Relation de divisibilité
Exercice
3942. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ les équations suivantes.\\
- $x - 1 \mid x + 3$\\
- $x + 2 \mid x^2 + 2$
Exercice
3943. Soient $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^*$.\\
On note $q$ le quotient de la division euclidienne de $a-1$ par $b$.\\
Déterminer, pour tout $n \in \mathbb{N}$, le quotient de la division euclidienne de $ab^n-1$ par $b^{n+1}$.
Exercice
3944. Montrer que $11 \mid 2^{123}+3^{121}$.
Exercice
3945. Quel est le reste de la division euclidienne de $1234^{4321}+4321^{1234}$ par $7$ ?
Exercice
3946. Trouver les entiers $n \in \mathbb{Z}$ tels que
\[
10 \mid n^2+(n+1)^2+(n+3)^2
\]
Exercice
3947. Montrer que si $n$ est entier impair alors
\[
n^2 \equiv 1 \; [8]
\]
Exercice
3948. Montrer que la somme des cubes de trois entiers naturels consécutifs est toujours divisible par $9$.
Exercice
3949. Montrer, par récurrence, que pour tout $n \in \N$, $2^{4n} - 2$ est divisible par $7$.
Exercice
3950. Montrer que les entiers congrus à $-1$ modulo $8$ ne peuvent être somme de trois carrés.
Exercice
3951. Quel est le chiffre des unités des nombres $7^{7^{7^7}}$ et $3^{5^{7^9}}$ ?
Exercice
3952. \\
- Montrer que la somme de $n$ avec $n\geqslant2$ entiers impairs consécutifs n’est jamais un nombre premier.\\
- Montrer que la somme de trois cubes consécutifs est divisible par $9$.
Exercice
3953. Montrer que $\forall (a,b)\in\Z^2$, $17\mid(2a+3b)\Longleftrightarrow17\mid(9a+5b)$.
Exercice
3954. Montrer que pour tout entier $n$,
\[
n^3-n
\]
est divisible par $6$.
Exercice
3955. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $6$ divise $n(n^2 + 5)$.
Exercice
3956. \\
- Montrer que : $\forall n \in \N,\; 7 \mid 3^{2n+1} + 2^{n+2}$.\\
- Montrer que : $\forall n \in \N,\; 6 \mid n(n+2)(7n-5)$.\\
- Montrer que : $\forall n \in \N,\; 609 \mid 5^{4n} - 2^{4n}$.\\
- Trouver tous les entiers $n$ tels que $n-1 \mid n+3$.
Exercice
3957. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,
\[
10^{10^n}\equiv 4 \pmod{7}.
\]
Exercice
3958. Soit $n \in \N^*$.\\
Déterminer tous les entiers de $\N^*$ tels que $n+1$ divise $n^2+1$.
Exercice
3959. Trouver le reste de la division euclidienne de $13^{2004}$ par $7$ et le reste de la division euclidienne de $7^{2000}$ par $5$.
Exercice
3960. Montrer que $13$ divise $2^{70}+3^{70}$.
Exercice
3961. Montrer : $\forall n \in \mathbb{N}$, $14 \mid 3^{4n+2}+5^{2n+1}$.
Exercice
3962. Montrer : $\forall n \in \mathbb{N}$, $11 \mid 3^{5n}+5^{5n+1}+4^{5n+2}$.
Exercice
3963. Montrer que pour tout $n \in \N$, $19$ divise $2^{2^{6n+2}}+3$.
Exercice
3964. Montrer que
\[
11\mid 2^{123}+3^{121}.
\]
Exercice
3965. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
\[
6\mid 5n^3+n.
\]
Exercice
3966. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
\[
7\mid 3^{2n+1}+2^{n+2}.
\]
Exercice
3967. Trouver les entiers $n\in\mathbb{Z}$ tels que
\[
10\mid n^2+(n+1)^2+(n+3)^2.
\]
Exercice
3968. Montrer que si $n$ est entier impair, alors
\[
n^2\equiv 1 \ [8].
