Relation de divisibilité

Exercice 3026. Résoudre l’équation $3x^2 + xy = 11$, où les inconnues $x$ et $y$ sont dans $\mathbb{Z}$.
Exercice 3027. \\
  1. Résoudre l’équation $10x \equiv 14 \ [15]$ dans $\mathbb{Z}$. \\
  2. Résoudre l’équation $10x \equiv 14 \ [18]$ dans $\mathbb{Z}$. \\
  3. Plus généralement, si $(a,b) \in \mathbb{Z}^2$ et $m \in \mathbb{N}^*$, expliquer comment résoudre l’équation $ax \equiv b \ [m]$.
Exercice 3028. Résoudre les systèmes suivants, en l’inconnue $x \in \mathbb{Z}$ : \\ \[ \left\{ \begin{aligned} x &\equiv 1 \ [6] \\ x &\equiv 2 \ [7] \end{aligned} \right. \qquad \left\{ \begin{aligned} 3x &\equiv 2 \ [5] \\ 5x &\equiv 1 \ [6] \end{aligned} \right. \]
Exercice 3029. Trouver tous les $(a,b,c)\in(\mathbb{N}\setminus\{0,1\})^3$ tels que : $a\mid bc+1$ et $b\mid ca+1$ et $c\mid ab+1$.
Exercice 3030. \\
  1. Soit $a\in\mathbb{Z}$. Montrer que le reste de la division euclidienne de $a^2$ par $8$ est égal à $0$, $1$, ou $4$.\\
  2. Soit $n\in\mathbb{N}$. Montrer que, si $8$ divise $n-7$ (autrement dit : $n\equiv 7\;[8]$), alors $n$ ne peut pas être la somme de trois carrés d’entiers.
Exercice 3031. Montrer, pour tout $(x,y)\in\mathbb{Z}^2$ : \[ 13\mid 7x+3y \Longleftrightarrow 13\mid 5x+4y. \]
Exercice 3032. Quel est le dernier chiffre de l’écriture décimale de $a=7^{3^{8^4}}$ ?
Exercice 3033. Déterminer l’ensemble $E$ des $n\in\mathbb{Z}$ tels que $n^2+7 \mid n^3+5$.
Exercice 3034. Trouver tous les $n\in\mathbb{Z}$ tels que $\sqrt{\Frac{11n-5}{n+4}}\in\mathbb{N}$.
Exercice 3035. Montrer, pour tout $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$ : $24a^2+1=b^2 \Longrightarrow 5\mid ab$.
Exercice 3036. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ le système de congruences : \[ \left\{ \begin{array}{l} 5x\equiv 7\;[11]\\ 7x\equiv 11\;[5]\\ 11x\equiv 5\;[7] \end{array} \right. \]
Exercice 3037. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ le système de congruences : \[ \left\{ \begin{array}{l} x\equiv 1\;[6]\\ x\equiv 3\;[10]\\ x\equiv 7\;[15] \end{array} \right. \]
Exercice 3038. Déterminer le plus petit entier naturel $x$ tel que : $x\equiv 6\;[23]$ et $x^2\equiv 13\;[23^2]$.
Exercice 3039. Montrer : $\forall n\in\mathbb{N}$, $13\mid 2^{2^{8n+6}}+10$.
Exercice 3040. Soit $n\in\mathbb{N}$ non premier et tel que $n\geqslant 6$. Montrer : $n\mid (n-2)!$.
Exercice 3041. Démontrer, pour tout $(x,y)\in\mathbb{Z}^2$ : $56786730\mid x^{61}y-xy^{61}$.
Exercice 3042. \\
  1. Soient $a,b,c,d \in \Z$. Montrer que, si $5 \mid a-b$ et $5 \mid c-d$, alors $5 \mid ac-bd$.\\
  2. Soit $n \in \N^*$. Trouver le reste dans la division euclidienne de $\Sum_{k=1}^{n} k$ par $n$.\\
  3. Soit $n \in \N^*$. Justifier qu’un produit de $n$ entiers naturels consécutifs est toujours divisible par $n!$.
Exercice 3043. Soit $n \in \N$ tel que $n \geqslant 2$.\\ On suppose que $n$ n’admet aucun diviseur dans $[2,\sqrt[3]{n}]$.\\ Montrer que $n$ est premier ou produit de deux nombres premiers.
