I \subset \R$ est un intervalle, alors $I$ est convexe. \\
  2. Réciproquement soit $I$ une partie convexe de $\R$. Soit $x,y \in I$ tels que $x \leqslant y$ et soit $z \in \R$ tel que $x \leqslant z \leqslant y$. Montrons alors que $z \in I$. \\
    1. Si $x=y$ que dire de $z$ ? \\
    2. Si $x < y$, prouver l'existence de $t \in [0,1]$ tel que $(1-t)x+t y = z$. \\
    3. En déduire que $I$ est un intervalle.