\]
Exercice
3969. Résoudre l’équation $3x^2 + xy = 11$, où les inconnues $x$ et $y$ sont dans $\mathbb{Z}$.
Exercice
3970. \\
- Résoudre l’équation $10x \equiv 14 \ [15]$ dans $\mathbb{Z}$. \\
- Résoudre l’équation $10x \equiv 14 \ [18]$ dans $\mathbb{Z}$. \\
- Plus généralement, si $(a,b) \in \mathbb{Z}^2$ et $m \in \mathbb{N}^*$, expliquer comment résoudre l’équation $ax \equiv b \ [m]$.
Exercice
3971. Résoudre les systèmes suivants, en l’inconnue $x \in \mathbb{Z}$ : \\
\[
\left\{
\begin{aligned}
x &\equiv 1 \ [6] \\
x &\equiv 2 \ [7]
\end{aligned}
\right.
\qquad
\left\{
\begin{aligned}
3x &\equiv 2 \ [5] \\
5x &\equiv 1 \ [6]
\end{aligned}
\right.
\]
Exercice
3972. \\
- Soit $a\in\mathbb{Z}$. Montrer que le reste de la division euclidienne de $a^2$ par $8$ est égal à $0$, $1$, ou $4$.\\
- Soit $n\in\mathbb{N}$. Montrer que, si $8$ divise $n-7$ (autrement dit : $n\equiv 7\;[8]$), alors $n$ ne peut pas être la somme de trois carrés d’entiers.
Exercice
3973. Montrer, pour tout $(x,y)\in\mathbb{Z}^2$ :
\[
13\mid 7x+3y \Longleftrightarrow 13\mid 5x+4y.
\]
Exercice
3974. Quel est le dernier chiffre de l’écriture décimale de $a=7^{3^{8^4}}$ ?
Exercice
3975. Trouver tous les $n\in\mathbb{Z}$ tels que $\sqrt{\Frac{11n-5}{n+4}}\in\mathbb{N}$.
Exercice
3976. Montrer, pour tout $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$ : $24a^2+1=b^2 \Longrightarrow 5\mid ab$.
Exercice
3977. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ le système de congruences :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x\equiv 1\;[6]\\
x\equiv 3\;[10]\\
x\equiv 7\;[15]
\end{array}
\right.
\]
Exercice
3978. \\
- Soient $a,b,c,d \in \Z$. Montrer que, si $5 \mid a-b$ et $5 \mid c-d$, alors $5 \mid ac-bd$.\\
- Soit $n \in \N^*$. Trouver le reste dans la division euclidienne de $\Sum_{k=1}^{n} k$ par $n$.\\
- Soit $n \in \N^*$. Justifier qu’un produit de $n$ entiers naturels consécutifs est toujours divisible par $n!$.
Exercice
3979. Soit $n \in \N$ tel que $n \geqslant 2$.\\
On suppose que $n$ n’admet aucun diviseur dans $[2,\sqrt[3]{n}]$.\\
Montrer que $n$ est premier ou produit de deux nombres premiers.
Exercice
3980. \\
- Montrer qu’un nombre dont d’écriture décimale est la répétition de deux groupes de $3$ chiffres (comme $314314$) est divisible par $7$, $11$ et $13$.\\
- Soit $n \in \N$.\\
- Montrer que $n$ est divisible par $3$ ssi la somme de ses chiffres l’est.\\
- Même question pour la divisibilité par $9$.