Exercice 3044. \\
  1. Montrer qu’un nombre dont d’écriture décimale est la répétition de deux groupes de $3$ chiffres (comme $314314$) est divisible par $7$, $11$ et $13$.\\
  2. Soit $n \in \N$.\\
    1. Montrer que $n$ est divisible par $3$ ssi la somme de ses chiffres l’est.\\
    2. Même question pour la divisibilité par $9$.
Exercice 3045. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ les équations suivantes.\\
  1. $x - 1 \mid x + 3$\\
  2. $x + 2 \mid x^2 + 2$
Exercice 3046. Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ les équations suivantes.\\
  1. $xy = 3x + 2y$\\
  2. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}$\\
  3. $x^2-y^2-4x-2y=5$
Exercice 3047. Soient $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^*$.\\ On note $q$ le quotient de la division euclidienne de $a-1$ par $b$.\\ Déterminer, pour tout $n \in \mathbb{N}$, le quotient de la division euclidienne de $ab^n-1$ par $b^{n+1}$.
Exercice 3048. Montrer que $11 \mid 2^{123}+3^{121}$.
Exercice 3049. Quel est le reste de la division euclidienne de $1234^{4321}+4321^{1234}$ par $7$ ?
Exercice 3050. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\\
  1. $6 \mid 5n^3+n$\\
  2. $7 \mid 3^{2n+1}+2^{n+2}$\\
  3. $5 \mid 2^{2n+1}+3^{2n+1}$\\
  4. $11 \mid 3^{8n}\times 5^4+5^{6n}\times 7^3$\\
  5. $9 \mid 4^n-1-3n$\\
  6. $15^2 \mid 16^n-1-15n$
Exercice 3051. Trouver les entiers $n \in \mathbb{Z}$ tels que \[ 10 \mid n^2+(n+1)^2+(n+3)^2 \]
Exercice 3052. Montrer \[ 7 \mid x \;\; \text{et} \;\; 7 \mid y \iff 7 \mid x^2+y^2 \]
Exercice 3053. Montrer que si $n$ est entier impair alors \[ n^2 \equiv 1 \; [8] \]
Exercice 3054. Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs tels que \[ a^2 \mid b^2 \] Montrer que \[ a \mid b \]
Exercice 3055. Soit $x \in \mathbb{Q}$.\\ On suppose qu'il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que \[ x^n \in \mathbb{Z} \] Montrer que \[ x \in \mathbb{Z} \]
Exercice 3056. On étudie l'équation algébrique \[ (E) : x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0 \] d'inconnue $x$, où les coefficients $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}$ sont supposés entiers.\\ Montrer que les solutions réelles de $(E)$ sont entières ou irrationnelles.
Exercice 3057. Montrer que la somme des cubes de trois entiers naturels consécutifs est toujours divisible par $9$.
Exercice 3058. Montrer, par récurrence, que pour tout $n \in \N$, $2^{4n} - 2$ est divisible par $7$.
Exercice 3059. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $27$ divise $9n^2 - 6n - 1 + (-2)^n$.
Exercice 3060. Montrer que si $a$ et $b$ sont des entiers non multiples de $5$, alors un, et un seul, des nombres $a^2+b^2$ et $a^2-b^2$ est multiple de $5$.
Exercice 3061. Montrer que les entiers congrus à $-1$ modulo $8$ ne peuvent être somme de trois carrés.
Exercice 3062. Trouver le reste de la division par $11$ du nombre $(7077)^{377}$.
Exercice 3063. Trouver le dernier chiffre de l'écriture décimale de $1987^{1991^{1993}}$.
Exercice 3064. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ la suite définie par \[ u_0=9 \] et par la relation de récurrence \[ u_{n+1}=3u_n^4+4u_n^3 \] pour tout $n \in \N$. Montrer que l'écriture décimale de $u_{11}$ comporte plus de $2012$ chiffres $9$.
Exercice 3065. Montrer, en travaillant dans $\Z/5\Z$, que l’équation \[ 15x^2-7y^2=9 \] d’inconnue $(x,y)\in\Z^2$ n’admet aucune solution.
Exercice 3066. Montrer que pour tout $n\in\N$, \[ 19\mid 2^{6n+2}+3. \]
Exercice 3067. Soient $d_0=1 < d_1 < \dots < d_p=n$ les diviseurs de $n$. Montrer que \[ \left(\prod_{k=0}^{p} d_k\right)^2=n^{p+1}. \]
Exercice 3068. Quel est le chiffre des unités des nombres $7^{7^{7^7}}$ et $3^{5^{7^9}}$ ?
Exercice 3069. \\
  1. Montrer que la somme de $n$ avec $n\geqslant2$ entiers impairs consécutifs n’est jamais un nombre premier.\\
  2. Montrer que la somme de trois cubes consécutifs est divisible par $9$.
Exercice 3070. Montrer que $\forall (a,b)\in\Z^2$, $17\mid(2a+3b)\Longleftrightarrow17\mid(9a+5b)$.
Exercice 3071. Montrer que pour tout entier $n$, \[ n^5-n \] est divisible par $30$.
Exercice 3072. Montrer que pour tout entier $n$, \[ n^3-n \] est divisible par $6$.
Exercice 3073. Montrer que si $n\in\Z$, alors $2$ divise $n(n+1)$, $3$ divise $n(n+1)(n+2)$ et $8$ divise $(2n)(2n+2)$.\\ En déduire que si $p$ est un nombre premier $\geqslant 5$, $24$ divise $p^2-1$.\\ Indication : $p$ est impair.
Exercice 3074. Soit $n\in\N^*$ donné. Résoudre dans $\Z$ l’équation : $2a+3b=n$. Donner le nombre de solutions dans $\N^2$.
Exercice 3075. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $6$ divise $n(n^2 + 5)$.
Exercice 3076. Montrer qu’un entier écrit en base $10$ : $(a_n a_{n-1}\cdots a_0)_{10}$ est divisible par :\\
  1. $3$ (resp. $9$) si $a_0+a_1+\cdots+a_n$ l’est ;\\
  2. $11$ si $a_0-a_1+\cdots+(-1)^n a_n$ l’est ;\\
  3. $7$ (resp. $11,13$) si $A_0-A_1+A_2-\cdots$ l’est où $A_i=(a_{3i+2}a_{3i+1}a_{3i})_{10}$.\\ Indication : $1001=7\times 11\times 13$.
Exercice 3077. Soit $A=4444^{4444}$, soit $B$ la somme des chiffres de $A$ écrit en base $10$, $C$ la somme des chiffres de $B$, $D$ la somme des chiffres de $C$ ; montrer que $D=7$.
Exercice 3078. Montrer que toute puissance entière positive de $\sqrt{2}-1$ est de la forme $\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$, avec $m \in \N^*$.

Exercice 3079. X-ENS

\\ Soit $a,b$ dans $\mathbb{N}$ avec $b \geqslant a \geqslant 2$. On suppose que $a^n-1$ divise $b^n-1$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer qu'il existe $p \in \mathbb{N}^*$ tel que $b=a^p$.
Exercice 3080. Soit $k \geqslant 2$. Montrer que le produit de trois entiers naturels non nuls consécutifs ne peut pas être une puissance $k$-ième.
Exercice 3081. Soit $p$ un nombre premier, $n \in \mathbb{N}^*$ et $k \in \llbracket 1,p^n-1 \rrbracket$. Quelle est la plus grande puissance de $p$ qui divise \[ \mathrm{C}_{p^n}^k\; ? \]
Exercice 3082. On note $\tau(n)$ le nombre de diviseurs positifs de l'entier $n$. Montrer que \[ \Sum_{k=1}^{n}\tau(k)=\Sum_{k=1}^{n}\mathrm{E}\left(\Frac{n}{k}\right)=2\Sum_{k=1}^{r}\mathrm{E}\left(\Frac{n}{k}\right)-r^2, \] où \[ r=\mathrm{E}(\sqrt{n}). \]
Exercice 3083. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $\sigma(n)$ la somme des diviseurs de $n$. Montrer que \[ \sigma(n) \leqslant n+n\ln n. \]
Exercice 3084. On note $\sigma(n)$ la somme des diviseurs de $n$ d'un entier strictement positif $n$.\\
  1. Montrer que $\sigma(n)$ est impair si et seulement si $n$ est de la forme \[ 2^\alpha q^2 \] avec $q$ impair.\\
  2. Résoudre l'équation \[ 3\sigma(n)=4n-17. \]
Exercice 3085. Soit $N_1,\dots,N_q$ des entiers non nuls, deux à deux distincts. On pose \[ P_k=\Prod_{i=1}^{q}(N_i+k) \] pour $k \in \mathbb{Z}$ et on suppose que pour tout $k \in \mathbb{Z}$, $P_0$ divise $P_k$.\\
  1. Montrer qu'il existe $i \in \llbracket 1,q \rrbracket$ tel que $|N_i|=1$.\\
  2. On suppose de plus que, pour tout $1 \leqslant i \leqslant q$, on a $N_i \geqslant 1$. Montrer que $N_1,\dots,N_q$ sont les $q$ premiers entiers naturels non nuls.