Exercice
3981. Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ les équations suivantes.\\
- $xy = 3x + 2y$\\
- $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}$\\
- $x^2-y^2-4x-2y=5$
Exercice
3982. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\\
- $6 \mid 5n^3+n$\\
- $7 \mid 3^{2n+1}+2^{n+2}$\\
- $5 \mid 2^{2n+1}+3^{2n+1}$\\
- $11 \mid 3^{8n}\times 5^4+5^{6n}\times 7^3$\\
- $9 \mid 4^n-1-3n$\\
- $15^2 \mid 16^n-1-15n$
Exercice
3983. Montrer
\[
7 \mid x \;\; \text{et} \;\; 7 \mid y \iff 7 \mid x^2+y^2
\]
Exercice
3984. Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs tels que
\[
a^2 \mid b^2
\]
Montrer que
\[
a \mid b
\]
Exercice
3985. Soit $x \in \mathbb{Q}$.\\
On suppose qu'il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que
\[
x^n \in \mathbb{Z}
\]
Montrer que
\[
x \in \mathbb{Z}
\]
Exercice
3986. On étudie l'équation algébrique
\[
(E) : x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0
\]
d'inconnue $x$, où les coefficients $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}$ sont supposés entiers.\\
Montrer que les solutions réelles de $(E)$ sont entières ou irrationnelles.
Exercice
3987. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $27$ divise $9n^2 - 6n - 1 + (-2)^n$.
Exercice
3988. Montrer que si $a$ et $b$ sont des entiers non multiples de $5$, alors un, et un seul, des nombres $a^2+b^2$ et $a^2-b^2$ est multiple de $5$.
Exercice
3989. Trouver le reste de la division par $11$ du nombre $(7077)^{377}$.
Exercice
3990. Trouver le dernier chiffre de l'écriture décimale de $1987^{1991^{1993}}$.
Exercice
3991. Montrer, en travaillant dans $\Z/5\Z$, que l’équation
\[
15x^2-7y^2=9
\]
d’inconnue $(x,y)\in\Z^2$ n’admet aucune solution.
Exercice
3992. Montrer que pour tout $n\in\N$,
\[
19\mid 2^{6n+2}+3.
\]
Exercice
3993. Soient $d_0=1 < d_1 < \dots < d_p=n$ les diviseurs de $n$. Montrer que
\[
\left(\prod_{k=0}^{p} d_k\right)^2=n^{p+1}.
\]
Exercice
3994. Montrer que pour tout entier $n$,
\[
n^5-n
\]
est divisible par $30$.
Exercice
3995. Montrer que si $n\in\Z$, alors $2$ divise $n(n+1)$, $3$ divise $n(n+1)(n+2)$ et $8$ divise $(2n)(2n+2)$.\\
En déduire que si $p$ est un nombre premier $\geqslant 5$, $24$ divise $p^2-1$.\\
Indication : $p$ est impair.
Exercice
3996. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $\sigma(n)$ la somme des diviseurs de $n$. Montrer que
\[
\sigma(n) \leqslant n+n\ln n.
\]
Exercice
3997. Montrer que tout produit de $k$ entiers (relatifs) consécutifs est divisible par $k!$.
Exercice
3998. Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs augmenté de $1$ est un carré.
Exercice
3999. Soit $a,b,c$ trois entiers distincts de $\Z$. Montrer que pour tout entier $n>3$, il existe $k\in\Z$ tel que $n$ ne divise aucun des trois nombres $a+k$, $b+k$, $c+k$.
Exercice
4000. Soit $P = X^n + c_1 X^{n-1} + \cdots + c_{n-1} X + c_n$ un polynôme à coefficients entiers. Montrer qu’une racine rationnelle de $P$ est entière.
Exercice
4001. Soit $n \in \N$. \\
Montrer que l’un (et un seulement) des deux nombres $A=5^n-2^n$ et $B=5^n+2^n$ est divisible par $7$.
Exercice
4002. Démontrer que pour tout $n \in \N$, $3^{2n+1}+2^{n+2}$ est divisible par $7$.
Exercice
4003. Montrer que $11 \times 31 \times 61$ divise $20^{15}-1$.
Exercice
4004. Montrer : $\forall n \in \mathbb{N}$, $16 \mid 3^{2n+6}-5^{n+2}-4n$.
Exercice
4005. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
\[
5\mid 2^{2n+1}+3^{2n+1}.
\]
Exercice
4006. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
\[
9\mid 4^n-1-3n.
\]
Exercice
4007. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
\[
15^2\mid 16^n-1-15n.