Exercice 3086. \\
  1. Montrer que : $\forall n \in \N,\; 7 \mid 3^{2n+1} + 2^{n+2}$.\\
  2. Montrer que : $\forall n \in \N,\; 6 \mid n(n+2)(7n-5)$.\\
  3. Montrer que : $\forall n \in \N,\; 609 \mid 5^{4n} - 2^{4n}$.\\
  4. Trouver tous les entiers $n$ tels que $n-1 \mid n+3$.
Exercice 3087. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, \[ 10^{10^n}\equiv 4 \pmod{7}. \]
Exercice 3088. Montrer qu'il existe un multiple de $1996$ dont l'écriture décimale ne comporte que le chiffre $4$.
Exercice 3089. Soit $n \in \N^*$.\\ Déterminer tous les entiers de $\N^*$ tels que $n+1$ divise $n^2+1$.
Exercice 3090. Montrer que tout produit de $k$ entiers (relatifs) consécutifs est divisible par $k!$.
Exercice 3091. Soit $n$ un entier supérieur à $2$ et $p$ un nombre premier. Montrer que la valuation $p$-adique de $n!$ est égale à \[ \Sum_{k=1}^{+\infty}\left\lfloor \Frac{n}{p^k}\right\rfloor. \]
Exercice 3092. Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs augmenté de $1$ est un carré.
Exercice 3093. Soit $a,b,c$ trois entiers distincts de $\Z$. Montrer que pour tout entier $n>3$, il existe $k\in\Z$ tel que $n$ ne divise aucun des trois nombres $a+k$, $b+k$, $c+k$.
Exercice 3094. Soit $P = X^n + c_1 X^{n-1} + \cdots + c_{n-1} X + c_n$ un polynôme à coefficients entiers. Montrer qu’une racine rationnelle de $P$ est entière.
Exercice 3095. Soit $n \in \N$. \\ Montrer que l’un (et un seulement) des deux nombres $A=5^n-2^n$ et $B=5^n+2^n$ est divisible par $7$.
Exercice 3096. Trouver le reste de la division euclidienne de $13^{2004}$ par $7$ et le reste de la division euclidienne de $7^{2000}$ par $5$.
Exercice 3097. Démontrer que pour tout $n \in \N$, $3^{2n+1}+2^{n+2}$ est divisible par $7$.
Exercice 3098. Montrer que $13$ divise $2^{70}+3^{70}$.
Exercice 3099. Montrer : $\forall n \in \mathbb{N}$, $14 \mid 3^{4n+2}+5^{2n+1}$.
Exercice 3100. Montrer que $11 \times 31 \times 61$ divise $20^{15}-1$.
Exercice 3101. Montrer : $\forall n \in \mathbb{N}$, $11 \mid 3^{5n}+5^{5n+1}+4^{5n+2}$.
Exercice 3102. Montrer : $\forall n \in \mathbb{N}$, $16 \mid 3^{2n+6}-5^{n+2}-4n$.
Exercice 3103. Soit $k \in \N$. L’objectif de l’exercice est de résoudre l’équation d’inconnue $(a,b)\in(\N^*)^2$ : $a^2+b^2=2^k$.\\
  1. Montrer que, si $k \geqslant 2$, alors une solution est forcément un couple de nombres pairs.\\
  2. En déduire que :\\
    1. si $k$ est pair, l’équation n’admet aucune solution ;\\
    2. sinon, l’équation admet une unique solution que l’on déterminera.
Exercice 3104. Montrer que pour tout $n \in \N$, $19$ divise $2^{2^{6n+2}}+3$.
Exercice 3105. On rappelle que $[\,\cdot\,]$ désigne la partie entière.\\
  1. Soit $m \in \N$ et soit $q \in \N^*$. Démontrer que \[ \mathrm{card}(\{1 \leqslant k \leqslant m \; \text{tel que} \; q \mid k\})=\left[\frac{m}{q}\right]. \]
  2. En déduire que si $q$ est premier, alors \[ v_q(m!)=\Sum_{i=1}^{+\infty}\left[\frac{m}{q^i}\right]. \] En déduire le nombre de zéros finissant l'écriture de $200!$.\\
  3. En déduire que, si $S_q(m)$ désigne la somme des chiffres de l'écriture en base $q$ de $m$, alors \[ v_q(m!)=\frac{m-S_q(m)}{q-1}. \]