\]
Exercice
4008. Soient $\lambda,a,b\in\mathbb{Z}$ et $m\in\mathbb{N}^*$.\\
On suppose $\lambda$ et $m$ premiers entre eux.\\
Montrer que
\[
a\equiv b \ [m]
\Longleftrightarrow
\lambda a\equiv \lambda b \ [m].
\]
Exercice
4009. Déterminer l’ensemble $E$ des $n\in\mathbb{Z}$ tels que $n^2+7 \mid n^3+5$.
Exercice
4010. Résoudre dans $\mathbb{Z}$ le système de congruences :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
5x\equiv 7\;[11]\\
7x\equiv 11\;[5]\\
11x\equiv 5\;[7]
\end{array}
\right.
\]
Exercice
4011. Déterminer le plus petit entier naturel $x$ tel que : $x\equiv 6\;[23]$ et $x^2\equiv 13\;[23^2]$.
Exercice
4012. Montrer : $\forall n\in\mathbb{N}$, $13\mid 2^{2^{8n+6}}+10$.
Exercice
4013. Soit $n\in\mathbb{N}$ non premier et tel que $n\geqslant 6$. Montrer : $n\mid (n-2)!$.
Exercice
4014. Démontrer, pour tout $(x,y)\in\mathbb{Z}^2$ : $56786730\mid x^{61}y-xy^{61}$.
Exercice
4015. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ la suite définie par
\[
u_0=9
\]
et par la relation de récurrence
\[
u_{n+1}=3u_n^4+4u_n^3
\]
pour tout $n \in \N$. Montrer que l'écriture décimale de $u_{11}$ comporte plus de $2012$ chiffres $9$.
Exercice
4016. Soit $n\in\N^*$ donné. Résoudre dans $\Z$ l’équation : $2a+3b=n$. Donner le nombre de solutions dans $\N^2$.
Exercice
4017. Montrer qu’un entier écrit en base $10$ : $(a_n a_{n-1}\cdots a_0)_{10}$ est divisible par :\\
- $3$ (resp. $9$) si $a_0+a_1+\cdots+a_n$ l’est ;\\
- $11$ si $a_0-a_1+\cdots+(-1)^n a_n$ l’est ;\\
- $7$ (resp. $11,13$) si $A_0-A_1+A_2-\cdots$ l’est où $A_i=(a_{3i+2}a_{3i+1}a_{3i})_{10}$.\\ Indication : $1001=7\times 11\times 13$.
Exercice
4018. Soit $A=4444^{4444}$, soit $B$ la somme des chiffres de $A$ écrit en base $10$, $C$ la somme des chiffres de $B$, $D$ la somme des chiffres de $C$ ; montrer que $D=7$.
Exercice
4019. Soit $p$ un nombre premier, $n \in \mathbb{N}^*$ et $k \in \llbracket 1,p^n-1 \rrbracket$. Quelle est la plus grande puissance de $p$ qui divise
\[
\mathrm{C}_{p^n}^k\; ?
\]
Exercice
4020. On note $\tau(n)$ le nombre de diviseurs positifs de l'entier $n$. Montrer que
\[
\Sum_{k=1}^{n}\tau(k)=\Sum_{k=1}^{n}\mathrm{E}\left(\Frac{n}{k}\right)=2\Sum_{k=1}^{r}\mathrm{E}\left(\Frac{n}{k}\right)-r^2,
\]
où
\[
r=\mathrm{E}(\sqrt{n}).
\]
Exercice
4021. On note $\sigma(n)$ la somme des diviseurs de $n$ d'un entier strictement positif $n$.\\
- Montrer que $\sigma(n)$ est impair si et seulement si $n$ est de la forme \[ 2^\alpha q^2 \] avec $q$ impair.\\
- Résoudre l'équation \[ 3\sigma(n)=4n-17. \]
Exercice
4022. Montrer qu'il existe un multiple de $1996$ dont l'écriture décimale ne comporte que le chiffre $4$.
Exercice
4023. Soit $n$ un entier supérieur à $2$ et $p$ un nombre premier. Montrer que la valuation $p$-adique de $n!$ est égale à
\[
\Sum_{k=1}^{+\infty}\left\lfloor \Frac{n}{p^k}\right\rfloor.
\]
Exercice
4024. Soit $k \in \N$. L’objectif de l’exercice est de résoudre l’équation d’inconnue $(a,b)\in(\N^*)^2$ : $a^2+b^2=2^k$.\\
- Montrer que, si $k \geqslant 2$, alors une solution est forcément un couple de nombres pairs.\\
- En déduire que :\\
- si $k$ est pair, l’équation n’admet aucune solution ;\\
- sinon, l’équation admet une unique solution que l’on déterminera.
Exercice
4025. On rappelle que $[\,\cdot\,]$ désigne la partie entière.\\
- Soit $m \in \N$ et soit $q \in \N^*$. Démontrer que \[ \mathrm{card}(\{1 \leqslant k \leqslant m \; \text{tel que} \; q \mid k\})=\left[\frac{m}{q}\right]. \]
- En déduire que si $q$ est premier, alors \[ v_q(m!)=\Sum_{i=1}^{+\infty}\left[\frac{m}{q^i}\right]. \] En déduire le nombre de zéros finissant l'écriture de $200!$.\\
- En déduire que, si $S_q(m)$ désigne la somme des chiffres de l'écriture en base $q$ de $m$, alors \[ v_q(m!)=\frac{m-S_q(m)}{q-1}. \]
Exercice
4026. Trouver tous les $(a,b,c)\in(\mathbb{N}\setminus\{0,1\})^3$ tels que : $a\mid bc+1$ et $b\mid ca+1$ et $c\mid ab+1$.
Exercice
4027. Montrer que toute puissance entière positive de $\sqrt{2}-1$ est de la forme $\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$, avec $m \in \N^*$.
Exercice
4028. Soit $k \geqslant 2$. Montrer que le produit de trois entiers naturels non nuls consécutifs ne peut pas être une puissance $k$-ième.
Exercice
4029. Soit $N_1,\dots,N_q$ des entiers non nuls, deux à deux distincts. On pose
\[
P_k=\Prod_{i=1}^{q}(N_i+k)
\]
pour $k \in \mathbb{Z}$ et on suppose que pour tout $k \in \mathbb{Z}$, $P_0$ divise $P_k$.\\
- Montrer qu'il existe $i \in \llbracket 1,q \rrbracket$ tel que $|N_i|=1$.\\
- On suppose de plus que, pour tout $1 \leqslant i \leqslant q$, on a $N_i \geqslant 1$. Montrer que $N_1,\dots,N_q$ sont les $q$ premiers entiers naturels non nuls.
Exercice
4030. Soient $(m,n)\in\mathbb{N}^2$.\\
Montrer que
\[
\frac{(2m)!(2n)!}{(m+n)!m!n!}\in\mathbb{N}.
\]
Exercice
4031. On considère $G$ le groupe des symétries d'un pentagone régulier, c'est-à-dire les isométries vectorielles de $\mathbb{C}$ conservant $\mathbb{U}_5$.\\
- Décrire $G$. En donner un système de générateurs. On note $\{r,s\}$ un système de générateurs de $G$, avec $r^5=1$ et $s^2=1$. Montrer que \[ G=\{r^k,\ 0\leqslant k\leqslant 4\}\sqcup\{sr^k,\ 0\leqslant k\leqslant 4\}. \]
- Montrer que tout groupe à $10$ éléments est isomorphe soit à $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$, soit au groupe des symétries du pentagone.
Exercice 4032. X-ENS
\\ Soit $a,b$ dans $\mathbb{N}$ avec $b \geqslant a \geqslant 2$. On suppose que $a^n-1$ divise $b^n-1$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer qu'il existe $p \in \mathbb{N}^*$ tel que $b=a^p$.
Exercice
4033. Pour $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, on pose
\[
A_n(\sigma)=\sigma(1)\sigma(2)+\sigma(2)\sigma(3)+\cdots+\sigma(n-1)\sigma(n).
\]
Déterminer le maximum de $A_n$.